第02讲 直角三角形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第02讲 直角三角形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 用HL证全等(HL) 题型三 全等的性质和HL综合(HL) 题型四 判断三边能否构成直角三角形 题型五 图形上与己知两点构成直角三角形的点 题型六 在网格中判断直角三角形 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 题型八 勾股定理逆定理的实际应用 题型九 勾股定理逆定理的拓展问题 题型十 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点一 直角三角形的性质定理 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点二 勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 知识点三 直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 在中，， 【核心考点一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，，，垂足为点，若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【例5】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，在中，于点，求的长及的度数． 【核心考点二 用HL证全等(HL)】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，O画射线，由画法得的依据是 ． 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，，，那么与全等的理由是 ． 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，，求证：． 【核心考点三 全等的性质和HL综合(HL)】 【例1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【例3】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 【例5】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，，于点，于点，求证：． 【核心考点四 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·山东济南·期中）在中，的对边分别记为a，b，c，其中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）分别以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，且．动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)判断的形状并说明理由； (2)当_________时，是等腰三角形？（请直接写出答案） 【核心考点五 图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【例3】（22-23八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【例4】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【例5】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【核心考点六 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 【例4】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【例5】（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【核心考点七 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．30 D．40 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【例5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 【核心考点八 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【例4】（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【例5】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【核心考点九 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【例2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例3】（22-23八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【例4】（22-23八年级上·吉林长春·期末）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 【例5】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【核心考点十 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【例5】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【变式训练1 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 3．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【变式训练2 用HL证全等(HL)】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）小明画的平分线时，设计了以下做法：如图，在边上分别取，过点分别作的垂线，交点为，画出射线．这种做法可由得知，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件 ． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，，垂足分别为，，，．求证：． 【变式训练3 全等的性质和HL综合(HL)】 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，，，，则（      ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，点D、E、F是三边上的点，连接、，．若．则 ． 4．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练4 判断三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（     ） A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【变式训练5 图形上与己知两点构成直角三角形的点】 1．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 4．（22-23八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 5．（22-23八年级·全国·课后作业）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【变式训练6 在网格中判断直角三角形】 1．（24-25八年级上·全国·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的方格中，每个小方格都是边长为的正方形，把正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请按下列要求在答题纸上作出顶点在格点上的三角形． (1)在图中作出等腰三角形． (2)在图2中作出以为直角边的直角三角形． 【变式训练7 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（22-23八年级下·贵州黔南·期中）已知三角形的三条边长分别为10、6、8，则这个三角形的面积为（　　） A．48 B．24 C．30 D．40 2．（23-24八年级下·全国·期末）若的三边长分别为 则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，当长为 时，为直角三角形．    4．（2024八年级上·全国·专题练习）若的三边长分别为，，，要使此三角形成为直角三角形，则 ． 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【变式训练8 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为 ． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中，，，，，则绿地的面积为 ． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． 【变式训练9 勾股定理逆定理的拓展问题】 1．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 2．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2 C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形 D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形 3．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 5．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【变式训练10 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列给出的条件不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 4．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通．    5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中、、的对边分别为、、，下列条件能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是 （填序号） 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则 ． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）一个三角形三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则点到直线的距离是 ． 10．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，货船沿南偏东方向航行海里到达处，客船航行海里到达处，此时两船相距海里，则客船航行方向是 ． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，与中，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求证：． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 14．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直角三角形（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 题型二 用HL证全等(HL) 题型三 全等的性质和HL综合(HL) 题型四 判断三边能否构成直角三角形 题型五 图形上与己知两点构成直角三角形的点 题型六 在网格中判断直角三角形 题型七 利用勾股定理的逆定理求解 题型八 勾股定理逆定理的实际应用 题型九 勾股定理逆定理的拓展问题 题型十 锐角互余的三角形是直角三角形 知识点一 直角三角形的性质定理 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 知识点二 勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 知识点三 直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL） 在中，， 【核心考点一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板的角度运算，由图可得，进而由直角三角形的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，根据，得到，即可求解， 本题考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，，，垂足为点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据，可得，再根据得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键；先根据三角形高的定义得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余得． ，然后再根据 即可得出答案． 【详解】解：∵是 斜边的高， ， ， ， ， 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示，在中，于点，求的长及的度数． 【答案】，，， 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直角三角形的性质．掌握角所对直角边为斜边一半，直角三角形两个锐角互余是解题关键．根据含角的直角三角形的性质可得出，又可得出．再根据，可求出，从而即可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 【核心考点二 用HL证全等(HL)】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可．． 【详解】解：在和中， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握“”是解答本题的关键． 根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：， ， ， ∴要利用“”判定的条件是． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，O画射线，由画法得的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴由画法得的依据是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，，，那么与全等的理由是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·全国·期中）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用“”判断即可，选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】证明：∵ ∴和是直角三角形 ∵， ∴ 【核心考点三 全等的性质和HL综合(HL)】 【例1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，E是上一点，且，过点E作交于点D，连接，如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用证明，利用全等三角形对应边相等得到，根据，等量代换即可确定出的长． 【详解】解∶ ， 在和中 ， 故选∶B． 【例2】（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）如图，在中，，是边上一点，延长至点，使，连接，．若，且的面积为7，则的面积为 【答案】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积计算，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得出，再根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．连接，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，平行线的判定，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明:∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴在和中，， ． ∴， ∴． 【核心考点四 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·山东济南·期中）在中，的对边分别记为a，b，c，其中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据勾股定理及其逆定理可判断A、D选项，根据三角形内角和可判断B、C选项，从而解题． 【详解】解：， ， 故A能判定为直角三角形，不符合题意； ∵，，则，， ， ，则， 故B能判定为直角三角形，不符合题意； ，， ∴最大的角：， 故C不能判定为直角三角形，符合题意； ∵，设，，， ∴，， ， 故D能，不符合题意． 故选：C． 【例2】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）分别以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； B、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形； C、，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形； D、，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， 即，， 故用三根长度分别为、、长的木棍不能围成一个直角三角形． 故答案为：不能． 【例5】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，，，且．动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． (1)判断的形状并说明理由； (2)当_________时，是等腰三角形？（请直接写出答案） 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形； （2）解：分两种情况讨论： ①当时，如图所示： 在中， ， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： ， ． 【核心考点五 图形上与己知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    【例2】（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 【例3】（22-23八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）． 当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图， ∵∠ACP＝90° ∴AC2＋PC2＝AP2， ， 解得，m＝， ∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时， ①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时， ∵∠BCP＝90°，CO⊥PB， ∴PO＝BO＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 【例4】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 【例5】（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 【核心考点六 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度． 【答案】135 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，平行线的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形网格的边长为1， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据格点的性质可得，， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； （2）是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 【核心考点七 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且， ∴是直角三角形，且两直角边的长为6和8， ∴的面积为， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【例5】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）在四边形中，已知，，，，且，求：四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【核心考点八 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 【例5】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】需要投入元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， 在中，， 而， 即， ∴为直角三角形，， ， ∴需要的投入为（元）． 【核心考点九 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（21-22八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【例3】（22-23八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 【例4】（22-23八年级上·吉林长春·期末）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵62+82=102， ∴△ABC是直角三角形， ∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m， ∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答． 【例5】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【核心考点十 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，下列哪组条件不能判定是直角三角形（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和，直角三角形的定义，掌握这三个知识点是解题的关键．根据勾股定理，直角三角形定义进行判定即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、最大角，故不是直角三角形，符合题意； D、由，，得，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能确定是直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可。 【详解】解：①，， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ③， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④，， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形， 故本选项不符合题意； 能确定是直角三角形的条件有①②③，共有个， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 【变式训练1 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形的性质得到，进而得到，则可求出，据此可得结论． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形，由角的直角三角形的性质推出，再根据即可得解．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，图和理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形得，再由，得，即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ； （2）解：，理由如下： 延长与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练2 用HL证全等(HL)】 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题要分两种情况求出，一种情况是，此时可得：；另一种情况是当在内部，在外部时，此时可得：， 【详解】解：如下图所示， 当时，； 如下图所示， 当在内部，在外部时， ，， ， ， ， 要把甲和丙的答案合在一起才完整． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）小明画的平分线时，设计了以下做法：如图，在边上分别取，过点分别作的垂线，交点为，画出射线．这种做法可由得知，其全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定．由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，，垂足分别为，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练运用证明三角形全等．由题意知，，由，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练3 全等的性质和HL综合(HL)】 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，，，，则（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 3．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，点D、E、F是三边上的点，连接、，．若．则 ． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，四边形内角和定理，证明得到是解题的关键．利用证明得到，利用，求出，即可求出，再利用四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，于点E，且，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明得到，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，． ∵， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·重庆潼南·期中）已知：如图，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F．求证：； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②）写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式训练4 判断三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、， ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，，， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（     ） A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．，能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，不符合题意； C．，能组成直角三角形，不符合题意； D．，不能组成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式．首先根据可知这个三角形是直角三角形且为斜边的长度，然后再根据三角形的面积公求解． 【详解】解：三角形三边长为，，， 又， 这个三角形是直角三角形，且为斜边的长度， 这个三角形的面积为 故答案为：． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【详解】（1）解：如图①、图②即为所求． （2）解：如图③即为所求． （3）解：如图④即为所求． 【变式训练5 图形上与己知两点构成直角三角形的点】 1．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）； （2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）； （3）∠BAP=90°； （如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴， 在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=， OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D， 则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6， 易求出P4（2-，0）P6（2+，0） 综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）． 故选B. 考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 4．（22-23八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【详解】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式 【变式训练6 在网格中判断直角三角形】 1．（24-25八年级上·全国·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．点A到直线的距离是2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确； ∴， ∴为直角三角形，，故选项B正确； ∴，故选项D错误； 过点A作于点D， 则， ∴， 即点A到直线的距离是2，故选项A正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了在网格中判断三角形形状，根据勾股定理算出各边长，可得出，即可判断出三角形为直角三角形． 【详解】解：由网格可得：，， ， ， 以为边的三角形的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 4．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质，平行线的性质，①利用勾股定理求解可得结论；②构造，利用面积法求解即可；③平移线段到，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知点A到点的最短距离为，故①正确； 如图，取格点E，连接，，则C，D，F，E共线，过点A作于点H，   ， ， ，故②正确； 取格点J，连接，，延长，交于点K，则， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 直线，所交的锐角为，故③正确； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的方格中，每个小方格都是边长为的正方形，把正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，请按下列要求在答题纸上作出顶点在格点上的三角形． (1)在图中作出等腰三角形． (2)在图2中作出以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形，直角三角形及网格的特征． （1）取格点，使，作即可； （2）取格点，使，作即可． 【详解】（1）解：如图： 即为所求； （2）如图： 即为所求． 【变式训练7 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（22-23八年级下·贵州黔南·期中）已知三角形的三条边长分别为10、6、8，则这个三角形的面积为（　　） A．48 B．24 C．30 D．40 【答案】B 【分析】根据题意，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为， 故选B． 2．（23-24八年级下·全国·期末）若的三边长分别为 则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且两较小的边为直角边， ∴的面积为 ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，      当为直角三角形时， 即 解得，， 同理可得：当时， 由勾股定理得，      ∴ ∴ 解得： 当时， 由得： 解得： 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若的三边长分别为，，，要使此三角形成为直角三角形，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，计算即可得解，熟练掌握吐过三角形的三边长，，满足，那么这个三角形时直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，是斜边，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：在中，，． ∴． （2）在中，，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴． 【变式训练8 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．连接，先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】解：连接，则由勾股定理得， ∵，即， ∴． 这块草坪的面积． 故选：D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，判断出三角形的形状．先设出每两个结之间的距离为a，然后即可表示出各段对应的长度，然后根据两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：设每两个结之间的距离为a，则三段的长度为， ， 此时形成的三角形是钝角三角形， 故选：． 3．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：（平方米）（平方千米）． 故答案为． 4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中，，，，，则绿地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后根据，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：24． 5．（24-25八年级上·全国·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求A、C之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积； (3)若种植草皮费用为5元/平米，则种植草皮的总费用为 元． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 (3)480 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案； （3）利用有理数乘法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米； （3）解：∵种植草皮费用为5元/平米， ∴种植此块草皮的费用为：（元）， 故答案为：． 【变式训练9 勾股定理逆定理的拓展问题】 1．（22-23八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 2．（22-23八年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2 C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形 D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形 【答案】D 【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意； B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意； C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意； D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确． 3．（22-23八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 【答案】6 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 【变式训练10 锐角互余的三角形是直角三角形】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列给出的条件不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判断方法，熟练掌握判断方法是解题关键． 利用内角和定理判断A、B选项，利用勾股定理逆定理判断C、D选项，即可得到答案． 【详解】解：A、，因为，所以，，，故此时三角形不是直角三角形，符合题意； B、，因为，所以，即，此时三角形为直角三角形，不符合题意； C、，所以有，符合勾股定理，根据勾股定理逆定理，此时三角形为直角三角形，不符合题意； D、，变形可得，符合勾股定理，根据勾股定理逆定理，此时三角形为直角三角形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，则（   ）°. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 4．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通．    【答案】12 【分析】先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， ∴12天才能将隧道凿通． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是对文字的理解，是学生在学习过程中需要具备的基本能力，因而此类问题在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，需多加关注． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，中，，于点D，于点F，交于点E，，连接交于点G．下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，外角的性质，先根据，，证明，得到，，，结合，，继而得到，得，判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①②③都正确． 故选D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中、、的对边分别为、、，下列条件能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键． 据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】解：A、在中，， ∴，则，故不能判断是直角三角形，不符合题意； B、在中，，     设， ∴， 解得：， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C、在中，， ∴，故是直角三角形，符合题意； D、在中，，设，     则，故不是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·期末）在 中， ，则 的面积为    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理得出，根据三角形的面积可得出答案． 【详解】∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 4．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）已知是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键． 根据非负数的性质可得关于的等式，继而可得，根据均大于零，且，继而可得，综合两种情况，可判断出的形状． 【详解】解：∵均大于零， ∴且， 又∵，即 故第一种情况，即， ∴是等腰三角形， 第二种情况， ∴是直角三角形 ∴等腰三角形或直角三角形 故选：． 5．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级上·天津·期中）如图，点是线段上一点，是等边三角形．与交于点与交于点与交于点．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分；⑤．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】由“”可证，可得，故①正确；由“”可证，可得，可证是等边三角形，，故③⑤正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由“”可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ，，故①正确， ， ， 又，， ∴， ，， ∴，故⑤正确； ， ∴是等边三角形，故③正确， ∵， ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 不一定等于， 又， 不一定垂直平分，故②错误； 如图，过点作于，于， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 平分，故④正确； 综上所述：正确的有①③④⑤； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边的边长为20，D是中点，点E、F分别位于边上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识．作，，垂足分别为、，证明可推出，再证明，再证明，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为、． 是等边三角形， ，， ∵D是中点， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山西运城·期中）一个三角形三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先设三角形的三边长分别为，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为． ∵其周长为， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别是． ， ∴此三角形是直角三角形， ， 故答案为：96． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，则点到直线的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定了与勾股定理逆定理，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出为直角三角形，设点到直线的距离是为，再由等面积法计算即可得出答案，正确判断出为直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， 为直角三角形，， 设点到直线的距离是为， ， ， ， 点到直线的距离是为， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，货船沿南偏东方向航行海里到达处，客船航行海里到达处，此时两船相距海里，则客船航行方向是 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的实际应用，根据题意得出，，，再利用勾股定理的逆定理得出，进而确定．确定的度数是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴客船航行方向是北偏东， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，与中，与交于点，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据，，，由即可证明； （2）根据，，，由即可证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， 在和中， ， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴； ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，，D是延长线上一点，连接，若，求的长． 【答案】11 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再在中，利用勾股定理可求，然后根据线段和差即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， 在中，， ， 故的长为11． 13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 14．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 15．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等． （1）以为底的等腰，则点在的垂直平分线上，结合，即点到的距离等于点到的距离，即可确定点的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可求出的周长； （2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得，即可得出． 【详解】（1）解：如图：点即为所求． 则， 故的周长为． （2）解：如图：． 理由：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$