专题02 函数与函数方程（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题2 函数与函数方程 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设是定义域为、最小正周期为5的函数．若函数在区间上的零点个数为25，则在区间上的零点个数为_____． 【答案】11 【详解】记，则当时，，且随增大而严格增大．因此，在上的零点个数等于在上的零点个数． 注意到有最小正周期5，设在一个最小正周期上有个零点，则在上有个零点，又设在上有个零点，则，且，因此． 从而在上的零点个数等于在上的零点个数，即． 2．（2024·全国联赛B卷）函数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 ． 3．（2023·全国联赛B卷）函数的定义域为_____． 【答案】 【详解】由，解得． 4．（2022·全国联赛A卷）设函数，其中实数．若的值域为，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】考虑函数(当时，)． 由于在上严格递减，在上严格递增，且注意到，，故所求的取值范围是． 5．（2022·全国联赛A卷）已知函数的图像既关于点(1，1)中心对称，又关于直线轴对称．若时，，则的值为_____． 【答案】 【详解】用表示函数的图像． 对任意的，令，则，且． 利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得 取，此时． 因此． 6．（2022·全国联赛A1卷）设函数的定义域为，且当时，(其中为实数)．若为奇函数，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由条件知，故． 当时，由，解得． 当时，等价于，即，即，解得． 综上，不等式的解集为． 7．（2022·全国联赛A2卷）函数的最小值为_____． 【答案】15 【详解】，等号成立的充要条件是且．当时，取到最小值15． 8．（2022·全国联赛A2卷）设为实数，，在平面直角坐标系中，函数的图像为曲线，另一函数的图像为曲线，且满足与关于直线对称．若点都在曲线或上，则的值为_____． 【答案】1或 【详解】由及曲线与之间的对称性，可知 若，则，由为函数的图像知，得，进而，类似可知． 此时，即有 由，得． 由，得． 所以，进而． 此时，则． 若，注意到为的反函数，即，故类似可得，此时． 综上，的值为1或． 9．（2022·全国联赛B卷）函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】 当，即时，取到最大值． 10．（2022·全国联赛B1卷）设实数满足：函数的图像有对称中心(1，0)，且与函数的图像有公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】记．由的图像关于点(1，0)对称，可知，又由得，故，即． 根据题意，方程有实数解，即方程有实数解，这等价于判别式，即． 所以． 11．（2022·全国联赛A1卷）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为．若，求的所有可能值． 【答案】或 【详解】由于为的最小值，在上严格递增，故 由于为的最大值，在上严格递增，故 当时，，由解得，即． 当时，，由解得． 因此的所有可能值为或． 12．（2024·全国联赛B卷）给定正整数．求函数的最大值．（表示实数到与它最近整数的距离；表示实数中较小的数） 【答案】为奇数时，为偶数时，． 【解析】(1)为奇数时，，且对任意实数，都有， 所以，又，所以为奇数时，； (2)为偶数时，为正整数． 注意到． 下证． 假设存在，使得，不妨设，则， 从而． 又，且，则， 与矛盾，因此假设不成立．所以为偶数时，． 综上，为奇数时，为偶数时，． 各省预赛试题汇编 13．（2024·吉林预赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 【答案】B 【详解】是抛物线上一点， 到直线的距离为 到点的距离为， 所以 当共线时，取最小值， 最小值为到的距离． 因为， 且的最小值为， 所以的最小值为9，且在交点或处取到， 故选：B． 14．（2023·吉林预赛）已知函数，则的最小值为 A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】如图，考虑函数 ． 表示点到直线和点的距离之和的倍． 构造抛物线，过点作直线垂直于直线，交抛物线于点， 易知，于是当点重合于点或时，取得最小值． 从而的最小值为4，故选． 15．（2024·江苏预赛）函数的值域为_____． 【答案】 【详解】设， 则，其中． 于是， 由于， 所以函数的值域为． 16．（2024·江苏预赛）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】 ，显然是偶函数， 则． 所以原不等式的解集为． 17．（2024·江苏预赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____． 【答案】 【详解】显然． 又， 令，则，且． 于是为偶函数，同理． 注意到，假设存在某个， 使得，不妨令，则． 当时，左边，而右边，矛盾! 综上，对一切实数，有． 18．（2024·贵州预赛）已知函数，若正实数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】，则， 所以的取值范围是． 19．（2024·北京预赛）已知函数 若关于的方程恰有三个不相等的实数根且满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，则，则， 当时，，则， 当时，， 即 方程恰有三个不相等的实数根等价于直线与函数的图象有三个不同交点，因此． 此时且，则，， 从而， 设，则其在上单调递增， 因此的取值范围是． 20．（2024·北京预赛）已知函数，则函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【详解】若为有理数，且， 设， 由，知， ①当时，不存在； ②当时，存在唯一的，此时； ③当时，设，其中，且， 此时， 因为， 所以若为有理数，则时，取最大值； 若为无理数，且时，． 综上可知，在区间上的最大值为． 21．（2024·福建预赛）设，其中，，若，则_____． 【答案】 【详解】由于， 则． 所以． 22．（2024·吉林预赛）函数(，且)，若对成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】当时，， 设，则在上是减函数，所以． 故． 当时，， 设，则在上均为减函数， 所， 所以，此不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 23．（2024·江西预赛）设为实数，满足关于的方程有6个互不相等的实数解，其中，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由于为偶函数，且 则有1，2，4个根， 当方程有6个互不相等的实数解时， 或． 注意到，则当时，． 所以的最小值为． 24．（2024·广西预赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， ，， 所以，， 得且， 从而，． 令，．则单调递减，无最大值且． 因此，，即的取值范围是． 25．（2024·新疆预赛）已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则_____． 【答案】 【解答】令，得；令，得 ， 由，得，于是 ， ， 26．（2024·重庆预赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由，为上的奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减，所以为上单调递增函数， 又的值域为，所以也为上单调递增的奇函数， 因为，故． 因此原不等式的解集为． 27．（2023·福建预赛）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为_____． 【答案】4046 【详解】为奇函数 的图象关于点(2，2)对称； 为偶函数的图象关于直线对称，则是周期为4的周期函数． 事实上， 易计算得， 所以． 28．（2023·广西预赛）设，则_____． 【答案】 【详解】 一般地，． 29．（2023·贵州预赛）已知函数，若，其中，则_____． 【答案】10 【详解】设 是方程的三个根， 则 30．（2023·广西预赛）设在区间(-1，1)内有定义，则能表示一个偶函数与一个奇函数之和，其中_____，_____． 【答案】； 【详解】依题意， 31．（2023·广西预赛）在上存在函数满足下列两个条件：有反函数；在的任意的子区间上都不是单调的．例如，_____． 【答案】 【详解】容易验证满足条件． 32．（2023·广西预赛）设，其中为不超过的最大整数，则_____． 【答案】 【详解】由于函数的周期为1，而函数的周期为，则不可能存在，满足为的周期．所以． 33．（2023·上海预赛）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】显然，且结合图象知， 所以实数的取值范围是． 34．（2023·四川预赛）已知是定义在上的函数，且对任意实数，均有，则的值为_____． 【答案】 【详解】注意到，则有 35．（2023·新疆预赛）函数的最小值为_____． 【答案】3 【详解】的几何意义为抛物线上的点到直线的距离与点(2，2)的距离之和． 如图，，等号成立时三点共线． 所以当时，函数的最小值为3． 36．（2023·浙江预赛）设函数满足，若，则_____． 【答案】1 【详解】 而 ． 37．（2023·重庆预赛）设是二次函数，且，则_____． 【答案】41 【详解】 代入．所以． 38．（2022·广西预赛）设是严格单调递增的函数，其反函数为．设分别是方程和的解，则_____． 【答案】2 【详解】设，则．代入方程得 又是严格单调递增的函数，是方程的唯一解，所以． 39．（2022·新疆预赛）已知，则不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】设为奇函数，且是上的增函数，则 ， 所以不等式的解集为． 40．（2022·四川预赛）已知函数在上严格单调递减，对任意，均有，记，则函数的最小值为_____． 【答案】3 【详解】设，依题意有．在原式中令，则 ，由于函数在上严格单调递减， 于是 或(舍去)． 所以，等号成立时． 41．（2022·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】， 所以的单调递增区间是． 42．（2022·福建预赛）已知函数在区间上恒正，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】函数的图象对称轴为， 当时，在上单调递增，于是； 当时，在上单调递减，于是，无解； 当时，在上单调递增，于是 时，注意到，从而知此时无解． 综上，实数的取值范围为． 43．（2022·甘肃预赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____． 【答案】1 【详解】 等号成立时．所以的最小值为1． 44．（2022·甘肃预赛）设在上至少有一个零点，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】将整理为关于的直线方程， 则，当时， 所以当时，的最小值是． 45．（2022·吉林预赛）已知函数则的解集为_____． 【答案】 【详解】当时，；当时， ，所以不等式的解集为． 46．（2022·吉林预赛）设，不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】3 【详解】，由于， 于是，所以实数的最大值为3． 47．（2022·贵州预赛）函数的对称中心为，则_____． 【答案】1 【详解】 其中满足的对称中心为(-1011，0)，于是的对称中心为(-1011，2023)．所以． 48．（2022·贵州预赛），使得恒成立，则所有满足条件的的和为_____． 【答案】 【详解】设 当时，； 时，， 又在上单调递减，且时， 时，，此时在上恒成立，不合题意．所以； 时，，满足题意． 因此所有满足条件的的和为． 49．（2022·北京预赛）已知函数，使得对任意实数都有，则_____．(其中表示不大于的最大整数) 【答案】1022121 【详解】令， 同理可得．令， 令，于是． 所以 50．（2024·浙江预赛）正实数满足；实数满足，，定义函数，，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？ 【答案】 【详解】令 ，、分别表示变量x代入其左右两边解析式得到的函数值， 由题意，， 对A的取值分类讨论： （1）当时，因为，则， 所以， 故此时最小值点有无穷多个，不符合，舍去； （2）当时，因为，则， 若，则， 故此时； 若，则， 故此时； 若，则， 故此时； ， 又，故，， 故在上单调递减，在上恒为，在上单调递增， 又 ； ， 所以此时最小值点唯一或有无穷多个，不符合，舍去； （3）当时，同理可得 又，故，，，， 且； ； ， ， ；，，即， 所以在上单调递减，在上恒为，在上单调递增，且 ， 故此时最小值点唯一，不符合，舍去； （4）当时，同理可得 又，故，，，， 且， ， ； ，， ， ， 所以在和上单调递减，在上恒为，在上单调递增， 故此时最小值点唯一或无穷多个，不符合，舍去； （5）当时，同理可得 又，故，，，， 且， ， ， 故， ， ； ， ， 故在和上单调递减，在上恒为，在上单调递增， 所以此时恰有两个最小值点的充要条件为 ，即， 解得． 51．（2022·重庆预赛）已知函数，若对任意实数，都有 求．其中代表不超过的最大整数． 【答案】1650 【详解】 取， 取， 取， 取，则． 于是． 52．（2022·广西预赛）设为正整数，．令． 求证：存在使得． 【答案】证明见解析 【详解】设时，数列为，于是 ．否则由于，必存在，当时，，而． 当时，，矛盾； 当时，，矛盾． 下证：．当时，，结论成立； 假设时结论成立，即．当时， 若，则，结论成立； 若，由，则或者，结论也成立． 综上，存在使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题2 函数与函数方程 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）设是定义域为、最小正周期为5的函数．若函数在区间上的零点个数为25，则在区间上的零点个数为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）函数的最小值为_____． 3．（2023·全国联赛B卷）函数的定义域为_____． 4．（2022·全国联赛A卷）设函数，其中实数．若的值域为，则的取值范围是_____． 5．（2022·全国联赛A卷）已知函数的图像既关于点(1，1)中心对称，又关于直线轴对称．若时，，则的值为_____． 6．（2022·全国联赛A1卷）设函数的定义域为，且当时，(其中为实数)．若为奇函数，则不等式的解集为_____． 7．（2022·全国联赛A2卷）函数的最小值为_____． 8．（2022·全国联赛A2卷）设为实数，，在平面直角坐标系中，函数的图像为曲线，另一函数的图像为曲线，且满足与关于直线对称．若点都在曲线或上，则的值为_____． 9．（2022·全国联赛B卷）函数的最大值为_____． 10．（2022·全国联赛B1卷）设实数满足：函数的图像有对称中心(1，0)，且与函数的图像有公共点，则的取值范围是_____． 11．（2022·全国联赛A1卷）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为．若，求的所有可能值． 12．（2024·全国联赛B卷）给定正整数．求函数的最大值．（表示实数到与它最近整数的距离；表示实数中较小的数） 各省预赛试题汇编 13．（2024·吉林预赛）已知函数，则（    ） A．的最小值为8 B．的最小值为9 C．有1个实根 D．有1个实根 14．（2023·吉林预赛）已知函数，则的最小值为 A．4 B． C．3 D． 15．（2024·江苏预赛）函数的值域为_____． 16．（2024·江苏预赛）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 17．（2024·江苏预赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____． 18．（2024·贵州预赛）已知函数，若正实数满足，则的取值范围是_____． 19．（2024·北京预赛）已知函数 若关于的方程恰有三个不相等的实数根且满足，则的取值范围是 ． 20．（2024·北京预赛）已知函数，则函数在区间上的最大值为 ． 21．（2024·福建预赛）设，其中，，若，则_____． 22．（2024·吉林预赛）函数(，且)，若对成立，则实数的取值范围是_____． 23．（2024·江西预赛）设为实数，满足关于的方程有6个互不相等的实数解，其中，则的最小值为_____． 24．（2024·广西预赛）设函数．若且，则的取值范围是 ． 25．（2024·新疆预赛）已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则_____． 26．（2024·重庆预赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为 ． 27．（2023·福建预赛）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为_____． 28．（2023·广西预赛）设，则_____． 29．（2023·贵州预赛）已知函数，若，其中，则_____． 30．（2023·广西预赛）设在区间(-1，1)内有定义，则能表示一个偶函数与一个奇函数之和，其中_____，_____． 31．（2023·广西预赛）在上存在函数满足下列两个条件：有反函数；在的任意的子区间上都不是单调的．例如，_____． 32．（2023·广西预赛）设，其中为不超过的最大整数，则_____． 33．（2023·上海预赛）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是_____． 34．（2023·四川预赛）已知是定义在上的函数，且对任意实数，均有，则的值为_____． 35．（2023·新疆预赛）函数的最小值为_____． 36．（2023·浙江预赛）设函数满足，若，则_____． 37．（2023·重庆预赛）设是二次函数，且，则_____． 38．（2022·广西预赛）设是严格单调递增的函数，其反函数为．设分别是方程和的解，则_____． 39．（2022·新疆预赛）已知，则不等式的解集为_____． 40．（2022·四川预赛）已知函数在上严格单调递减，对任意，均有，记，则函数的最小值为_____． 41．（2022·江西预赛）函数的单调递增区间是_____． 42．（2022·福建预赛）已知函数在区间上恒正，则实数的取值范围为_____． 43．（2022·甘肃预赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____． 44．（2022·甘肃预赛）设在上至少有一个零点，则的最小值是_____． 45．（2022·吉林预赛）已知函数则的解集为_____． 46．（2022·吉林预赛）设，不等式恒成立，则实数的最大值为_____． 47．（2022·贵州预赛）函数的对称中心为，则_____． 48．（2022·贵州预赛），使得恒成立，则所有满足条件的的和为_____． 49．（2022·北京预赛）已知函数，使得对任意实数都有，则_____．(其中表示不大于的最大整数) 50．（2024·浙江预赛）正实数满足；实数满足，，定义函数，，试问，当满足什么条件时，存在使得定义在上的函数恰在两点处达到最小值？ 51．（2022·重庆预赛）已知函数，若对任意实数，都有 求．其中代表不超过的最大整数． 52．（2022·广西预赛）设为正整数，．令． 求证：存在使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$