5.1.3数据的直观表示（同步课件）数学人教B版必修第二册

5.1 统计 5.1.3 数据的直观表示 第5章 统计与概率 情境引入 我们知道，从现实生活中得到的数据往往都是没有规律的、凌乱的，如果不加以整理，可能难以看出数据的特征，也不利于有关信息的挖掘.因此，人们在呈现有关结果时，往往会对数据进行整理，并用合适的图表来形象化地表示有关数据. 情境与问题：2015年7月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏.奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20.0%)也是受访者欣赏的品质”. 你能将这一调查结果用图表进行形象化表示吗？ 新知探索 我们知道，柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系，因此上述情境与问题中的结果可以用柱形图表示，如图所示. 一般地，柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的. 新知探索 情境与问题：国家统计局网站显示，年高中在校学生数信息如下. 你能形象地表示上述数据，以便发现这几年高中在校学生数的变化趋势吗？ 年份 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 高中在校学生数/万 2554.82 2467.17 2435.8817 2400.4723 2374.3992 可以用折线图来表示上述情境与问题中的数据，如图所示. 一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示.当然，折线图也可以用在其他合适的情形中. 新知探索 情境与问题：2016年12月17日至21日，北京市空气质量呈现重度及以上污染水平，经北京市政府批准，12月16日20时至21日24时，北京市启动了空气重污染红色预警，这期间实行了机动车“单双号”限行等措施.《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对2002人进行了调查，得到了以下数据：647人非常支持，891人支持，348人态度一般，116人不支持. 如果你是《中国青年报》的记者，你会怎样整理和报道这些数据? 新知探索 不难看出，如果直接呈现上述情境与问题中的调查结果，读者将难以看出其中的规律，包括四种态度的人数之间的比例关系等，为了避免出现这种情况，我们可以将原有的结果转化为表格，并计算每一类型数据的百分比，如下表所示. 事实上，《中国青年报》的报道原文是：“民调显示，76.8%的受访者支持此次单双号限行，其中32.3%的受访者非常支持.态度一般和不支持的分别占17.4%和5.8%”. 态度 非常支持 支持 一般 不支持 人数 647 891 348 116 所占比例 32.3% 44.5% 17.4% 5.8% 新知探索 更进一步，我们还可以用扇形图(也称为饼图、饼形图)来形象地表示这一结果如图所示. 不难看出，扇形图可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 新知探索 尝试与发现：某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下： 甲：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50； 乙：8，13，13，14，16，23，26，29，33，35，38，39，51. 这两组数据可以用图来表示. 你能说出上述图是怎样构造出来的吗？由图中可以得出甲、乙两名运动员得分的哪些信息？ 新知探索 类似右图的图称为茎叶图，其名称的由来是因为它的中间像植物的茎，两边像植物茎上生长的叶子，图中，中间的数字表示两位运动员得分的十位数，两边的数字表示得分的个位数. 一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列.茎叶图也可以只表示一组数. 将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征. 新知探索 例如，从右图中可以看出：甲得分的最大值是50，最小值是12，中位数为36；乙得分的最大值是______，最小值是_______,中位数为_______. 另外，从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况，从而可能可以得到一些额外的信息.例如，从图中可以看出：甲的得分大多数集中在，而且小于分和大于分的次数相差不多.因此可以估计甲的平均数应该在区间内；类似地，可以估计出乙得分的平均数应该在区间__________内. 新知探索 从图中我们还可以估计出甲得分和乙得分的方差的相对大小，因为甲得分的数据比较集中，乙得分的数据比较分散，两者的数据个数相等，所以可以得出：甲得分的方差小于乙得分的方差. 新知探索 情境与问题：以下是某学校全体学生一次政治考试的成绩. (1)能否直接用前面提到过的图来表示上述数据？为什么？ (2)怎样才能直观地表示出上述数据的大致分布情况(比如指出哪个分数段的分数比较多，哪个分数段的分数比较少)？ 新知探索 前面给出的数据直观表示中，都直接用到了每一个数的具体值.然而，在很多情况下，所得数据的个数比较多，如果要在图中体现每一个数字的大小，既麻烦也无必要. 此时，怎样才能直观地表示出这组数的大致分布情况(比如显示出哪些范围内的数比较多，哪些范围内的数比较少)，并得到有关的信息呢？一个自然的想法是，将数据按照一定的方式进行“压缩”，然后再用图来直观地表示压缩后的数据. 因为我们关心的是数据的大致分布情况，所以可以事先确定出几个区间，然后统计落在每一个区间内的数的个数，最后将统计的结果用图示表示. 新知探索 类似的操作我们在初中学习直方图的知识时就进行过，下面以情境与问题中的数据为例进行详细说明. (1)找出最值,计算极差 上述成绩的最小值是，最大值是，因此极差为. (2)合理分组，确定区间 数据共有个，可以分为组，这里取组，并目按照从分开始， 组距为确定就算区间，即区间为，，，，. 新知探索 (3)整理数据 逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，如下表所示(频率精确到 0.01). 新知探索 (4)作出有关图示 根据上述整理后的数据，可以作出频数分布直方图与频率分布直方图，分别如下图所示.值得注意的是，频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的纵坐标频率是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为. 下图中，还作出了频数分布折线图和频率分布折线图，作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的. 新知探索 不难看出，虽然作频数分布直方图与频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出的数字特征一般会有差异. 例析 例1 为了了解学生的课业负担，甲、乙两所学校分别抽取了名在校生，了解他们完成作业所需的时间，并分别作出了频数分布直方图如下图所示，其中分组的区间都为.记甲学校所得数据的中位数为，乙学校所得数据的中位数为，判断与的相对大小. 解 由(1)可以看出，；由(2)可以看出，.因此. 例析 例2 某射击运动员一次射击训练的成绩可以整理成右图所示的统计图表，试计算这次成绩的平均数与方差. 解 设运动员共射击了次，则由图可知，射中环与环的次数为，射中环与环的次数为.因此平均数为 类似地，可以算出方差为 新知探索 借助计算机软件，可以快捷地作出有关统计图表. 例如，本小节一开始的柱形图，在中输入有关数据后，就可以用有关作图命令画出来，而且可以方便地改变呈现形式，请读者自行尝试. 在软件中，利用表格区输入数据，然后利用“单变量分析”，可以得到数据的直方图等信息，而且各种参数都可以自行设定.例如，前面提到的频数分布直方图与折线图可用作出，如图所示. 练习 题型一：频率分布直方图的绘制 例1.某中学从高一年级随机抽取50名学生进行智力测验，其得分如下(单位：分)： 48 64 52 86 71 48 64 41 86 79 71 68 82 84 68 64 62 68 81 57 90 52 74 73 56 78 47 66 55 64 56 88 69 40 73 97 68 56 67 59 70 52 79 44 55 69 62 58 32 58 根据上面的数据，回答下列问题： (1)这次测验成绩的最高分和最低分分别是多少？ 解：(1)这次测验成绩的最高分是97分，最低分是32分. 练习 (2)将区间平均分成7个小区间，试列出这50名学生智力测验成绩的频率分布表，进而画出频率分布直方图. 解：(2)根据题意，列出样本的频率分布表如下. 练习 解：(2)频率分布直方图如图所示. 解：(2)频率分布直方图如图所示. 解：(3)从频率分布直方图可以看出，这50名学生的智力测验成绩大体上呈两头小、中间大，左右基本对称，说明这50名学生中智力特别好或特别差的占极少数，而智力一般的占多数，这是一种最常见的分布. (3)分析频率分布直方图，你能得出什么结论？ 练习 方法技巧： 绘制频率分布直方图应注意的问题 (1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是以“一个恰当的单位长度”（没有统一规定），然后以各组的“”所占的比例来定高. (2)数据要合理，分组组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30—100个左右时，应分成5到12组.在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1. 练习 变1.如表所示给出了在某校500名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：). (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于134 的人数占总人数的百分比. 练习 解：(1)样本频率分布表如下. 练习 解：(2)其频率分布直方图如图： 解：(3)由样本频率分布表可知，身高小于134 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134 的人数占总人数的19%. 练习 题型二：频率分布直方图的应用 例2.为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测验，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为2 : 4 : 17 : 15 : 9 : 3，第二小组的频数为12. 练习 (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ 解：(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组的频率大小的，因此第二小组的频率为. 又因为第二小组的频率， 所以样本容量 (2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ 解：(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 练习 方法技巧： 频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3)样本量 练习 (1)直方图中的值为_____； (2)在这些用户中，用电量落在区间内的户数为____. 变2.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示. 答案：(1)0.0044；(2)70. 课堂小结&作业 课堂小结： 1.柱形图、折线图、扇形图、茎叶图； 2.频数分布直方图、频率分布直方图. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P78的练习，练习； (3)课本P90习题的第3、4题；课本P90习题的第3、4、5、6题. 谢谢学习 Thank you for learning $$