第十五章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第十五章 分式 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的概念：分母中含有字母的式子是分式，根据概念即可求解． 【详解】解：是整式， 的分母中含有字母，所以是分式 故选：A． 2．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、，是最简分式，符合题意； 故选：D． 3．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 4．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 5．把分式中的x、y的值同时缩小为原来的，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据题意，将分式中的x、y分别变成、，再利用分式的基本性质即可解答． 【详解】解：分式中的x、y的值同时缩小为原来的， 则分式的值为， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：C． 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 7．如果关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程有增根，即分母为0得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株， 根据题意得， 故选：D． 9．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， ∵分式方程无解，即产生增根， ∴令，得， ∴， 解得； 综上，当或时，分式方程无解， 故选：． 10．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据所列方程，结合“单价总价数量”，进行分析即可求解． 【详解】解：∵甲商店购买篮球消费满元，送两个篮球，在甲商店购买，正好能用元经费买够数量， 乙商店有促销活动，篮球单价打七折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元， ∴在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个， 在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的七折， 若方程①中的表示篮球的数量， 则表示在乙商店购买篮球的单价，表示在甲商店购买篮球的单价， 根据乙商店篮球的单价是原价的七折，即可列出方程； 方程②中的表示篮球的单价， 则表示在甲商店购买篮球的数量，表示在乙商店购买篮球的数量， 根据篮球的数量是固定的，即可列出方程． 故选：C． 二、填空题 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，注意符号问题． 由已知条件化简得到，整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．已知，则的值为 ． 【答案】119 【分析】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．根据，通过变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：119． 13．若分式的值为零，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可 【详解】解：分式的值为零， ，， ， 故答案为：． 14．已知实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得：，，代入原式后化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴代入到上式，即原式， ， ， ， 故答案为：． 15．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和分式方程的解，熟练掌握含参数的不等式组及含参数的分式方程的解法是解题的关键．根据一元一次不等式组的解法解出不等式，再根据题意得到，有分式方程的解法得到，结合题意得到所有满足条件的整数的值，将它们的绝对值相加即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， ， 解得， ， ，且， 则 关于的分式方程的解为正整数， 或或或， 又， 或0或6， 所有满足条件的整数的绝对值之和为． 三、解答题 16．按题目要求计算或因式分解： (1)计算： ①； ②； (2)因式分解：； (3)约分： 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，整式的运算，因式分解和分式的化简： （1）①先进行开方，乘方，去绝对值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可； ②先进行乘法运算，再合并同类项即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）将分子，分母进行因式分解后，约去公因式即可． 【详解】（1）解：①原式； ②原式； （2）原式； （3）原式． 17．如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了分式的化简求值，积的乘方以及负整数指数幂的计算； （1）根据异分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，根据已知等式得出，据此求出x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得： （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 原式 18．某商店两次前往厂家购进一种货物甲，第一次共花费3500元，第二次进货时，厂家由于某种客观原因，将货物甲每件单价提高了，该商店最终决定比第一次少购进7件，第二次共花费4000元． (1)该商店第二次购进了货物甲多少件？ (2)该商店第三次前往厂家购进货物乙与货物丙，计划共购进这两种货物恰好100件，货物乙每件30元，货物丙每件36元，若该商店第三次共仅有3200元可供使用（可以剩余），则按计划购买至少要购进货物乙多少件？ 【答案】(1)140 (2)67 【分析】（1）设该商店第一次购进了货物甲的单价为x元,则第二次购进甲货物的单价为元，根据题意，得，解答即可． （2）设按计划购买至少要购进货物乙x件,则购进丙货物件，根据题意，得，解不等式解答即可． 本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解不等式，正确确定等量关系是解题的关键． 【详解】（1）设该商店第一次购进了货物甲的单价为x元,则第二次购进甲货物的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故(件)． 答：该商店第二次购进了货物甲140件． （2）设按计划购买至少要购进货物乙x件,则购进丙货物件， 根据题意，得， 解得， ∵m是正整数， ∴m至少是67， 故至少购买乙货物67件． 19．对于正数x，规定：． 例如：，，． (1)求值：__________；__________； (2)猜想：__________，并证明你的结论； (3)求：的值． 【答案】(1)1，1 (2)1，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可． 【详解】（1）解：；； ； ；； ； 故答案为：1；1； （2）解： 证明：； ； 故答案为：1； （3）解： ． 20．去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 【答案】(1)甲工作了天，乙工作了天 (2)丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，掌握一元一次方程，分式方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意，设甲工作了天，则乙工作了天，由此列式求解即可； （2）根据题意可得设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工作了天，则乙工作了天， ∴， 解得，， ∴ 甲工作了天，则（天）， 答：甲工作了天，乙工作了天； （2）解：设丁工程队每天可完成平方米，则丙工程队每天可完成平方米， ∴丙工程队工作的时间为，丁工程队工作的时间为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 则（平方米）； 答：丙工程队每天可完成平方米，丁工程队每天可完成平方米． 21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 22．今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 【答案】(1)采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元 (2)翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式方程的应用，列出等量关系式是解题的关键． （1）设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元，可得方程组，解方程组可得答案； （2）设翻新旧的小书柜元/个，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为元和元， 则， 解得：， 答：采购1张文化墙贴和1个小书柜的价格分别为50元和300元． （2）解：设翻新旧的小书柜元/个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解．     则总共投入（元）． 答：翻新1个旧的小书柜需要100元，本次社区投入了13600元． 23．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【详解】解：（1）∵ 又， ∴； ∵ ， 又， ∴， 故答案为：1；； （2）∵ ， 又， ∴； （3） ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 分式 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．在下列分式中，最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 4．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 5．把分式中的x、y的值同时缩小为原来的，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 7．如果关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 8．石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 10．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 二、填空题 11．若，则 ． 12．已知，则的值为 ． 13．若分式的值为零，那么的值为 ． 14．已知实数满足，则 ． 15．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 三、解答题 16．按题目要求计算或因式分解： (1)计算： ①； ②； (2)因式分解：； (3)约分： 17．如果等式恒成立， (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 18．某商店两次前往厂家购进一种货物甲，第一次共花费3500元，第二次进货时，厂家由于某种客观原因，将货物甲每件单价提高了，该商店最终决定比第一次少购进7件，第二次共花费4000元． (1)该商店第二次购进了货物甲多少件？ (2)该商店第三次前往厂家购进货物乙与货物丙，计划共购进这两种货物恰好100件，货物乙每件30元，货物丙每件36元，若该商店第三次共仅有3200元可供使用（可以剩余），则按计划购买至少要购进货物乙多少件？ 19．对于正数x，规定：． 例如：，，． (1)求值：__________；__________； (2)猜想：__________，并证明你的结论； (3)求：的值． 20．去年，松树桥中学为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，对教学楼走廊，下水管网，校园外墙进行了大力改造，新设计了系列文化景观，构建了一个文化生态空间． (1)第一期的改造工程面积为88平方米，由甲，乙两人先后接力完成，若甲每天可以完成10平方米，乙每天可以完成8平方米，共用10天完成，求甲，乙两人分别工作了多少天？ (2)由于第一期改造工程效果良好，学校计划对A校区综合楼外墙共计400平方米进行改造，由丙工程队负责，在B校区装修160平方米教学楼走廊，由丁工程队负责，若丙工程队每天可完成的工作量比丁工程队每天可完成的工作量多5平方米，丙工程队完成的时间是丁工程队完成时间的2倍，求丙，丁工程队每天可完成的工作量分别是多少平方米？ 21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 22．今年的“双11”商战火爆，各大商家积极促销．某社区准备采购文化墙贴和小书柜来更新社区设施，发现购买5张文化墙贴和4个小书柜共需1450元；若购买6张文化墙贴和3个小书柜共需1200元． (1)求出采购1张文化墙贴和1个小书柜，各需要多少钱？ (2)经测算，除了采购一部分新的小书柜，还可以分两次对现有的部分小书柜进行修复翻新，会减少一些开支．若第一次翻新部分旧的小书柜的费用为4000元，第二次准备翻新余下旧的小书柜时，发现翻新1个小书柜的成本上涨了，第二次翻新余下旧的小书柜的费用是3600元，且第二次翻新旧的小书柜的数量比第一次翻新旧的小书柜的数量少10个．那么翻新1个旧的小书柜需要多少元？本次社区打算购买30张文化墙贴、采购15个新的小书柜和翻新全部旧的小书柜，那么社区在更换社区设施上，投入了多少元？ 23．阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$