第12讲线段垂直平分线的性质与判定 讲义 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第12讲 线段垂直平分线的性质与判定 【知识要点】 1. 线段垂直平分线的做法： 作线段AB的垂直平分线：连接 AB ，分别以 A ， B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 E ， F 两点，作直线 EF ，则 EF 就是其对称轴. 2. 线段垂直平分线的性质： 【考点精讲】 【考点1】线段垂直平分线的尺规作图 例题1．如图，直线 m 表示一条公路， A ， B 表示两所大学.要在公路旁修建一个车站 P 使其到两所大学的距离相等，请在图上找出这点 P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）. 解：如图，点 P 是线段 AB 的垂直平分线与直线 m 的交点 方法总结：作线段AB垂直平分线的步骤（1）分别以A，B为圆心，大于AB长度的一半为半径，在线段AB的两侧画弧（2）过两侧弧的交点做直线即为线段AB的垂直平分线 【针对训练】 1.通过如下尺规作图，能确定点 D 是 BC 边中点的是（　B　） 【考点2】线段垂直平分线的性质 例题1如图，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交 AC 于点 P . 已知 PA ＝5，则线段 PB 的长度为（　D　） A.  8 B. 7 C. 6 D.5 例题2.如图，是△ ABC中边的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质定理可得，据此即可求出的周长． 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 【针对训练】 1.如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为 ． 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 2.如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，的长为，则的周长等于 ． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 【考点3】线段垂直平分线的证明 例题1.如图，已知在△ABC中，是上一点，． 求证：． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据可得在的垂直平分线上，又在上，即可得证． 【详解】解：∵ ∴在的垂直平分线上， 又在上， ∴． 例题2．已知：如图，P是平分线上的一点，，垂足分别为D，E．求证：(1)； (2)是的垂直平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由可得，，可证是的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵P是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，且， ∴是的垂直平分线． 【针对训练】 1.如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若对角线，，求四边形的面积． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质： （1）证明全等得到，，即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：在△ABC和中， ， ， ，， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线； （2）解：由（1）知是线段的垂直平分线， ，， ，， 四边形的面积 ． 2．已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题； （2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． 【详解】（1）， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 【达标检测】 1.如图，在△ABC中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 2．如图，四边形中，连接交于点O，得到了如下结论，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定， 先根据线段垂直平分线的判定得直线是线段的垂直平分线，可判断A，B，再根据“边边边”证明全等说明C，不能说明的关系，判断D即可． 【详解】∵， ∴点D在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． 则A，B正确； ∵， ∴． 3.下列尺规作图，能判断是△ABC边上的中线的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查作图基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线的定义判断即可． 【详解】解：观察图形可知，选项A中，，故线段是△ABC的中线， 4.如图，三角形纸片，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为 ． 【分析】由折叠得，，则，而，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质，推导出，是解题的关键． 【详解】解：将△ABC沿过点B的直线折叠，点C落在AB边上的点E处，折痕为BD， ，， ， ，， ， ， ， 的周长为11， 5.如图，△ABC中，是的垂直平分线，，△ABC的周长为34，则的周长为 ． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”；根据线段的垂直平分线的性质得到，，而，代换即有，从而得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， ∵△ABC的周长是，即， ， ， 即的周长是， 6.如图，△ABC中，，的垂直平分线与相交于点D，若的周长是9，则的长为 ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据中垂线的性质，可得，则的周长为，即可求得的长． 【详解】∵的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∵的周长， ∴的周长， ∵， ∴． 7.在△ABC中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 【详解】解：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线， 如图，为直线与的交点， ∵若点到的距离为8，点到的距离为4， ∴，， 当点在△ABC的内部时，； 当点在△ABC的外部时，． 综上，的长为4或12． 8.如图，直线m是△ABC中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，则周长的最小值是 ． 【分析】本题考查垂直平分线的性质及轴对称求最短距离问题．根据题意得到周长的最小值是，直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴，当A、B、P三点共线时取等号， ∴最小值为的长， ∴， 9.尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的△ABC中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 10.如图，P为平分线上一点，于A，于B． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定： （1）角平分线的性质，推出，证明，得到即可； （2）根据，，即可得证． 【详解】（1）证明：∵P为平分线上一点，于A，于B， ∴，，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$