第01讲 平面向量的概念（2个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年高一数学寒假衔接讲义（人教版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念（2个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 题型六 平面向量数量积的定义及辨析 题型七 平面向量数量积的几何意义 题型八 用定义求向量的数量积 知识点一 向量有关概念： 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二 平行向量： 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【核心考点一 平面向量的概念与表示】 【例1】（22-23高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【分析】由图形一一列出可得答案. 【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个． 故选：C． 【例2】（22-23高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的概念和表示方法 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 【答案】 大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 【分析】根据题意，结合向量的定义和向量的表示方法，即可求解. 【详解】（1）根据向量的定义得：把既有大小又有方向的量叫做向量； （2）①向量的表示方法，可得有向线段包含三个要素：起点，方向，长度； ②由向量的表示方法得：向量可以用有向线段表示，向量的大小称为向量的长度，记作. 故答案为：大小；方向；起点；方向；长度，有向线段；长度；. 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 【答案】 【分析】根据集合的元素特征，列出集合的所有元素，由此可得集合. 【详解】∵ 且P，Q不重合，， ∴， 故答案为： 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【答案】答案见解析． 【分析】根据有向线段的定义作图． 【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力， 【核心考点二 向量的模】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 【例2】（2021·浙江杭州·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出，即，既可以得出答案. 【详解】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是, 故选:C. 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 【答案】 【分析】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论． 【详解】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则， ，故该船行驶的航程为. 故答案为：． 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【核心考点三 零向量与单位向量】 【例1】（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 【例2】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． 【答案】 长度 0 1个单位长度 【分析】根据向量模、零向量、和单位向量的定义内容以及表示方法填写即可. 【详解】向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作； 零向量：长度为0的向量，记作； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 故答案为：长度；；0；1个单位长度 【例4】（2022高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【答案】以O为圆心的单位圆 【分析】设终点为，则，得到答案. 【详解】设终点为，则，则终点构成的图形是以为圆心的单位圆. 故答案为：以为圆心的单位圆. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． 【核心考点四 相等向量】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由相等向量的定义求解即可. 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 【例2】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【分析】对每个命题分别判断即可得到答案. 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    【核心考点五 平行向量(共线向量)】 【例1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 【例2】（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【答案】D 【分析】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C. 【详解】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确； 若非零向量是共线向量，则未必在同一直线上，A错； 若，则与共线，与共线，但是与未必共线，B错； 由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C错. 故选：D. 【例3】（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据平行向量的概念可判断①；根据单位向量的概念可判断②；根据相等向量的概念可判断③. 【详解】若，则向量不一定与向量平行，故①不正确； 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点时， 终点都在以为圆心，1为半径的圆上，故②正确； 在菱形中，，与方向相同，故，故③正确. 故答案为：②③. 【例4】（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 【答案】或 【分析】根据，，确定模长和方向得到答案. 【详解】因为，， 所以，模相同，方向相同或相反， 所以或. 故答案为：或. 【例5】（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【核心考点六 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 【例2】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本概念、数量积的定义逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同．故A错误； 对于B：向量，满足，则或或夹角为，故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行，故C正确； 对于D，若向量，满足，，的方向可以是任意的，故D错误． 故选：C． 【例3】（2025高三·全国·专题练习）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做向量与的数量积（或内积），记作，即 ．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． 【答案】 【分析】略 【详解】略 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . 【答案】 数量积 数乘向量 【分析】根据数量积和数乘向量的定义，直接填写. 【详解】力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积； 动量实际上是数乘向量. 故答案为：数量积；数乘向量 【例5】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，向量与的夹角是吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不是，因为向量的夹角是指两个向量从起点到终点所形成的夹角， 所以向量与的夹角是的补角． 【核心考点七 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知非零向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据数量积的定义理解判断. 【详解】因为向量，，是非零向量，则一定可以推出， 若成立，结合数量积的几何意义，知在上的投影（或投影向量）相等，不能推出， 故是的必要不充分条件． 故选：B 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影与在方向上的投影必相等 【答案】D 【分析】根据数量积的定义计算即可. 【详解】设 由题意可知, 因为， 所以, 由数量积的几何意义可知: 在 方向上的投影与 在方向上的投影相等, 故选：D. 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【答案】 同向 垂直 反向 【分析】利用平面向量的数量积的定义求解. 【详解】解：定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与同向； ②当θ＝时，向量与垂直，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与反向． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 故答案为：同向，垂直，反向 【例4】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .    【答案】18 【分析】利用平面向量的投影求解. 【详解】依题意得， 则. 故答案为：18 【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰三角形中，根据已知条件求出与的夹角，然后利用投影的定义求解即可； （2）在等腰三角形中，利用等腰三角形的性质及已知条件求出，根据投影的定义求解即可. 【详解】（1）如图，连接AD．    由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为， 所以在方向上的投影为． （2）因为为等腰三角形，且为BC的中点，所以． 又，， 所以． 因为与的夹角为， 所以在方向上的投影为． 【核心考点八 用定义求向量的数量积】 【例1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图形可求得，由向量数量积定义可求得结果. 【详解】由图形可知：，，， . 故选：A. 【例2】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的数量积计算出结果. 【详解】 故选：C 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）已知，与的夹角为，则 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．    【答案】 【分析】首先根据平行线的性质，得到，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为，所以．因为， 所以． 故答案为： 【例5】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； （2）因为,故， 又， 所以. 【变式训练1 平面向量的概念与表示】 1．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，错误； 0乘以任何向量都为零向量，正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，错误； 向量模的平方等于向量的平方，正确； 不一定有，故错误； 故选：C 【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题. 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 3．（23-24高一下·全国·课前预习）向量：一般地，既有 又有 的量称为向量（也称矢量）. 【答案】 大小 方向 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课前预习）定义：像位移这样既有 又有 的量，在数学中称为向量． 【答案】 大小 方向 【分析】略. 【详解】略. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】(1)答案见解析． (2)答案见解析． 【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段； （2）以为起点，向下作长度为的有向线段． 【详解】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为：    【变式训练2 向量的模】 1．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）向量的模 向量的大小，也就是向量的长度，称为的 ，记作 ． 【答案】 模 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课前预习）长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作 ，也就是有向线段的 ，也记作． 【答案】 长度 【分析】略 【详解】略 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【变式训练3 零向量与单位向量】 1．（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 2．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）零向量： 的向量. 【答案】模为0 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二上·上海·课前预习） 的向量叫做单位向量． 【答案】模长为1 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】模长为1的向量为单位向量， 故答案为：模长为1 5．（22-23高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 【答案】见解析. 【详解】试题分析： （1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论． 试题解析： （1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零； （2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零． 按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形， 由多边形的内角和定理可得 ， 解得，且． 故α应满足的条件为，且． 【变式训练4 相等向量】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 3．（23-24高一下·全国·课前预习）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量，向量和相等，记作 . 【答案】 相等 相同 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课前预习）相等向量：方向 、 相等的向量称为相等向量. 【答案】 相同 长度 【分析】略 【详解】略 5．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 【答案】相等，证明见解析 【分析】根据平行四边形的定义及性质可得证. 【详解】设，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 同理，，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 因此，， 则四边形是平行四边形， 所以. 即选择不同的始点作出的向量差相等， 同理可得，选择不同的始点作出的向量和相等. 【变式训练5 平行向量(共线向量)】 1．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】由向量的有关概念逐项判断即可. 【详解】因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动， 且零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确； 根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同， 故两个单位向量不一定相等，故②错误； 向量与互为相反向量，故③错误. 故选：A. 2．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 3．（23-24高一下·全国·课前预习）平行向量（共线向量）：两个非零向量方向 ，则称这两个向量平行（或共线）. 【答案】相同或相反 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课前预习）共线向量 当非零向量， 方向 时，就称，共线，也称，平行，记作 ，并规定 与所有的向量平行． 【答案】 相同或相反 零向量 【分析】略 【详解】略 5．（2023高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 【变式训练6 平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积定义可知当夹角为时，数量积也成立，即可得出结论. 【详解】若，则与的夹角可能为，不一定是钝角，因此充分性不成立； 若与的夹角为钝角，则可得，因此可得，所以充分性成立， 即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】，即，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·课前预习）数量积的定义 设，是任意两个向量，是它们的夹角，则定义 为与的数量积． 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一上·上海·课前预习）向量数量积的定义： . 【答案】 【分析】略 【详解】略 5．（24-25高一上·上海·课前预习）“若两个非零向量的数量积为正，则其夹角为锐角”，这个说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【分析】两个非零向量的数量积符号有其向量角度决定，若角度为0°时，即可判断 【详解】不正确．两个非零向量的数量积符号有其向量角度决定，若角度为0°时，且夹角 两个非零向量的数量积也为正，故不正确. 【变式训练7 平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 2．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用投影的数量的意义计算即得. 【详解】依题意，向量在向量方向上投影的数量为. 故答案为： 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】设，，分析可知点在直线上，点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点， 由可知：点在直线上，点在直线上， 由，可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 则， 可知当且仅当点为，且点为时，取到最小值1. 故答案为：1. 【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【答案】. 【分析】连接，求出、与的夹角可得答案. 【详解】连接，由得O为的重心， A、B、C三点均匀分布在圆周上，为正三角形， 所以，， 所以在方向上的数量投影为.    【变式训练8 用定义求向量的数量积】 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，. 故选：D. 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由已知及向量的数量积公式即可求得. 【详解】由已知有，故. 故选：A. 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    【答案】 2 【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果. 【详解】由图可知， ，其中为在上的投影， 由图可知投影长度为1，且方向与相反， 故. 故答案为：2；. 4．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）若向量与的夹角为，，，则 ． 【答案】1 【分析】利用向量数量积的定义，代入公式计算即可. 【详解】若向量与的夹角为，，，则， 故答案为：1. 5．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为在菱形中，. 故， 故，所以. （2）显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 1．（21-22高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 2．（22-23高三·江西·阶段练习）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得到，再计算得到答案. 【详解】，，则， 与向量同方向的单位向量为. 故选：. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的计算能力. 3．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】 对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 4．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的意义进行判断即可. 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 5．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用数量积的定义可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即必要性成立； 反之，若“”可得，所以， 可得为锐角，但角可能为钝角，不一定为锐角，所以充分性不成立； 故选：B 6．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是 ． 【答案】（﹣1，﹣3） 【解析】先求出方向上的单位向量（，），由题意 ，结合即可得解. 【详解】由题意（0，﹣1），是一个单位向量， 由于（﹣3，﹣4），故方向上的单位向量（，）， ∵点C在∠AOB的平分线上， ∴存在正实数λ使得 ＝）＝， ∵， ，解得 代入得得 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示和模的应用.考查了转化化归思想，属于中档题. 7．（2023高三·全国·专题练习）下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 【答案】0 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤. 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错； 对于③，，则四点可能共线，故③错； 对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. 所以正确的命题有0个， 故答案为：0 8．（22-23高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 9．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角形外心的性质将转化为即可. 【详解】取的中点，因为为正三角形，故为的中垂线， 则外接圆圆心一定在上，如图所示， ， 故. 故答案为： 10．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设，把用表示出来，然后求最小值． 【详解】设，，则，. 从而，故. 故. 当时，. 所以的最小值是. 故答案为：． 11．（21-22高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【分析】根据向量的三角不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 13．（22-23高一下·湖北·期中）我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想.例如：如图甲，在中，D为的中点，则，两式相加得，因为D为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形中，E，F分别为的中点，证明： . （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边上，且，，，，与的夹角为，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）分别在四边形、四边形中表示向量，两式相加再结合相反向量的和为，即可求证； （2）利用已知条件中的“算两次”原理将用和表示，再利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】（1）证明：在四边形中，，① 在四边形中，，② 由①+②，得. 因为E，F分别为的中点，所以， 于是. （2）解：在四边形中，①， 在四边形中，②， 由，，得， 由，得. 所以 . 14．（23-24高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 15．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 【答案】-3 【分析】由平面向量的数量投影公式求解． 【详解】如图，在中，，，， 所以，所以， 因为D是的中点， 所以， 由，得， ∴与的夹角为， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念（2个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 题型六 平面向量数量积的定义及辨析 题型七 平面向量数量积的几何意义 题型八 用定义求向量的数量积 知识点一 向量有关概念： 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点二 平行向量： 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 【核心考点一 平面向量的概念与表示】 【例1】（22-23高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【例2】（22-23高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的概念和表示方法 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【核心考点二 向量的模】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【例2】（2021·浙江杭州·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【例4】（22-23高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【核心考点三 零向量与单位向量】 【例1】（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【例2】（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． 【例4】（2022高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【核心考点四 相等向量】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【例4】（21-22高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【例5】（23-24高一·上海·课堂例题）中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【核心考点五 平行向量(共线向量)】 【例1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【例2】（23-24高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若两个非零向量共线，则必在同一直线上 B．若与共线，与共线，则与也共线 C．若则 D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或 【例3】（2025高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若向量，，则； ②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上； ③在菱形中，一定有. 其中是真命题的为 .（填序号） 【例4】（24-25高一·上海·课堂例题）若，，则 . 【例5】（21-22高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【核心考点六 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）下列说法正确的是（    ）． A．单位向量均相等 B．向量，满足，则，中至少有一个为零向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【例3】（2025高三·全国·专题练习）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做向量与的数量积（或内积），记作，即 ．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． 【例4】（24-25高一上·上海·课前预习）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的 ，（为和的夹角），动量实际上是 . 【例5】（24-25高一上·上海·课前预习）在中，向量与的夹角是吗？ 【核心考点七 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知非零向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影与在方向上的投影必相等 【例3】（23-24高一下·全国·课前预习）定义：已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量与 ； ②当θ＝时，向量与 ，记作⊥； ③当θ＝π时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 【例4】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图所示的是一个圆形，圆心为，、是圆上的两点，若，则 .    【例5】（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 【核心考点八 用定义求向量的数量积】 【例1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）已知，与的夹角为，则 【例4】（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，则= ．    【例5】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【变式训练1 平面向量的概念与表示】 1．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）在等式①; ②；③；④；⑤若，则；正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 3．（23-24高一下·全国·课前预习）向量：一般地，既有 又有 的量称为向量（也称矢量）. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）定义：像位移这样既有 又有 的量，在数学中称为向量． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【变式训练2 向量的模】 1．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．（24-25高一下·全国·课前预习）向量的模 向量的大小，也就是向量的长度，称为的 ，记作 ． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）长度：位移的大小就是A到B的直线距离，记作 ，也就是有向线段的 ，也记作． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【变式训练3 零向量与单位向量】 1．（21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．（24-25高一上·上海·课前预习）零向量： 的向量. 4．（24-25高二上·上海·课前预习） 的向量叫做单位向量． 5．（22-23高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 【变式训练4 相等向量】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 3．（23-24高一下·全国·课前预习）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量，向量和相等，记作 . 4．（24-25高一下·全国·课前预习）相等向量：方向 、 相等的向量称为相等向量. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 【变式训练5 平行向量(共线向量)】 1．（2024高三·北京·专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③向量与相等.其中正确命题的序号为（    ） A．① B．③ C．①③ D．①② 2．（2024高三·北京·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 3．（23-24高一下·全国·课前预习）平行向量（共线向量）：两个非零向量方向 ，则称这两个向量平行（或共线）. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）共线向量 当非零向量， 方向 时，就称，共线，也称，平行，记作 ，并规定 与所有的向量平行． 5．（2023高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【变式训练6 平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高三上·天津河西·期中）设，是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）数量积的定义 设，是任意两个向量，是它们的夹角，则定义 为与的数量积． 4．（24-25高一上·上海·课前预习）向量数量积的定义： . 5．（24-25高一上·上海·课前预习）“若两个非零向量的数量积为正，则其夹角为锐角”，这个说法正确吗？ 【变式训练7 平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为 . 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知为单位向量，满足，则的最小值为 5．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【变式训练8 用定义求向量的数量积】 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，，，则（   ） A．3 B． C．-3 D． 2．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； .    4．（24-25高三上·上海松江·阶段练习）若向量与的夹角为，，，则 ． 5．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 1．（21-22高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高三·江西·阶段练习）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 4．（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一下·北京·期中）在中，“”是“为锐角三角形” 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是 ． 7．（2023高三·全国·专题练习）下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有 个. 8．（22-23高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 9．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 10．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知在一个平面上过点作单位圆的两条切线和，点和点分别为切点，则的最小值是 . 11．（21-22高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 13．（22-23高一下·湖北·期中）我们知道，对一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同则可以构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理，又称“富比尼原理”，是一种重要的数学思想.例如：如图甲，在中，D为的中点，则，两式相加得，因为D为的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形中，E，F分别为的中点，证明： . （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边上，且，，，，与的夹角为，求. 14．（23-24高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，，D是的中点，求在方向上的数量投影. 学科网（北京）股份有限公司 $$