第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（5个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（5个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 正交分解的理解 题型五 用坐标表示平面向量 题型六 平面向量线性运算的坐标表示 题型七 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型八 利用坐标求向量的模 题型九 由坐标判断向量是否共线 题型十 由向量共线(平行)求参数 题型十一 数量积的坐标表示 题型十二 向量模的坐标表示 题型十三 坐标计算向量的模 题型十四 向量垂直的坐标表示 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 5．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【核心考点一 基底的概念及辨析】 【例1】（22-23高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意； 对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意； 对于C，因为为零向量，所以C不符合题意； 对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意； 故选：A 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由基底的定义可逐项判断. 【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确； 对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误； 对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确, 所以①③正确. 故选：B 【例3】（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 【答案】 不共线 唯一的 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共线，唯一的，. 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）向量基本定理： 如果与是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可唯一地表示为与的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得 .平面上任意两个 的向量、都组成平面向量的一个基. 注意：（1）平面内的任意向量都可以沿两个不平行的方向分解成两个向量和的形式； （2）、不一定互相垂直，也不一定是单位向量； （3）、是唯一的. 【答案】 不平行 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）设是平面向量的一组基，则中可能有零向量吗？平面向量的基唯一吗？ 【答案】答案见解析 【详解】平面向量基本定理的前提条件是不共线．若中有零向量，而零向量和任一向量共线，这与定理的前提矛盾，故中不可能有零向量．在同一平面内，向量的基可以不同，只要它们不共线即可． 【核心考点二 用基底表示向量】 【例1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 【例2】（2023高二·安徽·学业考试）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选：D 【例3】（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）叙述平面向量基本定理： . 【答案】如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使. 【解析】略 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）在等腰梯形中，，，，，则 ．（用向量，表示） 【答案】 【分析】如图，由，即可得解. 【详解】 如图， . 故答案为： 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【答案】 【详解】由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得． 【核心考点三 平面向量基本定理的应用】 【例1】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 【例2】（22-23高三上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性表示可得，即可求解. 【详解】由图可知，所以， 故选：C 【例3】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【答案】1 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在梯形中，，E、F分别是、边的中点，且，设，，则用、表示 ， ， .    【答案】 【分析】利用向量的数乘运算及几何运算求解即可. 【详解】在梯形中，，E、F分别是、边的中点，且， 设，，则 ， ， . 故答案为：，，. 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且.    【答案】证明见解析 【分析】利用平面向量的运算法计算得，结合与共线，得，化简再依据、不共线解得.最后利用平面向量的运算得，∴即可得证. 【详解】证明：由题易得，，. ∵与共线，存在实数，使得， 即. ∵、不共线， ∴ 消去得. ∵， ∴. 【核心考点四 正交分解的理解】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再利用三角函数求出即得解. 【详解】设，则，． 故． 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标的计算和向量的模，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【例2】（22-23高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【答案】C 【分析】逐项判断两向量是否垂直即可求解 【详解】选项A中，与的夹角为60°； 选项B中，与的夹角为锐角； 选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意. 选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为 ，在正交基底下向量的分解称为 . 【答案】 正交基底 正交分解 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 【答案】两个互相垂直 【分析】根据正交分解的概念即可求解. 【详解】正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量. 故答案为：两个互相垂直. 【例5】（22-23高二上·上海徐汇·期中）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为. （1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程； （2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）先设出直角坐标下沿轴，轴的方向向量，再根据仿射坐标系的定义，写出,转化为直角坐标，并利用坐标变换以及圆在直角坐标下的方程即可求出； （2）利用向量共线即可求出. 【详解】解：（1）设在直角坐标系下，沿轴，轴的方向向量分别为，， 又在仿射坐标系中，， ，， 又， 即在直角坐标系下的坐标为， 又圆心坐标为，半径为， ， 即， 即， 在仿射坐标系中圆的方程为； （2），， ，， ， 设为直线上任意一点， 则， 又， 故，使， 即， 即 ， 消去得：， 故直线在该仿射坐标系中的方程为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【核心考点五 用坐标表示平面向量】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 【例2】（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， ． 故选：A． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）平面向量的坐标：给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，此时，则称为向量的 ，记作 . 【答案】 坐标 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例5】．（23-24高一·全国·课堂例题）“若，则”对吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不对，应该用终点坐标减去起点坐标． 【核心考点六 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（2024高二上·云南·学业考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 【例2】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的坐标运算：设直线上两个向量的坐标分别为，u，v是两个实数，则的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 . 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算填空即可. 【详解】由题意可知:的坐标为，的坐标为， 的坐标为. 故答案为：；；. 【例4】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知，则AB的中点M的坐标为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式求解. 【详解】设的中点为， 则， 即M的坐标为 故答案为： 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，已知，，怎样求的坐标？    【答案】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】． 【核心考点七 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例1】（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 【例2】（21-22高三上·山西·阶段练习）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 【例3】．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【例4】（2023高三·全国·专题练习），，，，点在的外接圆上，，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】（坐标法），， . 【例5】（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 【核心考点八 利用坐标求向量的模】 【例1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】求出向量的坐标，再求模长. 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·安徽淮北·开学考试）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 所以， 故选：D. 【例3】（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量，则 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 【例4】（2022·宁夏吴忠·三模）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】直接应用向量的坐标运算公式求模. 【详解】由题，所以. 故答案为：. 【例5】（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知两点，那么向量的坐标是什么？ （2）根据向量的模的计算公式，你能得到的公式吗？ （3）平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？ 【答案】（1）（2）（3）无关 【分析】（1）利用平面向量的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量模长的坐标表示计算即可； （3）根据平方式的等量关系判定即可. 【详解】（1）； （2）； （3）无关.在计算公式中与，与的位置可以互换，不影响计算结果. 【核心考点九 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（22-23高一下·山东·阶段练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用平面向量基底的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，由，得不共线，B是； 对于C，，向量共线，C不是； 对于D，，向量共线，D不是. 故选：B 【例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，与共线，所以不能作为基底，故A错误， 对于B，，故两向量共线，B错误， 对于C，，，，两向量不共线，故可作为基底，C正确， 对于D，，两向量共线，D错误， 故选：C 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【分析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）两个向量共线的坐标表示 （1）向量共线的坐标表示 设，则⇔ . （2）向量共线的坐标表示的推导 ①设，则⇔ (λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为⇔ ， 即⇔⇔ . ②设时，⇔ . 综上①②，向量共线的坐标表示为⇔ . 【答案】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示可得答案；（2）利用向量的数乘运算可得答案. 【详解】（1）；（2）①，则，⇔⇔， 消去可得； ②时，⇔； 综上可得，向量共线的坐标表示为⇔. 故答案为：；；；；. 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）若，是否对于任意两向量都成立？还需要注明吗？ 【答案】答案见解析 【详解】在共线向量基本定理中，必须注明，而在本问题中，当时也成立，故不需要注明． 【核心考点十 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为， 则，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若，则实数（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据向量平行得到坐标之间的关系，从而求出参数的值. 【详解】因为向量，，， 所以，解得或． 故选：C. 【例3】（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的坐标表示即可. 【详解】由题意得，则. 故答案为：4. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）向量平行的坐标表示：设，，则 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且．求实数的值 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 【核心考点十一 数量积的坐标表示】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】，，. 故选：C. 【例2】（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标计算数量积即可. 【详解】 如图建立平面直角坐标系，，，， 所以，， 所以， 故答案为： 【例4】（2024高三·北京·专题练习）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】4 【分析】由已知可得，结合数量积可得，求解即可. 【详解】，，又， ，，， ． 故答案为：. 【例5】（22-23高一下·浙江·期中）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，求解即可； （2）由已知可得，求解即可. 【详解】（1），故由，可得，解得． （2）由，得，解得． 【核心考点十二 向量模的坐标表示】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）设向量，向量，若且，则（   ） A． B．2 C．1 D．或1 【答案】C 【分析】根据垂直的坐标关系以及模长公式即可求解. 【详解】由和可得，解得， 故选：C 【例2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解. 【详解】由，，得，所以. 故选：B 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的距离公式与中点坐标公式：设，则 ，数轴上两点之间的距离 ，A、B中点的坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）非零向量，则其单位向量的坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是同一平面的三个向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意设，根据模的计算公式列方程求出参数即可得解； （2）由题意得，代入求得，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，设， 则，， 所以或. （2）因为， 所以， 又因为，所以由，可知， 所以. 【核心考点十三 坐标计算向量的模】 【例1】（23-24高二上·吉林·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】A 【分析】根据求出的坐标，再计算其模. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：A 【例2】（24-25高三上·天津武清·期中）已知，，则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）若，则 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例4】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】由向量的坐标运算以及模长公式可直接求得答案. 【详解】由题意得，所以， 故答案为：. 【例5】（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 【核心考点十四 向量垂直的坐标表示】 【例1】（24-25高三上·广东湛江·期中）已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直可得数量积为0，求解即可. 【详解】因为，所以，可得，解得. 故选：A. 【例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标运算计算可得结果. 【详解】由可得，即， 也即，解得. 故选：D 【例3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直可得，求出m即可． 【详解】由题意知，解得. 故答案为： 【例4】（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可知，即， 解得. 故答案为：3 【例5】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由数量积为0即可求解， （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）由可得， 由得，解得 （2），故， 解得 【变式训练1 基底的概念及辨析】 1．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 3．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 【答案】/ 【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，， 因此，所以. 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 5．（24-25高一上·上海·课前预习）什么样的两个向量可以作为平面向量的一个基？ 【答案】答案见解析 【分析】根据平面向量基本定理中基底的要求即可写出答案. 【详解】可以作为一个基的两个向量必须满足：（1）非零向量；（2）不平行. 【变式训练2 用基底表示向量】 1．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：C. 3．（22-23高一下·湖南怀化·期末）如图，在中，是的中点，设，，则用、表示为 ．    【答案】 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可表示. 【详解】， . 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，是边的中点，点在边上．点满足，设，，则 （用向量，表示） 【答案】 【分析】利用给定基向量，结合向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用平行四边形法则与三角形法则用表达，，逆向求解即得； 【详解】（1） 如图，， ， 联立，解得. （2）由（1）可得. 【变式训练3 平面向量基本定理的应用】 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的基本定理，求得，，再根据二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】由，得， 所以， 因为， 所以，， 则. 故选：D. 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得． 【详解】由已知，由A，B，D三点共线， 故存在实数，使，即， 即，解得． 故选：D． 3．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为不共线，由， 得，解得. 故答案为：；. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知、分别是的中线，若，，用、表示，则 . 【答案】 【分析】根据向量基本定理得到，两式相减求出. 【详解】由题意得，， 两式相减得， 即， 解得. 故答案为： 5．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据共线的性质即可求解. 【详解】（1）在中，由， 又，所以 所以 （2）因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即 【变式训练4 正交分解的理解】 1．（22-23高一下·浙江温州·期中）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（    ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 【答案】B 【分析】应用向量的可分解性质，将分解到，所在直线上，结合图形判断参数的符号. 【详解】如图所示，利用平行四边形法则，将分解到，上，有， ∴=m=n， 显然方向相同，则m>0；方向相反，则n<0． 故选：B 2．（22-23高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 3．（22-23高一·全国·课后作业）与同向的单位向量为 ． 【答案】 【分析】求出，故与其同方向的单位向量. 【详解】由题得:, 所以与向量同向的单位向量. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【分析】根据向量基本定理和向量坐标化即可得到答案. 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 【变式训练5 用坐标表示平面向量】 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，. 故选：A 2．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 【答案】 【分析】由向量坐标的表示即可求解. 【详解】数轴上点的坐标为， 设点对应的坐标是， 因为对应的坐标为，则， 即点对应的坐标是. 故答案为：. 4．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】由可求出结果. 【详解】设，在中，， 又，， 解得 所以顶点的坐标为. 故答案为：. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【分析】根据平面向量的坐标表示表示出、、，再由，即可证明三点共线. 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【变式训练6 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2023高二上·宁夏·学业考试）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】由题意知， 故， 故选：C 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标运算，表示的坐标，结合点在轴上求的值. 【详解】∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）设为平面内的一组标准正交基，已知，，则向量在基下的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法运算即可求解． 【详解】， 向量在基下的坐标为， 故答案为：． 5．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 【变式训练7 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（22-23高二上·湖北荆门·阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，得到的几何意义为以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1，由此可求解的取值范围. 【详解】如图所示，由，可得， 根据向量减法及模的几何意义，则再以原点为起点的情况下，的终点到的终点的距离为1， 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据题中条件，得到，，令，，化所求式子为，根据正弦函数的性质，即可求出最值. 【详解】由题意，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， 则，， 因为，所以， 又为矩形内一点，且，则， 不妨令，， 则， 又，所以， 因此，当时，取得最大值， 即的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由平面向量的坐标表示求参数的最值，涉及求正弦型三角函数的最值，属于常考题型. 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．（2023高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 5．（22-23高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【答案】（1），（2）， 【分析】（1）由题意知点的坐标为，利用坐标表示，，得出、的表达式； （2）由，利用、、三点共线得出，、、三点共线得出；联立方程组求得的解析式；由的解析式，利用三角函数的性质求出的最小值. 【详解】（1）由题意知点为倾斜角为的直线与单位圆在第一象限的交点 所以，； 又因为与轴交于点，与轴交于点 由，，且， 所以； 同理，； 所以，； （2）又因为 由于共线，所以，即① 同理，由于共线，所以 即② 将①②得 从而 当时，取得最小值. 【变式训练8 利用坐标求向量的模】 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与向量方向相反的单位向量为求解即可. 【详解】因为，所以， 与向量方向相反的单位向量为， 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a＝（－1，2），b＝（1，3），则|2a－b|＝（　　） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【详解】 解析：由已知得2a－b＝2（－1，2）－（1，3）＝（－3，1），所以|2a－b|＝＝.故选C. 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面垂直向量的坐标运算求出，利用平面向量模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 即. 所以， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由利用向量数量积得，再由计算即可. 【详解】，则， 由得，所以， 于是． 故答案为： 5．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 【变式训练9 由坐标判断向量是否共线】 1．（2024高三·北京·专题练习）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】判断两个向量不共线即可作为基底. 【详解】解：对于A项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于B项：因为，所以不共线， 则，可以作为一组基底； 对于C项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于D项：因为， 所以，即，不能作为基底； 故选：B 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断． 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 【答案】①③④ 【分析】借助基底的定义，判断两向量是否共线即可得. 【详解】对①：由可得为零向量，故，故①不能作为基底； 对②：由，，故两向量不共线，故②可以作为基底； 对③：由，故③不能作为基底； 对④：由，故④不能作为基底. 故答案为：①③④. 4．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据共线向量定理求解即可 【详解】与向量共线的向量为. 取，可得出一个与向量共线的向量为 （答案不唯一，满足即可）. 故答案为：（答案不唯一） 5．（23-24高一·全国·课堂例题）当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？ 【答案】答案见解析 【详解】当两个非零向量的对应坐标同号时，同向；当两个非零向量的对应坐标异号时，反向．例如，向量与反向，向量与同向． 【变式训练10 由向量共线(平行)求参数】 1．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知平面向量，则（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据向量平行的条件求得参数值． 【详解】因为，所以，即. 故选：D 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示求得结果. 【详解】向量，，则， 由，得，所以. 故选：B 3．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为向量和向量平行， 所以，即，所以. 故答案为： 4．（24-25高三上·广东中山·期中）已知向量，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则 ． 【答案】 【分析】根据基基底的定义，可得向量的位置关系，利用共线定理，建立方程，结合向量的模长公式，可得答案. 【详解】因为，，向量与向量不能作为平面向量的一组基底， 所以，所以，解得，所以， 故． 故答案为：． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据相等向量的概念判断； （2）对或进行讨论，再根据相等向量 概念进行判断； （3）直接利用相等向量的概念判断； （4）根据共线向量的概念即可判断． 【详解】（1）相等向量除了长度相等还要方向相同，故为假命题； （2）当时，则， 当时，，则且方向相同，又，则且方向相同， 故方向相同且，则，故为真命题； （3）若为平行四边形，则，故为假命题； （4）若平面上四点、、、使，则与还可能共线，故为假命题． 【变式训练11 数量积的坐标表示】 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在方格边长为 的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立坐标系，写出的坐标，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 则 ， 则 ， 所以 . 故选：A. 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）在等腰梯形中，为线段上的动点，则的值不可能为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】解法1：建系，设，，结合数量积的坐标运算求解；解法2：根据数量积的几何意义分析求解. 【详解】解法1：以A为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 可得，则， 结合选项可知选项A的值不可能成立； 解法2：设在上的数量投影为，则， 结合选项可知选项A的值不可能成立； 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则 ． 【答案】2 【分析】根据题意先求，，再结合数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，则，， 所以． 故答案为：2. 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求得最值． 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”：. (1)设，，若，求向量 (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值和此时和的夹角. 【答案】(1)或； (2)最大值为2，夹角为. 【分析】（1）利用空间向量数量积的坐标运算可得，再应用空间向量线性运算的坐标表示有，结合已知即可求向量； （2）设单位向量与单位向量的夹角为..，由已知得，再应用空间向量数量积的运算律可得，由正弦函数的性质即可求最大值，并可确定和的夹角. 【详解】（1），，所以， ∴， 又，可得：，解得或 （2）设单位向量与单位向量的夹角为，则， 则 ∴，又， ∴， 故当向量与向量的夹角为为时，取得最大值为2. 【变式训练12 向量模的坐标表示】 1．（2024·江西景德镇·一模）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用平面向量的坐标运算求出，再求模. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，且如图所示，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标公式即可得到答案. 【详解】由已知可得， 则横坐标为， 纵坐标为， 故. 故选：D. 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知向量，，，则 ． 【答案】6 【分析】根据向量的模求出，再有数量积坐标运算得解. 【详解】由，可知，解得， 所以， 故答案为：6 4．（2023·四川·模拟预测）已知，，若向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算结合向量夹角公式运算求解即可. 【详解】因为，，则，， 由题意可得，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得关于的方程，即可得答案． （2）根据题意，由向量的坐标计算公式可得即可得答案； （3）利用向量坐标的线性运算求坐标，模长坐标公式列方程求参数值； 【详解】（1）因为与共线， 所以，所以. （2）因为，， 所以， 可得， （3）由题知：，， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得. 【变式训练13 坐标计算向量的模】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式求出的值，可得出的坐标，再利用平面向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，所以， 则，解得， 因为，所以． 故选：B. 2．（2024·四川内江·一模）已知两个向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直可得，再结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，则，即， 又因为，，则，解得. 故选：C. 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，，若，则 【答案】 【分析】根据向量平行可得，进而可得和模长. 【详解】因为，，， 则，即，， 可得，所以. 故答案为：. 4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直，则数量积为0得到，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，， ，，， ， ，. 故答案为：. 5．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）计算题： (1)已知向量与的夹角为，，，求； (2)已知，，且，求的坐标. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）结合向量数量积的运算律，利用向量的数量积求模长即可； （2）利用向量共线定理，和模长的坐标公式求解即可. 【详解】（1）向量与的夹角为，故， 则. （2），，故设， 所以，解得， 故或. 【变式训练14 向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，从而. 故选：D. 2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求的值. 【详解】由. 故选：A 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，曲线上的两点A，B满足，线段的中点M在x轴上，则点M的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据向量垂直可得，由中点坐标公式可得，代入运算求解即可. 【详解】设，则， 若，则， 又因为线段的中点M在x轴上，则， 可得，即， 则，解得，即或， 即可得或， 所以点M的横坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·广西·期中）已知平面向量，则向量和的夹角 ． 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标可得的值，再根据向量的夹角余弦的坐标运算即可得夹角的大小. 【详解】平面向量， 所以，解得， 所以， 则向量和的夹角余弦值为， 因为，故. 故答案为：. 5．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且. (1)求; (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据数量积的定义即可求得. 【详解】（1）因为向量，所以， 由得， 解得，所以 又，所以 （2）设向量与向量的夹角为，因为， 所以 又，所以， 即向量与向量的夹角是 1．（2024·天津北辰·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 2．（2022·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线平行可得，再由二倍角的余弦公式得解. 【详解】向量，，且， 可得，， ， 故选：A. 4．（2023·河北·模拟预测）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，根据模长公式以及数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：向量与向量共线，，可设， 因为，解得， 又因为向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 综上所述：，. 故选：C． 5．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ） A． B．方向上的单位向量为 C．向量在向量上的投影为 D．若，则 【答案】D 【分析】由条件根据向量线性运算坐标公式求，再由向量的模的坐标表示计算，判断A，根据定义单位向量定义和向量的线性运算坐标公式求方向上的单位向量，判断B，根据向量的投影的定义求向量在向量上的投影，判断C，根据向量垂直的坐标表示，判断D. 【详解】对于A：由可得，，所以，A错误； 对于B：因为，所以， 所以方向上的单位向量为，B错误； 对于C, 向量在向量上的投影为，C错误； 对于D：，所以，D正确. 故选：D. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F．使得，则 ． 【答案】2 【分析】以为基底，表示即可. 【详解】如图： 以为基底，则，. 所以，， 所以. 所以. 故答案为：2 7．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 【答案】 【分析】求得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点，由定义求得，进而可求得点的坐标. 【详解】由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转（即按逆时针方向旋转）后得到点， 则，又，设， 则，解得，，即点的坐标为. 故答案为：. 8．（24-25高三上·北京海淀·期中）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 ， . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图， 则, 所以， 由可得， 即，解得, 故答案为：； 9．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 10．（24-25高三上·天津河西·期中）在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得是边长为的等边三角形，，建立平面坐标系，利用数量积的坐标运算可求，利用取得最小值时求得点的坐标，利用向量的夹角公式的坐标运算求得. 【详解】因为平面四边形中，，，， 所以是边长为2的等边三角形， 在，，所以， 因为，又， 所以，所以在，同理可得在上， 且分别是的四等分点， 如图建立平面坐标系，    则， 所以， 再设，则， ， 显然时，取得最小，此时， 所以.    故答案为：；. 【点睛】方法点晴：利用平面几何知识求得图形的数量关系，通过建立坐标系，利用向量的坐标运算简化求解的运算量. 11．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，. (1)用，表示，； (2)求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则及数乘向量运算律求出结果即可； （2）由图形关系和向量的加法法则求出，再求出，然后由向量夹角的计算公式求出结果即可； 【详解】（1），，，，． ，， 为的中点，． （2）根据题意，，，， ， ， ， ． 12．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据三点共线，可设（），由向量的减法可得，再以为基底表示，结合可得的值. （2）把用表示，可得关于的二次式，再利用二次函数的值域问题求解. 【详解】（1）因为，. 因为三点共线，可设（）. 所以， 又，所以， 所以. （2）由题意知：，，. （）. 当时，取得最小值，为：. 13．（22-23高一下·湖北十堰·阶段练习）（1）若向量，已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是多少？ （2）在等腰直角三角形中，是线段BC上的点，且，则的取值范围是多少？ 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由与的夹角为钝角可得且与不共线,进而求解即可； （2）以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,设设,则为,即可坐标表示,再根据的范围求解即可. 【详解】（1）由题,, 因为与的夹角为钝角,所以, 即, 若与反向共线,则,所以,此时夹角不是钝角, 综上,的取值范围是 （2）以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,如图所示, 由,所以,则,,, 设,则为,且, 所以,, 所以, 所以当时, 取得最小值为； 当或时,取得最大值为, 故的取值范围是 【点睛】本题考查数量积的坐标表示的应用,考查坐标法处理数量积的最值问题,考查运算能力. 14．（21-22高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设求出，的坐标，根据平面向量的基本定理有求出m、n，即可得结果. （2）设，由已知得求出x、y关于λ的表达式，结合所在象限列不等式求的范围. 【详解】（1）由已知得：， 所以. 由题设，存在实数使得， 则，即， 可得，解得. 所以 （2）设，则， 又， 则，即，又点在第四象限， 所以，解得：，故的范围是. 15．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求k的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出向量的坐标，根据向量的模长公式，即得答案； （2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案. 【详解】（1）由，得， 故； （2）由题意得， 因为向量与垂直，所以， 即，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（5个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 平面向量基本定理的应用 题型四 正交分解的理解 题型五 用坐标表示平面向量 题型六 平面向量线性运算的坐标表示 题型七 由向量线性运算解决最值和范围问题 题型八 利用坐标求向量的模 题型九 由坐标判断向量是否共线 题型十 由向量共线(平行)求参数 题型十一 数量积的坐标表示 题型十二 向量模的坐标表示 题型十三 坐标计算向量的模 题型十四 向量垂直的坐标表示 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 5．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【核心考点一 基底的概念及辨析】 【例1】（22-23高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例3】（23-24高二下·全国·课前预习）平面向量基本定理 如果平面内两个向量与 ，则对该平面内任意一个向量，存在 的实数对，使得 . 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）向量基本定理： 如果与是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可唯一地表示为与的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得 .平面上任意两个 的向量、都组成平面向量的一个基. 注意：（1）平面内的任意向量都可以沿两个不平行的方向分解成两个向量和的形式； （2）、不一定互相垂直，也不一定是单位向量； （3）、是唯一的. 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）设是平面向量的一组基，则中可能有零向量吗？平面向量的基唯一吗？ 【核心考点二 用基底表示向量】 【例1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【例2】（2023高二·安徽·学业考试）如图，在平行四边形中，点是的中点，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）叙述平面向量基本定理： . 【例4】（23-24高一下·浙江·期中）在等腰梯形中，，，，，则 ．（用向量，表示） 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为一组基，对于平面内的任意一个向量，可以用表示成什么？    【核心考点三 平面向量基本定理的应用】 【例1】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【例2】（22-23高三上·北京房山·期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数 ． 【例4】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在梯形中，，E、F分别是、边的中点，且，设，，则用、表示 ， ， .    【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且.    【核心考点四 正交分解的理解】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一·全国·课后作业）下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为 ，在正交基底下向量的分解称为 . 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解． 【例5】（22-23高二上·上海徐汇·期中）如图，，定义平面坐标系为仿射坐标系，在该仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：、分别为与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则规定点的斜坐标为. （1）求以为圆心，半径为1的圆在该仿射坐标系中的方程； （2）已知点的斜坐标为，点的斜坐标为，求直线在该仿射坐标系中的方程. 【核心考点五 用坐标表示平面向量】 【例1】（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广西·模拟预测）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）平面向量的坐标：给定平面内两个互相垂直的单位向量，对于平面内的向量，如果，此时，则称为向量的 ，记作 . 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）三个顶点的坐标分别为：，，，则的重心坐标为 . 【例5】．（23-24高一·全国·课堂例题）“若，则”对吗？ 【核心考点六 平面向量线性运算的坐标表示】 【例1】（2024高二上·云南·学业考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的坐标运算：设直线上两个向量的坐标分别为，u，v是两个实数，则的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 . 【例4】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知，则AB的中点M的坐标为 . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，已知，，怎样求的坐标？    【核心考点七 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例1】（22-23高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（21-22高三上·山西·阶段练习）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【例4】（2023高三·全国·专题练习），，，，点在的外接圆上，，则的取值范围为 . 【例5】（21-22高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【核心考点八 利用坐标求向量的模】 【例1】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【例2】（23-24高二上·安徽淮北·开学考试）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例3】（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知平面向量，则 . 【例4】（2022·宁夏吴忠·三模）已知向量，，则 . 【例5】（23-24高二下·全国·课堂例题）（1）已知两点，那么向量的坐标是什么？ （2）根据向量的模的计算公式，你能得到的公式吗？ （3）平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？ 【核心考点九 由坐标判断向量是否共线】 【例1】（22-23高一下·山东·阶段练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）两个向量共线的坐标表示 （1）向量共线的坐标表示 设，则⇔ . （2）向量共线的坐标表示的推导 ①设，则⇔ (λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为⇔ ， 即⇔⇔ . ②设时，⇔ . 综上①②，向量共线的坐标表示为⇔ . 【例5】（23-24高一·全国·课堂例题）若，是否对于任意两向量都成立？还需要注明吗？ 【核心考点十 由向量共线(平行)求参数】 【例1】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【例2】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知向量，，若，则实数（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 【例3】（24-25高三上·上海·期中）已知，如果，那么实数的值为 . 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）向量平行的坐标表示：设，，则 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且．求实数的值 【核心考点十一 数量积的坐标表示】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C．1 D．5 【例2】（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）在中，，，，则 . 【例4】（2024高三·北京·专题练习）已知向量，满足，，且，则 . 【例5】（22-23高一下·浙江·期中）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【核心考点十二 向量模的坐标表示】 【例1】（2024·江苏苏州·模拟预测）设向量，向量，若且，则（   ） A． B．2 C．1 D．或1 【例2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的距离公式与中点坐标公式：设，则 ，数轴上两点之间的距离 ，A、B中点的坐标为 . 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）非零向量，则其单位向量的坐标为 . 【例5】（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是同一平面的三个向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与夹角的余弦值. 【核心考点十三 坐标计算向量的模】 【例1】（23-24高二上·吉林·期中）已知，，则（   ） A． B．2 C． D．10 【例2】（24-25高三上·天津武清·期中）已知，，则（    ） A． B．1 C． D．5 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）若，则 . 【例4】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，则 . 【例5】（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【核心考点十四 向量垂直的坐标表示】 【例1】（24-25高三上·广东湛江·期中）已知向量，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【例3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，满足，则 ． 【例4】（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 【例5】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值. 【变式训练1 基底的概念及辨析】 1．（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 5．（24-25高一上·上海·课前预习）什么样的两个向量可以作为平面向量的一个基？ 【变式训练2 用基底表示向量】 1．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 3．（22-23高一下·湖南怀化·期末）如图，在中，是的中点，设，，则用、表示为 ．    4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，是边的中点，点在边上．点满足，设，，则 （用向量，表示） 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平行四边形ABCD，设向量，．试用、表示下列向量： (1)； (2)． 【变式训练3 平面向量基本定理的应用】 1．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）所在平面内一点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）． A．3 B． C． D．2 3．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知、分别是的中线，若，，用、表示，则 . 5．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【变式训练4 正交分解的理解】 1．（22-23高一下·浙江温州·期中）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（    ） A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0 2．（22-23高一·全国·课后作业）如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·课后作业）与同向的单位向量为 ． 4．（22-23高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【变式训练5 用坐标表示平面向量】 1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·新疆乌鲁木齐·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 4．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）的三个顶点，，，则顶点的坐标为 . 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【变式训练6 平面向量线性运算的坐标表示】 1．（2023高二上·宁夏·学业考试）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）设为平面内的一组标准正交基，已知，，则向量在基下的坐标为 ． 5．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【变式训练7 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（22-23高二上·湖北荆门·阶段练习）已知平面向量，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山西朔州·阶段练习）在矩形中， ，，为矩形内一点，且，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    5．（22-23高一下·福建福州·期中）已知点，，为终边与单位圆的交点，与轴交于点，与轴交于点. （1）设，，试用表示与； （2）设，试用表示，并求的最小值. 【变式训练8 利用坐标求向量的模】 1．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量a＝（－1，2），b＝（1，3），则|2a－b|＝（　　） A． B．2 C． D．10 3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ． 5．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【变式训练9 由坐标判断向量是否共线】 1．（2024高三·北京·专题练习）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列各组向量中，①，②，③，④，不可以作为基底的是 . 4．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 . 5．（23-24高一·全国·课堂例题）当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？ 【变式训练10 由向量共线(平行)求参数】 1．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知平面向量，则（   ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 4．（24-25高三上·广东中山·期中）已知向量，且向量与不能作为平面向量的一组基底，则 ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)长度相等的向量均为相等向量； (2)给定向量、、，若，，则； (3)若为平行四边形，则必有； (4)若平面上四点A、B、C、D使，则． 【变式训练11 数量积的坐标表示】 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）如图，在方格边长为 的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则 （    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西榆林·模拟预测）在等腰梯形中，为线段上的动点，则的值不可能为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 3．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”：. (1)设，，若，求向量 (2)对于V中的任意单位向量，求的最大值和此时和的夹角. 【变式训练12 向量模的坐标表示】 1．（2024·江西景德镇·一模）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，且如图所示，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知向量，，，则 ． 4．（2023·四川·模拟预测）已知，，若向量，的夹角为，则 ． 5．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，． (1)若与共线，求实数m的值； (2)若，且，求实数的值； (3)若，求实数m的值． 【变式训练13 坐标计算向量的模】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川内江·一模）已知两个向量，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，，若，则 4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知向量，满足，，，则 . 5．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）计算题： (1)已知向量与的夹角为，，，求； (2)已知，，且，求的坐标. 【变式训练14 向量垂直的坐标表示】 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）若向量，，且，则（    ） A．9 B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，曲线上的两点A，B满足，线段的中点M在x轴上，则点M的横坐标为 . 4．（24-25高三上·广西·期中）已知平面向量，则向量和的夹角 ． 5．（24-25高三上·湖北宜昌·期中）已知向量，且. (1)求; (2)求与的夹角. 1．（2024·天津北辰·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河北·模拟预测）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（    ） A． B． C． D． 5．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知向量，则以下说法正确的是（ ） A． B．方向上的单位向量为 C．向量在向量上的投影为 D．若，则 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，点D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F．使得，则 ． 7．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角的得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为 ； 8．（24-25高三上·北京海淀·期中）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 ， . 9．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 10．（24-25高三上·天津河西·期中）在平面四边形中，，，，若，则 ；若为线段上一动点，当取得最小值时，则 . 11．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，. (1)用，表示，； (2)求的余弦值． 12．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在中，，点D，E分别在AB，AC上且满足，P为线段DE上一动点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 13．（22-23高一下·湖北十堰·阶段练习）（1）若向量，已知与的夹角为钝角,则k的取值范围是多少？ （2）在等腰直角三角形中，是线段BC上的点，且，则的取值范围是多少？ 14．（21-22高一下·河南洛阳·阶段练习）已知点. (1)已知点，以为一组基底来表示； (2)若，且点在第四象限，求的取值范围. 15．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知向量. (1)求的值； (2)若向量与垂直，求k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$