专题03 平行关系与垂直关系重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题03 平行关系与垂直关系重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 判断线面平行 题型二 线面平行的性质 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 判断线面是否垂直 题型六 证明线面垂直 题型七 面面垂直证线面垂直 题型八 空间垂直的转化 知识点一、空间中的平行关系 1、直线与平面平行（核心） 定义：直线和平面没有公共点 判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出） 性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行 2、平面与平面平行 定义：两个平面没有公共点 判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线 知识点二、空间中的垂直关系 1、直线与平面垂直 定义：直线与平面内任意一条直线都垂直 判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质：垂直于同一直线的两平面平行 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度 2、平面与平面垂直 定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角） 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【经典例题一 判断线面平行】 【例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【经典例题二 线面平行的性质】 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则= ，四边形的面积为 ． 3．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 3．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 1．（22-23高二上·浙江温州·开学考试）已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与是异面直线 C．若，则与平行或相交 D．若，则与一定相交 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【经典例题五 判断线面是否垂直】 【例5】（24-25高三上·贵州·期中）已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高三上·天津红桥·期中）设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）设正六边形ABCDEF的边长为a，线段PA垂直于正六边形所在的平面，且．分别求点P到CD、DE与BC所在直线的距离． 【经典例题六 证明线面垂直】 【例6】（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 3．（24-25高二上·四川广元·期中）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．    (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 面面垂直证线面垂直】 【例7】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·北京·期中）在三棱锥中，平面，，，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，等边所在的平面垂直于底面，.求证：平面.    【经典例题八 空间垂直的转化】 【例8】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C．6 D． 1．（23-24高三上·天津·阶段练习）设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面给出下列四个命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，，则． 其中正确命题的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 3．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体，则（    ） A．四边形为正方形 B．平面 C．异面直线与所成的角为90° D．若动点P在棱上运动，则的最小值为 7．（24-25高二上·四川内江·期中）棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，点是棱上的动点，则下列选项正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．分别以，，，为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为 8．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知直线是平面外两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（山西省部分学校2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷）如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（   ） A．平面 B．为钝角 C．平面 D． 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知三条直线l，m，n和三个平面，，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（2025高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的 平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 12．（2025高三·全国·专题练习）平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面内的两条 .与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一个平面 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是 .（填“相交”、“平行”、“异面”之一） 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 15．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 16．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点. 若为的中点，求证：平面.    17．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 19．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 20．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行关系与垂直关系重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 判断线面平行 题型二 线面平行的性质 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 判断线面是否垂直 题型六 证明线面垂直 题型七 面面垂直证线面垂直 题型八 空间垂直的转化 知识点一、空间中的平行关系 1、直线与平面平行（核心） 定义：直线和平面没有公共点 判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出） 性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行 2、平面与平面平行 定义：两个平面没有公共点 判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线 知识点二、空间中的垂直关系 1、直线与平面垂直 定义：直线与平面内任意一条直线都垂直 判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质：垂直于同一直线的两平面平行 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度 2、平面与平面垂直 定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角） 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 【经典例题一 判断线面平行】 【例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由可以推出，但由不能推出，选出答案. 【详解】当时，由于，可以得到，充分性成立， 但不能推出，因为可能在内，必要性不成立. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·期中）下列四个命题： ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行； ③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. 其中，真命题的序号是 . 【答案】③④ 【分析】对①，举例子即可说明①错误；对②，根据直线与平面平行的性质即可判断②错误；对③，利用反证法结合线面平行的判定定理可判断③正确；对④，根据直线与平面平行的性质即可判断④正确. 【详解】对于①，如图所示： 满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误； 对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误； 对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交， 若在平面内存在直线，使得， 又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确； 对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确. 故答案为：③④. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【答案】平面、平面与EF平行，理由见解析 【分析】根据三角形重心的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可. 【详解】设是的中点，因为E、F分别是、的重心． 所以为E、F分别在、上， 由三角形重心的性质可知：， 于是有， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因此在四面体中，平面、平面与EF平行. 【经典例题二 线面平行的性质】 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D 1．（2024·山东·一模）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面是边长的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平而满足，，记平面与直线，分别交于点，，则= ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】根据题意作出平面即平面，取中点，利用平行线成比例式可得进而求出的值；通过线面平行的性质得到，，推理得到，故可间接法求得四边形的面积. 【详解】 如图，过点作的平行线分别交的延长线于点， 则分别为的中点，连接，分别交于点，则平面即平面， 取的中点，由是正方形，得连接，则， ，，因此； 连接，因为，平面平面，平面，所以， 所以，， 依题意，,由，得，由，得,从而， 由，得为的中点，由，得,, ,因, 故四边形的面积． 故答案为：； 【点睛】思路点睛：解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得. 3．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】连接AC交BD于点O，连接OM，先根据线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可证明. 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论. 【详解】依题意，作出图形如图所示 设为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，又， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 3．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点. 过点的平面平行于平面且与交于点，求； 【答案】. 【分析】先作图由线面平行得出面面平行，再由面面平行性质定理得出线线平行即可得出线线比例. 【详解】 过作，交于，交于；过作交于. 因为，平面，平面，则平面， 同理平面， 由，且 、平面，所以平面平面， 平面即为题中所述平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以. 因为，所以. 因为为中点，且，所以为中点，所以， 所以，则. 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例4】（2024高三·全国·专题练习）若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理即可得结果. 【详解】∵α∥β，∴α与β无公共点. ∵l⊂α，∴l与β无公共点， ∴l∥β. 故选：. 1．（22-23高二上·浙江温州·开学考试）已知两条不同的直线及两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与是异面直线 C．若，则与平行或相交 D．若，则与一定相交 【答案】A 【分析】由面面平行的性质可判断ABC；由线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于BC，若，则直线没有公共点，直线与平行或异面，BC错误； 对于D，若，当时，与平行，D错误 故选：A 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 【答案】在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】设是的中点，连接，通过证明平面平面，可得线面平行关系. 【详解】设是的中点，连接， 由于是的中点，所以. 由于平面平面，所以平面. 由于是的中点，所以， 由于平面平面， 所以平面. 由于平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【经典例题五 判断线面是否垂直】 【例5】（24-25高三上·贵州·期中）已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直关系以及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】结合题意由“”能推出“”， 由“”不能推出“”，也可能或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 1．（24-25高三上·天津红桥·期中）设，是两个不同的平面，l是一条直线，下列命题是真命题的为（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线与平面间的位置关系判断． 【详解】若，，则或，AD均错； 若，，则或，B错； 对选项C，若，，则， 如图，设是平面内的任意直线，过作平面与平面交于直线， 因为，则， 又由得， 所以，而是平面内的任意直线，所以，C正确． 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）设正六边形ABCDEF的边长为a，线段PA垂直于正六边形所在的平面，且．分别求点P到CD、DE与BC所在直线的距离． 【答案】点P到CD、DE与BC所在直线的距离分别为，， 【分析】P到CD、DE距离相等，可利用线面垂直的判定定理证明出平面，从而证明出，结合勾股定理求解即可. P到BC距离计算，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点Q，连接PQ．则即为P到BC的距离，结合勾股定理求解即可. 【详解】(1)连接AC、PC，因为在正六边形中，所以，则 则则． ∵平面，平面， ∴，而，面 ∴平面PAC，又面则． 因为，面，所以， 所以在直角三角形PAC中，，则，，根据勾股定理可知，即P到CD的距离为． (2)同理，或者由正六边形的对称性知道P到CD的距离和P到DE距离相等，即为. (3)过点A作BC的垂线交CB的延长线于点Q，连接PQ． 因为，面，所以， 又因为面 所以面又面 所以所以P到BC的距离为线段的长度. 由于，在直角三角形QAQ中， . 又面所以所以在直角三角形PAQ中，，， 根据勾股定理可知， ∴P到BC的距离为． 【经典例题六 证明线面垂直】 【例6】（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积探求充要条件为和. 【详解】因为平面且底面为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，则，， 故，， 的充要条件为即： 的充要条件为即： 的充要条件为，即的充要条件为， 故C正确，D错误； 即，此时得不到，故A错误； 对于B，，， 若，则即即， 由A的分析可得的充要条件为不是，故B错误； 综上，选C. 故选：C 1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由勾股定理逆定理证明，结合等边三角形性质及线面垂直的判定得平面， 求相关线段长，从而求的面积，最后由锥体的体积公式即可得解. 【详解】由，得，所以. 因为是正三角形，所以， 又为的中点，所以. 因为平面，所以平面. 因为，分别为和的中点，所以. 因为是正三角形，为的中点，， 所以. 在中，由，易得. 在中，可得，故， 所以. 所以三棱锥的体积. 故选：A. 2．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为 . 【答案】 【分析】先判断出公共部分的位置，然后利用锥体体积公式来求得正确答案. 【详解】记， 由于， 则为的第一个三等分点（靠近），连，是的中点， 由于平面， 所以到平面的距离是到平面的独立的一半， 则公共部分是三棱锥， 又，作，垂足为， 根据长方体的性质可知平面， 所以面，由等面积法可得， 所以，故. 故答案为：    【点睛】方法点睛： 几何图形的公共部分和体积计算：通过分析两个几何体公共部分的几何位置，逐步构造关键点，利用三角形面积和锥体体积公式，最终得出公共部分的体积，此方法清晰有效，能充分展示逻辑推理与代数运算等解题技巧. 3．（24-25高二上·四川广元·期中）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．    (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）先确定截面，再根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）先确定截面，再根据线面平行确定点的位置. 【详解】（1）如图：    因为，，所以平面就是平面. 在正方体中，平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 又平面，平面，，所以平面. （2）取中点，连接，，因为，所以平面就是平面. 当为中点时，，平面，平面， 所以平面. 此时. 故存在点，使直线平面，且. 【经典例题七 面面垂直证线面垂直】 【例7】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定点的位置，再利用几何法求出二面角的余弦值. 【详解】过点作于，连接，菱形边长为2，， 由半圆面平面，半圆面平面平面， 得平面，而的面积是定值，要三棱锥的体积最大， 当且仅当最大，此时为弧的中点，为中点，而为正三角形， 因此，又平面，则平面， 而，则平面，又平面，于是， 则是二面角的平面角，，， 所以二面角的余弦值. 故选：A 1．（24-25高二上·北京·期中）在三棱锥中，平面，，，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用线面、面面垂直的判定及性质确定线面角，进而求出大小. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接， 由，得，而平面，平面，则， 平面，则平面，又平面， 因此平面平面，在平面上的射影为直线， 即是直线与平面所成的角， 由，得， 在中，，. 故选：C    2．（24-25高二上·四川南充·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】确定出球心的位置在中位线上，根据球的性质建立方程，求出半径即可得解. 【详解】设交于点，取的中点，连接， 取的中点，连接，如图， 因为是正三角形，所以， 又因为侧面底面，为交线，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又为的外心，所以三棱锥外接球的球心在上， 设外接球球心为，半径为，连接， 因为底面是边长为2，所以,, 在中，则, 即，可得， 所以，解得, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题确定外接球球心的位置及如何建立关于外接球半径的方程不容易想到，要求有一定空间想象力及思维的灵活性，具有一定难度. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，等边所在的平面垂直于底面，.求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】先应用面面垂直的性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取中点，连接， 是正三角形，为中点，. 又平面平面，且平面平面，平面. 平面. 又平面，. ，且，平面， 平面.    【经典例题八 空间垂直的转化】 【例8】（24-25高二上·北京·期中）我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义找到直线与平面所成角的平面角，结合已知求其大小. 【详解】由题设知，直三棱柱底面为等腰直角三角形，且，， 若是中点，连接，则，且， 由面面，面，面面， 所以面，则直线与平面所成角为锐角， 且面，则， 由题意，在中，则，故. 故选：A 1．（23-24高三上·天津·阶段练习）设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面给出下列四个命题： ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，，则． 其中正确命题的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析即可得答案． 【详解】①若，，，则与平行、相交或异面，故错误； ②若，，则或，又，则，故正确； ③若，，则，又，则或，故错误； ④假设是在面上的投影，，，即，， 若，，，得，故正确．    故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 3．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)直角三角形，证明见解析 【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理，再利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，利用面面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】（1）由已知为直四棱柱， 可知， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； （2）连接，，四边形是正方形， ． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又底面，平面， ， ，，平面， 平面，， 所以是直角三角形. 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】A中或； B中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可；C中，可能平行、相交或异面； D中或. 【详解】对于A，若且，则或，故A错误； 对于B，若是异面直线，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故B正确； 对于C，若，，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 【答案】B 【分析】先证明命题：如图，不共面，设中最大，则．从而得证命题是共顶点的三条射线，设中最大，则，当且仅当射线在内时等号成立．然后由此结论判断命题（1）（2）． 【详解】如图，不共面，设中最大，则． 在上取点，上取点，在平面内作，交于点，作，交于， 则，所以，， 因为，所以， 和中，，而，所以（可由余弦定理证明，这里证明略）， 所以，即， 当射线在平面内且在内时，， 所以对空间任意三条射线，都有，从而在三个角中任意两个角的和不小于第三个角． 根据上述结论，，当且仅当射线在内时等号成立， 即，所以（当且仅当在线段上时取等号），从而的最大值是， 而保持不变，把绕旋转，使得增大，则，将减小，可以无限接近于0，但无最小值， 所以命题（1）正确， 由命题（1）知，，， 因此，从而， 当在线段内部，且与重合时，等号成立，此时， 因此，最大值是．命题（2）错， 故选：B． 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用空间线面位置关系逐项分析判断即可. 【详解】若，则,故A选项正确； 由，，可以推出，故B选项正确； 由平面与平面垂直的判定定理可知，若，则，故C选项正确； ，，则或异面，故D不正确. 故选：D. 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体，则（    ） A．四边形为正方形 B．平面 C．异面直线与所成的角为90° D．若动点P在棱上运动，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用正八面体棱长性质，结合正方体性质判定A，B; 找出是异面直线与所成的角，结合等边三角形性质，判定C; 将沿着翻折，使得与在同一平面内,找出平面内最小情况，结合余弦定理计算即可. 【详解】由正方体及正八面体的关系可知，正八面体各棱均相等，故四边形 是菱形， 易求得，，所以，即四边形为正方形，A正确； 同理可证得四边形 为正方形，所以， 又平面，平面，所以平面，B正确； 由，可知是异面直线与所成的角， 而由为等边三角形可知，即异面直线与所成的角为60°，C错误； 将沿着翻折，使得与在同一平面内，则可得菱形， 此时与的交点P即为使取最小值的点P， 此时， 即的最小值为，D正确. 故选:ABD. 7．（24-25高二上·四川内江·期中）棱长为2的正四面体中，，分别是，的中点，点是棱上的动点，则下列选项正确的有（   ） A．存在点，使得平面 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．分别以，，，为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为 【答案】BCD 【分析】将正四面体放入正方体中，假设存在点，使得平面，由面面平行的判定定理得平面平面，这与平面平面，矛盾可判断A；当与重合时，连接，根据得出可判断B；将、展开到同一平面，连接可判断C；求出正四面体的外接球的半径，由勒洛四面体的对称性可知，内切球切在每一个球面的中心，顶点到切点的距离为2，由可判断D． 【详解】对于A，将棱长为2的正四面体放入如下图所示的正方体中， 假设存在点，使得平面，则点不与线段端点重合． 又因为，平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面． 又因为平面平面，所以平面平面． 但平面与平面有公共点，所以假设不成立． 所以不平行平面，故A不正确； 对于B，将棱长为2的正四面体放入如下图所示的正方体中， 如下图当与重合时，连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为，所以，故B正确； 对于C，将、展开到同一平面，连接， 如图，为，的交点时， 的最小，因为、都是边长为2的等边三角形， 所以， 由余弦定理可得， 可得的最小值为：，故C正确； 对于D，设正四面体的外接球球心为，半径为，则， 取的中点，连接，连接交平面于点， 则点是的中心，且点在上，正四面体的棱长为2， 则，，，， ，， 由勾股定理得，即， 解得，此时，我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图， 设勒洛四面体的内切球的半径为， 由勒洛四面体的对称性可知，内切球切在每一个球面的中心， 而顶点到切点的距离为2，故．选项D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置. 8．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知直线是平面外两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据空间中线线、线面位置关系一一判断即可. 【详解】对于A:若，则可以平行，相交，异面，A选项错误； 对于B: 若，，此时或，已知直线是平面外的直线,故B选项正确； 对于C: 两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故C选项正确； 对于D: 若，则存在使得， 又，所以，则，故D选项正确. 故选：BCD. 9．（山西省部分学校2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷）如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（   ） A．平面 B．为钝角 C．平面 D． 【答案】ACD 【分析】利用，，可判断A；由题意易得，可判断B；过点作平面于，连接，由题意易得平面，从而可得在平面内，设正面体的棱长为，可证是平行四边形，从而可证平面，可判断D，利用线面垂直可得面面垂直，进而可得平面，可判断D. 【详解】对于A，因为，为的中点，所以， 从而可得为，，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为四面体恰好为正四面体，所以，所以， 所以，所以，所以，故B错误； 对于C，过点作平面于，连接， 因为，易得，所以， 因为，是的中点，所以，所以在直线上， 又，，又，平面， 所以平面，所以，所以过有唯一平面， 设正面体的棱长为，则可得，， 在中，由余弦定理可得， 又是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 又易得，又，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，所以平面，故C正确； 对于D，又平面，所以平面平面， 又平面平面，由选项C可知，又平面， 所以平面，又平面，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知三条直线l，m，n和三个平面，，，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AD 【分析】对于A：根据平行线的传递性即可判断；对于BC：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D：根据面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于选项A：若，，则，故A正确； 对于BC,在正方体中， 选项B：取为平面，为平面，，符合题设， 但平面，故B错误； 选项C：取为平面，为平面，， 但平面与平面相交，故C错误； 对于选项D：若，， 显然，所以，故D正确； 故选：AD. 11．（2025高三·全国·专题练习）直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的 平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行 【答案】 一条直线 交线 【分析】略 【详解】略 12．（2025高三·全国·专题练习）平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面内的两条 .与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一个平面 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条 平行 【答案】 相交直线 平行 相交 交线 【分析】略 【详解】略 【点睛】 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是 .（填“相交”、“平行”、“异面”之一） 【答案】相交 【分析】由两个平面平行判断两条直线的位置关系即可. 【详解】若两个平面平行，则两个平面没有公共点，所以分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，不可能相交. 故答案为：相交. 14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 【答案】 【分析】平面、平面，平面，再由线面垂直的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】由正方体性质知，平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又面对角线， 所以， 同理平面，平面， 可得，， 所以与垂直的面对角线共有6条. 故答案为：6. 15．（24-25高一上·全国·期中）如图，已知棱长为的正方体，顶点在平面内，其余顶点都在平面同侧，且顶点到平面的距离分别为，则等于 ． 【答案】 【分析】证明平面，进而可得平面平面，即可根据，在平面的射影，与共线，利用锐角三角函数求解. 【详解】设，显然是的中点， 因为平面，到的距离为4， 所以到的距离分别为2，而到的距离为2， 因此，即，设平面， 所以，因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因此有平面，而， 所以平面平面，平面平面，， 所以，在平面的射影，与共线， 显然，如图所示： 由，， 由（负值舍去）， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据，即，设平面，根据线线垂直证明平面，因此有平面，即可得平面平面，利用投影共线，即可根据锐角三角函数求解. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点. 若为的中点，求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理得证，则可由线面平行的判定定理得证. 【详解】如图所示，连接，因为为的中点， 为的中点，所以. 又因为平面， 平面，所以平面.    17．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】连接，如下图所示： 由于平面，平面，则. 且，，则. 又，则，故. 又，则，又， 则四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 则平面； 由于，，则.又， 则， 则，则，则. 平面，平面， 则平面； 又平面，结合平面，平面， 可得平面平面. 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，得到平面，从而，设，由求解； （2）取线段AB的中点F，连接EF，FD，论证平面平面即可. 【详解】（1）解：因为平面，即平面， 又平面，所以, 设，则， 又，解得； （2）如图所示： 取线段AB的中点F，连接EF，FD， 因为E，D为中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面， 又，所以，同理平面， 又， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. 19．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 20．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥． (1)证明：平面； (2)当二面角为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）由（1）结合二面角大小可得正，取的中点，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定性质求出点到平面的距离即可. 【详解】（1）在梯形中，， 则四边形为平行四边形，而， 则是矩形，即， 在四棱锥中，， 而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 即，又， 则是正三角形，取的中点，连接，， 则有，又平面， 于是平面， 而，则平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，而平面平面， 因此平面， 又，平面，平面， 所以平面， 于是点到平面的距离等于，而，由（1）知，平面， 则平面，又平面，则， 而，则， ， 所以点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$