精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高二年级 上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（每题5分，40分） 1. 若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，满足，此时，排除充分性， 若，满足，此时，排除必要性， 故选：D 2. 设命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题可得， 故选：C 3. 过点且与已知直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直关系得到直线斜率，由点斜式写出方程即可. 【详解】∵直线的斜率，∴所求直线斜率， 故直线方程为，即. 故选：B． 4. 在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平面直角坐标系中已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可． 【详解】解：平面直角坐标系中已知，，沿轴将坐标平面折成60°的二面角后， 作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点， 则，的夹角为120° ∴， , 即折叠后，两点间的距离为. 故选：D． 【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合之间关系确定充分条件、必要条件. 【详解】解：∵是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 6. 设椭圆 的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用双勾函数的值域得到的范围，然后由求解. 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即， 所以平行四边形为矩形， 所以， 设，， 在直角中，，，得， 所以， 令，得， 又由，得， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以离心率的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 7. 已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可设直线的方程为，，联立直线方程和抛物线方程消去后可得，，用表示，再利用前者化简可得所求的的值. 【详解】由题意知抛物线C的焦点坐标为，则直线的方程为， 将其代入，得. 设，则，. 因为，所以. 整理得到， 即. 因为， 所以等价于 整理得到：， 所以， 整理得到：，故. 故选：D. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的参数的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为关于参数的方程，从而可求参数的值. 8. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出直线方程，再由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，最后根据求解出弦长的一半，乘以2得到结果 【详解】直线的倾斜角为，则其斜率 则过原点且斜率为的直线方程为 由圆可得:圆心坐标为，半径为2 则圆心到直线的距离为： 故所截得的弦长为 故选 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，牢记弦长的计算公式及点到直线的距离公式，较为基础． 二、多选题（每题6分，24分） 9. 已知双曲线经过点，则（ ） A. 的实轴长为 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断. 【详解】由题意得，得即双曲线方程为． 所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是 故BC正确，AD错误， 故选：BC 10. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可得函数是周期为4的周期函数，进而结合奇函数的性质可判断ABC选项；利用奇偶性和求得当时，，当时，，进而可得函数在一个周期内，，进而判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数， 由，得， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以，故A错误； 由，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 当时，， 所以当时，，所以，此时， 所以当时，. 当时，，所以，此时， 综上所述，函数在一个周期内，即时，， 而，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 利用和与项关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D. 【详解】, , 对于也成立， 所以，故A正确； 当时，,当n=17时,当时，, 只有最大值，没有最小值，故B错误； 因为当时，,∴，故C正确； ， 故D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题. 和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值. 12. 抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（ ） A. |PM| +|PF|的最小值为3 B. 抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C. 存在直线l，使得A，B两点关于对称 D. 若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质对每个命题进行判断． 【详解】A．设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确； B．设是抛物线上任一点，即，，时，，B错误； C．假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程为，由得， 所以，，设，则，中点为，则，，必在直线上， 所以，，这与直线抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误； D．设，由即，得，则切线方程， 即，同理方程是， 由，解得，由题意在准线上， 所以，， 所以， 所以时，为最小值．D正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大． 三、填空题（每题5分，20分） 13. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可. 【详解】由题设及抛物线定义知：且. 故答案为： 14. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为4和，其所有面都与同一个球相切，则该球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等面积法即可求解. 【详解】如图，取底边中点为,则,, 所以在等腰中，, , 由于正四棱锥的所有面都与同一个球相切，则该球为其内切球，设内切球的半径为， 则由等体积法可得，即， 故球的表面积为， 故答案为： 15. 古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛.明代会试分南卷､北卷､中卷，按的比例录取.若某年会试录取人数为，则中卷录取人数为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用中卷所占的比例乘以录取总人数即可求得结果. 【详解】由题意知，会试录取人数为，则中卷录取人数为. 故答案为：. 16. 已知双曲线上的一点到两渐近线的距离之积为，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由离心率可以知道、的关系，再根据的关系，求出、的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出的值，进而求出的值，最后求出双曲线的虚轴长． 【详解】由题意可知双曲线的离心率为2，又 ，所以双曲线的渐近线方程为：，设点是双曲线上一点， ①.由题意可知点到两渐近线的距离之积为，② ，把①代入②得 所以双曲线的虚轴长为. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算． 四、解答题 17. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表： 年龄/岁 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80] 抽取人数 10 20 25 15 18 7 5 有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2 （1）若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率； （2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？ 年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计 有意向购买冰墩墩的人数 无意向购买冰墩墩的人数 总计 参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d． P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）列联表见解析，有 【解析】 【分析】(1) 由古典概型的概率公式求得； (2)根据题意填写2×2列联表，由此算出，对照临界值表，即可得出结论. 【小问1详解】 因为年龄在[70，80）之间抽取的人数为5，有意向购买的人数为2， 从5人中抽取2人的所有基本事件为共种，其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有种，故所求概率为 【小问2详解】 由题意填写2×2列联表为 年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计 有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75 无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25 总计 55 45 100 所以， 所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关． 18. 已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴. （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）相切，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可设抛物线C的方程为，将点代入抛物线方程，即可求出结果； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式可得，再求出以AB为直径的圆的圆心为的横坐标，根据圆心到准线的距离等于半径，即可证明结果. 【小问1详解】 解：因为抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，且经过第四象限， 设抛物线C的方程为， 又抛物线经过点， 所以，解得， 于是抛物线C的方程为． 【小问2详解】 解：以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证明如下： 由得． 由于，设， 则，． 由于， ， 所以， 即． 设以AB为直径的圆的圆心为， 则，即， 于是． 由于抛物线C的准线l的方程为， 所以圆心M到准线l的距离等于， 又以AB为直径的圆的半径为， 所以，以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切． 19. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据倾斜角以及求解出直线的方程，再根据半径、圆心到直线的距离、半弦长构成的直角三角形求解出； （2）根据条件判断出，结合和点坐标可求直线方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 因为，所以直线的斜率， 所以，即， 所以圆心到的距离， 所以； 【小问2详解】 因为弦被平分，所以， 又因为，所以， 所以，即. 20. 已知各项均为正数的等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解； （2）根据（1）中所求得到，再用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，， 所以. 因为各项均为正数，所以解得，或. 又因为，所以是递增的等比数列，所以，. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知. 则，① 在①式两边同时乘以3得，，② ①-②得，即， 所以. 21. 如图，在长方形中，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证； （2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可. 【小问1详解】 在长方体中，,,，平面， 平面，平面，， 又，可得,，平面， 平面. 平面，. 【小问2详解】 记交于点，连接， 由（1）得平面， 所以为斜线在平面上的射影， 为与平面所成的角. 在长方体中，,， 在中，，， . 直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答. （2）由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答. 【小问1详解】 函数，不等式， 令函数，求导得， 当时，函数单调递减，即有函数单调递增，， 当时，，则有，因此，成立， 于是函数在上单调递增，则，即， 所以当时，不等式成立. 【小问2详解】 当时，由得，令，， 求导得，令，， 求导得，即函数在上单调递减，， 于是，函数在上单调递减，， 而当时，，函数在上单调递减，其值域为， 因此函数在上的值域为，则函数在上只有一个零点，当且仅当，即， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数探求新函数零点问题解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高二年级 上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（每题5分，40分） 1. 若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 过点且与已知直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设椭圆 的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，24分） 9. 已知双曲线经过点，则（ ） A. 实轴长为 B. 的焦距为 C. 的离心率为 D. 的渐近线方程是 10. 已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的最小值 C. D. 12. 抛物线焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（ ） A. |PM| +|PF|的最小值为3 B. 抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C. 存在直线l，使得A，B两点关于对称 D. 若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 三、填空题（每题5分，20分） 13. 若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则__________. 14. 已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为4和，其所有面都与同一个球相切，则该球的表面积为________． 15. 古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛.明代会试分南卷､北卷､中卷，按的比例录取.若某年会试录取人数为，则中卷录取人数为__________. 16. 已知双曲线上的一点到两渐近线的距离之积为，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________． 四、解答题 17. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表： 年龄/岁 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80] 抽取人数 10 20 25 15 18 7 5 有意向购买人数 10 18 22 9 10 4 2 （1）若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率； （2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？ 年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计 有意向购买冰墩墩的人数 无意向购买冰墩墩的人数 总计 参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d． P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 已知抛物线C经过点，且其对称轴x轴. （1）求抛物线C的标准方程； （2）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明． 19. 圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长； （2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 20. 已知各项均为正数的等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 21. 如图，在长方形中，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 22. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$