专题03 导数（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题3 导数 各省预赛试题汇编 1．（2024·吉林预赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 2．（2024·四川预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 3．（2024·四川预赛）已知函数，若在定义域内为增函数，则实数的最小值为 ． 4．（2024·吉林预赛）已知函数．若，使得，则实数的最大值为_____． 5．（2024·新疆预赛）函数的最小值为_____． 6．（2024·上海预赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 7．（2023·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 8．（2023·四川预赛）设是轴上异于原点的任意一点，过点且平行于轴的直线与曲线交于点，曲线在点处的切线交轴于点，则的面积的最小值为_____． 9．（2023·新疆预赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____． 10．（2022·甘肃预赛）函数，若恒成立，则实数的取值范围 11．（2022·苏州预赛）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 12．（2024·广东预赛）已知方程有两个不同的零点，分别记为，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围． 13．（2024·福建预赛）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围． 14．（2024·内蒙古预赛）已知函数． (1)当时，讨论在上的极值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 15．（2024·重庆预赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证：． 16．（2023·吉林预赛）已知函数．若，有成立，求实数的取值范围． 17．（2022·浙江预赛）设为大于1的正整数，函数． (1)当，求的最大值； (2)证明对任意，有． 18．（2022·福建预赛）已知函数． (1)若恒成立，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围． 19．（2022·甘肃预赛）设函数． (1)若函数在上单调递增，求的值； (2)当时， (i)证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大； (ii)在(i)的结论下，证明：． 20．（2022·吉林预赛）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题3 导数 各省预赛试题汇编 1．（2024·吉林预赛）函数，若对成立，则（    ） A．对成立 B．对成立 C．对成立 D．对成立 【答案】C 【详解】若对成立， 可得，解得； 若，即， 又因为对恒成立， 且对恒成立， 即对成立，符合题意； 综上所述：． 因为，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 由可知选项AB错误； 由可知选项D错误； 结合单调性可知：对成立，故C正确； 故选：C． 2．（2024·四川预赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4， 3．（2024·四川预赛）已知函数，若在定义域内为增函数，则实数的最小值为 ． 【答案】1 【详解】∵函数，，． 要使在定义域内为增函数， 只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，即在上恒成立． ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，即实数的最小值为1． 4．（2024·吉林预赛）已知函数．若，使得，则实数的最大值为_____． 【答案】． 【详解】设，则， 当时，，即存在，使得， 符合题意． 当时，． 设，则， 当时，，当时，， 即在单调递增，在单调递减 知为的极大值点，也是最大值点， 所以． 所以当时，对，有，不符合题意， 综上，． 5．（2024·新疆预赛）函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】当时，单调递减． 当时，此时，单调递减． 当时，，令， 因此，在处取得最小值． 6．（2024·上海预赛）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由条件，设， 则， 于是在区间上单调递增，在区间上单调递减， 从而． 结合图形知，所以实数的取值范围是． 7．（2023·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】 所以函数的单调递增区间是． 8．（2023·四川预赛）设是轴上异于原点的任意一点，过点且平行于轴的直线与曲线交于点，曲线在点处的切线交轴于点，则的面积的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，令， 则．又，于是． 令，得． 设，只需考虑时的情形． 此时． 所以当时，的面积的最小值为． 9．（2023·新疆预赛）若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】设，则，由， 且函数在上单调递增，于是． 易知函数的最大值为，所以的取值范围是． 10．（2022·甘肃预赛）函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】时，在(0，1)上单调递增，在上单调递减，且，于是． 当时， 在上单调递增，且时，， 从而存在满足． 此时在上单调递减，在上单调递增， ，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 11．（2022·苏州预赛）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】e 【详解】由单调递增且， 当时，又在(0，1)上单调递减，在上单调递增，于是． 所以实数的最大值为e． 12．（2024·广东预赛）已知方程有两个不同的零点，分别记为，且． (1)求实数的取值范围； (2)若不等式恒成立，求正数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】(1)记， 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，于是 所以实数的取值范围为． (2)依题意，， 设 若时，在上单调递增，且， 则在上恒成立，满足题意； 若时，在上单调递减，则在上恒成立，矛盾． 综上，正数的取值范围为． 13．（2024·福建预赛）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)0； (2)． 【详解】(1) ， 由于，， 则存在满足在，上单调递减，在上单调递增，且，同理． 所以的最小值为0． (2)当时，由(1)知，对恒成立，满足题意； 当时，对(1)中的或，与恒成立矛盾． 所以的取值范围为． 14．（2024·内蒙古预赛）已知函数． (1)当时，讨论在上的极值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上的极大值为，无极小值 (2) 【详解】（1）若，则，， 构建， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 可知当时，；当时，； 注意到当时，与的符号性一致， 即当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以在上的极大值为，无极小值． （2）因为， 对于函数，且， 可知存在实数，使得在内恒成立， 构建函数， 可知当时，与符号相同，且， 所以是的极小值点等价于是的极小值点， 因为，则， 构建，则， ①当，即时，则存在， 使得在内单调递减，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递增，在内单调递减， 可知是的极大值点，不合题意； ②当，即时，则存在， 使得在内单调递增，且， 可知当时，；当时，； 即当时，；当时，； 则在内单调递减，在内单调递增， 可知是的极小值点，符合题意； ③当，即时，可知在上恒成立， 此时，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 可知在内恒成立，即在内恒成立， 则在内单调递增，不为的极值点，不合题意 综上所述：的取值范围是． 15．（2024·重庆预赛）已知函数，若两不相等的实数满足曲线在点和点处的切线斜率相等，求证:． 【答案】证明见解析 【详解】先证一个引理：对，有． 引理的证明:令，故为减函数， 所以当时，，引理得证． 回到原题:，由题知． 不妨设，则，于是由并结合引理可得： ， 即，则，所以． 所以． 16．（2023·吉林预赛）已知函数．若，有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】，设． 则当时，在上单调递增，于是 在上单调递增． 所以当时，成立； 当时，存在满足，则在上单调递减， 于是在上在上单调递减． 从而在上，与已知条件矛盾． 综上，实数的取值范围是． 17．（2022·浙江预赛）设为大于1的正整数，函数． (1)当，求的最大值； (2)证明对任意，有． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【详解】(1)，则在区间上单调递增，所以 (2)由(1)知 由不等式，得 而， 显然成立．所以对任意，有． 18．（2022·福建预赛）已知函数． (1)若恒成立，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)． 【详解】(1)时，．下证恒成立． 设 ，则在(0，1)上单调递增，在上单调递减，于是 ．所以． (2)．设， ，则在上单调递增，在上单调递减，于是． ①当时，在上单调递减，无最大值； ②当时，时，时，．则有两个零点，设为，从而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即有极大值． 注意到时，，于是有最大值．而及在上单调递减，得．综上，的取值范围为． 19．（2022·甘肃预赛）设函数． (1)若函数在上单调递增，求的值； (2)当时， (i)证明：函数有两个极值点，且随着的增大而增大； (ii)在(i)的结论下，证明：． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【详解】(1)， 若，则在上单调递增，而， 于是时，， 时，． 从而在上单调递减，在上单调递增，矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 于是， 记， 从而在(0，1)上单调递增，在上单调递减， 因此． 依题意，在上恒成立，所以． (2)(i)当时，． 由(1)知在上单调递减，在上单调递增，且时， 时，， 于是存在满足． 易知为的极大值点，为的极小值点． 由， 记，则， 由于，于是单调递增， 所以随着的增大而增大． (ii) 设 单调递减，于是单调递减， 所以原不等式成立． 20．（2022·吉林预赛）已知函数，若存在，使得，求实数的最小可能值． 【答案】1 【详解】，当时，． 下证时，在上恒成立． 由于， 设，则， 于是在(0，1)上单调递减，在上单调递增， 从而恒成立． 综上，实数的最小可能值为1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$