第01讲 复数的概念（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第01讲 复数的概念（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 虚数单位及及其性质 题型二 复数的基本概念 题型三 求复数的实部与虚部 题型四 复数的相等 题型五 复数的分类及辨析 题型六 已知复数的类型求参数 题型七 根据相等条件求参数 题型八 复数的坐标表示 题型九 在各象限内点对应复数的特征 题型十 实轴、虚轴上点对应的复数 题型十一 求复数的模 题型十二 由复数模求参数 题型十三 与复数模相关的轨迹图形)问题 知识点一 数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 知识点二 复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点三 复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 知识点四 复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 知识点五 共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 知识点六 复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【核心考点一 虚数单位及及其性质】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）复数（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】直接根据复数的运算得答案. 【详解】. 故选：D. 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等的条件即可得解. 【详解】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得，解得， 故． 故选：B． 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）虚数单位i i叫做虚数单位，规定 ；虚数单位可以与实数进行 【答案】 -1 四则运算 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）的平方根为 . 【答案】 【分析】利用平方根的定义计算即可 【详解】的平方根为， 故答案为：. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】为了解决这样的方程在实数集中无解的问题， 我们设想引入一个新数i，使得是方程的解，即使. 【核心考点二 复数的基本概念】 【例1】（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【答案】B 【分析】根据复数的概念求解. 【详解】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 【例2】（21-22高一下·湖北武汉·期末）已知，“”是“复数为虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的定义以及充要条件的定义，可得答案. 【详解】充分性：当时，显然为虚数，则“”是“复数为虚数”的充分条件； 必要性：复数为虚数，则必定，则“”是“复数为虚数”的必要条件， 综上所述，“”是“复数为虚数”的充分必要条件. 故选：C. 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 ． 【答案】共轭 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数的代数形式 （a、）称为它的代数形式，其中的实数a与b分别叫做该复数的 和 .复数的实部记作，复数的虚部记作. 【答案】 实部 虚部 【详解】略 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 【答案】 【分析】根据复数的概念，列出方程组，求得，进而验证，即可求解. 【详解】由题意知，可得，解得， 当时，可得，此时满足， 所以实数x的取值范围. 【核心考点三 求复数的实部与虚部】 【例1】（2024·山东·一模）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算即得. 【详解】由复数的实部和虚部分别为5和，得， 所以. 故选：B 【例2】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 【例3】（24-25高二上·北京平谷·期中）复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数虚部定义可得答案. 【详解】由题可得的虚部为. 故答案为： 【例4】（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【答案】 【分析】根据复数的概念计算即可. 【详解】根据题意可知的实部和虚部分别为，所以. 故答案为： 【例5】（22-23高一·全国·课堂例题）求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)实部为，虚部为 (2)实部为，虚部为 (3)实部为，虚部 【分析】根据复数的实部和虚部的知识求得正确答案. 【详解】（1）的实部为，虚部为. （2）的实部为，虚部为. （3）的实部为，虚部. 【核心考点四 复数的相等】 【例1】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 【例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【分析】根据给定条件，利用复数相等求出即可得解. 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ . 【答案】 【解析】略 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】 【分析】由已知结合复数相等的条件即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 【核心考点五 复数的分类及辨析】 【例1】（22-23高二下·陕西商洛·阶段练习）如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 【答案】C 【分析】根据题意，结合实数与复数的分类，即可求解. 【详解】根据实数的分类，可得①中应填入无理数；根据复数的分类，可得②中应填入虚数. 故选：C. 【例2】（2024高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是 ； （2）当时，复数叫做 ； （3）当且时，叫做 ； （4）当且仅当时，z就是实数 . 【答案】 实数 虚数 纯虚数 0 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）请将复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用下图表示，并填在合适的空间. 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）复数i，求实数的值. 【答案】 【分析】 由复数中的实数才能比较大小可以确定虚部的值为，进而求解即可. 【详解】 由已知可得：， 解得：. 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去. 所以：的值为 【核心考点六 已知复数的类型求参数】 【例1】（24-25高二上·四川南充·期中）已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据复数为纯虚数求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，即 所以若为纯虚数不一定得到，故充分性不成立； 由一定能得到为纯虚数，故必要性成立； 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B 【例2】（2023·四川·模拟预测）设复数（，i是虚数单位），若是虚数，则（    ） A．且 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据复数的定义即可求得. 【详解】因为是虚数，则，解得且. 故选：A 【例3】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【分析】根据纯虚数的定义列出方程组，解出a的值即可. 【详解】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 【例4】（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】1 【分析】利用纯虚数的定义直接求出值. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：1 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由虚部为0，求解的值； （2）由虚部不为0求解值； （3）由实部为0且虚部不为0，求解值. 【详解】（1）若为实数，则，即； （2）若为虚数，则，即； （3）若为纯虚数，则且，即. 【核心考点七 根据相等条件求参数】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则即可判断结果． 【详解】，故A    正确； ，故B错误； 若x，，若有；若有； 故是的充分不必要条件，C错误； 若，取则，故D错 故选：A 【例2】（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由复数相等的条件列方程组求解出，从而可求出的值. 【详解】由题意得， 所以，得， 所以. 故选：A 【例3】（23-24高一下·福建龙岩·期末）若虚数i是方程的一个根，则 . 【答案】1 【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解. 【详解】因为i是方程的一个根， 所以，即， 得，解得， 所以. 故答案为：1 【例4】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：① ；②若，则 . 【答案】 -1 【分析】①根据规定可得，②设，根据复数相等解方程即可 【详解】根据规定知； 设， 得，或， 所以 故答案为：-1； 【例5】（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 【答案】 【分析】由复数相等可知实部与虚部分别相等，由此构造方程组求得结果. 【详解】因为， 所以，解得：. 【核心考点八 复数的坐标表示】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 【例2】（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出复数的实部、虚部可得答案. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：B. 【例3】．（2025高三·全国·专题练习）复数的几何意义 复数与复平面内的点 及平面向量是一一对应关系. 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复平面：与全体复数建立一一对应关系的平叫作 ，x轴叫作 ，y轴叫作 ，实轴上的点都表示 ．除 外，虚轴上的点都表示纯虚数． 【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数 原点 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【答案】 【分析】利用已知复数写出对应点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在复平面内，复数、所对应的点的坐标分别为、， 所以. 【核心考点九 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（22-23高二下·云南大理·期末）已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果. 【详解】由于复数和对应的点分别为，， 因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为. 故选：D. 【例2】（21-22高二下·青海·期末）复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解. 【详解】解：化简可得：复数， 因为其对应的点在第三象限内，所以，解得． 故选：C. 【例3】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【答案】1 【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案. 【详解】由题意可得解得．因为，所以． 故答案为: 1 【例4】（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据复数的几何意义分析即可. 【详解】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限. 故答案为：二 【例5】（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知复数． (1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可； （2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可 【详解】（1）由题意可得，                  解得； 的取值范围为； （2）由题意可得，                    解得． 的值为． 【核心考点十 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 代入直线，可得，即， 则，在复平面内对应的点为. 故选：C 【例2】（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【答案】D 【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得，则点P不在实轴上，则C错误，D正确， 若，则A错误，若，则其在虚轴上，则B错误， 故选：D. 【例3】（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 所以，解得或. 故答案为：. 【例4】（22-23高一·全国·单元测试）实轴上的点表示实数 ；虚轴上的点表示纯虚数 . 【答案】 2 【分析】根据复平面上点，直接写出对应的复数即可. 【详解】由复平面上的点，即表示实数2；点，即表示纯虚数. 故答案为：2， 【例5】（21-22高一·湖南·课后作业）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件． 【答案】a＝0或2 【分析】y轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上， ∴，解得或. 【核心考点十一 求复数的模】 【例1】（24-25高三上·四川成都·期中）（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据复数模长公式求出答案. 【详解】. 故选：D 【例2】（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的模的定义即可求解. 【详解】因为，，所以，解得， 因为，所以. 故选：D, 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知，且，若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】先证明，再给出，作为的例子即可. 【详解】我们有. 当，时，有，，. 所以的最大值是. 故答案为：. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先证明，再给出作为的例子即可. 【详解】我们有. 而当时，有，. 所以的最大值为. 故答案为：. 【例5】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】借助模长定义计算即可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【核心考点十二 由复数模求参数】 【例1】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断. 【详解】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例2】（2024·黑龙江·三模）已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ） A．2 B．1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，根据可得答案. 【详解】令，则， ， ， 因为，所以，所以. 故选：D. 【例3】（23-24高一下·北京·期末）已知复数z满足，，则的虚部为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据复数的模的计算公式求出即可得解. 【详解】设， 由，， 得，解得， 所以的虚部为. 故答案为：. 【例4】（23-24高一下·北京东城·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由复数概念和复数的模即可求解. 【详解】为纯虚数，设，， ，解得或，即或. 故答案为：（答案不唯一） 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）已知复数、满足，且，，求实数的值． 【答案】． 【分析】代入再由复数的模计算可得答案. 【详解】，， 所以， 所以． 【核心考点十三 与复数模相关的轨迹图形)问题】 【例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由复数的几何意义即可求解. 【详解】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中， 所以的最小值为. 故选：B. 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数模的定义计算即可. 【详解】在复平面内对应的点为，则， ，即，所以有. 故选：D 【例3】（22-23高一下·全国·课后作业）定义运算，若复数满足的模等于，则复数对应的点的轨迹方程为 ． 【答案】． 【分析】根据题意并结合复数的模的运算，化简即可求出. 【详解】由题意知，则它的模为，解得. 故答案为： 【例4】（22-23高二下·上海黄浦·期中）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，设复数， 因为，可得，整理得， 即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为. 故答案为：. 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2). 【答案】(1)以原点O为圆心，4为半径的圆. (2)表示以原点O为圆心，2和4为半径的圆所夹的圆环但是不包括环的边界. 【分析】根据复数的几何意义即可得到答案. 【详解】（1）表明向量的模，所以满足条件的点Z的集合就是以原点O为圆心，4为半径的圆. （2）表明向量的模，所以满足条件的点Z的集合就是以原点O为圆心，4为半径的圆的内部. 表明向量的模，所以满足条件的点的集合就是以原点O为圆心，2为半径的圆的外部. 因此表示以原点O为圆心，2和4为半径的圆所夹的圆环但是不包括环的边界. 【变式训练1 虚数单位及及其性质】 1．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据的次方运算的周期性可得答案. 【详解】， 故选：A 2．（21-22高三上·江苏南通·期末）已知复数z满足，则z＝（ ） A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i 【答案】C 【分析】将中的 ，根据 化简，即可得答案. 【详解】因为， 故由可得：，即， 故选：C. 3．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】利用的性质计算可得答案. 【详解】∵，∴， 则，故原式． 故答案为：. 4．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习） . 【答案】0 【分析】利用虚数单位的性质进行计算即可. 【详解】， 故答案为：0. 5．（21-22高一·湖南·课后作业）化简：． 【答案】 【分析】根据求解. 【详解】因为， 所以， ， ， . 【变式训练2 复数的基本概念】 1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 【答案】B 【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【分析】由复数的基本概念求解即可. 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 4．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 5．（22-23高一·全国·课后作业）设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值． 【答案】，． 【分析】将实数代入方程后，左边整理成复数的标准形式，然后根据复数相等的条件，让实部和虚部均为0， 即可求出结果. 【详解】因为实数是方程的一个根，所以， 即，因为，， 所以，解得，，因为为锐角，所以 所以， 【变式训练3 求复数的实部与虚部】 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 2．（2024高一下·全国·专题练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】B 【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解. 【详解】复数的实部为，虚部为， 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）复数的定义 （1）形如（、）的数称为一个 .全体复数组成的集合叫做 ，用字母表示，即； （2）复数为0的约定：（、） ； （3）复数相等的约定：复数（a、b、c、） . 【答案】 复数 复数集 且 且 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列说法正确的是 .（填序号） ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数（），若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是（a、）为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可知自然数是有理数，也是复数，故①错误； 对于②：的实部为3，虚部为4，故②错误； 对于③：对于复数（），若，则z是实数； 若且，则z是纯虚数；故③错误； 对于④：若，则，可知为纯虚数，即充分性成立； 若（a、）为纯虚数， 则，解得，即必要性成立； 所以是（a、）为纯虚数的充要条件，故④正确； 故答案为：④. 5．（21-22高二下·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，然后计算，根据纯虚数的概念即可求解. （2）因为虚数无法比较大小，所以，由题意可知，为实数，令的实部大于0，虚部为0，即可求解. 【详解】（1）化简，， ， 因为为纯虚数， 则，解得 （2）因为， 则，解得. 【变式训练4 复数的相等】 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数，（，为虚数单位）， 因为，可得，则，解得. 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【答案】1，1 【分析】根据复数相等的充要条件，即可求解. 【详解】根据可得且， 解得或者， 由于，所以， 故答案为：1，1 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于x的方程有实根，求实数a的值 . 【答案】或或 【分析】将原方程化为形式，利用复数为相等即可求解. 【详解】原方程可化为. 设原方程的实根为，所以， ∴，解得或. 所以实数a的值为0或或， 故答案为：0或或. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 【答案】 【分析】设是方程的一个实根，根据复数相等结论化简方程，可求. 【详解】设，为原方程的根， 则原方程化为，则, 解得或 故当时，方程至少有一个实根. 【变式训练5 复数的分类及辨析】 1．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（   ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断. 【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立， 故选：C. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 4．（22-23高二·全国·单元测试）给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是 .（填序号） 【答案】③④/④③ 【分析】根据纯虚数的定义和性质，结合特例法和反证法逐一判断即可. 【详解】①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确； ②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确； ③：设，由且， 当时，有，所以， 当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确； ④：设，设，如果， 则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确， 故答案为：③④ 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【答案】见解析 【分析】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案． 【详解】、0是实数，的实部为，虚部为0；0的实部与虚部均为0． 、、、是虚数；i为纯虚数. 的实部为，虚部为6；的实部与虚部均为；的实部为，虚部为；的实部为0，虚部为1． 【变式训练6 已知复数的类型求参数】 1．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念列出等式即可求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得 故选：B 2．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 3．（24-25高二上·广西·开学考试）若复数为纯虚数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据复数为纯虚数列式求参即可. 【详解】由复数为纯虚数可得，解得. 故答案为：1. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】若复数是纯虚数，则，解得， 所以实数的值为1. 故答案为：1. 5．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案； （2）由条件可得可得答案. 【详解】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． 【变式训练7 根据相等条件求参数】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 3．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 【答案】3 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 4．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 【答案】0 【分析】 利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得， 解得：或． 【变式训练8 复数的坐标表示】 1．（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由复数的几何意义即可得到点对应的复数，从而得到结果. 【详解】复平面内点所对应复数为，其虚部为. 故选：B 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何含义确定点的坐标，再由向量的坐标运算求得的值即可. 【详解】复数，则，复数，则， 故， 复数对应的点为C，则， 因为，所以，解得. 故选：C． 3．（22-23高三下·重庆·阶段练习）向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【分析】依题意可得，设角的终边过点，即可求出，再求出，，即可求出旋转后对应的，即可求出对应的复数. 【详解】因为向量对应的复数为，则在复平面内复数对应的点为， 设角的终边过点，则，， 所以， 由，所以， ， 将把绕点按逆时针方向旋转得到，则， 所以对应的复数为. 故答案为： 4．（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是 ． 【答案】 【分析】由题意结合点的坐标和中点坐标公式求解点D的坐标即可. 【详解】由题意可得：，，， 设平行四边形ABCD的对角线的交点为，点D的坐标为， 结合中点坐标公式可得： ，解得：，则点D的坐标为， 点D对应的复数是. 故答案为： 5．（23-24高一·上海·课堂例题）求复数与复数在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小． 【答案】 【分析】先求得复数对应的向量的坐标，然后根据复数夹角的求法求得正确答案. 【详解】复数对应向量的坐标为， 复数对应向量的坐标为， 设复数与复数在复平面上所对应的两个向量的夹角为， 则， 由于，所以. 【变式训练9 在各象限内点对应复数的特征】 1．（22-23高一下·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论. 【详解】因为复数对应的点在第四象限，则， 因此，角是第二象限角. 故选：B. 2．（22-23高一下·浙江·阶段练习）设（）在复平面内对应的点为，则“点M在第一象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】 首先求的取值范围，再根据子集关系，判断充分，必要条件. 【详解】根据复数的几何意义可知，若点在第一象限，则， 得，则， 所以“点M在第一象限”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】先求出,,再求出. 【详解】因为复数对应的点为A，对应的点为B， 所以,. 所以. 故答案为： 4．（22-23高二上·广东深圳·期末）复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【详解】（1）是纯虚数， ， ． （2）在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 【变式训练10 实轴、虚轴上点对应的复数】 1．（22-23高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 【答案】B 【分析】由复平面和复数的概念逐项判断. 【详解】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确； B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误； C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确； D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确； 故选：B 2．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）设复数，则在复平面中对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用复数的运算法则进行求解即可 【详解】，对应的点为 故选：A． 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题 3．（22-23高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 . 【答案】或 【分析】由条件可得，解出即可. 【详解】因为复数对应点在虚轴上， 所以，解得或 故答案为：或. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）实数可以和数轴上的点 对应，实数可以用数轴上的点表示. 【答案】一一 【分析】根据复数的几何意义可得答案. 【详解】实数可以和数轴上的点一一对应，实数可以用数轴上的点表示. 故答案为：一一. 5．（22-23高二·全国·课后作业）分别写出“复数z对应的点在实轴上”与“复数z对应的点在虚轴上”的一个充要条件． 【答案】、分别是“复数z对应的点在实轴上”、“复数z对应的点在虚轴上”的充要条件，证明见解析． 【分析】根据复数的几何意义确定题设结论的充要条件，结合充分、必要性的定义证明所给的充要条件即可. 【详解】若复数且，对应坐标为， 1、“复数z对应的点在实轴上” 的充要条件为. 充分性：复数z的虚部，则在实轴上，得证； 必要性：复数z对应的点在实轴上，则对应点纵坐标为0，则复数z的虚部，得证. 综上，是“复数z对应的点在实轴上” 的一个充要条件. 2、“复数z对应的点在虚轴上”的充要条件为. 充分性：复数z的实部，则在虚轴上，得证； 必要性：：复数z对应的点在虚轴上，则对应点横坐标为0，则，得证. 综上，是“复数z对应的点在虚轴上”的一个充要条件. 【变式训练11 求复数的模】 1．（23-24高二下·云南·期末）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据复数的模公式计算即可. 【详解】由，则. 故选：C. 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据复数的模长公式化简可得，即可求解. 【详解】设,则由可得， 化简得，故的实部与虚部的比值为1， 故选：C 3．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 【答案】5 【分析】根据复数模长可得，即可根据虚部和实部定义求解. 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 4．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）设是虚数单位，，则 ． 【答案】 【分析】由虚数的定义及复数模的定义计算即可． 【详解】，所以， 故答案为：． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数和复数满足，，求． 【答案】 【分析】由，则，然后计算即可. 【详解】因为， 所以. 【变式训练12 由复数模求参数】 1．（2024·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，得到，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式计算得出实部. 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 5．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数的模为1，求的值． 【答案】或 【分析】利用复数的模长公式，得到，解出即可. 【详解】的模为1， ，即 ， 或. 【变式训练13 与复数模相关的轨迹图形)问题】 1．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心为，半径为的圆上的点的最值问题，从而得解. 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（2024·湖南益阳·一模）已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据题意结合复数的几何意义分析判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为，即， 故复数在复平面上对应的点的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆. 故选：B. 3．（24-25高三上·全国·自主招生）复数满足，则 . 【答案】10 【分析】说明的轨迹，的几何意义，最大值为：与的距离加上半径，最小值为：与的距离减去半径，即可求解. 【详解】表示复平面内的点，到的距离是1的点的轨迹，是圆， 而的几何意义是复平面内的点到原点的距离， 所以最大值为与的距离加上半径，； 最小值为与的距离减去半径，； 故答案为：10 4．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值. 【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 【答案】(1)表示以对应的点为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 【分析】根据复数模的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； （2）的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 的几何意义表示以复数对应的点与之间的距离， 所以表示以点，为端点的线段的垂直平分线． 1．（2022·江西南昌·模拟预测）复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念，得到，再利用齐次式法化简求值，将变形为，再分子分母同除以，再代入，求得答案. 【详解】由于是纯虚数，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了纯虚数的理解与应用，齐次式法化简求值，属于中档题. 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 3．（22-23高二下·山东淄博·期中）在下列命题中，正确命题的个数是（    ）. ①两个复数不能比较大小； ②复数对应的点在第四象限； ③若是纯虚数，则实数； ④若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据复数，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数，此时，所以①是错误的； 对于②中，复数对应的点坐标为位于第二象限，所以②是错误的； 对于③中，若是纯虚数，则满足，解得， 所以③是正确的； 对于④中，例如，则，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．（21-22高二下·河南郑州·期末）已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，求出的范围，在复平面内对应的点为N在第四象限，求出的范围，再结合充分条件必要条件的定义即可求出答案. 【详解】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，则， ，在复平面内对应的点为N在第四象限，则. 反之，也成立， “点M在第一象限”是“点N在第四象限”的充要条件. 故选：C.. 5．（2024·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【详解】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 6．（21-22高一·全国·课后作业）已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】∵复数的实部为2， ∴，即． 则， 当且仅当，即，时取等号， ∴所求最小值为． 故答案为：． 7．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 【答案】 【分析】利用复数差的几何意义可求的最值. 【详解】因为，所以， ， 复数在复平面上所对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 是以为圆心，为半径的圆上的点到两点间的距离， 到的距离为， 所以，的最大值为. 故答案为：. 8．（22-23高一下·江苏南通·期中）设复数，，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值. 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为： 【点睛】结论点睛：复数的几何意义： （1）复数复平面内的点； （2）复数 平面向量. 9．（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由已知等式模长关系得到，再结合二次函数的性质计算即可； 【详解】设，则， 所以，解得， 所以， 所以的取值范围是为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围. 【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上， 设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和， 即①， ①式平方得，由于，所以，所以， 所以，所以 . 故答案为：. 11．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知m∈R，复数z＝，当m为何值时： （1）z∈R； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数. 【答案】（1）或；（2）且且；（3）或. 【分析】（1）解=0，，即可得解； （2）虚部不为0，则该复数为虚数，则，即可得解； （3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据，，即可得解. 【详解】（1）z∈R，所以=0，， ， 所以，当或时，z∈R； （2）z是虚数，则，， 当且且时，z是虚数； （3）z是纯虚数，，，， 所以或时，z是纯虚数. 【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 【答案】 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由， 得， 所以解得 13．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 14．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）当z为纯虚数时，有，解得. （2）当z在复平面内对应的点在第三象限时， 有，解得， 所以m的取值范围为. 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 【答案】最小值为4． 【分析】方法一，设复数的代数形式，利用模的代数运算公式，利用的取值范围，求模的最小值； 方法二，利用复数模的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题. 【详解】方法一  设，则， 即．． ． 由，得． ，． ． 当时，取得最小值，最小值为4． 方法二  由复数及其模的几何意义知， 满足，即的复数所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 由圆的知识可知的最小值为． 又，所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 复数的概念（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 虚数单位及及其性质 题型二 复数的基本概念 题型三 求复数的实部与虚部 题型四 复数的相等 题型五 复数的分类及辨析 题型六 已知复数的类型求参数 题型七 根据相等条件求参数 题型八 复数的坐标表示 题型九 在各象限内点对应复数的特征 题型十 实轴、虚轴上点对应的复数 题型十一 求复数的模 题型十二 由复数模求参数 题型十三 与复数模相关的轨迹图形)问题 知识点一 数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 知识点二 复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 知识点三 复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 知识点四 复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 知识点五 共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 知识点六 复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【核心考点一 虚数单位及及其性质】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）复数（    ） A．i B． C．1 D． 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）虚数单位i i叫做虚数单位，规定 ；虚数单位可以与实数进行 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）的平方根为 . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）我们知道，方程在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 【核心考点二 复数的基本概念】 【例1】（22-23高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【例2】（21-22高一下·湖北武汉·期末）已知，“”是“复数为虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 ． 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数的代数形式 （a、）称为它的代数形式，其中的实数a与b分别叫做该复数的 和 .复数的实部记作，复数的虚部记作. 【例5】（21-22高一·全国·课后作业）若，且，求实数x的取值范围． 【核心考点三 求复数的实部与虚部】 【例1】（2024·山东·一模）已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【例2】（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【例3】（24-25高二上·北京平谷·期中）复数的虚部为 . 【例4】（24-25高三上·上海·阶段练习）若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为 【例5】（22-23高一·全国·课堂例题）求以下复数的实部和虚部： (1)； (2)； (3)． 【核心考点四 复数的相等】 【例1】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）已知是实数，且，则x+y= 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【核心考点五 复数的分类及辨析】 【例1】（22-23高二下·陕西商洛·阶段练习）如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（    ） A．分数，无理数 B．分数，虚数 C．无理数，虚数 D．小数，虚数 【例2】（2024高二下·湖南·学业考试）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数（a、）： （1）当且仅当时，复数是 ； （2）当时，复数叫做 ； （3）当且时，叫做 ； （4）当且仅当时，z就是实数 . 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）请将复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用下图表示，并填在合适的空间. 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）复数i，求实数的值. 【核心考点六 已知复数的类型求参数】 【例1】（24-25高二上·四川南充·期中）已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例2】（2023·四川·模拟预测）设复数（，i是虚数单位），若是虚数，则（    ） A．且 B．或 C．或 D． 【例3】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【例4】（23-24高一下·北京通州·期中）若复数为纯虚数，则实数 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【核心考点七 根据相等条件求参数】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ）． A．； B．； C．若x，，则的充要条件是； D．若，则． 【例2】（2023·全国·模拟预测）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（23-24高一下·福建龙岩·期末）若虚数i是方程的一个根，则 . 【例4】（23-24高一下·全国·课堂例题）计算：① ；②若，则 . 【例5】（21-22高一下·新疆伊犁·期末）已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值． 【核心考点八 复数的坐标表示】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（2025高三·全国·专题练习）复数的几何意义 复数与复平面内的点 及平面向量是一一对应关系. 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复平面：与全体复数建立一一对应关系的平叫作 ，x轴叫作 ，y轴叫作 ，实轴上的点都表示 ．除 外，虚轴上的点都表示纯虚数． 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，由原点和、所对应的点围成的三角形面积是多少？ 【核心考点九 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（22-23高二下·云南大理·期末）已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（    ） A．0 B．1 C． D． 【例2】（21-22高二下·青海·期末）复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 【例3】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数 ． 【例4】（22-23高一下·福建宁德·期中）已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第 象限． 【例5】（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知复数． (1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值． 【核心考点十 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（    ） A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴 【例2】（22-23高一下·北京通州·期末）已知是复平面内表示复数的点，若复数是虚数，则点P（    ） A．在虚轴上 B．不在虚轴上 C．在实轴上 D．不在实轴上 【例3】（22-23高一下·全国·单元测试）若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【例4】（22-23高一·全国·单元测试）实轴上的点表示实数 ；虚轴上的点表示纯虚数 . 【例5】（21-22高一·湖南·课后作业）若复数对应的点在虚轴上，求实数应满足的条件． 【核心考点十一 求复数的模】 【例1】（24-25高三上·四川成都·期中）（    ） A．2 B． C．5 D． 【例2】（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知，且，若，则的最大值是 . 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知复数满足，则的最大值为 . 【例5】（23-24高一下·全国·课堂例题）求下列复数的模： (1)； (2)； (3)； (4)． 【核心考点十二 由复数模求参数】 【例1】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2024·黑龙江·三模）已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（    ） A．2 B．1 C．1 D．2 【例3】（23-24高一下·北京·期末）已知复数z满足，，则的虚部为 ． 【例4】（23-24高一下·北京东城·期末）已知纯虚数z满足，则z可以是 ． 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）已知复数、满足，且，，求实数的值． 【核心考点十三 与复数模相关的轨迹图形)问题】 【例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23高一下·全国·课后作业）定义运算，若复数满足的模等于，则复数对应的点的轨迹方程为 ． 【例4】（22-23高二下·上海黄浦·期中）设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为 . 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知复数z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)； (2). 【变式训练1 虚数单位及及其性质】 1．（22-23高一下·江苏徐州·期中）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（21-22高三上·江苏南通·期末）已知复数z满足，则z＝（ ） A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i 3．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习） ． 4．（22-23高一下·河北张家口·阶段练习） . 5．（21-22高一·湖南·课后作业）化简：． 【变式训练2 复数的基本概念】 1．（2024·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．0或2 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 4．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 5．（22-23高一·全国·课后作业）设方程中，为锐角，若实数是方程的一个根，求角和实数的值． 【变式训练3 求复数的实部与虚部】 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）复数的定义 （1）形如（、）的数称为一个 .全体复数组成的集合叫做 ，用字母表示，即； （2）复数为0的约定：（、） ； （3）复数相等的约定：复数（a、b、c、） . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列说法正确的是 .（填序号） ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数（），若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是（a、）为纯虚数的充要条件. 5．（21-22高二下·河南商丘·期中）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值. 【变式训练4 复数的相等】 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 2．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数，（，为虚数单位），且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知关于x的方程有实根，求实数a的值 . 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m为何值时，方程至少有一个实根. 【变式训练5 复数的分类及辨析】 1．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（   ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3．（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 4．（22-23高二·全国·单元测试）给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是 .（填序号） 5．（23-24高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和虚部分别是什么？ 、、、i、0、． 【变式训练6 已知复数的类型求参数】 1．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 3．（24-25高二上·广西·开学考试）若复数为纯虚数，则实数 . 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 5．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【变式训练7 根据相等条件求参数】 1．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 2．（22-23高一下·山西阳泉·期末）已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 4．（22-23高一下·西藏拉萨·期末）已知，i为虚数单位，且，则 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【变式训练8 复数的坐标表示】 1．（23-24高一下·北京通州·期末）复平面内点所对应复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在复平面内，O为坐标原点，复数对应的点为A，复数对应的点为B，复数对应的点为C，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·重庆·阶段练习）向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）． 4．（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是 ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）求复数与复数在复平面上所对应的两个向量的夹角的大小． 【变式训练9 在各象限内点对应复数的特征】 1．（22-23高一下·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（22-23高一下·浙江·阶段练习）设（）在复平面内对应的点为，则“点M在第一象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 3．（21-22高一下·上海黄浦·阶段练习）在复平面内，复数对应的点为A，对应的点为B，则向量的坐标是 . 4．（22-23高二上·广东深圳·期末）复数在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为 ． 5．（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知复数，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【变式训练10 实轴、虚轴上点对应的复数】 1．（22-23高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．实轴上的点对应的复数为实数 B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数 C．表示实数的点都在实轴上 D．表示纯虚数的点都在虚轴上 2．（22-23高三上·重庆渝中·阶段练习）设复数，则在复平面中对应的点为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为 . 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）实数可以和数轴上的点 对应，实数可以用数轴上的点表示. 5．（22-23高二·全国·课后作业）分别写出“复数z对应的点在实轴上”与“复数z对应的点在虚轴上”的一个充要条件． 【变式训练11 求复数的模】 1．（23-24高二下·云南·期末）已知i为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3．（2024·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 4．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）设是虚数单位，，则 ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）若复数和复数满足，，求． 【变式训练12 由复数模求参数】 1．（2024·河北·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）设复数的模为1，求的值． 【变式训练13 与复数模相关的轨迹图形)问题】 1．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南益阳·一模）已知复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 3．（24-25高三上·全国·自主招生）复数满足，则 . 4．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形． (1)； (2)． 1．（2022·江西南昌·模拟预测）复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．（22-23高二下·山东淄博·期中）在下列命题中，正确命题的个数是（    ）. ①两个复数不能比较大小； ②复数对应的点在第四象限； ③若是纯虚数，则实数； ④若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（21-22高二下·河南郑州·期末）已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·四川攀枝花·三模）已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（21-22高一·全国·课后作业）已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 7．（2024高二下·北京·竞赛）设复数满足，令，则的最大值是 . 8．（22-23高一下·江苏南通·期中）设复数，，满足，，，则 ． 9．（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ． 10．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 . 11．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知m∈R，复数z＝，当m为何值时： （1）z∈R； （2）z是虚数； （3）z是纯虚数. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 13．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 14．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知是虚数单位，复数，. (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围. 15．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$