专题11 空间几何体解答题（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高三数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题11 空间几何体解答题 线面角 1．（23-24高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得； （2）选①，由题意及去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及结合勾股定理的逆定理去推导得到、、两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题. 【详解】（1） 连接点与中点、连接，又，分别为棱，的中点， 故、，又底面是正方形， 故、，故且， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）选条件①：， 由且为等腰三角形，故，又， 故，有， 由，，、平面，， 故平面，又平面，故， 故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则、、， 令平面的法向量为， 则有，即，令，则， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 条件②：， 由且为等腰三角形，故，又， 故，有， 由，则，故，又， 故，又，、平面，， 故平面，又平面，故， 故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则、、， 令平面的法向量为， 则有，即，令，则， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值． 条件①：；条件②）：；条件③）：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解. 【详解】（1）取中点,连接 由于分别为的中点，所以, 又,所以, 因此四边形为平行四边形， 故平面,平面, 故平面    （2）由于平面平面，且交线为，又，平面，所以平面， 平面，故 若选①：； 因此，两两垂直， 故建立如图所示的空间直角坐标系，   , 故, 设平面法向量为， 则， 取，则， , 设与平面所成角为，则， 若选择条件②）：； ，，平面 所以平面平面故， 因此，两两垂直， 以下与选择①相同. 若选择条件③）：． 因为，所以由可以推出， 此时推不出.此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件， 3．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.    (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选条件①，根据面面垂直的性质推出平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；选条件②，根据勾股定理逆定理证明，可得平面，继而推出，再结合题意，根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）由（1）可得平面，则可得平面，由此建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）选条件①：平面平面， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面， 所以. 因为为等边三角形，点为的中点， 所以，因为平面平面， 所以平面. 选条件②： 因为，为等边三角形，所以， 因为，则， 所以为直角三角形，所以， 因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等边三角形，点为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为，由（1）知平面， 所以平面. 如图，以点为原点，过点A在平面ABC内作AC的垂线作为x轴， 分别以所在直线为轴､轴建立空间直角坐标系，    所以， 所以. 因为点为上一点，设， 所以. 因为，则，所以， 所以，所以，所以. 设平面的法向量为，所以， 所以，令，得， 所以. 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求四面体的体积. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过证明 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的大小. （3）先求得到平面的距离，进而求得四面体的体积. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 由于平面平面且交线为，平面，所以平面， 由于平面，所以， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面； （2）因为平面，，所以平面， 平面，所以，而平面， 平面，所以， 由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， 由于，所以， 所以直线与平面所成角的大小为. （3）因为， 所以点到平面的距离， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 所以四面体的体积. 5．（23-24高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由四棱柱性质可得为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得平面； （2）由面面垂直的性质以及线面垂直判定定理可求得三条棱两两垂直，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得结果. 【详解】（1）连接，如下图所示： AI   在四棱柱中，侧面为平行四边形， 所以，, 因为，，为中点， 所以，， 所以，, 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面， 所以平面， （2）在正方形中，， 因为平面平面，平面平面； 所以平面，而平面， 即可得， 因为，平面，与相交， 所以平面，而 平面， 即； 如图建立空间直角坐标系.    不妨设，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，， 于是； 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（23-24高三上·北京大兴·期末）如图.在三棱柱中，平面，，，、分别为、的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面，所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意先由线面垂直的性质得到线线垂直，再借助线线垂直得到线面垂直，即可得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得. 【详解】（1）平面，平面，， 又，且为中点，， 又、平面，且， 平面，又平面， 平面平面； （2）取中点，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，由，，， 则，， 即、、、， 则、、， 令平面的法向量为， 则有，可取，则， 则， 故直线与平面，所成角的正弦值. 7．（22-23高三上·北京东城·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，可证明平面平面，故平面，从而可证明，可得为的中点； （2）选择条件①，可得两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值； 选择条件②，利用勾股定理的逆定理可得，可得两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，易知. 因为平面,平面,所以平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 因为平面，且平面平面，所以. 因为为的中点，所以为的中点. （2）选择条件①：， 因为底面是边长为2的正方形，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 选择条件②：， 因为，,所以. 因为，,所以, 所以，即. 因为底面是边长为2的正方形，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 故直线与平面所成角的正弦值为. 8．（22-23高三上·北京丰台·期末）如图，已知正方体中，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，证明即可. （2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：连接交于，连接， 是中点，是的中点，故， 平面且平面，故平面； （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方形边长为，则，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，. 直线与平面所成角的正弦值为 9．（22-23高三上·北京大兴·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行即可由线面平行的判定定理求证， （2）根据空间向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角. 【详解】（1）连接，，与交于点， 因为底面是直角梯形，，为的中点. 所以且，即为平行四边形， 所以点是中点，连接，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为为等边三角形，为的中点，所以. 又面面，面面，平面,所以面， 又因为，，所以. 如图建立空间直角坐标， 可知，，，,， 易知，设平面的法向量为， 且，， 即 取，则， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 10．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解 【详解】（1）证明：取AB的中点为K，连接MK，NK， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，，则， 而平面，平面，故平面， 而，，则，同理可得平面， 而，NK，平面MKN， 故平面平面，而平面MKN， 故平面； （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，故平面， 因为平面，故， 又，而，， 故平面MNK，而平面MNK，故， 所以，故两两垂直， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，， 设平面BNM的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线AB与平面BNM所成的角为，则 ． 11．（21-22高三上·北京顺义·期末）如图，在长方体中，，点在线段AB上. (1)证明： ； (2)当点是AB中点时，求与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，则，由已知可得四边形是正方形，所以，再利用线面垂直的判定定理可得平面，从而可得， （2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 【详解】（1）连结，因为在长方体中 所以有平面，平面，所以， 又因为，所以四边形是正方形， 所以，又，所以平面， 所以又平面，所以； （2）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，， 当点是AB中点时，可得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，可得 所以   又，所以， 设与平面所成角为，， 则 即，所以与平面所成的角为. 线面角及距离问题 12．（22-23高三上·北京西城·期末）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． (1)求证：∥平面； (2)若平面，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面的距离． 【答案】(1)见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）在射线上取点,使，证明四边形为平行四边形，则，则根据线面平行的判定即可得到； （2）以为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面的法向量为，则可计算出线面角的正弦值； （3）因为,根据（2）的结论则得到距离. 【详解】（1）如图,在射线上取点,使,连接. 由题设,得,所以四边形为平行四边形. 所以且. 又四边形为平行四边形, 所以且. 所以且.. 所以四边形为平行四边形, 所以. 因为平面平面 所以平面. （2）（i）因为平面,平面， 所以.又, 所以,,两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系, 则.所以. 设平面的法向量为,则 即 令,则.于是. 设直线与平面所成角为,则 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）因为, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 所以点到平面的距离为 . 13．（22-23高三上·北京昌平·期末）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）先证明平面，进而证明，从而根据线面平行的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面的法向量，根据空间向量的夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点到平面的距离，即可求得直线到平面的距离. 【详解】（1）证明：由题意平面，平面,故平面平面， 又侧面为矩形，故, 而平面,平面平面， 所以平面，又平面， 所以 ,而平面，平面， 故平面. （2）因为平面，平面，故 ， 而平面， 故以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为, 则, 则, 设平面的法向量为 ，则, 即，令，则， 设直线与平面所成角为， 则. （3）因为侧面为矩形，所以, 而平面,平面,故平面， 则直线到平面的距离即为点到平面的距离， ，平面的法向量为， 故点到平面的距离为 , 即直线到平面的距离为. 14．（22-23高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知， 求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离. 条件①：； 条件②：平面； 条件③：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）连接，交于，连接，由中位线性质有，再由线面平行的判定证结论； （2）根据所选的条件求得，以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角正弦值，点面距离的向量求法求到平面的距离. 【详解】（1）连接，交于，连接， 底面是正方形，故是的中点，又为棱的中点， 所以，在△中，而面，面， 所以平面. （2）选①：若分别是中点，连接， 由为棱的中点且底面是正方形，易知：， 又共线且，故， 所以为平行四边形，故，而，则， 在△中，垂直平分，故，即， 由，故， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 选②：平面，平面，则，为棱的中点， 在△中，垂直平分，故， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 选③：由平面，平面，则，又， 由，面，故面，面， 所以， 在中，，则，故， 又平面，则，在中，，即， 又平面，平面，则，又， 以为原点，为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，故， 令为面的一个法向量，则，令，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到平面的距离. 二面角 15．（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是的中点，直线交平面于点． (1)求证：点是的中点； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，而，故只需，所以只需证明面即可. （2）建立适当的空间直角坐标系，分别求出面和面的法向量，由法向量夹角余弦的绝对值公式，结合二面角是钝角即可得解. 【详解】（1）由题意，面，平面， 所以面， 又直线交平面于点，即面面， 所以， 又因为， 所以， 又因为点是的中点， 所以点是的中点. （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为底面是直角梯形，，，点是的中点，点是的中点. 所以， 所以， 不妨设面和面的法向量分别为， 所以有和， 不妨令，则解得， 即取面和面的一个法向量分别为， 不妨设面和面的夹角为， 则， 所以， 而显然二面角是钝角，所以其大小为. 16．（23-24高三上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直结合条件得到线线垂直； （2）建系，由边长关系得到点的坐标即，，，再求出平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连结， 因为，所以； 因为，所以； 因为平面， 所以平面； 因为平面， 所以．                       （2）由（Ⅰ）知，平面，因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以， ，，如图建立空间直角坐标系． 由已知，易得 ，， 在中，， 所以得，，， 所以 设平面的法向量为，则 　即 令，则，，于是． 又因为平面的法向量为， 所以． 由题知二面角为锐角，所以其余弦值为 ． 17．（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)已知，，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）取的中点，连接，先根据面面垂直的性质证明平面，以为原点建立空间直角坐标系， 选①，连接，先求出，再利用向量法求解即可. 选②，由条件可得平面，则，这与已知矛盾. 选③，连接，由平面，得是直线与平面所成角，进而可求出，再利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为是的中点，所以. 又因为， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）取的中点，连接， 因为，所以， 又因为侧面底面， 且平面平面，平面， 所以平面， 如图，在平面中，作， 则， 以为原点建立空间直角坐标系，    选条件①：连接，在中，因为，，所以， 在中，因为，，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量是， 则，即， 令，则，于是， 因为平面，所以是平面的一条法向量， 所以， 由题知，二面角为钝二面角， 所以其余弦值为. 选条件②：因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 而，平面，所以与平行或重合， 这与矛盾， 所以条件②不行. 选条件③：连接，因为平面， 所以是直线与平面所成角， 所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 下同选条件①. 18．（22-23高三上·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. (1)求证:平面； (2)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，,证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）选条件①，由可证,继而证明平面,推出，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案； 选条件②，根据，证明，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案； 【详解】（1）取中点，连接，, 因为为中点，所以有且, 因为，，所以且, 所以四边形为平行四边形, 所以, 又因为平面，平面， 所以平面. （2）选择条件①： 因为平面平面，为矩形,, 平面平面平面, 所以平面,平面, 所以, 又因为，由（1）可知，平面， 所以，又因为，平面， 所以平面,平面,所以, 平面,故平面, 以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立坐标系， 则，，，, 则，，设平面的法向量， 则，令，则， 因为平面，故可作为平面的法向量， 则平面与平面夹角的余弦值. 选择条件②：. 因为平面平面，为矩形, 平面平面平面, 所以平面,而PA在平面PAD中，所以, 又因为， 取中点为，连接，， 则有，, 所以, 所以,则,所以, 平面,故平面, 以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，, 则，，设平面的法向量， 则，令，则， 因为平面，故可作为平面的法向量， 则平面与平面夹角的余弦值. 19．（22-23高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)，详情见解析 【分析】(1)设中点为，连接，由三角形中位线性质可得，且从而可得四边形为平行四边形，再由即可证得平面； (2)按照条件①、条件②的不同，分别作出图形和辅助线，利用已知条件求出的长，以及证得平面，再建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）如图（1），设中点为，连接， 底面为正方形，E，F分别为的中点． ，且，而又，, 且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）选条件①：连结,过作交于点，又因为，所以点也是中点，连结， ，为的中点，则,又底面为正方形，,， , 在中，, 平面平面，平面平面，平面， 如图（2）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 选择条件②：取的中点为，连结,又平面平面，平面平面，平面， 过作交于点，连结 ,又是中点，所以点也是中点， 平面，平面,, 设 ，则,，, ，，，，故在中，,即，解得，即， 如图（3）以为原点，所在直线分别作轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则， ,, 平面，是平面的一个法向量，; 设平面的一个法向量为，则有 ，令,则， ； . 故二面角的余弦值为． 20．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值即可. 【详解】（1） 如图，取中点为，连接, 则有 又因为所以 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面 所以且 所以以为轴建系如图， 若选择①：，因为平面平面 所以,所以,则， 所以,则, 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量，, 所以，令， 所以， 设二面角为，， 因为由图可知二面角为钝角，所以. 若选择②：，设，则， , 因为，所以解得， 则, 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量，, 所以，令， 所以， 设二面角为，， 因为由图可知二面角为钝角，所以. 21．（21-22高三上·北京朝阳·期末）刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于. (1)求证：平面； (2)若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值. 条件①：，； 条件②：平面平面； 条件③：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)只有条件②符合，余弦值为. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得证； （2）先判断只有条件②符合，再利用空间向量法求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在正方形中，，平面，平面，所以平面； （2）由（1）可知，平面，又平面，平面．，又，，所以四边形为等腰梯形，四边形为梯形； 条件①：，，则平面，即平面， 又平面，，此时四边形不为等腰梯形，故条件①不符合 条件③：平面平面，且平面平面 又，平面，平面， 此时四边形不为等腰梯形，故条件③不符合； 条件②：平面平面，； 过点作于，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面 又平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，平面平面， 在四边形中，，，，所以，， 在正方形中，，所以 因为，且，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 由，令，则； 设平面的一个法向量， 由，令，则. 设平面和平面的夹角为，根据图形可以看出二面角的大小是锐角， 则. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 22．（21-22高三·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且. (1)求证：平面PBD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得 ，结合线面垂直的判定定理即可得出结果； (2)根据题意和线面垂直的性质可得两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 因为，， 所以，. 所以. 所以， 所以. 又因为，， 所以平面. （2）因为平面，平面，平面， 所以，. 又因为是矩形，， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，. 设平面的一个法向量为，则 即 令，则，. 于是. 因为平面， 取平面的法向量为. 则. 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是. 二面角及距离问题 23．（2023·北京西城·模拟预测）如图在几何体中，底面为菱形，.    (1)判断是否平行于平面，并证明； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （i）平面与平面所成角的大小； （ii）求点到平面的距离. 条件①：面面 条件②： 条件③： 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1)与平面不平行，证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用线面平行的判定定理构造平行四边形得线线平行，即可得结论； （2）选择条件证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角及点到平面距离. 【详解】（1）不平行于平面，理由如下： 取中点，    因为，所以 则四边形为平行四边形，所以，又，所以不平行于， 假设平面，因为平面平面，平面 所以，与不平行于矛盾，所以假设不成立，即不平行于平面； （2）选择条件①： 取中点，连接 因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以， 由于，所以， 又因为面面，面面，面 所以面，因为面，所以 又因为，面，所以面， 而面，所以， 所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则 （i）因为面，所以为平面的一个法向量 设平面的法向量为，因为 所以，令， 设平面与平面所成角为， 所以，则 即平面与平面所成角大小为； （ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为. 选择条件②：连接，取中点，连接 因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以， 在菱形中，有， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以 又因为，面，所以面， 而面，所以， 所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则 （i）因为面，所以为平面的一个法向量 设平面的法向量为，因为 所以，令， 设平面与平面所成角为， 所以，则 即平面与平面所成角大小为； （ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为. 条件③： 取中点，连接 因为菱形，所以为正三角形，又为中点，所以，由于，所以， 因为，由（1）可得，所以 所以，即 因为，所以 又因为，面，所以面， 而面，所以， 所以如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则 （i）因为面，所以为平面的一个法向量 设平面的法向量为，因为 所以，令， 设平面与平面所成角为， 所以，则 即平面与平面所成角大小为； （ii）因为，由（i）知平面的一个法向量为 所以点到平面的距离为. 24．（21-22高三上·北京海淀·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. (1)求证：⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证； （2）（3）利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系， 则、、． 在中，，， ∴． ∴、， ∴，，， ∵，， 即，， 又，平面， ∴⊥平面； （2）由（1）得，． 设平面的法向量为， 则，即，故平面的法向量可取为， ∵平面， ∴为平面的一个法向量． 设二面角的大小为，由图易得为锐角， 依题意可得，即二面角余弦值为． （3）由（1）得，， 设平面的法向量为，则， ∴，故可取为． ∵， ∴到平面的距离为. 25．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：面 (2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题. ①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③. 若选择条件___________. 求（i）求二面角的余弦值； （ii）求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)选①，（i），（ii）；选②③（i），（ii）1. 【分析】（1）取中点G，连接FG、CG，由证明线面平行； （2）取中点I，作于J，由垂直关系可证明为二面角的平面角的补角；作于，由垂直关系及线面距离定义可知EK即为直线与平面的距离，三个条件均可根据几何关系求出BC，再进一步求、EK即可. 【详解】（1）证明：取中点G，连接FG、CG，∵分别为的中点，∴在三棱柱中，，且，∴四边形FECG为平行四边形，∴. ∵面，面，∴面； （2）平面平面，平面平面=，又侧面是边长为2的正方形，则，∴面，面，∵面，∴. 取中点I，作于J，连接FI，IE，FJ，则平面，，∵平面，∴， ∵平面FIJ，∴平面FIJ，∵平面FIJ，∴，∴为二面角的平面角的补角. ∵面，∴直线与平面的距离即为E到平面的距离， 作于，由平面平面，平面平面=，则EK即为E到平面的距离，即直线与平面的距离. 选①，∵面，∴为直线与平面所成角，即，∴. （i）在正中，易得，故在中，，故二面角的余弦值为； （ii） 在正中，，故直线与平面的距离为； 选②，，为的中点，∴，∵面，∴，即，又，∴，∴，解得，∴，. （i）在中，，故在中，，故二面角的余弦值为； （ii）在中，，故直线与平面的距离为1； 选③， 取AB中点H，，连接OH，则O为中点，则且，由，∴，则，又，∴，∴，. 此时条件③与条件②一致，故（i）二面角的余弦值为；（ii）直线与平面的距离为1. 26．（21-22高三上·北京门头沟·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，，分别为，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，证明四边形为平行四边形，可得答案； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标以及相关向量坐标，利用向量的夹角公式求得答案; （3）根据空间距离的向量求法求得答案. 【详解】（1）. 连结，因为分别是，的中点，所以 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，故; （2）由已知两两垂直，以D为坐标原点，以DA,DC,DP分别为x,y,z轴，建立如图所示坐标系， ， 则 设平面法向量为， ，即 ，故令 ，可取， 平面的法向量为， 故， 所以二面角的余弦值为； （3）因为，， 设点到平面的距离为，则. 27．（21-22高三上·北京通州·期末）如图，在长方体中，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面平行的判断定理可得答案； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案； （3）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案. 【详解】（1）因为，平面，平面， 故平面. （2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 故，，，，，, 设平面的法向量为，则， 取得到，，即， 易知平面ABCD的一个法向量为， 则， 根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为. （3）由（2），， 故B到平面的距离为. 28．（21-22高三上·北京丰台·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解两平面的夹角余弦值；（3）先用空间向量证明出线面平行，先用空间向量求解点到平面距离. 【详解】（1）证明：因为平面平面， 平面平面， ， 平面， 所以平面． （2）因为底面为正方形，平面， 所以，，两两互相垂直． 如图，建立空间直角坐标系． 因为， 所以，，，， ，. 因为平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，即 令，则． 于是． 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为．                     ． （3）由（2）知，平面的法向量为，． 因为，且平面， 所以PB∥平面ACQ． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离． 因为， 所以点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为．                              ． 29．（21-22高三上·北京海淀·期末）如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点F. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值，并求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)二面角的余弦值为，A到平面的距离为. 【分析】（1）由面面平行的性质可得面，再由线面平行的性质即可证结论. （2）构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，再求面、面的法向量及直线的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角余弦值及线线角余弦值，进而求A到平面的距离. 【详解】（1）由长方体的性质知：面面，又面， ∴面，又面面，且面， ∴. （2）由题设，构建如下空间直角坐标系，则，，，，， ∴，， 若面的一个法向量为，则，令，则，而面的一个法向量为， ∴，即为所求二面角余弦值. 由上知：，则， ∴A到平面的距离为. 截面问题坐标法求角 30．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点． (1)求证：// 平面； (2)点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）因为正方形中，． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为底面，正方形中， 分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图 不妨设， 因为，点为的中点，点为棱上一点， 则，，，，，． 所以，，． 设为平面的法向量，则，． 所以，令，得，所以． 设直线与平面所成角为， 则， 解得，因为，所以， 所以． 31．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）通过取的中点构建平面平面即得； （2）由题设易于建系，运用空间向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，解方程即得. 【详解】（1） 如图，取线段的中点，连接,因分别为的中点,故有, 又因为平面，平面,故平面，平面， 又,则平面平面,因平面，则平面. （2） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则,设点,则，代入坐标得：，即， 于是,,设平面的法向量为，则有故可取， 依题意得，，解得：，即线段的长为1. 32．（22-23高三上·北京·期末）如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面． (1)求证：为的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积． 条件 ①：点到平面的距离为； 条件 ②：直线与平面所成的角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)条件选择见解析， 【分析】（1）过点作交于点，连接，证明四边形是平行四边形 结合其他条件证明为的中位线，即可得为的中点； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，利用法向量以及锥体体积公式分别对条件①和条件②进行解答即可. 【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：            因为，所以 ． 所以四点共面． 又因为平面 ，平面平面 所以 所以四边形是平行四边形 所以， 由，， 所以，所以 所以为的中位线， 所以为的中点． （2）过作于，连接． 因为，又因为 ， 且， 所以 平面．    又平面， 所以 平面平面． 因为，所以为中点， 又因为平面平面， 所以平面． 又平面， 所以 如图建立空间直角坐标系． 设．由题意得，，，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则 ， 令，则．所以． 选择条件① 因为到平面的距离为， 所以， 解得 ．     所以四棱锥的体积． 选择条件② 因为直线与平面所成的角为， 所以， 解得 ．     所以四棱锥的体积． 33．（21-22高三上·北京昌平·期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，是的中点，与平面交于点， . (1)求证： 是的中点； (2)若为棱上一点，且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）由线面平行的判定与性质可得，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法由线面角公式求解即可. 【详解】（1）因为， 平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面平面， 所以. 所以. 因为点是的中点， 所以点是的中点. （2）因为平面，平面， 所以. 由，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， ，. 设， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，所以. 所以. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得：或. 所以或. 34．（21-22高三上·北京东城·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. (1)若直线平面，求证：为的中点； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【详解】（1）连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设，则 设，， 设平面的法向量为，则，即 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为 ，整理得， 综合问题 35．（19-20高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点. (1)求证AE平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据平面得到，根据为等边三角形，得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可； （3）设，得到，然后利用空间向量和∥平面列方程，解得即可. 【详解】（1）∵平面，平面， ∴， ∵为等边三角形，为中点， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面. （2） 取中点，连接，， ∵平面，平面，平面， ∴平面平面，， ∵为中点，为等边三角形， ∴，， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，, ∵平面， ∴可以作为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则 ，令，则，，， 所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （3），，，， 设，则， ∵∥平面， ∴，解得， 所以在棱上存在点使∥平面，此时. 36．（21-22高三上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，面，，且. (1)求证：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)若的中点为M，判断直线与平面是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相交，1 【分析】(1).根据题目中所给条件求出边长，利用勾股定理及线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理即可得到线线垂直. (2).建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，即可得到锐二面角的余弦值. (3).利用空间向量的坐标表示，判断直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，若不垂直，则直线与平面相交，即可求出到交点的距离. 【详解】（1）证明：， ∴. ∵在中，由余弦定理得，即，所以， ∴.∴. 又平面，平面.∴. 又：平面， ∴平面，∵平面， ∴. （2）解：取中点N，连结. ∵， ∴. ∴四边形是平行四边形.∴. ∵，∴.∵平面，∴. ∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ∴. 设平面的一个法向量为，则 ∴令，则得，此时 设平面的一个法向量为，则 ∴令，则得，此时. ∴. 设平面与平面所成角为，∴ ∴平面与平面所成角的余弦值为. （3）解：∵. ∴，∴直线与平面相交. 设，所以 ∴.∵，∵，解得 ∴， ∴到交点H的距离为1. 37．（21-22高三上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． (1)求证：； (2)当点为线段的中点时，求点到平面的距离； (3)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，且. 【分析】（1）连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可得出，再结合可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合可求得的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：连接、， 因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形， 因为为的中点，故， 因为为等边三角形，为的中点，则， ，平面，平面，则， ，故. （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，平面， 因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ，所以点到平面的距离为. （3）解：设，其中， ， 由题意， 整理可得，因为，解得， 因此，存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，此时. 38．（21-22高三上·北京石景山·期末）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）由条件得到即可； （2）由条件可得，即可证明； （3）以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，算出平面的法向量，设，然后可得，然后可建立方程求解. 【详解】（1）因为四棱锥中，， 所以， 因为，， 所以平面. （2）因为，，所以， 又因为，所以， 因为，， 所以. （3）存在，当为线段中点时，理由如下： 由（2）可知，因为，， 所以， 又，， 如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的法向量为， 由得 令，所以. 设， 则， 所以， 直线与平面所成角为， 所以， 解得，符合题意， 所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为. 39．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相交， 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证明； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量关系即可求出； （3）根据可判断，再利用空间距离公式求解即可. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为平面，平面，所以， 又，所以两两互相垂直.    如图以A为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由， 可知，，，，， 则，， ， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则，所以， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以， 则， 易知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. （3）由，  得， 因为， 所以与平面不平行，所以直线与平面相交， 在四边形中延长交的延长线于点. 点就是直线与平面的交点， 易知，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 空间几何体解答题 线面角 1．（23-24高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，为等腰三角形，，，底面是正方形，，分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2．（23-24高三上·北京顺义·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值． 条件①：；条件②）：；条件③）：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分． 3．（23-24高三上·北京通州·期末）如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.    (1)求证：平面； (2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 4．（23-24高三上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求四面体的体积. 5．（23-24高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（23-24高三上·北京大兴·期末）如图.在三棱柱中，平面，，，、分别为、的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面，所成角的正弦值. 7．（22-23高三上·北京东城·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 8．（22-23高三上·北京丰台·期末）如图，已知正方体中，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 9．（22-23高三上·北京大兴·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面底面，，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 11．（21-22高三上·北京顺义·期末）如图，在长方体中，，点在线段AB上. (1)证明： ； (2)当点是AB中点时，求与平面所成角的大小. 线面角及距离问题 12．（22-23高三上·北京西城·期末）如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形． (1)求证：∥平面； (2)若平面，求： （ⅰ）直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）点D到平面的距离． 13．（22-23高三上·北京昌平·期末）如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线到平面的距离. 14．（22-23高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知， 求：直线与平面所成角的正弦值，以及点到平面的距离. 条件①：； 条件②：平面； 条件③：. 二面角 15．（23-24高三上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是的中点，直线交平面于点． (1)求证：点是的中点； (2)求二面角的大小． 16．（23-24高三上·北京石景山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 17．（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)已知，，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：；条件③：直线与平面所成角的正切值为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（22-23高三上·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. (1)求证:平面； (2)再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19．（22-23高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 21．（21-22高三上·北京朝阳·期末）刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于. (1)求证：平面； (2)若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值. 条件①：，； 条件②：平面平面； 条件③：平面平面. 22．（21-22高三·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且. (1)求证：平面PBD； (2)求二面角的余弦值. 二面角及距离问题 23．（2023·北京西城·模拟预测）如图在几何体中，底面为菱形，.    (1)判断是否平行于平面，并证明； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （i）平面与平面所成角的大小； （ii）求点到平面的距离. 条件①：面面 条件②： 条件③： 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 24．（21-22高三上·北京海淀·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. (1)求证：⊥平面； (2)求二面角余弦值的大小； (3)求点到平面的距离． 25．（22-23高三上·北京海淀·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，分别为的中点. (1)证明：面 (2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题. ①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③. 若选择条件___________. 求（i）求二面角的余弦值； （ii）求直线与平面的距离. 26．（21-22高三上·北京门头沟·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，，分别为，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 27．（21-22高三上·北京通州·期末）如图，在长方体中，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 28．（21-22高三上·北京丰台·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离． 29．（21-22高三上·北京海淀·期末）如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点F. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值，并求点A到平面的距离. 截面问题坐标法求角 30．（23-24高三上·北京丰台·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点． (1)求证：// 平面； (2)点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 31．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 32．（22-23高三上·北京·期末）如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面． (1)求证：为的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积． 条件 ①：点到平面的距离为； 条件 ②：直线与平面所成的角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 33．（21-22高三上·北京昌平·期末）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，是的中点，与平面交于点， . (1)求证： 是的中点； (2)若为棱上一点，且直线与平面所成的角的正弦值为，求的值. 34．（21-22高三上·北京东城·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. (1)若直线平面，求证：为的中点； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 综合问题 35．（19-20高三上·北京房山·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，CD平面PAD，为等边三角形，，，E，F分别为棱PD，PB的中点. (1)求证AE平面PCD； (2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点G，使得DG平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 36．（21-22高三上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，面，，且. (1)求证：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)若的中点为M，判断直线与平面是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由. 37．（21-22高三上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点． (1)求证：； (2)当点为线段的中点时，求点到平面的距离； (3)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 38．（21-22高三上·北京石景山·期末）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为. 39．（21-22高三上·北京房山·期末）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$