第02讲 复数的四则运算（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第02讲 复数的四则运算（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 根据复数的加减运算结果求参数 题型四 根据复数加减运算结果求复数特征 题型五 复数代数形式的乘法运算 题型六 复数的乘方 题型七 复数范围内方程的根 题型八 共轭复数的概念及计算 题型九 复数的除法运算 题型十 复数的平方根与立方根 题型十一 根据复数乘法运算结果求复数的特征 题型十二 求共轭复数的复数特征 题型十三 复数的三角表示 知识点一 复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 知识点二 复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 知识点三 复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意,,∈C，有 ①交换律：=； ②结合律：()=()； ③分配律：(+)=+. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=， =，=. 知识点四 复数的除法运算 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (1)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 知识点五 复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 知识点六 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【核心考点一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2024高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知复数，，则 . 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复数的减法法则复数减法是 的逆运算，设，（）是任意两个复数，则 ，两个复数的差还是一个 ． 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【核心考点二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（2023·全国·三模）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【例2】（22-23高三·黑龙江牡丹江·课后作业）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）一些常用的结论 在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为 形. （2）若，则四边形为 形. （3）若，则四边形为 形. （4）若且，则四边形为 形. 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）从复数减法的几何意义理解：表示什么？ 【核心考点三 根据复数的加减运算结果求参数】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）若|z|+z=3+i，则z=（    ） A．1－i B．1+i C．+i D．－+i 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． 【例5】（24-25高一·上海·随堂练习）在①，②为纯虚数，③为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若_____，求实数的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） 【核心考点四 根据复数加减运算结果求复数特征】 【例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 【例4】（22-23高二下·河北承德·阶段练习）下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是 . 【例5】（22-23高二下·上海宝山·期末）设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 【核心考点五 复数代数形式的乘法运算】 【例1】（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例3】（24-25高三上·上海长宁·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是 . 【例4】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若复数满足，则 . 【例5】（23-24高一下·河南郑州·期末）（1）； （2）. 【核心考点六 复数的乘方】 【例1】（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（2024·陕西西安·二模）（ ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高二下·天津河东·期末）计算（i为虚数单位）的值为 . 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复数的乘方运算 对任何复数，，及正整数m，n，有 ， ， ，规定．特别地， ， ， ，其中． 【例5】（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【核心考点七 复数范围内方程的根】 【例1】（24-25高三上·湖北·期中）已知为实数，是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【例2】（2024·浙江台州·一模）若复数是方程的一个虚根，则（   ） A． B．2 C． D． 【例3】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）在复数范围内，方程的虚数根是 ( 写出一个即可) 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）实系数一元二次方程（a、b、，）中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根（二重根）； （3）方程有一对共轭虚根． 在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ． 【例5】（24-25高二上·重庆·阶段练习）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【核心考点八 共轭复数的概念及计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【例2】（2024高三·全国·专题练习）若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024高三·全国·专题练习）共轭复数：如果两个复数的实部 ，而虚部 ，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示． 【例4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，则 . 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. (1)求复数ω的共轭复数； (2)求复数ω的模. 【核心考点九 复数的除法运算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D．i 【例2】（2024高三·全国·专题练习）复数（i是虚数单位）的虚部是（   ） A．1 B． C．2 D． 【例3】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是虚数单位，复数 . 【例4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若，为虚数单位，则 ． 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【核心考点十 复数的平方根与立方根】 【例1】（22-23高一下·上海·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 【例4】（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【核心考点十一 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 【例1】（2023·陕西·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（21-22高一下·湖南长沙·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 【例4】（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【例5】（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【核心考点十二 求共轭复数的复数特征】 【例1】（22-23高一下·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【例2】（2021·山西临汾·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【例4】．（22-23高一下·上海宝山·期末）设复数，则的共轭复数的虚部是 ． 【例5】（21-22高一下·重庆·期中）已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 【核心考点十三 复数的三角表示】 【例1】（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 【例3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）复数的辐角 （1）复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的，因此确定了向量也就确定了复数z，因此复数z可以被它的模和以原点为顶点、x轴的正半轴为始边、射线为终边的角唯一确定，这个角叫做复数z的辐角，记作. （2）规定：复数0的辐角的大小是 . 【例5】（24-25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【变式训练1 复数加减法的代数运算】 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）i是虚数单位，若，则 . 4．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知复数，，则 ． 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若复数z满足，求z的模. 【变式训练2 复数加减法几何意义的运用】 1．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 3．（23-24高一下·全国·课前预习）复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 ． 4．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知，，则的取值范围为 . 5．（22-23高一·全国·随堂练习）类比复数加法的几何意义，请写出复数减法的几何意义． 【变式训练3 根据复数的加减运算结果求参数】 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西·模拟预测）若复数满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 4．（21-22高一下·上海徐汇·期末）在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是 ． 5．（22-23高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，为实数，若，求 【变式训练4 根据复数加减运算结果求复数特征】 1．（2023·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23高二下·广东中山·阶段练习）已知复数，若复数满足，则的最大值为 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝ ，z2＝ ． 5．（22-23高一下·全国·课后作业）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数. 【变式训练5 复数代数形式的乘法运算】 1．（24-25高三上·湖北·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知是虚数单位，则复数的虚部是 ． 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知复数为实数，则实数 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）用复数乘法公式验证：若，则． 【变式训练6 复数的乘方】 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计篎（    ） A．－1 B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）计算： ． 4．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知复数，则的实部为 . 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 【变式训练7 复数范围内方程的根】 1．（2024高三·全国·专题练习）复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．1或 2．（2024高三·全国·专题练习）设，是方程在复数范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）若有两个复数，满足，则 . 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 【变式训练8 共轭复数的概念及计算】 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）复数 ，则    ． 4．（2024·贵州黔南·一模）已知是虚数单位，复数满足，则 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如果复数z满足，求． 【变式训练9 复数的除法运算】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 2．（2024高三·全国·专题练习）若复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若，则 ． 4．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知复数满足，则 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练10 复数的平方根与立方根】 1．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2021·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 4．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ． 5．（21-22高一上·浙江台州·阶段练习）（1）在复数集C中解下列方程：； （2）已知，求. 【变式训练11 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 1．（2022·江西南昌·三模）若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题： ①整数都是高斯整数； ②两个高斯整数的乘积也是高斯整数； ③模为3的非纯虚数可能是高斯整数； ④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数 其中正确的命题有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④ 2．（2022高一·全国·专题练习）设z的共轭复数是，若，，则（    ） A． B． C． D．或 3．（22-23高一下·上海静安·期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 . 4．（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 5．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）已知复数，求及． 【变式训练12 求共轭复数的复数特征】 1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）定义：实部相同而虚部互为相反数的一对复数，叫做 ，也称这两个复数互为共轭.复数z的共轭复数用表示，也就是当（a、）时， . 共轭复数的性质： （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ① ；② ；③ （）； ④（）；⑤；⑥ ；⑦若Z为纯虚数 . 4．（2022·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则 ，复数的共轭复数在复平面内随对应的点位于第 象限． 5．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数，，. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求. 【变式训练13 复数的三角表示】 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 2．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 4．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值为，虚部为，则 . 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 1．（22-23高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．（22-23高三上·安徽·阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）复数满足（为虚数单位），则的值为（ ） A．5 B． C． D． 5．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知复数，的模长为1，且，则 . 8．（24-25高三上·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 9．（22-23高一·全国·课后作业）所有的三次方根为 ． 10．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 11．（23-24高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 12．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 13．（22-23高二·全国·课后作业）已知复数，. （1）若，求a的值； （2）若z是纯虚数，求a的值； （3）若，求实数b的取值范围. 14．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知为纯虚数. (1)求； (2)求. 15．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 复数的四则运算（6个知识点+13大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 根据复数的加减运算结果求参数 题型四 根据复数加减运算结果求复数特征 题型五 复数代数形式的乘法运算 题型六 复数的乘方 题型七 复数范围内方程的根 题型八 共轭复数的概念及计算 题型九 复数的除法运算 题型十 复数的平方根与立方根 题型十一 根据复数乘法运算结果求复数的特征 题型十二 求共轭复数的复数特征 题型十三 复数的三角表示 知识点一 复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 知识点二 复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 知识点三 复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意,,∈C，有 ①交换律：=； ②结合律：()=()； ③分配律：(+)=+. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=， =，=. 知识点四 复数的除法运算 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (1)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 知识点五 复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 知识点六 复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【核心考点一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2024高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的减法法则计算即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 【例2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的加减运算即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 【例3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知复数，，则 . 【答案】 【分析】求出复数的共轭复数，然后用复数的运算法则求得的值. 【详解】， . 故答案为：. 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复数的减法法则复数减法是 的逆运算，设，（）是任意两个复数，则 ，两个复数的差还是一个 ． 【答案】 加法 复数 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法运算求得正确答案. （2）根据复数的加法、减法运算求得正确答案. 【详解】（1） （2） 【核心考点二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（2023·全国·三模）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由复数减法的几何意义得即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 【例2】（22-23高三·黑龙江牡丹江·课后作业）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 【详解】∵ ， ∴ 对应的复数为：， ∴点对应的复数为． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）一些常用的结论 在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为 形. （2）若，则四边形为 形. （3）若，则四边形为 形. （4）若且，则四边形为 形. 【答案】 平行四边 矩 菱 正方 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【答案】 平行四边形 三角形 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）从复数减法的几何意义理解：表示什么？ 【答案】答案见解析 【详解】设在复平面上，复数对应的点分别为， 则表示与两点间的距离． 【核心考点三 根据复数的加减运算结果求参数】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）若|z|+z=3+i，则z=（    ） A．1－i B．1+i C．+i D．－+i 【答案】C 【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+ x+yi=3+i，从而求出答案. 【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)， 依题意有+x+yi=3+i， 因此解得故z=+i. 故选：C. 【例2】（22-23高二·全国·课后作业）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可. 【详解】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0， 所以于是 故. 故选：D. 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解. 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 【例5】（24-25高一·上海·随堂练习）在①，②为纯虚数，③为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题． 已知复数（为虚数单位），为的共轭复数，若_____，求实数的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） 【答案】答案见解析 【分析】若选①：利用共轭复数的定义列式求解即可；若选②：利用纯虚数的定义列式求解即可；若选③：利用实数的定义列式求解即可； 【详解】若选择①， 因为， 所以， 又，所以， 即，解得或， 若选择②， 因为为纯虚数，所以，解得， 若选择③， 因为为实数，所以，解得或． 【核心考点四 根据复数加减运算结果求复数特征】 【例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【详解】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B 【例2】（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【详解】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： 【例3】（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式直接求解即可. 【详解】解：由题意得， 则， 故答案为：. 【例4】（22-23高二下·河北承德·阶段练习）下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】利用复数基本概念和运算对①②③④逐一分析判断即可. 【详解】①实数与虚数不能比较大小，故错误； ②例如，，是实数，但和不是共轭复数，故错误； ③当，时，，所以时，不一定，故错误； ④若为纯虚数，则，故正确. 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和运算，属于基础题. 【例5】（22-23高二下·上海宝山·期末）设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】(1)把给定值代入方程，利用配方法解方程即得； (2)设出复数a的代数形式并代入方程，化简整理，借助复数为0列式，结合进行分析求解即得. 【详解】（1）若，，，则原方程为， 即，解得， 所以复数； （2）由已知可得，原方程为， 设，且方程的实根为， 而，即， 又，整理得， 因，从而得， 若，则，解得， 当时，方程无实数解，当时，方程有实数解， 于是得， 若，则由可知：或2， 由方程知：，则有，代入得：，解得， 又因，即得，于是有， 综上，复数或. 【核心考点五 复数代数形式的乘法运算】 【例1】（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，因此，复数的虚部为. 故选：D. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用复数乘法运算化简复数，然后利用纯虚数的概念求解参数即可. 【详解】复数， 因为复数是纯虚数，所以解得. 故选：C． 【例3】（24-25高三上·上海长宁·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是 . 【答案】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 因此，复数在复平面内对应的点的坐标是. 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·上海嘉定·期中）若复数满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】由两边乘以，得， 即，所以， 所以. 故答案为： 【例5】（23-24高一下·河南郑州·期末）（1）； （2）. 【答案】（1）；（5）. 【分析】（1）利用复数加减法的代数运算求解即得. （2）利用复数代数形式的乘法计算即得. 【详解】（1）. （2）. 【核心考点六 复数的乘方】 【例1】（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知复数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解. 【详解】复数，所以. 故选：A. 【例2】（2024·陕西西安·二模）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用复数的四则运算，及模的概念计算即可. 【详解】. 故选：A. 【例3】（23-24高二下·天津河东·期末）计算（i为虚数单位）的值为 . 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算计算即得. 【详解】. 故答案为： 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）复数的乘方运算 对任何复数，，及正整数m，n，有 ， ， ，规定．特别地， ， ， ，其中． 【答案】 1 【分析】略 【详解】略 故答案为：；；；；；；1 【例5】（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据复数的代数形式的乘法与乘方运算化简得解； （2）根据（1）可得，利用周期可求解. 【详解】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 【核心考点七 复数范围内方程的根】 【例1】（24-25高三上·湖北·期中）已知为实数，是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由题意，根据复数的乘法运算和相等复数的概念计算可得，进而求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，即. 所以且，解得， 所以. 故选：D 【例2】（2024·浙江台州·一模）若复数是方程的一个虚根，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据“方程的虚根成对出现，且互为共轭”，同时利用根与系数的关系，即可得到答案. 【详解】因为方程的虚根成对出现，且互为共轭，所以一个根为时，另一个根必然为， 所以由根与系数的关系，. 故选：B. 【例3】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）在复数范围内，方程的虚数根是 ( 写出一个即可) 【答案】（答案不唯一，或） 【分析】将方程因式分解，结合求根公式即可求. 【详解】方程可化为， 解得或， 故答案为： 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）实系数一元二次方程（a、b、，）中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根（二重根）； （3）方程有一对共轭虚根． 在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】根据韦达定理可得， 故答案为：， 【点睛】 【例5】（24-25高二上·重庆·阶段练习）代数基本定理：任何一个次复系数多项式方程至少有一个复根.由此可得如下推论： 推论一：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积； 推论二：一元次多项式方程有个复数根，最多有个不同的根.即一元一次方程最多有1个实根，一元二次方程最多有2个实根等. 推论三：若一个n次方程有不少于个不同的根，则必有各项的系数均为. 已知.请利用代数基本定理及其推论解决以下问题： (1)求的复根； (2)若，，使得关于x的方程至少有四个不同的实根，求的值； (3)若的图像上有四个不同的点，以此为顶点构成菱形，设，，求代数式的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简该方程后借助因式分解结合求根公式计算即可得； （2）化简方程后借助推论三计算即可得； （3）设出中点，代入计算后结合推论三可得点坐标，结合体型菱形对角线垂直计算即可得解. 【详解】（1）由题意，，即，所以， 所以或，对，有， 即复根有. （2）由题意，，化简得，， 由推论三：该方程的解个数多于方程最高次数，得，解得. （3）在菱形中，与互相垂直平分，设中点， 由得，所以， 即， 化简得：， 由点是的图象上的四个不同的点，故该关于的方程有四个不同的解， 故，解得，故， 又，故 由菱形，可得， 所以， 故． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于对推论三的理解与运用，从而结合题意得到中点的坐标. 【核心考点八 共轭复数的概念及计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用复数的运算求解，结合共轭复数的概念计算结果即可. 【详解】解：由题设有，故， 故. 故选：D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法法则计算得到，然后根据共轭复数的定义判断即可. 【详解】，则，故复数z的共轭复数为． 故选：B. 【例3】（2024高三·全国·专题练习）共轭复数：如果两个复数的实部 ，而虚部 ，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用 表示． 【答案】 相等 互为相反数 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 【例5】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知， 其中i为虚数单位，且，复数的虚部减去它的实部所得的差等于. (1)求复数ω的共轭复数； (2)求复数ω的模. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算规则化简复数，再结合共轭复数概念计算；（2）根据复数模长公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以 所以ω的实部为，虚部为. 由已知得 ，所以解得 又，所以即，则. （2）==. 【核心考点九 复数的除法运算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D．i 【答案】C 【分析】根据复数除法的运算性质进行求解即可. 【详解】． 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）复数（i是虚数单位）的虚部是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】化简复数即可得到虚部. 【详解】由题意可知，，所以复数的虚部为1． 故选：A. 【例3】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知是虚数单位，复数 . 【答案】 【分析】根据复数的除法计算出结果. 【详解】， 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）若，为虚数单位，则 ． 【答案】1 【分析】根据复数的四则运算可得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 故答案为：1 【例5】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 【核心考点十 复数的平方根与立方根】 【例1】（22-23高一下·上海·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项，逐个进行验证即可得到答案. 【详解】显然0是它的一个解，不是它的解； 由于，； 所以也是它的解； 故选：C. 【例2】（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 【例3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】或 【分析】利用求根公式计算. 【详解】， 或． 故答案为：或. 【例4】（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【详解】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【答案】–1的立方根为–1，，，8的立方根为2，，． 【分析】求出1的立方根，后变形方程，与，对照，整体换元，求出–1，8的立方根即可. 【详解】令，则， 解得， 则（舍去），， 解得， 不妨设，为的另一个非实数立方根. 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此–1的立方根为–1，，； 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此8的立方根为2，，． 【核心考点十一 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 【例1】（2023·陕西·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算求得z，然后根据复数与对应点的关系，可得结果. 【详解】因为， 所以复数z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 【例2】（21-22高一下·湖南长沙·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据虚数的乘法运算法则和实部虚部的定义即可得答案. 【详解】解：由题意得： 其根据实部虚部的定义可知实部为1，虚部为2 故选：A 【例3】（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【例4】（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 【例5】（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【详解】（1）已知，则， 由于，得，解得： （2）由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 【核心考点十二 求共轭复数的复数特征】 【例1】（22-23高一下·四川内江·期末）设复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（    ） A．一象限 B．二象限 C．三象限 D．四象限 【答案】A 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】由题意可知，复数的共轭复数为， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 【例2】（2021·山西临汾·模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案； 【详解】 ， 复数的虚部是， 故选：C. 【例3】（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是 . 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 【例4】．（22-23高一下·上海宝山·期末）设复数，则的共轭复数的虚部是 ． 【答案】 【分析】根据题意，计算出复数的代数形式，即可求解. 【详解】因, 所以，因此的共轭复数的虚部是. 故答案为：. 【例5】（21-22高一下·重庆·期中）已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据向量除法规则去求的值； （2）先求得a的值，再去求的值. 【详解】（1） （2）因为是纯虚数 所以，，所以， 所以： 【核心考点十三 复数的三角表示】 【例1】（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 【例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】把代入欧拉公式即可。 【详解】. 故选：B 【例3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）复数的辐角 （1）复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量是一一对应的，因此确定了向量也就确定了复数z，因此复数z可以被它的模和以原点为顶点、x轴的正半轴为始边、射线为终边的角唯一确定，这个角叫做复数z的辐角，记作. （2）规定：复数0的辐角的大小是 . 【答案】上的任意值 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高二上·上海·期中）已知i为虚数单位．设，复数． (1)若的实部与虚部相等，求的大小； (2)已知，若是方程的一个虚根，求p与q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由实部与虚部相等建立等量关系，结合角的范围计算可得结果； （2）代入可得复数，将复数代入方程，根据方程建立新的复数的实部与虚部求解可得结果. 【详解】（1）若的实部与虚部相等，则 ，化简可得：，即，， . （2），， 代入方程可得：，即， 则，解得：. 【变式训练1 复数加减法的代数运算】 1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】计算出，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由可知， ， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出即可. 【详解】因为， 所以为实数， 则，即， 为纯虚数， 则，即， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）i是虚数单位，若，则 . 【答案】/ 【分析】设，根据题意结合复数的模、复数相等及复数的运算求出即可. 【详解】设，， 则， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知复数，，则 ． 【答案】 【分析】根据复数减法的运算法则求解. 【详解】由已知得. 故答案为：. 5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若复数z满足，求z的模. 【答案】 【分析】先应用减法求得复数，再计算求模长即可. 【详解】由得, 则. 【变式训练2 复数加减法几何意义的运用】 1．（21-22高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 2．（2021·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 3．（23-24高一下·全国·课前预习）复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合复数模的性质，即可求解. 【详解】∵， ∴， 即的取值范围为. 故答案为：. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）类比复数加法的几何意义，请写出复数减法的几何意义． 【答案】答案见详解 【分析】根据复数的减法结合复数的几何意义分析说明. 【详解】设，且在复平面内对应的向量分别为， 可知， 因为， 设在复平面内对应的向量为，则， 可知，即的差向量对应的复数即为， 所以复数的减法可以按照向量的减法进行计算.    【变式训练3 根据复数的加减运算结果求参数】 1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 2．（2023·山西·模拟预测）若复数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意可求得出a，根据求得b，即得答案. 【详解】设，由可得， 由得，即，故， 所以， 故选：A 3．（21-22高一下·河南安阳·期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据复数相等的充要条件列出方程组解出即可. 【详解】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 4．（21-22高一下·上海徐汇·期末）在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是 ． 【答案】/ 【分析】设第四个复数对应的点为, 利用与复数对应的向量相等即可求得答案. 【详解】设正方形的三点对应的复数分别为 设 由题意得, , 即    ，即第四个复数是. 故答案为: 5．（22-23高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，，为实数，若，求 【答案】. 【分析】先化简，再利用复数相等可求出，从而得到，再用复数的模长公式求解即可 【详解】 ， 所以， 解得， ， 所以，， 则，所以． 【变式训练4 根据复数加减运算结果求复数特征】 1．（2023·云南曲靖·一模）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得， 即，可得， 则在复平面内对应的点为位于第一象限. 故选：A. 2．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【详解】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： 3．（22-23高二下·广东中山·阶段练习）已知复数，若复数满足，则的最大值为 【答案】/ 【分析】解法一：由题知，复数的轨迹为以原点为圆心的单位圆，即，进而根据复数的几何意义求解即可; 解法二：化简复数为代数形式后，将设为三角形式，和复数的代数形式，共同代入，化简后可求最大值． 【详解】解：解法一： ， 设，因为复数满足， 所以，复数的轨迹为以原点为圆心的单位圆，即， 所以，表示复平面内点到点的距离， 作出图形如图， 由图可知，当位于点时，距离最大，此时最大值为， 所以，的最大值为 故答案为：． 解法二：由题知， 因为复数满足 所以，设 则， 所以，当时，取得最大值 所以，的最大值为 ． 故答案为：． 4．（22-23高一下·全国·课后作业）已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝ ，z2＝ ． 【答案】 5－9i －8－7i 【分析】由复数的减法运算列出关于的一元二次方程，即可求解. 【详解】z＝z1－z2＝ ＝13－2i， ∴，解得 ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i． 故答案为：5－9i；－8－7i 【点睛】本题考查由复数的加减法求解参数，属于基础题. 5．（22-23高一下·全国·课后作业）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数. 【答案】， 【解析】利用求得点表示的复数,利用求得点表示的复数 【详解】因为,分别表示复数,, 所以表示的复数为,即点表示的复数为, 又,所以表示的复数为,即点表示的复数为 【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题 【变式训练5 复数代数形式的乘法运算】 1．（24-25高三上·湖北·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算化简复数，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，则， 因此. 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这复数，得到，代入条件中的等式，即可求得复数. 【详解】设，则． 由得，即， 所以解得所以． 故选：D. 3．（24-25高二上·贵州·期中）已知是虚数单位，则复数的虚部是 ． 【答案】 【分析】根据复数的运算法则化简，进而结合虚部的定义求解即可. 【详解】由， 则复数的虚部是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知复数为实数，则实数 . 【答案】 【分析】整理可得，结合向量的概念列式求解即可. 【详解】因为为实数， 则，解得. 故答案为：. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）用复数乘法公式验证：若，则． 【答案】验证过程见解析 【分析】直接利用复数代数形式的乘法公式运算证明． 【详解】成立． 验证如下： ． 【变式训练6 复数的乘方】 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，结合模长公式进而可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 故选：C 2．（24-25高二上·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计篎（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中棣莫佛定理，在根据三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】由棣莫佛定理得，， 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·随堂练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算计算即得. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知复数，则的实部为 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算及复数的概念得解. 【详解】因为， 所以， 所以的实部为. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3))； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的乘法运算可得答案； （5）根据的性质、复数的乘方运算可得答案；. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 【变式训练7 复数范围内方程的根】 1．（2024高三·全国·专题练习）复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】B 【分析】运用一元二次方程的求根公式，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】复数z满足，，． 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）设，是方程在复数范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程求根公式计算得出两根，，逐一代入选项验证可得结果. 【详解】解:由方程得， 由求根公式得，不妨设，． ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：D 3．（24-25高三上·上海·期中）若有两个复数，满足，则 . 【答案】 【分析】由题意得是方程的两个虚根，由此计算即可. 【详解】，同理 所以为方程的两个虚根， 解方程得 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为虚数单位，设.若是实系数一元二次方程的一个虚根，则 . 【答案】 【分析】将代入方程计算即可求解出的值. 【详解】因为是的一个虚根，所以， 化简可得，所以，即， 故答案为：. 5．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解； （2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 当时，代入可得， 当时，有， 解得， 综上：或 . （2）由已知，化简可得， 即，所以 ， ∴， . ∴， 设与的夹角为， 则， 即与的夹角的余弦值为． 【变式训练8 共轭复数的概念及计算】 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部为. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法和乘法法则计算即可. 【详解】． 故选：C. 3．（24-25高三上·上海·期中）复数 ，则    ． 【答案】/ 【分析】根据共轭复数的定义，即可求解. 【详解】，所以. 故答案为： 4．（2024·贵州黔南·一模）已知是虚数单位，复数满足，则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法法则计算得到，然后求即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如果复数z满足，求． 【答案】 【分析】由题意，利用两个复数代数形式的乘除法法则，共轭复数的定义，先求出，可得的值． 【详解】复数满足， ， ． 【变式训练9 复数的除法运算】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知复数z满足（i是虚数单位），则的值为（   ） A． B．1 C． D．2022 【答案】C 【分析】根据复数除法的几何意义，结合复数单位的平方性质、指数的运算性质行求解即可. 【详解】由已知可得， 因此，． 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）若复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数的几何意义进行求解即可. 【详解】， 根据复数的几何意义，对应的点是， 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法法则运算． 【详解】由题得． 故答案为：． 4．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知复数满足，则 . 【答案】 【分析】先根据复数的代数形式的除法求复数，再根据复数模的概念求. 【详解】由题意：. 所以. 故答案为： 5．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据复数的乘除法、乘方运算即可得到答案. 【详解】（1）， ； （2） . （3） . 【变式训练10 复数的平方根与立方根】 1．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 2．（2021·辽宁沈阳·三模）虚数单位的平方根是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设平方根为，然后由平方根定义列式，由复数相等的定义计算． 【详解】设的平方根为，则， 所以，解得或． 所以的平方根为或． 故选：D． 3．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 4．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ． 【答案】 【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根， 设，则， ， . 故答案为：. 5．（21-22高一上·浙江台州·阶段练习）（1）在复数集C中解下列方程：； （2）已知，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可， （2）先由已知式子求出复数，从而可求出其共轭复数 【详解】（1）∵， ∴，. （2）， ∴. 【变式训练11 根据复数乘法运算结果求复数的特征】 1．（2022·江西南昌·三模）若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题： ①整数都是高斯整数； ②两个高斯整数的乘积也是高斯整数； ③模为3的非纯虚数可能是高斯整数； ④只存在有限个非零高斯整数，使也是高斯整数 其中正确的命题有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意，逐项判断正误即可. 【详解】解：①令，当时，，即为整数，根据题意，是高斯整数，故①正确； ②令，，则， 则为整数，为整数，故为高斯整数，故②正确； ③令，且，故，所以至少有一个数为非整数，故不是高斯整数，③错误； ④令，且，则， 若为高斯整数，故为整数，即存在有限个，例如，故④正确. 故选：A. 2．（2022高一·全国·专题练习）设z的共轭复数是，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】待定系数法设复数，由题意列方程组求解 【详解】设，则，由题意得 ， 解得即或， 故选：D 3．（22-23高一下·上海静安·期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为 . 【答案】 【分析】将代入一元二次方程求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，化简得：， 则， 故答案为：. 4．（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 5．（22-23高二下·上海金山·阶段练习）已知复数，求及． 【答案】； 【分析】利用复数的乘法和加法运算化简后，利用复数的模的概念计算即可. 【详解】, . 【变式训练12 求共轭复数的复数特征】 1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部. 【详解】， 则，所以的虚部为. 故选：B 2．（2023·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解. 【详解】由， 得， 所以，即的虚部为 故选：D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）定义：实部相同而虚部互为相反数的一对复数，叫做 ，也称这两个复数互为共轭.复数z的共轭复数用表示，也就是当（a、）时， . 共轭复数的性质： （1）一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己，即对任何复数； （2）取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数与， ① ；② ；③ （）； ④（）；⑤；⑥ ；⑦若Z为纯虚数 . 【答案】 共轭复数 【分析】略 【详解】略 4．（2022·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则 ，复数的共轭复数在复平面内随对应的点位于第 象限． 【答案】 二 【分析】由已知得复数，根据复数的除法运算求得复数z，再由复数的模的计算和共轭复数的定义可得答案. 【详解】由，得，则， ，因此复数的共轭复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限． 故答案为：；  二. 5．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数，，. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用复数的除法化简复数，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得实数的值； （2）化简复数、，利用复数的模长公式可得出关于实数的等式，即可求得实数的值，再利用共轭复数的定义可求得结果. 【详解】（1）因为，，则， 因为是纯虚数，则，解得； （2），， 由，则，解得， 此时，因此，. 【变式训练13 复数的三角表示】 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 2．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用辐角的性质求解即可. 【详解】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为： 4．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值为，虚部为，则 . 【答案】 【分析】依题意设，根据虚部求出，即可得到，在根据复数的乘法计算可得. 【详解】由复数的辐角的主值为可设复数. 因为虚部为，所以，解得， 所以， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【详解】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 1．（22-23高三·北京·强基计划）在复平面中，所对应的复数分别为，且，的面积为S，则的面积为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】利用复数加法的几何意义可求的面积. 【详解】设对应的点分别为，，则四边形为平行四边形， 如图分割该平行四边形，即平行四边形的面积为， 的面积，所以， 则， 故的面积为， 故选：D. 2．（22-23高三上·安徽·阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案. 【详解】设， 因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 故选：D. 4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）复数满足（为虚数单位），则的值为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算可得，根据共轭复数的定义可得，再根据复数的模计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：. 5．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 【答案】1 【分析】设出复数的代数形式，结合复数模的意义列式求解即得.. 【详解】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为： 7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知复数，的模长为1，且，则 . 【答案】1 【分析】设成复数一般形式，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，，因为，所以. 因为，，所以， 所以， 所以，，所以. 故答案为：1. 8．（24-25高三上·上海·期中）已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 . 【答案】10 【分析】由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程的另一个根，再由根与系数的关系求解的值，由此即可求出结果． 【详解】因为复数是关于的实系数方程的一个根， 所以复数是关于的实系数方程的一个根， 所以，即. 故答案为：10. 9．（22-23高一·全国·课后作业）所有的三次方根为 ． 【答案】 【分析】设的三次方根为，然后展开计算，再根据复数相等列方程求解即可. 【详解】设的三次方根为， 则， ， ，解得或或 即所有的三次方根为 故答案为：. 10．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 11．（23-24高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析求解； （2）根据题意结合复数的几何意义分析求解； （3）根据题意求得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）若复数是实数，则，解得； 若复数是纯虚数，则， 解得. （2）因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． （3）因为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． 12．（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. （2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离： ①； ②. 【答案】（1）（2）①；②5 【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可. （2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为复平面内的点， 对应的复数分别为，， 所以点，之间的距离为 . （2）①易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得； ②易知对应的坐标为，对应的坐标为，设两点间距离为， 由两点间距离公式得. 13．（22-23高二·全国·课后作业）已知复数，. （1）若，求a的值； （2）若z是纯虚数，求a的值； （3）若，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】先化简为再根据条件列出等式或不等式，求解即可 【详解】由题意知. （1）因为，所以，所以. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 14．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知为纯虚数. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的除法及乘法运算化简，最后根据复数类型求参； （2）根据复数的乘方计算，再结合周期性，再求和即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）得到，又，，，， 则，，，，， 即有，， 故. 15．（22-23高一·全国·课后作业）已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用题给条件求得，再利用根与系数关系即可求得m，n的值； （2）先求得的表达式，再利用三角函数性质即可求得的值域． 【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，解之得 则，， 则， （2），， 则， 由，可得 则的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $$