第02讲 平面向量的运算（8个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算（8个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 向量加法的法则 题型二 问量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 问量减法的法则 题型六 问量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 数量积的运算律 题型十二 已知数量积求模 题型十三 向量夹角的计算 题型十四 垂直关系的向量表示 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 6．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 7．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 8．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【核心考点一 向量加法的法则】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的三角形法则 如图，已知两个 向量，，在平面上任取一点，分别作 ，则定义从到的向量 为，的和（也称为，的和向量），记作 ，即．当两个非零向量的方向既不相同也不相反时，像这样将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【核心考点二 问量加法的运算律】 【例1】（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·天津红桥·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后 ，等于这个向量本身，即 . 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律： （1）； （2）． 向量，，是否满足该类运算律？ 【核心考点三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点A，作，，作出向量，则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量)．向量与的和向量记作，因此 .这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知、、，求作向量． 【核心考点四 相反向量】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 【例3】（2022高一·全国·专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝ . 【例4】（22-23高一·全国·课后作业）与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，记作： . 【例5】（2022高一·全国·专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量； (4)写出与相反的向量． 【核心考点五 问量减法的法则】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·北京·期中）在三棱锥中，等于（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）定义：已知两个向量，，求满足这样的运算叫作 ．记为，称为 之差． 如图，，，是的三边，记，，由于． 因此，．也可以由，经过加法得到．    【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示， 分别称为点A，B的位置向量.因此，向量等于终点向量减去起点向量.    【例5】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【核心考点六 问量减法的运算律】 【例1】（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【例2】（21-22高一下·浙江·期中）化简等于（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·福建福州·期中）计算 ． 【例4】（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 【例5】（2022高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【核心考点七 向量减法法则的几何应用】 【例1】（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 【例3】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【例4】（22-23高一下·山西大同·阶段练习）设，则的最大值与最小值分别为 . 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【核心考点八 向量数乘的有关计算】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【例2】（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 （1）定义：向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 . （2）运算律：对于任意向量、，任意实数、，有 ； . 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）类比实数乘法的运算律，猜想一下向量的数乘有哪些运算律？ 【核心考点九 平面向量的混合运算】 【例1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为 ．向量线性运算的结果仍是一个 ． 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）化简 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【核心考点十 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高三上·天津武清·阶段练习），点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向 ． 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）点P的位置与的范围的关系： ①当时，与 共线，这时称点P为的内分点. 特别地，当时，有，即点P是线段的中点，其坐标为 ； ②当（）时，与反向共线，这时称点P为的 . 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 【核心考点十一 数量积的运算律】 【例1】（24-25高三上·河南·开学考试）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【例2】（2025·广东·一模）已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【例3】（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 【例4】（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知为单位向量，，则 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，．求． 【核心考点十二 已知数量积求模】 【例1】（23-24高一下·河北·期末）若非零向量，满足，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 【例2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面向量满足，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【例3】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，且，则 ． 【例4】（24-25高三上·北京·期中）若向量满足，且的夹角为，则 ， . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量，，且，，，求． 【核心考点十三 向量夹角的计算】 【例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·浙江·期中）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一上·上海·课前预习）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，则 称为向量、的夹角，记作 ． （1）夹角范围： ； （2）当 时，、同向， 当 时，、反向， 当 时，、垂直． 【例4】（24-25高一下·上海·单元测试）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，向量与垂直，求． 【核心考点十四 垂直关系的向量表示】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量满足，且，则 . 【例4】（2024·湖北·一模）已知平面向量满足，且，则 . 【例5】（22-23高一·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，分别在下列条件下求： (1)； (2)； (3)． 【变式训练1 向量加法的法则】 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 4．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练2 问量加法的运算律】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 2．（22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·全国·课前预习）向量加法的交换律和结合律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律 4．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 5．（21-22高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1) (2) 【变式训练3 向量加法法则的几何应用】 1．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 4．（23-24高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【变式训练4 相反向量】 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 2．（22-23高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 3．（22-23高一·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为 . 4．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是 ． ①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上； ②单位向量一定是相等向量； ③相反向量一定不相等； ④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是， ⑤模为0的向量方向是不确定的． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【变式训练5 问量减法的法则】 1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 5．（24-25高一下·全国·课前预习）类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 【变式训练6 问量减法的运算律】 1．（23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·安徽六安·期中）化简： . 4．（2022高三·全国·专题练习）已知的对角线AC和BD相交于点O，且，，则＝ ，＝ ．(用表示) 5．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【变式训练7 向量减法法则的几何应用】 1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 4．（22-23高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 5．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【变式训练8 向量数乘的有关计算】 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 2．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）实数与向量的乘积是一个 ，记作，其中叫做向量的系数. 它的长度与方向规定如下： （1） ； （2）当时，的方向与 ；当时，的方向与 . （3）特别地，当时， ；当时， . 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 5．（24-25高一上·上海·课前预习）请指出和这两个向量与向量在长度和方向上有什么变化？ 【变式训练9 平面向量的混合运算】 1．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课前预习）向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的 .从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的 . 4．（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式训练10 向量的线性运算的几何应用】 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）设O是内部一点，且，则与面积之比为 . 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【变式训练11 数量积的运算律】 1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在中，边上的中线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（四川省名校联盟2024-2025学年高三12月联考数学试题）已知单位向量满足，则（   ） A．8 B．3 C． D． 3．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 4．（24-25高二上·福建泉州·期中）若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【变式训练12 已知数量积求模】 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 2．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 4．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 5．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【变式训练13 向量夹角的计算】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知单位向量满足，则与的夹角为 . 4．（2024高三·北京·专题练习）若，则向量与的夹角为 ． 5．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【变式训练14 垂直关系的向量表示】 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏盐城·期中）若，，若，则向量与的夹角为 . 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则 ． 5．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·竞赛）已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 7．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 8．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 9．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 10．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 11．（21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 15．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算（8个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 向量加法的法则 题型二 问量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 问量减法的法则 题型六 问量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 数量积的运算律 题型十二 已知数量积求模 题型十三 向量夹角的计算 题型十四 垂直关系的向量表示 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 6．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 7．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 8．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【核心考点一 向量加法的法则】 【例1】（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】. 故选：C. 【例2】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的三角形法则 如图，已知两个 向量，，在平面上任取一点，分别作 ，则定义从到的向量 为，的和（也称为，的和向量），记作 ，即．当两个非零向量的方向既不相同也不相反时，像这样将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 【答案】 非零 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示， （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】运用向量加法的三角形法则可解. 【详解】由图知道，，，，. 故答案为：，，，. 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 【核心考点二 问量加法的运算律】 【例1】（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）化简 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法运算律即可求解. 【详解】. 故选：B. 【例2】（22-23高一下·天津红桥·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量加法的三角形法则可知. 【详解】. 故选：C. 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后 ，等于这个向量本身，即 . 【答案】 保持不变 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）对于实数a，b，c满足以下运算律： （1）； （2）． 向量，，是否满足该类运算律？ 【答案】满足． 【详解】向量，，满足以下加法的交换律、结合律，如下： （1）， （2）. 【核心考点三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 【例2】（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 【答案】 平行四边形法则 【分析】略 【详解】略 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点A，作，，作出向量，则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量)．向量与的和向量记作，因此 .这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 【答案】 三角形法则 【分析】略 【详解】略 【例5】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知、、，求作向量． 【答案】作图见解析 【分析】在平面内任取一点，作，，，利用平面向量加法的三角形法则可作出向量. 【详解】作法：如图所示，在平面内任取一点，作，，， 则． 【核心考点四 相反向量】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 【例2】（21-22高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．若与都是单位向量,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则与是相反向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、向量的模、向量加法减法、相反向量等知识确定正确答案. 【详解】A选项，若与都是单位向量，可能与的方向不相同， 故不能得到，所以A选项错误. B选项，只有方向相同且大小相等才有，所以B选项错误. C选项，若，则，所以， 所以C选项正确. D选项，若，则， 所以与不是相反向量，所以D选项错误. 故选：C 【例3】（2022高一·全国·专题练习）若C是线段AB的中点，则＋＝ . 【答案】 【分析】根据相反向量的加法可求解. 【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB. ∴与方向相反，模相等．∴. 故答案为： 【例4】（22-23高一·全国·课后作业）与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，记作： . 【答案】 【分析】根据相反向量的定义可得结果. 【详解】由题意可知，与向量的模相等，方向相反的向量叫做向量的负向量，该向量为的相反向量，记为：. 故答案为：. 【例5】（2022高一·全国·专题练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量； (4)写出与相反的向量． 【答案】(1)，，，，，， (2)，，，， (3)与 (4)，， 【分析】（1）根据共线向量的定义结合已知条件求解即可， （2）根据已知条件求出与长度相等的向量即可， （3）根据相等向量的定义结合已知条件求解即可， （4）根据相反向量的定义结合已知条件求解即可， 【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EFBC，且EF＝BC. 因为D是BC的中点，所以， 所以与共线的向量有，，，，，，. （2）由（1）可知与的模相等的向量有，，，，. （3）由（1）可知与相等的向量有与. （4）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， 所以，∥， 所以与相反的向量有，，. 【核心考点五 问量减法的法则】 【例1】（2024高二上·北京·学业考试）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B 【例2】（24-25高二上·北京·期中）在三棱锥中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减法法则化简. 【详解】由. 故选：C 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）定义：已知两个向量，，求满足这样的运算叫作 ．记为，称为 之差． 如图，，，是的三边，记，，由于． 因此，．也可以由，经过加法得到．    【答案】 向量的减法 与 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示， 分别称为点A，B的位置向量.因此，向量等于终点向量减去起点向量.    【答案】， 【分析】略 【详解】略 【例5】（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 【核心考点六 问量减法的运算律】 【例1】（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、减法运算求解即可. 【详解】 故选：C. 【例2】（21-22高一下·浙江·期中）化简等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的运算，直接求解即可. 【详解】因为. 故选：A. 【例3】（23-24高一下·福建福州·期中）计算 ． 【答案】 【分析】根据向量加减法运算，即可化简． 【详解】， 故答案为：． 【例4】（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 【答案】/ 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 【例5】（2022高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 【核心考点七 向量减法法则的几何应用】 【例1】（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 【例2】（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得出结论. 【详解】因为，所以， 即，所以点是的中点. 故选：A． 【例3】（24-25高一上·上海·课后作业）若菱形的边长是1，则 . 【答案】1 【分析】根据平面向量的加减运算即可求解. 【详解】. 故答案为:1. 【例4】（22-23高一下·山西大同·阶段练习）设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【分析】根据向量与共线且反向和同向，结合向量模的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【答案】答案见解析 【分析】根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可. 【详解】如图，作，则即为， 再作，则向量即为．    【核心考点八 向量数乘的有关计算】 【例1】（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 【例2】（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【详解】由已知有. 故. 故选：A. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）非零向量与方向 ，且的长度是的 倍. 【答案】 相反 【分析】根据向量的数乘运算的概念可得结论. 【详解】非零向量与方向相反，且的长度是的倍. 故答案为：相反；. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 （1）定义：向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的 . （2）运算律：对于任意向量、，任意实数、，有 ； . 【答案】 线性运算 / / 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）类比实数乘法的运算律，猜想一下向量的数乘有哪些运算律？ 【答案】结合律，分配律 【详解】类比实数乘法的运算律，猜想向量的数乘有结合律和分配律. 【核心考点九 平面向量的混合运算】 【例1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法则计算即得. 【详解】. 故选：A. 【例2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数乘向量的运算律化简求解即可. 【详解】根据向量运算公式可知， . 故选：D. 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘运算统称为 ．向量线性运算的结果仍是一个 ． 【答案】 向量的线性运算 向量 【分析】略 【详解】略 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）化简 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即得. 【详解】 故答案为： 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【核心考点十 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高三上·天津武清·阶段练习），点在边上，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 【例2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 【例3】（24-25高一下·全国·课前预习）向量数乘的几何意义 向量数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向 ． 【答案】放大或缩小 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）点P的位置与的范围的关系： ①当时，与 共线，这时称点P为的内分点. 特别地，当时，有，即点P是线段的中点，其坐标为 ； ②当（）时，与反向共线，这时称点P为的 . 【答案】 同向 外分点 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量数乘及向量之间共线的概念即得. 【详解】证明：因为， 所以， 故，且. 【核心考点十一 数量积的运算律】 【例1】（24-25高三上·河南·开学考试）已知单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据数量积运算性质展开，结合数量积定义即可得解. 【详解】由题知， 所以. 故选：C 【例2】（2025·广东·一模）已知和的夹角为，且，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 故选：C 【例3】（23-24高三上·上海杨浦·阶段练习）已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 . 【答案】 【分析】利用数量积来计算投影数量即可. 【详解】因为且向量，的夹角为 所以， 则在方向上的投影数量为：， 故答案为：. 【例4】（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知为单位向量，，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积运算律得，再代入即可. 【详解】因为， 所以， 又因为为单位向量，可得， 故答案为：. 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，，．求． 【答案】-1 【分析】直接由数量积的定义、运算律即可求解. 【详解】. 【核心考点十二 已知数量积求模】 【例1】（23-24高一下·河北·期末）若非零向量，满足，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】C 【分析】由两边平方化简可得，再根据数量积的不等式关系，结合为非零向量，得出答案； 【详解】因为，所以， 则， 即. 又为非零向量，. 所以，所以的最小值为，无最大值. 故选：C. 【例2】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知平面向量满足，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律求解即得.. 【详解】. 故选：C. 【例3】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模长公式即可代入求解. 【详解】, 故答案为： 【例4】（24-25高三上·北京·期中）若向量满足，且的夹角为，则 ， . 【答案】 1 【分析】第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模. 【详解】，. 故答案为：1；. 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量，，且，，，求． 【答案】 【分析】根据，进行求解. 【详解】根据题意，， 所以. 【核心考点十三 向量夹角的计算】 【例1】（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由于，所以， 由于，所以. 故选：B 【例2】（22-23高一下·浙江·期中）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而利用向量夹角公式可求与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为. 故选：D. 【例3】（24-25高一上·上海·课前预习）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，则 称为向量、的夹角，记作 ． （1）夹角范围： ； （2）当 时，、同向， 当 时，、反向， 当 时，、垂直． 【答案】 0 【分析】根据向量夹角的知识填空即可. 【详解】两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，则称为向量、的夹角，记作． （1）夹角范围：； （2）当0时，、同向， 当时，、反向， 当时，、垂直． 故答案为：；；；0；；. 【例4】（24-25高一下·上海·单元测试）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，结合已知有，由的范围即可得解. 【详解】，     ， ，． 故答案为：. 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，向量与垂直，求． 【答案】 【分析】由数量积的运算律、定义求得即可得解. 【详解】由题意，解得， 因为，所以. 【核心考点十四 垂直关系的向量表示】 【例1】（2024·四川宜宾·一模）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解. 【详解】由已知，即， 又，则， 解得，， 故选：A. 【例2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A和B由图即可判断；对C根据菱形性质即可判断；对D，根据向量加法和图形即可判断. 【详解】对A，因为四边形是菱形，则，故A错误； 对B，由图知，故B错误； 对C，因为四边形是菱形，则，则，故C正确； 对D， ，故D错误； 故选：C. 【例3】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】依题意，，且， 所以， 所以. 故答案为： 【例4】（2024·湖北·一模）已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 所以. 故答案为：. 【例5】（22-23高一·全国·课堂例题）已知向量与的夹角为，，，分别在下列条件下求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)6或 (3) 【分析】（1）根据数量积定义求解即可； （2）分和两种情况，根据数量积定义可得； （3）根据向量垂直的充要条件可知. 【详解】（1） （2）当时，或． 若，则； 若，则． （3）当时，． 【变式训练1 向量加法的法则】 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形法则即可求. 【详解】以，为邻边作平行四边形，可知为所作平行四边形的对角线， 故由平行四边形法则可知对应的向量即所求向量． 故选：B 3．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由条件可得，即可证明. 【详解】证明：∵，， 又E、F是对角线上的两点，且，∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，∴，∴，， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练2 问量加法的运算律】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 2．（22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为为边中点，可得， 又因为，可得. 故选：B. 3．（23-24高一下·全国·课前预习）向量加法的交换律和结合律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律 【答案】 【分析】利用向量加法的交换律和结合律即可得到答案. 【详解】向量加法的交换律:; 向量加法的结合律:; 故答案为：； 4．（23-24高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 5．（21-22高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案. (2) 利用向量加法的结合律，将已知式子变形为，从而可化简得出答案 【详解】（1） （2） 【变式训练3 向量加法法则的几何应用】 1．（2022高三·全国·专题练习）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）设，为单位向量，则的最大值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的性质求解即可. 【详解】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号. 故选：C 3．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【分析】运用向量加法的运算法则和三角形法则可解. 【详解】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 4．（23-24高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 【答案】 5 1 【分析】由向量不等式及取等条件可得. 【详解】由向量加减法的几何意义可知， 由，得， 当方向相同时，， 当方向相反时，， 即的最大值为．最小值为. 故答案为：；. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图可得答案； （2）根据四边形为平行四边形可得答案． 【详解】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形， 所以. 【变式训练4 相反向量】 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23高一下·全国·课后作业）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】非零向量与是相反向量，则有，即，，且方向相反． 故选：A 3．（22-23高一·江苏·课后作业）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为 . 【答案】 【分析】根据ABEF，CDEF，由平面向量的概念求解. 【详解】∵ABEF，CDEF， ∴与方向相反的向量为， 故答案为： 4．（22-23高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是 ． ①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上； ②单位向量一定是相等向量； ③相反向量一定不相等； ④四点不共线，则为平行四边形的充要条件是， ⑤模为0的向量方向是不确定的． 【答案】④⑤ 【分析】根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确． 由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确． 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，． 若，可得且，所以四边形为平行四边形， 当为平行四边形时，可得，所以④正确． 由模为0的向量为，其中的方向是不确定的，所以⑤正确． 故答案为：④⑤. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，点D、E、F分别是、、的中点，根据下列条件，写出相应的向量： (1)与向量相等的向量； (2)向量的负向量； (3)与向量平行的向量． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，，，， 【分析】（1）利用向量相等概念求解； （2）向量的相反向量的概念求解； （3）向量共线的定义求解． 【详解】（1）与向量相等的向量：，； （2）向量的负向量：，，； （3）与向量平行的向量：，，，，，，. 【变式训练5 问量减法的法则】 1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的加减法法则计算． 【详解】， 故选：D． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在矩形中，，，则 ， ． 【答案】 8 【分析】由向量的加法、减法以及模的概念即可求解. 【详解】 在矩形中，因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，8. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，已知四边形是边长为1的正方形，求下列向量的模：    ； ； ； . 【答案】 0 1 2 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：如图所示：   ， 则， ， ， 如图所示：   ， ，则. 故答案为：，0，1，2 5．（24-25高一下·全国·课前预习）类比减法的运算法则“减去一个数等于加上一个数的相反数”，你能定义向量的减法法则吗？ 【答案】减去一个向量等于加上一个向量的相反向量． 【详解】减去一个向量等于加上一个向量的相反向量． 【变式训练6 问量减法的运算律】 1．（23-24高一下·天津河西·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（22-23高一下·安徽六安·期中）化简： . 【答案】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为：. 4．（2022高三·全国·专题练习）已知的对角线AC和BD相交于点O，且，，则＝ ，＝ ．(用表示) 【答案】 【分析】由向量线性运算的减法法则即可求解. 【详解】如图所示： ， . 故答案为：；. 5．（22-23高一·全国·课前预习）化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 【变式训练7 向量减法法则的几何应用】 1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模的定义及等边三角形的定义即可判断. 【详解】，，则， 是等边三角形. 故选：A 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 4．（22-23高一·全国·课后作业）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【分析】利用平面向量的线性运算结合和向量、差向量模的关系可得出结论. 【详解】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面向量的减法法则可作出向量. 【详解】（1）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （2）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （3）解：作，，则，即即为所求作的向量.    （4）解：作，，则，即即为所求作的向量.    【变式训练8 向量数乘的有关计算】 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）已知向量是非零向量，则方向上的单位向量为（    ） A． B． C． D．（且） 【答案】A 【分析】由数乘向量的运算以及单位向量的定义直接判断即可. 【详解】因为，且与向量方向相同，所以为方向上的单位向量. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】 ，   故选：A.   3．（24-25高一上·上海·课前预习）实数与向量的乘积是一个 ，记作，其中叫做向量的系数. 它的长度与方向规定如下： （1） ； （2）当时，的方向与 ；当时，的方向与 . （3）特别地，当时， ；当时， . 【答案】 向量 相同 相反 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非零向量，且，则向量的单位向量 .（用表示） 【答案】 【分析】先写出的单位向量，再由和反向可得. 【详解】由已知，则和反向， 又非零向量的单位向量， 所以向量的单位向量. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课前预习）请指出和这两个向量与向量在长度和方向上有什么变化？ 【答案】见解析 【分析】根据向量的数乘运算即可求解. 【详解】的长度是的3倍，方向与相同，的长度是的3倍，方向与相反. 【变式训练9 平面向量的混合运算】 1．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）在中，为边上的点且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】由，可得，所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）设分别是所在边上的两点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意知，点分别是边上的两点，且满足， 可得. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的 .从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的 . 【答案】 线性运算 线性组合 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高一下·湖北孝感·阶段练习）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，逐一化简，即可求出结果. 【详解】（1） （2）， （3）， （4）. 故答案为：；；；. 5．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式训练10 向量的线性运算的几何应用】 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，点为边的中点，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的线性运算即可得到答案. 【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且， 所以，． 又，， 所以， 故选：D． 2．（2022高二下·河北·学业考试）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图结合向量加减法可得答案. 【详解】由图，，又，. 则. 故选：D 3．（22-23高二上·湖南益阳·阶段练习）设O是内部一点，且，则与面积之比为 . 【答案】 【分析】取中点，借助向量线性运算结合题意可得为中点，再利用三角形面积公式计算即可得解. 【详解】取中点，有，即有， 故为中点，则. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，已知，是两条对角线的交点，是的一个三等分点（靠近点），若，则 ． 【答案】2 【分析】根据条件得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【详解】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 【变式训练11 数量积的运算律】 1．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在中，边上的中线，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用，由数量积定义计算即可． 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（四川省名校联盟2024-2025学年高三12月联考数学试题）已知单位向量满足，则（   ） A．8 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，然后展开计算即可得到答案. 【详解】由于，故. 所以，这就得到，所以. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可. 【详解】由， 由题意且，则.    故答案为： 4．（24-25高二上·福建泉州·期中）若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题：已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先证明，再给出的例子，即可说明的最小值是. 【详解】设的中点为，一方面，有. 所以. 另一方面，有 . 所以，故，即. 这就得到. 当，时，代入即可验证满足条件，且. 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对向量的运算性质的恰当使用. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平面四边形中，，，，，若点为CD上的动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取AB的中点，根据数量积可得，可知当最小时取最小值，根据几何性质分析求解. 【详解】如图，取AB的中点，连接EF，    则． 可知当最小时取最小值， 分别过F，B作CD的垂线，垂足分别为H，G， 当点与重合时，EF取得最小值，易知HF为梯形的中位线， 由已知得，，， 则， 所以的最小值为． 【变式训练12 已知数量积求模】 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，，，则的最小值为 （      ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】借助向量数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 2．（23-24高一下·河南漯河·期中）平面向量是不共线的向量，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法和向量数量积的定义逐项判断即可. 【详解】因为，又不共线， 所以，则，故A和C都不正确； 因为，又不共线， 所以，则，故B不正确，D正确； 故选：D 3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【答案】 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 5．（23-24高一下·广西贺州·阶段练习）已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 【变式训练13 向量夹角的计算】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知向量，满足，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可. 【详解】由题可知， ， 所以 故向量与的夹角为 故选:A 2．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件计算出以及，结合夹角余弦公式求解出结果. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知单位向量满足，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 即，解得， 又，则. 故答案为： 4．（2024高三·北京·专题练习）若，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 5．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【变式训练14 垂直关系的向量表示】 1．（2024·广东河源·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直则数量积为0，建立等式，求得的值，从而得到向量间的夹角. 【详解】由得， 所以，即，所以与的夹角为， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，计算出，所以，即可得解． 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为． 故选：A． 3．（22-23高一下·江苏盐城·期中）若，，若，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】设向量与的夹角为，由，结合向量的运算法则，得到，即可求解. 【详解】设向量与的夹角为，因为，，且， 可得，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】运用平面向量数量积的运算定义和垂直的向量结论可解． 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以， 故答案为：． 5．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件，按照数量积的运算律计算可得结果； （2）利用第（1）问的结论，根据向量垂直的数量积关系计算可求出的值. 【详解】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 1．（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 2．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 3．（2023高一·全国·竞赛）已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给向量相等条件求出，利用对数运算化简即可. 【详解】因为， 所以， 则，解得 则． 故选：C 4．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知向量，满足，，，若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用平方运算可求得和，再由和余弦函数的最值求解. 【详解】根据题意， ，∴ ， 设为的夹角， . 故选：A. 5．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合数量积的运算法则求解. 【详解】因为. 因为，所以. 故选：C 6．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 7．（22-23高一下·安徽淮北·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】先化简为，再利用向量的减法法则化简即得解. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴． 故答案为：2，2. 8．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【分析】取的中点，则，进而可得. 【详解】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故，    故答案为：5 9．（24-25高三上·天津·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合正六边形的性质用表示，进出求出；利用数量积的运算律可得，再求出的最大最小值即可. 【详解】连接，由正六边形性质知，，且是线段的中点， ，又，且不共线， 因此，所以； 如图，取的中点，连接， 则， 由为圆的直径，长度为2，得， 由正六边形的性质知，当点与正六边形的顶点重合时，， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，，， 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 10．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 【答案】 【分析】由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为，，，，， 所以 . 故答案为：. 11．（21-22高一下·吉林延边·期中）如图所示，在中，与相交于点. (1)用和分别表示和； (2)若，求实数和的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案； （2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】（1）由，可得. （2）（2）设，将 代入，则有， 即，解得， 故，即. 12．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 14．（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. 15．（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解； （2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$