6.2 平面向量的运算-【步步维赢·优练必刷】2024-2025学年高一数学寒假作业

6.2 平面向量的运算 【解析】AB+B心+CA=0.故选D. 新-课预知要求 【答案】D 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握 [对点练习] 平面向量加法运算及运算法则，掌握平 1.AB+MB+Bò+BC+OM化简后等于 面向量减法运算及运算法则， ( A.BC B.AB 2.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算 C.AC D.AM 及运算法则，理解其几何意义 知识点二 向量的减法运算 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直 1.相反向量 关系 与向量a长度 方向 定义 的向量，叫作a的相 新课-预知要求 反向量，记作一a 知识点一向量的加法运算 (1)-(-a)=a 1.三角不等式：|a+b≤ ,当且 (2)零向量的相反向量仍是零 向量 仅当a,b方向相同时等号成立. 性质 (3)a+(-a)=(-a)十a=0 2.向量加法的运算律 (4)如果a,b互为相反向量，那 结合律 a+b= 么a= ,b= 运算律 交换律 1(a十b)+c= a+b=0 2.向量的减法 ●学透用活 (1)定义：向量a加上b的 ,叫 向量求和的多边形法则 作a与b的差，即a-b=a十(-b).求 (1)已知n个向量，依法首尾相接，则 两个向量差的运算叫作向量的减法.减 由起始向量的起点指向末尾向量的终点 去一个向量相当于加上这个向量 的 的向量即为这n个向量的和.这称为向量 (2)几何意义：a一b可以表示为从向量 求和的多边形法则： b的 指向向量a的 的 (2)首尾顺次相接的若干个向量若构 向量 成一个封闭图形，则它们的和为0. 》学透用活 两向量相减，表示两向量起点的字 【例1】△ABC的三边长分别是3， 母必须相同，这样两向量的差向量以减 4,5,则AB+BC+C才等于 向量的终点字母为起点，以被减向量的 A.12 B.2 C.0 D.0 终点字母为终点 ·40· 【例2】化简(1)A方-AD-D心： 何图形的有关定理，将所求向量反复分 (2)(AB-CD)-(AC-BD). 解，直到全部可以用已知向量表示即可， 【解】(1)A-AD-DC=Di-D心 其实质是向量的线性运算的反复应用。 =c克 【例3】在△ABC中，已知O是BC (2)(AB-CD)-(AC-BD)=AB- 上的点，且CD=2BD,设AB=a,AC=b, CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD= 试用a和b表示的AD. (AB+BD)+(DC+C才)=AD+D才=0 [对点练习] 2.化简A-C第-D心+DE+F才 【解】：B,C,D三点共线，且CD= 2BDBD=号BC 知识点三向量的数乘运算 市-不$+BD=A$+号C=$+号 1.向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数入与向量a的积 (C-AB=号A+号AC-号a+, 是一个 ,这种运算叫作向量的 ,记作a,它的长度与方向规 [对点练习] 定如下： 3.在平行四边形ABCD中，点E为CD的 (1)|aa|=入a 中点，BE与AC的交点为F,设AB=a, (2)a(a≠0)的方向 AD=b,则向量B求= 当A>0时，与a方向 B. 当入<0时，与a方向 3a- 3 由(1)知，当=0时，a=0.由(1)(2)可 C.- D. 2 知，(-1)a=-a. 3a- 2.向量数乘的运算律 知识点四向量的数量积 (1)λ(a)= 1.向量的夹角 (2)(λ+)a= (1)定义：已知两个非零向量a,b,O是 (3)λ(a十b)= 平面上任意一点，作OA=a,O=b,则 特别地，我们有（一入）a=一a=入（一a), ∠AOB=0( ≤0≤ λ(a-b)=a-λb. 叫作向量a与b的夹角 3.向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线 (2)性质：当0= 时，a与b同 的充要条件是：存在唯一一个实数a使 向；当0= 时，a与b反向 ◆学透用活 (3)向量垂直：如果a与b的夹角是 用图形中的已知向量表示所求向量， ,我们说a与b垂直，记作 应结合已知和所求，联想相关的法则和几 ·41 2.数量积的性质 [对点练习] 设a,b是两个非零向量，它们的夹角 4.下列命题中错误的是 是，e是与b方向相同的单位向量， A.对于任意向量a,b,有a十b≤a 则(1)a·e=e·a= +b (2)a⊥b台 B.若a·b=0,则a=0或b=0 (3)当a,b同向时，a·b= :当 C.对于任意向量a·b,有|a·b|≤ ab a,b反向时，a·b= .特别地， D.若a,b共线，则a·b=士|a|b a.a= 或a= (4)a·b≤1ab. 随堂达标检测 3.数量积的运算律 1.在四边形ABCD中，AB+AD=AC,则 对于向量a,b,c和实数入，有 四边形ABCD是 ( (1)a·b= (交换律). A.梯形 B.矩形 (2)(λa)·b= (结 C.正方形 D.平行四边形 合律) 2. 向量(A官+MB)+(Bò+BC)+ (3)(a+b)·c= (分配律) OM= ●学透用活 A.BC B.AB (1)求两个向量的数量积，首先确定 c.AC D.AM 两个向量的模及向量的夹角，其中准确求 3.设b是a的相反向量，则下列说法错误 的是 出这两个向量的夹角是求数量积的关键 A.a与b的长度必相等 (2)根据数量积的运算律，向量的加、 B.a∥b 减与数量积的混合运算类似于多项式的 C.a与b一定不相等 乘法运算。 D.a是b的相反向量 【例4】已知向量a与b的夹角为 4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且 120°，且a=4,b=2,求：①a·b;②(a BC=3,点M满足BM=2MA,则 +b)·(a-2b). CM.CB= 【解】①由已知得a·b=a|b· A.2 B.3 C.4 D.6 c0s0=4×2×c0s120°=-4 5.已知x,y是实数，向量a,b不共线，若 ②(a+b)(a-2b)=a2-a·b-2b2=16 (x+y一1)a+(x一y)b=0,则 (-4)-2×4=12. T= ,y- ·42·随堂达标检测 知识点四 1.B有向线段只是向量的一种表示形式，但不 能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其 1.1)0T(2)0元(3)受a⊥b 方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等 2.(1)acos0(2)a·b=0 于0，故④错.故选B. (3)albl-|allb1|al2√a·a 2.B①正确，A官与BA是方向相反、模相等的两 3.b·aa(a·b)a·(ab)a·c+b·c 个向量；②错误，方向不同包括反向共线：③错 对点练习 误，0是一个向量，而0为数量，0=0；④错 1.C AB+MB+BO+BC+OM=AB+BC+ 误，向量不能比较大小，故选B. 3.D由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不 OM十Mi+BC=AC,故选C. 正确.故选D. 2.解：Ai-C第-DC+DE+F才=AB+BC+ 4.①③由向量平行的定义知①正确：两个相等 CD+DE+F才=AE+FA=FE 的非零向量可以在同一直线上，故②不正确： 3.C如图，因为点E为 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量， CD的中点，CD∥AB, 正确，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a 与b不共线矛盾，故③正确 所以以EF AB=2.所 E 5,解：(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关， 所以总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为 以B脉-号B配=号(B武+C市)=号b-7a) AB++BC=70(n mile). a+号b,故选C B(信号接收点) 4.B当a⊥b时，a·b=0也成立，故B错误 40 n mile C(渔船) 30 n mile 随堂达标检测 1.D由平行四边形法则可得，四边形ABCD是 以AB,AD为邻边的平行四边形，故选D. A(港口) 2.C (AB+MB)+(BO+BC)+OM (2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位 (AB+BO)+(MB+BC)+OM=AO+MC 移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小 +OM=(AO+OM)+MC-AM+MC-AC. 为|AC|=√AB+BC2=50(n mile),由 故选C. 于sim∠BAC=号，故方向为北偏东53. 3.C根据相反向量的定义可知，C错误，因为0 6.2平面向量的运算 与0互为相反向量，但0与0相等.故选C. 知识点一 4.B如图所示，过点M作MD⊥CB于点D,则 1.a+b 2.b+aa+(b+c) CD=CB=1,设∠BCM=0,则CM·C市- 知识点二 1CM1·1C第|cos0=1Ci1·|ci1=3×1= 1.相等相反一b -a 3,故选B. 2.(1)相反向量 相反向量 (2)终点终点 知识点三 1.向量数乘相同相反 2.(1)(入)a 11 x+y1=0, (2)a+a 5.22 由已知得 (x-y=0, (3)Aa+ab 解得x=y= 1 3.b=1a 2 ·60·