第03讲 线段的垂直平分线与角平分线（2个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第03讲 线段的垂直平分线与角平分线（2个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线(尺规作图) 题型五 角平分线性质定理及证明 题型六 角平分线的性质定理 题型七 角平分线的判定定理 题型八 角平分线性质的实际应用 题型九 作角平分线(尺规作图) 知识点一 线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. ∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点， ∴PA=PB. 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 3. 尺规作图——作线段的垂直平分线： （1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线CD，CD即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 知识点二 角平分线 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线. 3.三角形的三条角平分线交点： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 4.运用角平分线的性质时应注意以下三个问题： （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直. 5.尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法） （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； （2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； （3）过点P作射线OP，射线OP即为所求. 【核心考点一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点D，E，的周长为，的周长是（） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【例3】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在△中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度取值范围为 ．    【例4】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰的底边，面积为，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，点在边上运动，则的最小值为 ． 【例5】（24-25八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【核心考点二 线段垂直平分线的判定】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【例2】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在中，若，则这个三角形是直角三角形 B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C．三角形的高线将三角形的面积平分 D．若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ． 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）到线段两端距离相等的点的轨迹是 ． 【例5】（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 【核心考点三 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【核心考点四 作垂线(尺规作图)】 【例1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．28 【例3】（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试题）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若．则的周长为 ． 【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 【核心考点五 角平分线性质定理及证明】 【例1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【例2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【例3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，已知是的平分线，，则 ° 【例4】（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【核心考点六 角平分线的性质定理】 【例1】（广东省肇庆一中教育集团初中部2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例2】（天津市河北区2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，平分，于，，则的面积为（   ） A． B． C． D．7 【例3】（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，的面积是15，则 ． 【例4】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，平分．若，，则 ． 【例5】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，平分，，，求的面积？ 【核心考点七 角平分线的判定定理】 【例1】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）到三角形三边距离相等的点是三角形的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【例3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在和中，，，，，交于点，连接下列结论：；；平分；其中正确的是 填序号． 【例4】（24-25八年级上·广东广州·期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 【例5】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【核心考点八 角平分线性质的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【例2】（22-23八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【例3】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【例5】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，已知平分．请说明． 【核心考点九 作角平分线(尺规作图)】 【例1】（广东省广州市九校联考2024-2025学年上学期11月月考八年级数学试卷）按如下步骤作的角平分线：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，D；（2）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交在的内部相交于点C；（3）画射线，则射线为的角平分线．用到作图的依据是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，，．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 (“”“”“”或“”)． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是 ． 【例5】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，已知点均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）． (1)如图1，若点D是的中点，作出的平分线； (2)如图2，若，作出的平分线． 【变式训练1 线段垂直平分线的性质】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 2．（河南省商丘市2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，垂直平分，交于点，交于点，，的周长为，则的周长是 ． 5．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 【变式训练2 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，若，，则的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 5．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，已知在中，是上一点，．求证：． 【变式训练3 作已知线段的垂直平分线】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25九年级上·北京·期中）下面是“作的外接圆”的尺规作图方法． （1）如图，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线； （2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线； （3）直线和直线相交于点O； （4）以点O为圆心，以长为半径作出的外接圆． 上述方法由，得到，从而知经过A，B，C三点．其中获得的依据是（   ） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到角的两边的距离相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    4．（22-23八年级上·吉林·期末）如图是按以下步骤作图： （1）在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点； （2）作直线交于点； （3）连接． 若，，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期中）已知线段． (1)请你用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据你的作图过程和结果，证明：是的垂直平分线． 【变式训练4 作垂线(尺规作图)】 1．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 ． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【变式训练5 角平分线性质定理及证明】 1．（22-23七年级下·浙江·期末）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，已知O为直线上一点，平分，，有下列结论：①；②与互为余角；③与互为补角；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝ ，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝ ，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为 ． 4．（2021八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ． 5．（21-22八年级上·湖北荆州·期中）如图（1），平分，于B，于C，易知：． ①探究：如图（2），平分，，，求证：． ②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分． 【变式训练6 角平分线的性质定理】 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为 ．    4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，且，则的面积是 ． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)； (2)． 【变式训练7 角平分线的判定定理】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在内部有一点，点到三边、、的距离相等，则点一定是（    ） A．三边中线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 4．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式训练8 角平分线性质的实际应用】 1．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 3．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 4．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 5．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由． 【变式训练9 作角平分线(尺规作图)】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，点P是直线l外一点，过点P作直线l的平行线．图②、图③是两种不同的作图痕迹．有如下基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线．其中用到的基本作图有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．无法确定 B．10 C．15 D．30 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是 ． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 5．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边，于点，，连接．若的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期末）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（    ）      A． B． C．垂直平分 D．点与点关于直线对称 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列尺规作图，能判断是边上的中线的是（   ） A． B． C． D． 4．（江西省赣州市蓉江新区2024-2025学年上学期八年级上学期中考试）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且，下列确定点的方法正确的是（   ） A．为两角平分线的交点 B．为的角平分线与线段的垂直平分线的交点 C．为的角平分线与线段的垂直平分线的交点 D．为线段的垂直平分线的交点 5．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．点到边的距离相等 B．平分 C． D．点到、、三点的距离相等 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，，则 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 8．（21-22八年级上·山东德州·期中）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为 ． 9．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小明制作的风筝形状如图所示，他根据，， (1)不用测量就知道，请你运用所学知识给予证明． (2)风筝骨架、的位置关系如何？请说明理由． 12．（湖南省郴州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 13．（广东省广州市九校联考2024-2025学年上学期11月月考八年级数学试卷）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 14．（江西省赣州市蓉江新区2024-2025学年上学期八年级上学期中考试）追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 15．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 线段的垂直平分线与角平分线（2个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线(尺规作图) 题型五 角平分线性质定理及证明 题型六 角平分线的性质定理 题型七 角平分线的判定定理 题型八 角平分线性质的实际应用 题型九 作角平分线(尺规作图) 知识点一 线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. ∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点， ∴PA=PB. 2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 3. 尺规作图——作线段的垂直平分线： （1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； 说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了； （2）作直线CD，CD即为所求直线； 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 知识点二 角平分线 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线. 3.三角形的三条角平分线交点： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 4.运用角平分线的性质时应注意以下三个问题： （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直. 5.尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法） （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； （2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； （3）过点P作射线OP，射线OP即为所求. 【核心考点一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点D，E，的周长为，的周长是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线性质及的周长得到．根据是的垂直平分线，可得，，结合的周长为，即可得到答案； 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为，即 ∴ ∴的周长为：， 故选C． 【例2】（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在△中，的垂直平分线交于点，若，，则的长度取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的三边关系，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 在中，，即， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰的底边，面积为，直线是腰的垂直平分线，若点在上运动，点在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵直线是腰的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图， ∵等腰的底边，面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 【核心考点二 线段垂直平分线的判定】 【例1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用四边形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在中，若，则这个三角形是直角三角形 B．三角形的外角一定大于它的任意一个内角 C．三角形的高线将三角形的面积平分 D．若线段垂直平分线段，则线段必垂直平分线段 【答案】A 【分析】本题考查命题真假判断，熟练掌握三角形的中线、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质是解决问题的关键．根据三角形的中线、外角定义、直角三角形判定、垂直平分线定义及性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、在中，，若，则，得到，则这个三角形是直角三角形，故该选项正确； B、三角形的外角一定大于任何一个与它不相邻的内角，故该选项错误； C、三角形的中线将三角形的面积平分，故该选项错误； D、根据垂直平分线定义及性质，线段垂直平分线段，不一定有线段必垂直平分线段，故该选项错误； 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，一形状为四边形的风筝四边形中，已知，，则此风筝的骨架与即四边形的两对角线有怎样的关系？答： ． 【答案】垂直平分 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据，，得出垂直平分． 【详解】解：垂直平分，理由如下： ， 垂直平分， 故答案为：垂直平分． 【例4】（24-25八年级上·上海·期中）到线段两端距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】线段的中垂线 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，两点间的距离，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是关键．利用垂直平分线的判定定理可以得到答案． 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的中垂线． 故答案为：线段的中垂线． 【例5】（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查垂直平行线的判定，直角三角形全等的判定： （1）根据垂直平行线的判定定理可得点D和点B在线段的垂直平分线上，即可证明； （2）根据证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点D和点B在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 在和， ． 【核心考点三 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，画已知线段的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ∴， ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴的周长为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图．根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴， 故答案为：10． 【例4】（23-24八年级上·全国·课后作业）根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 【答案】中线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，作出关于的对称点，连接即可作出水泵站；作线段的垂直平分线即可作出码头 【详解】解：如图所示，两点的位置即为所求 【核心考点四 作垂线(尺规作图)】 【例1】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质．证明，推出的周长的周长，即可得结论． 【详解】解：以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D， 是的中垂线， ， ， 的周长， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（   ） A．16 B．18 C．20 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：根据作图可知：是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 【例3】（吉林省名校调研系列试卷2024-2025学年八年级上学期第三次月考数学试题）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作垂线，线段垂直平分线的性质，先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则． 【详解】解：在中，，， ， 由作图方法可知垂直平分， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接，若．则的周长为 ． 【答案】29 【分析】本题主要查了尺规作图——作已知直线的垂直平分线，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，再由垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：29 【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 利用基本作图（作线段的垂直平分线）作的垂直平分线，此垂直平分线与的交点为点． 【详解】解：如图，点为所作；    【核心考点五 角平分线性质定理及证明】 【例1】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，熟练掌握三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等是解题的关键． 根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【例3】（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图，已知是的平分线，，则 ° 【答案】60 【分析】根据，，根据是的平分线即可求出的度数． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的概念，角度之间的数量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线的概念，角度之间的数量关系． 【例4】（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，，有下列结论：①；②；③连接，；④过点作交于点，连接，则．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】①根据证明；②由，得到角相等，从而推出；③连接，过点D作，过点D作，根据角平分线的性质，即可判断；④无法证明，从而无法证明． 【详解】∵在与中， ， ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故②正确； 如图，连接，过点D作，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ ∴ 故③正确； 如图，过点作交于点，连接， 若 ∵ 则 ∵ 则 若， 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 故④错误． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是能够根据题目条件，进行推论，能够作出辅助线连接，过点D作，过点D作． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）如图，分别是中的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？ 【答案】 【分析】 根据角平分线的定义和邻补角的定义可得，从而得到． 【详解】 解：，理由如下： ∵、分别是中的内角平分线和外角平分线， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义． 【核心考点六 角平分线的性质定理】 【例1】（广东省肇庆一中教育集团初中部2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷）如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 过点P作于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵是的平分线，于D， ∴， ∵， ∴， 即点P到的距离是4． 故选：C． 【例2】（天津市河北区2024—2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，平分，于，，则的面积为（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解∶过D点作于F，如图 平分，于，于F， ． ， ． 故选∶D． 【例3】（24-25八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，的面积是15，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：过D作于E， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积是15， ∴， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，平分．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式的灵活运用．过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， 解得， 又平分，，， ． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，平分，，，求的面积？ 【答案】35 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，由角平分线上的点到角两边距离相等得到，是解题的关键． 根据题意，作于点，由角平分线的性质可得，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：过点D作于点，如图， ∵，平分，， ∴， ∴． 【核心考点七 角平分线的判定定理】 【例1】（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的判定和三角形内角和定理，由点在内，且到三边的距离相等，则为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴为三角形三个内角的角平分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）到三角形三边距离相等的点是三角形的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 根据，，，得出在的平分线上，同理得出也在、的平分线上，即可得出是三条角平分线的交点． 【详解】解：如图， ，，， 在的平分线上， 同理在的平分线上，在的平分线上， 即：是三条角平分线的交点， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在和中，，，，，交于点，连接下列结论：；；平分；其中正确的是 填序号． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定是解题的关键． 证明，则，，可判断①的正误；由，可得，即，可判断②的正误；如图，作于，于，则，由，，可得是的平分线，，可判断④的正误；由，可得不平分，可判断③的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，，①正确，故符合要求； ∵， ∴，即，②正确，故符合要求； 如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，， ∴是的平分线，，④正确，故符合要求； ∵， ∴不平分，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②④． 【例4】（24-25八年级上·广东广州·期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，即可求解． 【详解】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 故答案为：的平分线和的平分线的交点上． 【例5】（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） 【核心考点八 角平分线性质的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 【例2】（22-23八年级·辽宁大连·期末）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在三条 的交点处． 【答案】角平分线 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应为三条角平分线的交点， 故答案为：角平分线． 【例4】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，已知平分．请说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质可得出，再由已知条件可得出，即可得出，由平行线的性质可得出． 【详解】解∵平分， ∴（角平分线性质）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）. 【核心考点九 作角平分线(尺规作图)】 【例1】（广东省广州市九校联考2024-2025学年上学期11月月考八年级数学试卷）按如下步骤作的角平分线：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点B，D；（2）分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交在的内部相交于点C；（3）画射线，则射线为的角平分线．用到作图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．利用基本作图得到，，又因为为公共边，根据全等三角形的判定方法可证明． 【详解】解：由作法得，， 而又为公共边， 所以根据“”可判定， 所以，即平分． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，，．尺规作图的步骤为：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，交的延长线于点E；②分别以D，E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F；③作射线．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的作图、角平分线的定义，根据三角形外角的性质求出的度数，再由平分即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴， 由题意知∶ 平分， ∴， 故选∶B． 【例3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，用尺规作图：作的平分线的依据是 (“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，证明，可得结论． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 故答案为：“”． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，已知点均在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不需写出画法）． (1)如图1，若点D是的中点，作出的平分线； (2)如图2，若，作出的平分线． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【分析】本题主要考查用直尺作图，三角形的角平分线，中点的概念，掌握三角形的角平分线，中点的概念是解题的关键． （1）连接并延长，交于点E，作射线，则射线即为的平分线； （2）连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线，则射线即为的平分线． 【详解】（1）如图1，连接并延长，交于点E，作射线， 则射线即为所求； （2）如图2，连接交于点M，连接并延长，交于点N，作射线， 则射线即为所求． 【变式训练1 线段垂直平分线的性质】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 2．（河南省商丘市2024-2025学年七年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，垂直平分交于点．若的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质： 由线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分交于点， ∴， ∴的周长， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 4．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，垂直平分，交于点，交于点，，的周长为，则的周长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，进而得出，进一步可得出答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长是 故答案为：24． 5．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到是解题的关键． 根据题意可得，由的周长可得，再根据的周长计算即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， ， 的周长． 【变式训练2 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，若，，则的依据是（   ） A．角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据，，得出直线是线段的垂直平分线，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴若，，则的依据是到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）在中，．若，点A到的距离是6，点O到的距离是4，则（　　） A．2 B．8或10 C．2或10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是求出是的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 分两种情况：①在内，②在外，先根据线段垂直平分线求出是线段的垂直平分线，即可得出，，即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ，， 、都在线段的垂直平分线上， ， 点到的距离为6，点到的距离为4， ，， ①在内， ， ②在外， ． 故选：C． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①/1 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 5．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，已知在中，是上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据可得在的垂直平分线上，又在上，即可得证． 【详解】解：∵ ∴在的垂直平分线上， 又在上， ∴． 【变式训练3 作已知线段的垂直平分线】 1．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，分别交于点F，G，连接，若的周长为16，，则的周长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】该题主要考查了垂直平分线的性质和尺规作图，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 根据作图得垂直平分，得出，，根据的周长为16，推出，再根据的周长求解即可． 【详解】解：根据作图可得：垂直平分， 则，，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）下面是“作的外接圆”的尺规作图方法． （1）如图，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线； （2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线； （3）直线和直线相交于点O； （4）以点O为圆心，以长为半径作出的外接圆． 上述方法由，得到，从而知经过A，B，C三点．其中获得的依据是（   ） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到角的两边的距离相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知直线是线段的垂直平分线， 则的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵直线是斜边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 4．（22-23八年级上·吉林·期末）如图是按以下步骤作图： （1）在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点； （2）作直线交于点； （3）连接． 若，，则的度数为 ． 【答案】42° 【分析】由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线，易得，利用三角形内角和定理可得的度数. 【详解】解：由作图步骤可知MD是线段AB的垂直平分线， 在中， 故答案为：42° 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，正确理解题中所给的作图步骤是解题的关键. 5．（24-25八年级上·河南信阳·期中）已知线段． (1)请你用尺规作图的方法作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据你的作图过程和结果，证明：是的垂直平分线． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的画法和证明，画出线段的垂直平分线是解答关键． （1）根据垂直平分线的画法作出图形即可； （2）连接，，，，根据得到点在线段的垂直平分线上，同理可得点在线段的垂直平分线上即可求解． 【详解】（1）解：作图如下 （2）证明：连接，，，． ∵ ∴点在线段的垂直平分线上． ∵ ∴点在线段的垂直平分线上． ∴为线段的垂直平分线． 【变式训练4 作垂线(尺规作图)】 1．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 2．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N：②作直线交于点D，连接．若，边，则的周长为（   ）    A．7 B．4 C．11 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到角两边的距离相等”得，再由即可求解． 【详解】解：由题意可知， 垂直平分， ， ，， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 ． 【答案】45°/45度 【分析】根据内角和定理求得∠BAC=75°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案． 【详解】解：在△ABC中， ∵∠B=75°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=75°， 由作图可知MN为AC的中垂线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 【变式训练5 角平分线性质定理及证明】 1．（22-23七年级下·浙江·期末）如图，，直线分别交、于点E、F，平分，于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠CFE的度数，又由内角和定理，求得∠GFE的度数，则可求得∠CFG的度数． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∵∠AEF=∠BEM=55°， ∴∠CFE=125°， ∵EG平分∠AEF， ∴∠GEF=∠AEF=27.5°， ∵EG⊥FG， ∴∠EGF=90°， ∴∠GFE=90°-∠GEF=62.5°， ∴∠CFG=∠CFE-∠GFE=62.5°． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义以及角平分线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补． 2．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，已知O为直线上一点，平分，，有下列结论：①；②与互为余角；③与互为补角；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由平分可判断①正确；由可判断②正确；由 ，，所以平分，根据与互补可判断③正确；由与互为余角不能说明可判断④不正确；由与互余可判断⑤正确，据此分析作答． 【详解】解：∵O为直线上一点，平分， ∴，，故①正确； ∵，， ，故②正确； 又， ，即平分， ， ，故③正确； ∵，，，， ∴不能说明，故④不正确； 当时，，故⑤正确． 综上， 正确， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，依题意根据图形正确找出角与角之间的关系是解题的关键． 3．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝ ，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝ ，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为 ． 【答案】 48°， 24°， 96°× 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC， 而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠A1＝96°， ∴∠A1＝48°， 同理可得∠A1＝2∠A2， 即∠A＝2×2∠A2＝96°， ∴∠A2＝24°， ∴∠A＝2n， ∴ ． 故答案为48°，24°，96°×． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 4．（2021八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为 ． 【答案】12 【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可． 【详解】解：∵，， ∴∠BED=∠BCD=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠CBD， 在Rt△EBD和Rt△CBD中， ， Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS）， ∴BE=BC，ED=CD， ∵的周长为， ∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6， ∵的周长为， ∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30， ∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24， ∴BC=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键． 5．（21-22八年级上·湖北荆州·期中）如图（1），平分，于B，于C，易知：． ①探究：如图（2），平分，，，求证：． ②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分． 【答案】①见解析；②见解析 【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△DMB即可； ②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图2， ∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB， ∴DM=DN， ∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°， ∴∠B=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ， ∴△DNC≌△DMB， ∴DC=DB； ②过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图3， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ， ∴△DNC≌△DMB， ∴DM=DN， ∵DN⊥AC，DM⊥AB， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 【变式训练6 角平分线的性质定理】 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为点E，F，，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，由的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·新疆喀什·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为 ．    【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过作于于，由角平分线的性质推出，由三角形的面积求出，得到，即可求出的面积． 【详解】解：过作于于，    ∵和的平分线交于点， ∴， ∵的面积， ， ， ， ∴的面积． 故答案为：9． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，若是射线上一点，且，则的面积是 ． 【答案】18 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出． 过作与，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积． 【详解】解：过作与， 射线是的平分线，， ， ， 的面积． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定， （1）先利用角平分线的性质和垂直定义得到，，再证明，即可得到结论； （2）同理证明，推出，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【变式训练7 角平分线的判定定理】 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，且， ∴点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等， ∴点在第一、三象限角平分线上， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在内部有一点，点到三边、、的距离相等，则点一定是（    ） A．三边中线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线的判定，熟练掌握到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上是解题的关键，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上进行分析即可得解． 【详解】解：∵点到三边、、的距离相等， ∴点一定是的三个内角平分线的交点． 故选：D． 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论． 【详解】解：，，且， ， ，， ， 故答案为：35． 4．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数． 【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G， ∵的平分线与的平分线相交于点E， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定． （1）利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式训练8 角平分线性质的实际应用】 1．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 3．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，过作，根据角平分线的性质，利用 进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作， 则：， ∴ 即： ∵的周长是20， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 4．（21-22八年级上·甘肃武威·阶段练习）在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝8，则点D到斜边AB的距离等于 ． 【答案】8 【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点D到斜边AB的距离等于8． 【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， CD＝8， ∴点D到斜边AB的距离等于CD ∴D到斜边AB的距离为8． 故答案为∶8． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．本题直接运用角平分线的性质即可，比较简单，属于基础题． 5．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由． 【答案】见解析 【分析】作△ABC的任意两个内角平分线，交于点P即可． 【详解】解：如图，点P即为所求； 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键． 【变式训练9 作角平分线(尺规作图)】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，点P是直线l外一点，过点P作直线l的平行线．图②、图③是两种不同的作图痕迹．有如下基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线．其中用到的基本作图有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要是尺规作图的问题， 五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作线段的垂直平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作角平分线； 结合题中图②、图③所画的作图痕迹，运用基本作图的方法即可求解． 【详解】解：图2用到了①作一条线段等于已知线段；③作一个角的平分线； 图3用到了②作一个角等于已知角； 故用到的基本作图是①②③， 故选：B． 2．（24-25八年级上·海南海口·期中）如图，中，，利用尺规在、上分别截取、，使，分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．无法确定 B．10 C．15 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图—作角平分线，由作法得平分，过G作于H，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由作法得平分， 过G作于H， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】此题考查了作图基本作图，角平分线的性质，作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， ∵， ∴， 由作图步骤可得为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图．直接根据角平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，射线即为所求． ． 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边，于点，，连接．若的周长为，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据垂直平分可得，，结合的周长为即可求解． 【详解】解：垂直平分，， ，， 的周长为， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 2．（22-23七年级下·广东深圳·期末）某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（    ）      A． B． C．垂直平分 D．点与点关于直线对称 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的判定及性质可依次判断各选项的正确性． 【详解】解：在和中 ∴． ∴， ． 故选项A，B不符合题意． ∵，， ∴为线段的垂直平分线，即垂直平分． ∴点与点关于直线对称． 故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质，牢记全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列尺规作图，能判断是边上的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线的定义判断即可． 【详解】解：观察图形可知，选项A中，，故线段是的中线， 故选：A． 4．（江西省赣州市蓉江新区2024-2025学年上学期八年级上学期中考试）如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且，下列确定点的方法正确的是（   ） A．为两角平分线的交点 B．为的角平分线与线段的垂直平分线的交点 C．为的角平分线与线段的垂直平分线的交点 D．为线段的垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了作图——复杂作图．熟练掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质，是解题的关键． 利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质进行确定P点位置，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵点P到的两边的距离相等， ∴点P在的平分线上； ∵， ∴P点在的垂直平分线上， ∴P为的角平分线与线段的垂线平分线的交点． 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．点到边的距离相等 B．平分 C． D．点到、、三点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先根据作图痕迹得出是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点在的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得，，结合三角形内角和是可求得，再结合对顶角相等即可求得，判断C说法正确；根据题意可得点是的内心，判断D说法错误；即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹，可得是的角平分线， ∵点在上， ∴点到边、的距离相等；A说法正确； B、∵平分，平分， ∴点到边、、的距离相等， 即点在的平分线上， ∴平分；B说法正确； C、∵平分，平分， ∴，， 故， ∴；C说法正确； D、∵点是三个角的角平分线的交点， ∴点到边、、的距离相等，不是点到、、三点的距离相等；D说法错误． 故选：D． 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据角度的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 8．（21-22八年级上·山东德州·期中）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为 ． 【答案】13 【分析】当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，最小值为AB+AC的长． 【详解】解：如图， ∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=CP， ∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC， ∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小， ∵AB=9，BC=7，AC=4， ∴△ACP的周长9+4=13， ∴△ACP的周长最小值为13， 故答案为13． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 9．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形的面积，过点作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式计算即可．作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【详解】解：∵点到三边的距离相等， ∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）小明制作的风筝形状如图所示，他根据，， (1)不用测量就知道，请你运用所学知识给予证明． (2)风筝骨架、的位置关系如何？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定； （1）根据证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据，，得出垂直平分，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴垂直平分，即． 12．（湖南省郴州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵的垂直平分线交于点D ∴ ∴的周长为：． 13．（广东省广州市九校联考2024-2025学年上学期11月月考八年级数学试卷）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（江西省赣州市蓉江新区2024-2025学年上学期八年级上学期中考试）追本溯源题 来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）（3）． （1）如图1，，，，与交于点．求证：． 方法应用 （2）如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下，当，连接，求（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2），证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴； （3）解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B、D在y轴上，，点D的坐标为，过点B作，交的延长线于点C，且． (1)求的延长线与x轴的交点M的坐标； (2)求点D到的距离． 【答案】(1) (2)点D到的距离是4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点D作于点N，延长与x轴交于点M，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，再根据全等三角形对应边相等可得即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质得到，然后求出，再利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点D作于点N，延长与x轴交于点M， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ． （2）， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故点D到的距离是． 学科网（北京）股份有限公司 $$