第四章数列单元测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

厦门市杏南中学高二数学数列单元测试 1、 选择题:本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，则=（   ）A．2 B． C． D．2024 2．已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ）A．13 B．3或13 C．9或18 D．9 3．已知数列，则下列说法正确的是（    ）A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列既有最大项，又有最小项 D．数列既无最大项，又无最小项 4．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．33 B．30 C．27 D．24 5．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）A. B. C. D. 6．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，且，则（    ）A. B. C. D. 8．已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ）A．52 B．51 C．50 D．49 2、 多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知数列的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若为等差数列，则为等差数列B．若，则为等比数列 C．若，则为等差数列 D．若为各项都为正数的等比数列，则为等比数列 10．已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列不是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 11．如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（    ）A．数列为等比数列 B．数列的前项和为 C．数列为递增数列 D． 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知数列是等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是 ． 13．已知数列中，，，则 . 14．记是公差不为0的等差数列前n项和，若，则数列的通项公式 ． 四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15． (本小题13分)已知数列满足，且成等比数列， (1) 求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 16． (本小题15分)为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过78吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少． (1)以2018年为第一年，设第n年出口量为吨，试求的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？() 17． 本小题15分 在数列中，. (1) 证明：数列为等差数列. (2)求数列的前项和. 18． (本小题17分)已知数列的前n项和为，，，． (1) 证明：；(2)设，求数列的前2n项和． 19． 本小题17分 在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 厦门市杏南中学高二数学数列单元测试 3、 选择题:本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，则=（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】C 2．已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．13 B．3或13 C．9或18 D．9 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，， 得，解得或． 或． 故选：C． 3．已知数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列既有最大项，又有最小项 D．数列既无最大项，又无最小项 【答案】C 【详解】， 根据指数函数及反比例函数的单调性可知， 在时为减数列且为负，在时也为减数列且为正， 故数列最小项为第10项，最大项为第11项． 4．已知是等差数列，且，，则的值是（   ） A．33 B．30 C．27 D．24 【答案】C 【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列， 所以． 5．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等差数列可知，，， 解得，，所以.故选：D 6．在等比数列中，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是等比数列，且，是方程的两根，所以：，且，. 根据等比数列的性质，得：，且，所以 ∴. 7．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， .故选：D. 8．已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可. 【详解】当时，，则， 于是，即有， 因此数列是常数列，，即， 由，得，而，所以. 4、 多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个 选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知数列的前n项和为，则下列判断正确的是（    ） A．若为等差数列，则为等差数列B．若，则为等比数列 C．若，则为等差数列D．若为各项都为正数的等比数列，则为等比数列 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由已知求可判定AB的真假，根据等差数列的通项公式和前项和公式可判断C的真假，根据等比数列的通项公式判断D的真假. 【详解】对A：可以得出：，，，所以，，.因为，，所以数列不是等差数列，故A错误. 对B：当时，； 当时，（），所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对C：因为是等差数列，设首项为，公差为，则，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故C正确； 对D：因为为等比数列，设首项为，公比为，当时，，所以为等比数列，故D正确. 故选：BCD 10．已知数列的首项为1，前和为，且，则（   ） A．数列不是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可. 【详解】因为①， 所以， 当时，②， 由①②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以为公比的等比数列，故A错误； 对于C；当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以， 则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，在四边形中，为边上的一列点，连接交于点，且满足，其中数列是首项为1的正项数列，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列的前项和为 C．数列为递增数列 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、平面向量共线定理的推论 【分析】A选项，根据向量共线定理得到，从而，A正确；B选项，在A选项基础上得到，由分组求和和等比数列求和公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D选项，在B选项基础上得到D正确. 【详解】A选项，因为为边上的一列点，设， 即，所以 ， 即，所以， 即，所以数列为公比为2的等比数列，A正确； B选项，因为，所以， 故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，， 的前项和为 ，B正确； CD选项，，故，显然， 则数列不是递增数列，C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知数列是等比数列，若，且是与2的等差中项，则q的值是 ． 【答案】1 【详解】由题意有：，而，显然，，则， 所以，故，可得． 故答案为：1. 13．已知数列中，，，则 . 【详解】由，数列是等差数列，公差为. 又，，所以. 故答案为： 14．记是公差不为0的等差数列前n项和，若，则数列的通项公式 ． 【详解】由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而, , 即，由于公差不为零,故, 数列的通项公式为：. 故答案为：. 四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20． 本小题13分 已知数列满足，且成等比数列， (1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； （2）由(1)得， 所以当时，取得最小值，最小值为 21． 本小题15分 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过78吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少． (1)以2018年为第一年，设第n年出口量为吨，试求的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？() 【详解】（1）由题意，每年的出口量构成等比数列，且首项，公比， 所以的表达式为. （2）由题意，10年的出口总量为， 因为国家限定某矿区的出口总量不能超过吨，所以，即， 可得，所以， 所以2018年最多出口吨. 22． 本小题15分 在数列中，. (1)证明：数列为等差数列.(2)求数列的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以.又， 所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知，则， 则， 则. 23． 本小题17分 已知数列的前n项和为，，，． (1)证明：；(2)设，求数列的前2n项和． 【详解】（1）证明：由题可知， 当时，解得． 又因为，将其与 两式相减得：， 因为，所以． （2）当n为大于1的奇数时，有，，，…，， 累加得． 又满足上式，所以n为奇数时，； 当n为大于2的偶数时，有，，，…，， 累加得．又满足上式． 综上可知，． 所以， . 24． 本小题17分 在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 为等差数列，且， ， 构成公比不为1的等比数列， ， ， 解得或(舍). ∴. （2）因为， 当时，即， 当时， 所以， 由（1）知，， 当时也成立， 所以， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 试卷第1页 试卷第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$