2025年高考数学一模预测卷06（新高考Ⅱ卷专用）

2025高考数学一模预测卷06（新高考Ⅱ卷专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）世界三大数学猜想分别为：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 如今，哥德巴赫猜想仍未解决. 目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得，即任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数（素数）之和. 若将22拆成两个正整数的和，在拆成的所有和式中任取一个和式，加数全部为素数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（2024·浙江金华·一模）已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（    ） A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 10．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 11．（2024·湖南衡阳·一模）平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（    ） A．为偶数时，存在“平均割线” B．若存在“平均割线”，则唯一 C．若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线 D．若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·广东·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为 .（参考数据：） 13．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 14．（2024·云南大理·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·辽宁本溪·一模）已知函数. (1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； (2)讨论在上的单调性. 16. (15分) （2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 17. (15分) （2024·全国·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，,不垂直， (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 18. (17分) （2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 19. (17分) （2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025高考数学一模预测卷06（新高考Ⅱ卷专用） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西安康·模拟预测）世界三大数学猜想分别为：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 如今，哥德巴赫猜想仍未解决. 目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得，即任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数（素数）之和. 若将22拆成两个正整数的和，在拆成的所有和式中任取一个和式，加数全部为素数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（2024·浙江金华·一模）已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（   ）    A．， B．， C．， D．， 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知矩形ABCD，，， M为边DC上一点且， AM与BD交于点Q，将沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津红桥·二模）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（    ） A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小 D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元 10．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．若为曲线上的动点，则的最小值为5 C．过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成的四边形的周长为12 11．（2024·湖南衡阳·一模）平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（    ） A．为偶数时，存在“平均割线” B．若存在“平均割线”，则唯一 C．若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线 D．若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2023·广东·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为 .（参考数据：） 13．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 14．（2024·云南大理·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·辽宁本溪·一模）已知函数. (1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； (2)讨论在上的单调性. 16. (15分) （2024·河南·模拟预测）已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 17. (15分) （2024·全国·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，,不垂直， (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 18. (17分) （2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 19. (17分) （2024·全国·模拟预测）2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团获得40金27银24铜．某校为让学生了解更多有关奥运会的知识，举行了答题闯关活动，第一关有10道题，且每一题都要作答，每道题答对得5分，否则得0分；第二关有道题，依次作答，每答对一题继续答下一题，一旦答错或题目答完则结束答题，每道题答对得10分，否则得0分．小军第一关每题答对的概率均为，第二关每题答对的概率均为，设小军第一关答题的总得分为，第二关答题的总得分为． (1)求的数学期望； (2)求的数学期望； (3)若小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望，求的最小值．（，） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D C A B BD ABD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】因为，则， 因此，. 故选：C. 3．C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 4．D 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】将22拆成两个正整数的和有： 1和21、2和20、3和19、4和18、5和17、6和16、 7和15、8和14、9和13、10和12、11和11，共11种拆法， 其中加数全为素数的有3和19、5和17、11和11，共3种， 所以所求的概率为. 故选：D 5．D 【分析】根据条件可得，结合及差角余弦公式，即可求目标式的值. 【详解】由， 所以，而， 所以，即， 所以. 故选：D 6．C 【分析】由图象可知：在内有两个极值点，即有两个不同的正根，结合二次函数的零点分布列式求解即可. 【详解】因为，则， 由图象可知：在内有两个极值点，即有两个不同的正根， 则，可得， 对比选项可知：ABD错误，C正确. 故选：C. 7．A 【分析】分析可知，结合垂直关系可知平面，结合长度关系可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】在矩形，，，， 由可得由可得， 则，即， 可知折起后，必有，，平面， 故平面， 因为是确定的直线，故对任意点P， 都在同一个确定的平面内， 因为，可知点P在以点Q为圆心，半径为的圆上（如图）， 由图知，当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值， 此时,，则的最大值为 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于在证明平面后，要考虑动点的轨迹，同时将理解为点与圆上的点的连线，结合图形，得出当且仅当PB与该圆相切时，取到最大值的结论. 8．B 【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到解出从而确定的长度，再利用三角形面积和之间的关系求出即可. 【详解】 设抛物线的准线为， 过作于，过作于点，过作于， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，所以， 又由，可得， 所以，所以， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程，解出. 9．BD 【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解. 【详解】对于A，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，A错误； 对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确； 对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元， 人均消费支出的极差为元，C错误； 对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确. 故选：BD 10．ABD 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程，再逐项分析判断即得. 【详解】对于A，依题意，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为，A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，周长为，D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线，令点到直线的距离为， 则，，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，B正确； 对于C，过点与曲线仅只一个公共点的直线方程为， 由消去得，当时，直线与抛物线仅中一个公共点， 当时，，解得，显然直线与抛物线仅只一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C错误. 故选：ABD 11．AC 【分析】根据“平均割线”和“平衡点”的定义来分析每个选项。我们将通过假设存在“平均割线”，设出直线方程，然后与正弦曲线方程联立求解交点，再根据条件判断各个选项的正确性。 【详解】对于A选项,当，时，。 设直线的方程为（）。 联立，即。 令，是连续函数。 当时，。 根据函数的连续性，一定存在使得，即存在交点，所以存在“平均割线”，A选项正确。 对于B选项，设时，。 设直线的方程为（）。 联立，。 对于不同的值，都能找到满足条件的直线，所以不唯一，B选项错误。 对于C选项，设直线的方程为。 联立，设交点，。 因为是线段的中点，根据中点坐标公式，。 又因为，，所以。 设“平衡点”，则，所有“平衡点”满足，所以所有“平衡点”共线，C选项正确。 对于D选项，设直线的方程为。 联立，设交点，。 因为是线段的中点，，。 又因为，，。 设“平衡点”，之间的关系比较复杂，并不一定能保证按从小到大顺序排列成等差数列，D选项错误。 故选：AC 12．12 【分析】根据题意求出第n次操作后去掉的各区间长度之和,列不等式结合对数运算法则，即可求解. 【详解】由题意可知，每次操作剩下的区间长度为都是原来的， 第n次操作后剩下的区间长度为，则所有去掉的区间长度之和为， 由题意知，，得， 两边取对数得，解得， 又n为整数，∴n的最小值为12． 故答案为：12． 13．1 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 14． 【分析】根据三次函数的图象都有对称中心，且，可求出，函数图象的对称中心为，即，可得，利用倒序相加法即可求解. 【详解】因为，且图象的对称中心为， 所以，解得， 而，解得； 因为函数图象的对称中心为，即， 所以， 同理 设① ② 由①+②得，所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足， ① ② 将两式相加除以2即可求和. 15．(1)，最大值为， (2)单调增区间为，单调减区间为 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）， 所以的最小正周期， 当时，取最大值为，此时，，即，； （2）当时，有， 从而时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 综上所述，单调增区间为，单调减区间为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据可得，即可验证求解， （2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，利用导数求解即可. 【详解】（1），由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 （2）设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性质可分别证得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）由线面平行性质可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果. 【详解】（1），，由余弦定理得：， ，即， 作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； ，平面，平面， 平面，. （2），平面平面，， 又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，， ，， 设平面，即平面的法向量， 则， 令，解得：，，， 直线与平面所成角为， ， 解得：，满足，. 18．(1) (2) 【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 19．(1) (2) (3)7 【分析】（1）根据二项分布的概念得到小军第一关答对题数服从二项分布，再得出小军第一关答题的总得分与的关系结合数学期望的性质计算； （2）先求的所有可能取值及取每个值时相应的概率，再利用错位相减法求的数学期望； （3）根据已知列式，化简得出，应用指对数转化结合已知对数值化简即可求出的最小值. 【详解】（1）设小军第一关答对题数为，则， 由题意可知服从二项分布，即，故， 故． （2）由题意知的所有可能取值为0，10，20，…，， 且，， ，， 以此类推，，， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 （3）由题意得，即， 化简得， 两边同时取自然对数，得， 即， 由于为整数，故， 因此小军第二关的总得分的数学期望高于第一关的总得分的数学期望时，的最小值为7． 【点睛】方法点睛：求数学期望是等差数列乘以等比数列求和，应用错位相减法即可求出数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 $$