3.2 圆的对称性 习题 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.2圆的对称性 习题 2024-2025学年北师大版九下 一、单选题 1．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 3．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，都是上的点，若，则（    ）． A． B． C． D． 5．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 8．如图：弧AB=2弧CD，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，在中，AB=AC，，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 13．如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 14．如图，是的直径，，则的度数是 ． 15．已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 三、解答题 16．如图，、是的两条弦，且，求证：． 17．如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 18．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 19．如图，是的两条弦，且． (1)求证：平分； (2)若，求半径的长． 20．如图，点在上，顺次连接，且弧ACB=210°，弧AC=150°． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求ΔABC的面积． 21．如图，四边形内接于，为的直径，． 求证：． 22．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 23．如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 24．如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 25．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 26．如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 27．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 28．如图，正方形的边长为2，以为半径作圆，为弧上的一点，过点作于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B D B B B A C 题号 11 答案 A 1．B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出答案． 【详解】解：D为的中点， ， ， ， ， 故答案为：C． 4．B 【分析】本题考查了邻补角的性质，弧弦圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧弦圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了圆的概念，轴对称，根据轴对称的定义逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当三个圆心不构成特殊三角形时不是轴对称图形，如图， ∴这个图形可能不是轴对称图形，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离不相等时，只有一条对称轴， ∴这个图形可能只有一条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离相等时，有两条对称轴， ∴这个图形可能有两条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心构成等边三角形时有三条对称轴，如图， ∴这个图形可能有三条对称轴，故此说法正确，符合题意； 只有三个圆重合时，有无数条对称轴， ∵两两都不重复， ∴这个图形不可能有无数条对称轴，故此说法错误，不符合题意； 综上正确， 故选：． 8．B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 11．A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 12． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的直径为 故答案为：． 13．/度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了同弧（等弧）所对的圆心角相等，能分析出和是同弧所对的圆周角是解题的关键．先求出，再根据同弧（等弧）所对的圆心角相等即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15．/60度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 16．见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，先根据同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等得到，即可得到，再根据等弧所对的弦相等解题即可． 【详解】证明：∵， ， ，即，    ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接 为的中点， ， ， 平分． 又，， ． （2）解：如图，连接 由（1）得， ， ． ∵， ∴， ． ， 在中，， ， ． 同理，可得， ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． 18．(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 21．证明过程见详解 【分析】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等边对等角，平行性质的性质，掌握圆心角相等，则对应弧也相等是解题的关键．根据题意，运用平行线的性质，等边对等角的性质可得，结合圆心角相等，则对应弧也相等的关系即可求证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 23．见详解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：， ， ∴， ， ． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．证明见解析． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 26． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 27．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 28．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质； （1）根据正方形的性质以及圆的性质可得，，根据三角形内角和定理得出，等量代换即可得证； （2）连接、交于点，连接，证明进而得出，则，进而可得当、、三点共线时，最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ，即， ， ， ， ， ； （2）连接、交于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当、、三点共线且时，最小， 当、、三点共线时，最小， 此时， ， 的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$