精品解析：河北省石家庄市正定县2024-2025学年上学期期中九年级数学试卷

正定县2024-2025学年度第一学期期中质量检测九年级 数 学 试 卷 一、选择题12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键； 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A． ，是分式方程，故该选项不符合题意； B． ， 去括号，移项，合并同类项得，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C． ， 去括号，移项，合并同类项得，是一元二次方程，故该选项符合题意； D． ，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵BD=2AD， ∴，，， 故选B 3. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案． 【详解】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分， 7个有效评分与5个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变． 故选:A 【点睛】此题考查中位数的定义，解题关键在于掌握其定义． 4. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝13＞0，进而可找出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5. 在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查网格中求角的三角函数值，先构造直角三角形，如图所示，在直角三角形中，由正切函数的定义代值求解即可得到答案，熟记三角函数定义，数形结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，，则， 故选：C． 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 8. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，根据坡度的定义知道斜坡的坡度，然后根据已知条件即可确定斜坡的坡度． 【详解】解：在中， 斜坡的坡度，而堤高，水平距离， 斜坡的坡度是：． 故选：． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用坡度的问题，解题的关键是根据题意正确画出图形，理解坡度的定义即坡角的正切值． 9. 如图，在中，为边上一点，若，，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的性质得出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A. ﹣30 B. ﹣20 C. ﹣5 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】x2−10x+5=x2−10x+25−20=(x−5)2−20， 当x=5时，代数式的最小值为−20， 故选B. 11. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，如图， 即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴光源与小明的距离应减少米． 故选：D． 12. 已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴ ∵等腰三角形的边长分别是、、1 ∴当时，则，， 解得；， 此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去； 当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去； 当时，则 解得； 此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意； 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，16题第1空1分，第2空2分，共12分，请把答案填在题中的横线上） 13. 已知，则的值等于___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用设k法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出，，的长，进而利用求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设河宽为米，在中，， ∴， 在中 ， ∴， ∵， ∴， 解得： 所以河的宽度为（）米， 故答案为：。 16. 如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为___________； （2）的面积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题52分．解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2） 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解可得； （2）先代入三角函数值，再进一步计算即可． 【详解】解：（1）∵， ， 则或， 解得，； （2） ． 18. 某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． （1）求出图1中的值及这个月内该商品的平均日销售量； （2）求该商品的日销售量的中位数和众数； （3）店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量为　　　　件． 【答案】（1），这个月内该商品的平均日销售量为25件 （2）中位数为26件，众数为24件 （3）27 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的应用以及平均数、中位数、众数的计算，解题的关键是从统计图中获取有效信息，并掌握相关统计量的计算方法． （1）先根据26件的数量和所占比例求出总天数，进而求出的值，再根据平均数公式计算平均日销售量； （2）根据中位数和众数的定义求解； （3）根据中位数不变和众数唯一的条件确定实际销售量． 【小问1详解】 解：日销售量为26件的天数是9天，占总天数的， 总天数为天， ， 平均日销售量 （件）， 答：图1中的值是10，及这个月内该商品的平均日销售25件； 【小问2详解】 解：将这组数据从小到大排列：20出现4次，24出现10次，26出现9次，28出现7次． 总共有30个数据，第15，16个数据都是26，所以中位数是26； 24出现的次数最多，所以众数是24． 答：中位数为26，众数为24； 【小问3详解】 解：原来数据中24出现10次，26出现9次，28出现7次，20出现4次， 更正后中位数不变，还是26，且众数唯一， 当天的销售量不是26件， 日销售量这组数据中位数不变，且原中位数是26， 当天的销售量不低于26件， 该时段的实际日销售量均不大于28件， 若将28件中的一件更正，要使众数唯一且中位数不变，只能把28件改为27件，这样24出现10次，26出现9次，27出现次，20出现4次，满足条件， 答：该天的实际销售量为27件． 19. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒． （1）___________；（用含的代数式表示） （2）___________；（用含的代数式表示） （3）当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值； （4）设点是的中点，当与的一边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）10； （2）或 （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出即可； （2）由线段和差关系可求解； （3）依题意得，，则．再根据得，当点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况：①当时，②当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可； （4）先求出，再分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：10． 【小问2详解】 解：由题意得， ∴当点在上时，， 当点在上时，， ∴综上所述：为或． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：依题意得：，， 则． ∵， ∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况： 当或时，以点、、为顶点的三角形与相似时， 此时点在线段上运动； 当时，如图1所示 ∵， ∴， ∴， 解得： 当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，的值为或． 【小问4详解】 解：∵点为的中点， ∴． 依题意有以下三种情况： 当时，如图3所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图4所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图5所示 ∵， ∴， ∴， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：当与的一边垂直时的值为或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，列代数式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题关键． 20. 瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． （1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ （2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工 （2）能，见解析 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：，, ∵在中，， ∴ 答：应在地面上距点B约远的A处开始斜坡的施工； 【小问2详解】 能， 理由如下 如图，过点作于点， 则, ∴， 在中， ， ∵ ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 21. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①，②60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为m，利用该品牌头盔6月份的销售量该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值； （2）①利用月销售量（该品牌头盔的售价），即可找出y关于x的函数关系式； ②利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为m， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①依题意，得： ； ②依题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 22. 如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． 问题1　当时， _____．  问题2　当时， _____．  问题3　试判断∶当时，的大小有无变化？请根据如图的情形给出证明． 问题4　当旋转至A，D，E三点共线时，求线段的长． 【答案】问题1：；问题2：； 问题3：如图2， 当时，的大小没有变化， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 问题4：的长为或 【解析】 【分析】问题1利用勾股定理求出的长，根据三角形中线定义可得：，，即可求出的值； 问题2先根据旋转的性质求出，，即可求出的值； 问题3证明，可得可得答案； 问题4 分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求的长． 【详解】问题1 当时， ∵， ∴， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴，，， ∴， 故答案为：； 问题2　 如图1， 当时， ∵将绕点C按顺时针方向旋转， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； 问题3略 问题4 ①如图3， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ②如图4， ∵，，， ∴， ∵点D、E分别是边、的中点， ∴， ∴， 由问题3 可得， ∴ 综上所述，或 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正定县2024-2025学年度第一学期期中质量检测九年级 数 学 试 卷 一、选择题12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　） A. B. C. D. 3. “红色小讲解员”演讲比赛中，7位评委分别给出某位选手的原始评分．评定该选手成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分．5个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据一定不变的是（ ）． A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 4. 一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根的情况为（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 在如图所示的正方形网格中，点，，都在格点上，的值是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 8. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，水平距离，则斜坡的坡度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，为边上一点，若，，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A. ﹣30 B. ﹣20 C. ﹣5 D. 0 11. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁米，爸爸拿着的光源与小明的距离为米，如图所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的倍，则光源与小明的距离应（　　） A. 增加米 B. 增加米 C. 增加米 D. 减少米 12. 已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，16题第1空1分，第2空2分，共12分，请把答案填在题中的横线上） 13. 已知，则的值等于___________． 14. 如图，在平行四边形中，，，则___________． 15. 周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 16. 如图，的面积为4，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点， （1）的面积为___________； （2）的面积为___________． 三、解答题（本大题共6小题52分．解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2） 18. 某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． （1）求出图1中的值及这个月内该商品的平均日销售量； （2）求该商品的日销售量的中位数和众数； （3）店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量为　　　　件． 19. 如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒． （1）___________；（用含的代数式表示） （2）___________；（用含的代数式表示） （3）当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值； （4）设点是的中点，当与的一边垂直时，直接写出的值． 20. 瑞天时代广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． （1）为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ （2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.6m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 21. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为元，月销售量为． ①直接写出关于的函数关系式； ②为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 22. 如图，在中，，，点D，E分别是边，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． 问题1　当时， _____．  问题2　当时， _____．  问题3　试判断∶当时，的大小有无变化？请根据如图的情形给出证明． 问题4　当旋转至A，D，E三点共线时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $