模拟卷05（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题5 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是好数，则好数的个数为 ． 2．设正实数列满足．记数列的前n项和为，若，则的值为 ． 3．设，记．已知，则x的值为 ． 4．已知复数的模均为1，且，则的值为 ． 5．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 6．已知函数的定义域为，且，则的值为 ． 7．在中，，双曲线以为焦点，且经过点，则的离心率为 ． 8．已知集合，为M的非空子集，则子集A中的最大元素与最小元素之和的数学期望为 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和． 10．（本题满分20分）在正四面体ABCD中，点分别在棱上（均不与顶点重合），且，求的取值范围． 11.（本题满分20分）已知抛物线的焦点为，点关于原点的对称点为，是以点为圆心，1为半径的圆．过上一点（异于原点）作的切线，切点为． (1) 求的最大值； (2) 求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题5参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“好数，则好数的个数为 ． 答案：4． 解：注意到两位数的完全平方数有且仅有，因此可得所有的筑梦数为，共4个． 2．设正实数列满足．记数列的前n项和为，若，则的值为 ． 答案：3． 解：由题意得，即．故 ． 因此． 3．设，记．已知，则x的值为 ． 答案：． 解：对取以x为底的对数，由对数的运算性质得 ． 结合可得 ， 即，解得（负根舍去）． 4．已知复数的模均为1，且，则的值为 ． 答案：． 解：注意到，故．因此． 进而． 所以． 5．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为 ． 答案：． 解：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点O和点的连线是一条体对角线． 设，和分别是点在平面上的投影． 则，当，且时等号成立． 6．已知函数的定义域为，且，则的值为 ． 答案：1． 解：由于，故，所以，即为偶函数． 又，结合可得． 因此，又因为，所以，即6是的周期． 令，可得，故；再令，可得，故．所以． 7．在中，，双曲线以为焦点，且经过点，则的离心率为 ． 答案：2． 解：如图所示，以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，设的实轴长为，虚轴长为，焦距为．设的内心为，过点分别作边的垂线，垂足分别为． 由知，故点A在的左支上．因此，又，所以． 设的内切圆半径为，则，故，即，所以的离心率为2． 8．已知集合，为M的非空子集，则子集A中的最大元素与最小元素之和的数学期望为 ． 答案：． 解：设随机变量分别表示取到子集A中的最大元素和最小元素． 易知集合M的非空子集共有个，其中，最大元素X为n的子集可视为的子集与集合的并集，共有个． 同上可知，X为的子集共有个，X为的子集共有个，…，X为1的子集共有个，所以． 最小元素Y为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个．同理，Y为2的子集共有个，Y为3的子集共有个，……，Y为n的子集共有个，所以． 所以 ． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和． 解：由题意得，即，故．所以． 考虑，则．令得，故在单调递减，在单调递增，因此的最小值点是，取最小值时，． 此时．不是偶数，所以，． 所以当取最小值时，A中所有元素之和为． 10．（本题满分20分）在正四面体ABCD中，点分别在棱上（均不与顶点重合），且，求的取值范围． 解：设． 注意到，从而在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 因此，即．所以或． ①若，则，且为等边三角形，故． 设，则 ． ②若，则． 设，则 ． 综上所述，，因此． 11．（本题满分20分）已知抛物线的焦点为，点关于原点的对称点为，是以点为圆心，1为半径的圆．过上一点（异于原点）作的切线，切点为． (1) 求的最大值； (2) 求的最大值． 解：(1) 设，根据对称性，不妨设，则． 因为T在曲线上，在T处导数为，所以直线AT的方程为． 存在A使得等价于直线AT到的距离不大于1，所以，解得． 因此，即的最大值为4． (2) 设过点A的另一条切线与C相切于，由(1)同理可得，又因为点A分别在上，所以直线TP的方程为． 先证明，有 ． 联立直线TP和，得是方程的两根，由韦达定理得，代入即证，所以 ． 结合，可得 ． 因此，解得，当时等号成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$