专题02 圆锥曲线（考点清单，5考点&6题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期北师大版

专题02 圆锥曲线 【清单01】椭圆 1、椭圆的定义 集合表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【清单02】双曲线 1、双曲线的定义 用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；（3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 渐近线方程 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 点和双曲线 的位置关系 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【清单03】抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 范围 ， ， ， ， 焦点 准线方程 焦半径 【清单04】抛物线的常用结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 7、切线方程 抛物线的切线方程为，为切点 8、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 9、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【清单04】直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线和曲线联立 1）、椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 2）、抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 2、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 3、弦长公式 设，根据两点距离公式． 1）、若在直线上，代入化简，得； 2）、若所在直线方程为，代入化简，得 3）、构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． 4、已知弦的中点，研究的斜率和方程 1）、是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 2）、运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 【考点题型一】椭圆、双曲线方程满足条件 【例1】.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-2】.已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】.（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【变式1-4】.（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【考点题型二】焦点三角形的应用 【例2】.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2-2】.已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【变式2-3】.若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-4】.已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】离心率 【例3】.已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-4】.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【变式3-5】.已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【变式3-6】.（多选）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【变式3-7】.（多选）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【变式3-8】.（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【考点题型四】双曲线的渐近线 【例4】.若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【变式4-2】.（多选）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【变式4-3】.（多选）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【变式4-4】.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 【考点题型五】抛物线 【例5】.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【变式5-2】.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（多选）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 【变式5-5】.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【变式5-6】.(多选)已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足，则（    ） A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆 C．的最大值为5 D．当点在上时， 【考点题型六】直线与圆锥曲线的位置关系 【例6】.已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【变式6-1】.已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【变式6-2】.已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【变式6-3】.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【变式6-4】.已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【变式6-5】.抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形． (1)求拋物线的标准方程； (2)若点坐标为，证明：直线过定点； (3)若，求面积的最小值． 课后检测 1.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．6   2.平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 3.已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 4.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 9.（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 10.（多选）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 11.（多选）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 12.已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 13.已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 . 14.如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 15.已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 16.已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 17．已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 18.已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $$ 专题02 圆锥曲线 【清单01】椭圆 1、椭圆的定义 集合表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【清单02】双曲线 1、双曲线的定义 用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；（3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 2、双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 渐近线方程 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 点和双曲线 的位置关系 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【清单03】抛物线 1、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 范围 ， ， ， ， 焦点 准线方程 焦半径 【清单04】抛物线的常用结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 7、切线方程 抛物线的切线方程为，为切点 8、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 9、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【清单04】直线与圆锥曲线的位置关系 1、直线和曲线联立 1）、椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 2）、抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 2、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 3、弦长公式 设，根据两点距离公式． 1）、若在直线上，代入化简，得； 2）、若所在直线方程为，代入化简，得 3）、构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． 4、已知弦的中点，研究的斜率和方程 1）、是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 2）、运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 【考点题型一】椭圆、双曲线方程满足条件 【例1】.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，解得或 故选：D 【变式1-1】.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】若方程表示双曲线， 则，得. 故选：B 【变式1-2】.已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件， 故选：B 【变式1-3】.（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】AD 【详解】A选项，若，则, 故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确； B选项，若，， 则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误； C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为, 即，C错误； D 选项，若，曲线C：，即， 即，则C 是两条直线，D正确. 故选：AD. 【变式1-4】.（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，，则是两条直线 C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误； 故选：AB． 【考点题型二】焦点三角形的应用 【例2】.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 【变式2-1】.若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 【变式2-2】.已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 【变式2-3】.若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则， 所以，即. 故选：B. 【变式2-4】.已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以． 故选：B 【考点题型三】离心率 【例3】.已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示： 则，∵， ∴， ∴,,三点共线，，，则点为边上的切点， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴，又，则， ∴，则. 故选：D. 【变式3-1】.已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆长轴的两顶点为， 设，则由题设可得即， 故，故即，故， 故选：B 【变式3-2】.已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 【变式3-3】.已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】如图，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D 【变式3-4】.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 【变式3-5】.已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 【变式3-6】.（多选）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 【变式3-7】.（多选）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（       ）    A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】AD 【详解】A.由题意可知，，， 得，故A正确； B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为， 根据余弦定理，， 整理为， 而，故B错误； C. 若，则，则， 则， ， 当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误； D.在椭圆中，， ， 整理为， 在双曲线中，， 整理为， 所以，即， 而，则，故D正确. 故选：AD 【变式3-8】.（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由题意可得，故A错误． 可设是第一象限的点，，， 由椭圆及双曲线的定义可得， 解得． 因为，所以在中， 由余弦定理可得， 化为．又， 则，故B正确． 由，可得，即有，即，故C错误． ， 当且仅当时，取等号，即的最小值为，故D正确． 故选：BD． 【考点题型四】双曲线的渐近线 【例4】.若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 【变式4-1】.已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】当焦点在x轴上时，可得，则； 当焦点在y轴上时，可得，则. 综上，双曲线的离心率为2或. 故选：D. 【变式4-2】.（多选）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 【变式4-3】.（多选）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线是的一条渐近线 C．若，则的离心率为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据题意，，设直线， 又因为直线与圆相切于点， 所以，A正确； 对于B，根据题意可知，可得， 所以直线是的一条渐近线，B正确； 对于C，若，根据题意，联立，解得， 同理联立，解得， 由于，故，即， 化简得，则的离心率为，C错误； 对于D，设，依题意知，则， 故，得， 故，代入，得， 所以，则， 得，则的渐近线方程为，D正确； 故选：ABD 【变式4-4】.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为， 即， 由点到直线距离公式可知：， 又， ， ∵，即， 设，则， 而，， 由正切二倍角公式可知：， 即，化简可得：， 即， 由双曲线离心率公式可知. 故答案为：. 【考点题型五】抛物线 【例5】.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 【变式5-1】.已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 【变式5-2】.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 【变式5-3】.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意作下图： ， ， 垂直于轴， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 故选：B． 【变式5-4】.（多选）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（    ） A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则 C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2 【答案】ABD 【详解】抛物线的准线为，焦点. A项， 如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为. 若O为中点，则与全等，则， 即与焦点重合，所以， 代入方程，得. 所以直线的斜率为，故A正确； B项，若，则，解得， 所以，故B正确； C项，不妨设，则直线方程为， 令，可得，所以，， 所以，不可能， 所以FP与FQ不垂直，故C错误； D项，由C项可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为， 所以面积的最小值为2，故D正确. 故选：ABD. 【变式5-5】.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 【变式5-6】.(多选)已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足，则（    ） A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆 C．的最大值为5 D．当点在上时， 【答案】BC 【详解】圆的圆心为，半径为，抛物线的焦点为，准线为， 对于A，曲线与联立方程组，消得， 解得或（舍），所以曲线与有一个公共点，A错误； 对于B，动点满足，根据椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，B正确； 对于C，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，所以的最大值为，C正确； 对于D，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆， 即点的轨迹方程为，点在上时， 则点的坐标为或，因为，所以，D错误. 故选：BC. 【考点题型六】直线与圆锥曲线的位置关系 【例6】.已知椭圆常数，点为坐标原点． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围； (3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，理由见解析 【详解】（1）由椭圆方程为， 则离心率， 又 所以； （2）由已知得 又点是椭圆上任意一点， 则，化简可得 所以 （3）法一：由已知可得，即， 平方可得， 又在椭圆上， 所以， 所以， 化简可得 设与的夹角为， 则，则， 所以的面积 ， 故的面积为定值； 方法二：由已知，即， ①当直线斜率不存在时，，则， 又在椭圆上， 则，所以， 此时； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立直线与椭圆， 得， 则， ， 则，即， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以的面积为定值． 【变式6-1】.已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； （2）法一：设，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； （3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点. 【变式6-2】.已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【变式6-3】.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【变式6-4】.已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【变式6-5】.抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形． (1)求拋物线的标准方程； (2)若点坐标为，证明：直线过定点； (3)若，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）拋物线的准线方程为， 所以且焦点在轴的非负半轴上，则， 抛物线的标准方程为； （2）设点的坐标分别为，直线的方程为， 联立得，显然，， 因为构成一个以为直角顶点的直角三角形， ，，， 直线的方程为， 当时，所以直线过定点； （3）由拋物线的对称性，不妨设，，三点的坐标分别为，且， 不妨记直线的斜率为，且， 则直线的斜率为，则， 结合（*）得， （当且仅当时取得等号）， （此时为坐标原点）， 即面积的最小值为. 课后检测 1.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】C 【详解】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长. 故选：C    2.平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 3.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点， 由题意可得，则， 阳光照射方向与地面的夹角为60°，即， 则， ， 在中，，即， 即，解得，而，故, . 故选：B. 3.已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 4.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 6．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，可得， 由双曲线定义可知， 所以，，， 由勾股定理可得，可得， 故， 故选:B. 7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取为的中点，为右焦点， ， ，， 在上的投影为，， ，，， ， ，. 故选：C 8.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 9.（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上存在点，使得 C．是椭圆上一点，若，则 D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 【答案】AC 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率， 所以，所以，所以椭圆，故A正确； 对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上， 又因为方程组无解，故B错误； 对于C，设，则，    在中，由余弦定理可得 ，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，显然直线斜率不为0，设直线，    由，整理得：恒成立， 所以，依题意有， 得，所以，即， 同理可得，因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，解得， 代入到，得，解得：， 所以直线的斜率为：，故D错误. 故选：AC. 10.（多选）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，椭圆，双曲线， 由椭圆､双曲线的定义可知，，解得，故A正确； 对于B，令， 由余弦定理得， 当时，，即，因此，故B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故C错误； ， ，解得， 而，因此，故D正确. 故选：ABD. 11.（多选）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】BCD 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 12.已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】设内切圆半径为，由题意知， 所以， 即，由点为双曲线右支上的一点， 则， 故双曲线的离心率. 故答案为：. 13.已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为 . 【答案】 【详解】    如图，过点作于点，则， 由图知①， 由可得，②， 又点在抛物线上，可得，，即③， 把①式代入②式，，解得，， 回代入①可得，，代入③式整理得， ， 解得，或（舍去），故抛物线方程为：. 故答案为：. 15.如图所示，设点F是双曲线 与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 设，的斜率为，中点， 因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 16.已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． （2）设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 17.已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以． 又在上，所以， 解得，， 则椭圆的方程为． （2）证明：由题可知，直线的斜率显然存在， 设的方程为，，， 则，得， 则，， ． 又， 整理可得， 化简得， 即， 所以或． 当时，直线过点，不符合题意， 所以，即直线的斜率为定值． 18．已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，即，则，， 由的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得， 即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）显然，设，则， 由消去得，， 则， 又，而与同号， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意，． 在椭圆上下顶点，面积的最大值. 此时. 所以，则求椭圆的方程. （2）如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ，， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以． 综上，的面积为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $$