2025届高考物理一轮复习讲义：60 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题

60带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 带电粒子在圆形、多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入． (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出． ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示． ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示． 1.临界极值问题分析思路和方法 两种 思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解 二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值 两种 方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值 数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值； (3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等 从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 2．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 3．几种常见的求极值情况(速度一定时) 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长． 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短． 4.临界极值问题的四个重要结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切,据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(前提条件是弧是劣弧)． (3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 类型(一)　圆形磁场中的临界极值问题 [典例1]如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　) A.　 B. C. D. [解析]　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故选项C正确。 [答案]　C 【变式1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ）    A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为 C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为 D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场 【答案】AC 【详解】A．当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间故A正确； B．如图所示    当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时（设切点为Q），粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径 设粒子的速度大小为，有，解得故B错误； C．设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为，根据几何关系有 设粒子的速度大小为，有，解得故C正确； D．当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。故选AC。 【变式2】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【答案】　(1)　　(2)R 【解析】　(1)粒子的轨迹半径：r＝① 粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m② 由①②两式得粒子的比荷：＝③ 粒子的运动周期T＝④ 粒子在磁场中的运动时间t＝T⑤ 由①④⑤式得t＝.⑥ (2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大． 由图可知sin θ＝⑦ 平移距离d＝Rsin θ⑧ 由①⑦⑧式得d＝R. 【变式3】如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里．不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C. 类型(二)　平行边界中的临界极值问题 [典例2] (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 答案　AB 解析　粒子运动轨迹如图所示，r＋rsin 30°＝d，解得粒子运动轨道半径为r＝d，故A正确；由qvB＝m，r＝d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v＝＝，故B正确；由T＝＝，如图由几何关系知t＝T，解得粒子在磁场中运动的时间为t＝，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcos 30°＝－d，故D错误． 【变式】 (多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 答案　BD 解析　设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝.带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大．若粒 子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得 R＋Rcos 45°＝d， 解得R＝(2－)d， 对应的速率v＝. 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R－Rcos 45°＝d， 解得R＝(2＋)d. 对应的速率v＝.故选B、D. 类型(三)三角形磁场中的临界极值问题 [典例3]如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　) A．B>　　　　　 B．B< C．B> D．B< [解析]　由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝有<，即B<，选项D正确。 [答案]　D 【变式】如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab长为，不计重力和粒子间的相互作用力。则（　　） A．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 B．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 C．粒子能从bc边射出的区域长度为L D．粒子能从bc边射出的区域长度为2L 【答案】B 【解析】AB．根据代入速度得 如图Od与ac垂直，有几何关系可知，Od长为L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为，则最短时间为又得A错误，B正确； CD．粒子轨迹与ac相切时，交与bc边最远的e点，由几何关系可知，Oe长度为直径，则粒子能从bc边射出的区域eb的长度为，CD错误。故选B。 类型(四) 方形磁场中的临界极值问题 【典例4】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是(　　) A．粒子a带负电 B．粒子c的动能最大 C．粒子b在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 [解析]　由左手定则可知，a粒子带正电，故A错误；由qvB＝m，可得r＝，由题图可知粒子c的轨迹半径最小，粒子b的轨迹半径最大，又m、q、B相同，所以粒子c的速度最小，粒子b的速度最大，由Ek＝mv2，知粒子c的动能最小，根据洛伦兹力提供向心力有F向＝qvB，则可知粒子b的向心力最大，故D正确，B错误；由T＝，可知粒子a、b、c的周期相同，但是粒子b的轨迹所对的圆心角最小，则粒子b在磁场中运动的时间最短，故C错误。 [答案]　D 【变式1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求： (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； (2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02； (3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间． 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示， 若粒子速度大小为v0，则qv0B＝m，解得：v0＝. (1)设圆心在O1处对应圆弧与cd边相切，对应速度大小为v01 由几何关系得：R1sin θ＝，解得R1＝L则有：v01＝＝. (2)设圆心在O2处对应圆弧与ab边相切，对应速度大小为v02 由几何关系得：R2＋R2sin θ＝，解得R2＝则有：v02＝＝. (3)由t＝T和T＝＝可知，粒子在磁场中经过的圆弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间越长．当在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长 则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝所以最长时间为t＝T＝×＝. 【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AD边长为L，AB边长为。一质量为m、带电荷量为q的正粒子从A点沿纸面以与AD成30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD相切，不计粒子所受的重力。 (1)求粒子射入磁场时的速度大小； (2)求粒子在磁场中运动的时间t； (3)若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为，如图所示 根据图中几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）根据图中几何关系有 可得 则粒子在磁场中运动的时间为 联立解得 （3）若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，当粒子从AB边射出磁场时对应的时间最长，轨迹对应的圆心角为 则有 类型(五) 环形磁场中的临界极值问题 【典例5】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有 ＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。 【变式1】如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.粒子一定带正电 B.粒子第一次在磁场中运动的时间为 C.粒子运动的速度大小为 D.磁场外边界圆的半径至少为r 【答案】　D 【解析】　粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断粒子带负电，故A错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，故B错误；根据图中几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的半径为 R＝rtan 30°＝r，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝，故C错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，故D正确。 【变式2】科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm； (2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　(1)如图甲所示， 甲 粒子源在A点时，粒子最大运动半径为rmax＝＝R， 由运动的半径 rmax＝ 解得vAm＝。 (2)设粒子运动半径为r0，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图乙所示，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间最长，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2 乙 则R2＋r＝(2R－r0)2 得r0＝R，则∠ACO＝53°，∠ACD＝106°， 轨迹圆心角为360°－106°＝254° 解得tm＝T＝。 (3)当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图丙所示，被磁场约束的粒子半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP。 丙 在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，OG＝R，EG＝rP－R，OE＝2R－rP得rP＝R 由运动半径r＝，解得vPm＝。 【变式3】如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O点为圆心，半径为R内圆与半径为3R外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A为外圆上一点。一粒子源s可持续发射出大小均为v、质量为m，电荷量为q的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 C．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 D．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 【答案】C 【解析】AB．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，轨迹最大半径如图所示 根据几何关系有解得 根据洛伦兹力提供向心力磁感应强度最小值为故AB错误； CD．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，轨迹最大半径如图所示 根据几何关系有解得 根据洛伦兹力提供向心力 磁感应强度最小值为故C正确，D错误。故选C。 【变式4】来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成某一θ角（）以速度v射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子的临界图像，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由余弦定理有 整理有 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 由题意知，其比荷为k，解得所以其最大值为。故选A。 类型(六)　其他形状磁场中的临界极值问题 【典例6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R时，粒子从弧ab上射出，轨迹半径从0.5R逐渐增大，粒子射出位置从a点沿弧向右移动，轨迹所对圆心角从π逐渐增大，当半径为R时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，轨迹所对圆心角减小，因此轨迹半径等于R时，所对圆心角最大，为θm＝π＋＝，粒子最长运动时间为。] 【变式】（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（    ） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 D．粒子在磁场中最长运动时间约为 【答案】AD 【详解】A．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图1所示。当粒子都从ab边射出，则都是半周，时间都相等，A正确； BC．当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，圆心角越大，运动时间越长，BC错误； D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，运动情况可简化为如图2所示情况，这时圆心角大小为 可得D正确。故选AD。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 60带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 带电粒子在圆形、多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入． (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出． ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示． ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，粒子的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示． 1.临界极值问题分析思路和方法 两种 思路 一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解 二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值 两种 方法 物理方法 (1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值 数学方法 (1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值； (3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等 从关键词找突破口 许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解． 2．临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直． 3．几种常见的求极值情况(速度一定时) 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切． 圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长． 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直． 如图，P为入射点，M为出射点．此时在磁场中运动时最短． 4.临界极值问题的四个重要结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切,据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值． (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。(前提条件是弧是劣弧)． (3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 类型(一)　圆形磁场中的临界极值问题 [典例1]如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　) A.　 B. C. D. 【变式1】（2023·全国·校联考模拟预测）如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内（不含边界）有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成角的方向射入磁场。粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ）    A．粒子在磁场中运动的最长时间为 B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为 C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为 D．选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场 【变式2】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【变式3】如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子．磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里．不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力．所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　) A. B. C. D. 类型(二)　平行边界中的临界极值问题 [典例2] (多选)如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里．一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场．忽略粒子重力．关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．它的轨道半径为d B．它进入磁场时的速度为 C．它在磁场中运动的时间为 D．它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d 【变式】 (多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 类型(三)三角形磁场中的临界极值问题 [典例3]如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　) A．B>　　　　　 B．B< C．B> D．B< 【变式】如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab长为，不计重力和粒子间的相互作用力。则（　　） A．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 B．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 C．粒子能从bc边射出的区域长度为L D．粒子能从bc边射出的区域长度为2L 类型(四) 方形磁场中的临界极值问题 【典例4】如图所示，矩形虚线框MNPQ内有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计。下列说法正确的是(　　) A．粒子a带负电 B．粒子c的动能最大 C．粒子b在磁场中运动的时间最长 D．粒子b在磁场中运动时的向心力最大 【变式1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求： (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； (2)若粒子恰好沿磁场上边界切线射出，求粒子的入射速度大小v02； (3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间． 【变式2】（2024·广西·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AD边长为L，AB边长为。一质量为m、带电荷量为q的正粒子从A点沿纸面以与AD成30°角的方向射入磁场，粒子在磁场中运动的轨迹恰好与CD相切，不计粒子所受的重力。 (1)求粒子射入磁场时的速度大小； (2)求粒子在磁场中运动的时间t； (3)若仅减小粒子射入磁场时的速度大小，求粒子在磁场中运动的最长时间。 类型(五) 环形磁场中的临界极值问题 【典例5】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【变式1】如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.粒子一定带正电 B.粒子第一次在磁场中运动的时间为 C.粒子运动的速度大小为 D.磁场外边界圆的半径至少为r 【变式2】科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm； (2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。 【变式3】如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O点为圆心，半径为R内圆与半径为3R外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A为外圆上一点。一粒子源s可持续发射出大小均为v、质量为m，电荷量为q的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 C．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 D．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 【变式4】来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成某一θ角（）以速度v射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v的最大值为（　　） A． B． C． D． 类型(六)　其他形状磁场中的临界极值问题 【典例6】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A． B． C． D． 【变式】（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（    ） A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等 C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等 D．粒子在磁场中最长运动时间约为 学科网（北京）股份有限公司 $$