专题15.1 分式（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题15.1 分式（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【考点1】从分数到分式 【题型1】分式有意义条件.....................................................2 【题型2】分式无意义的条件...................................................2 【题型3】分式值为零的条件...................................................3 【题型4】按要求构造分式.....................................................3 【题型5】分式的规律性问题...................................................3 【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围...............................4 【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值...................................4 【考点2】分式的基本性质 【题型8】判断分式变形是否正确...............................................4 【题型9】求使分式变形成立的条件.............................................4 【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化................................5 【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数..................................5 【题型12】最简分式.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...5 【题型13】约分.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...6 【题型14】最简公分母...............,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.........6 【题型15】通分........................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式有意义条件 【例1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）的倒数为（   ） A． B． C． D．以上均不正确 【变式1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【变式2】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，式子有意义． 【题型2】分式无意义的条件 【例2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【变式1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为 ． 【变式2】（21-22九年级下·上海·自主招生）没有意义的实数解共有（   ）个 A．2 B．1 C．4 D．3 【题型3】分式值为零的条件 【例3】（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【变式】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）分式的值为0，则 ． 【题型4】按要求构造分式 【例4】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当时，它没有意义．          （2）当时，它有意义． 【变式1】（12-13八年级下·江苏南京·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式： （1）分式的值不可能为0； （2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2； （3）当x=0时，分式的值为-1． 你所写的分式为 ． 【变式2】（22-23八年级下·山西长治·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【题型5】分式的规律性问题 【例5】（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【变式1】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【变式2】（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【例6】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【变式2】（20-21八年级下·江苏常州·期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例7】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【变式1】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【题型8】判断分式变形是否正确 【例8】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期中）在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9】求使分式变形成立的条件 【例9】（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【变式】（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例10】（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知（x，y，z均不为零），则 ． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例11】（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【题型12】最简分式 【例12】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）把分式化为最简分式为 ． 【变式2】（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【题型13】约分 【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）化简： ． 【变式1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 【变式2】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）已知m、n为有理数，那么可看成数轴上表示数m和数n的两点之间的距离，若有理数x在数轴上的位置如图所示，则型的值为 ．    【题型14】最简公分母 【例14】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【变式1】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ，的最简公分母是 【变式2】（19-20八年级下·湖北黄石·阶段练习）分式与的最简公分母是 ． 【题型15】通分 【例15】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【变式2】（18-19九年级·湖北黄冈·自主招生）已知实数，满足，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1 分式（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 【知识点3】分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 【知识点4】分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【知识点5】分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 【知识点6】分式的通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 知识点与题型目录 【考点1】从分数到分式 【题型1】分式有意义条件.....................................................2 【题型2】分式无意义的条件...................................................3 【题型3】分式值为零的条件...................................................5 【题型4】按要求构造分式.....................................................6 【题型5】分式的规律性问题...................................................7 【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围...............................9 【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值..................................10 【考点2】分式的基本性质 【题型8】判断分式变形是否正确..............................................11 【题型9】求使分式变形成立的条件............................................13 【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化...............................14 【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数.................................15 【题型12】最简分式.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...16 【题型13】约分.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...17 【题型14】最简公分母...............,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.........18 【题型15】通分........................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式有意义条件 【例1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）的倒数为（   ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】D 【分析】本题考查倒数和分式，掌握乘积为的两个数互为倒数，没有倒数是解题的关键 解：当时，没有倒数， 当时，的倒数为， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键； 解：根据题意得：，， 解得：且， 故选：C 【变式2】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）要使分式有意义，且有解，则x的取值范围是（    ） A．且 B．且和3 C．且和3 D．且和3 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：根号下大于等于0，理解分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可； 解：∵分式有意义， ∴且， 解得：且， ∵有解， ∴， 综上，且且， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，式子有意义． 【答案】不等于和 【分析】本题考查因式分解的应用，分式有意义的条件，根据分式有意义得到分母不为零，据此求解即可． 解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴且， 故答案为：不等于和． 【题型2】分式无意义的条件 【例2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义，则ab的值为 ． 【答案】8 【分析】由时，分式的值为0，可得，解得，由时，分式没有意义，可得，解得，然后代入求值即可． 解：∵时，分式的值为0， ∴，解得． ∵时，分式没有意义， ∴，解得． ∴． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解一元一次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（21-22九年级下·上海·自主招生）没有意义的实数解共有（   ）个 A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了分式没有意义的条件．根据“分式没有意义，分母等于0”列式计算即可得解． 解：由题意得， 解，得； 解，得； 解，得； 综上，共有4个解， 故选：C． 【题型3】分式值为零的条件 【例3】（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 解：由题意可得且， 解得． 故当时，分式的值为零． 故答案为：． 【变式】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型4】按要求构造分式 【例4】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当时，它没有意义．          （2）当时，它有意义． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可． 解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为； （2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为． 【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义． 【变式1】（12-13八年级下·江苏南京·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式： （1）分式的值不可能为0； （2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2； （3）当x=0时，分式的值为-1． 你所写的分式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式的性质进行求解即可． 解：分式值不等于0，则分式的分子不等于0． 取值范围要，则分式分母满足x=±2时，分母=0． 且当x=0时，分式值要等于-1． 可得， 故答案为： 【点睛】本题难度中等，主要考查学生对分式性质的掌握．根据要求写出例子即可． 【变式2】（22-23八年级下·山西长治·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键． 【题型5】分式的规律性问题 【例5】（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知即当 为大于1的奇数时，；当 为大于1的偶数时，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出至，可知从开始，的值每6个一循环，结合，可知，找出规律是解题的关键． 解：由题意知：， ， ， ， ， ， ， …… 以此类推，可知从开始，的值每6个一循环， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 【例6】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式表示的数是负数，得，转化为不等式问题求解即可． 【详解】根据题意，得， 解得， x的取值范围在数轴上表示如下：      故选：C． 【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 【变式2】（20-21八年级下·江苏常州·期中）如果分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 解：分式的值为正数，且， 且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值 【例7】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 【变式1】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的值为整数的情况，以及数的整除性问题，把用含的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，即可求出的最大值． 解：， ， ，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 故选：C． 【题型8】判断分式变形是否正确 【例8】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可判断，掌握分式的基本性质是解题的关键． 解：A、不一定成立，故选项不符合题意； B、不一定成立，故选项不符合题意； C、，正确，故选项符合题意； D、的分子和分母不能约分，，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期中）在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：，括号里应填 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0 的整式，分式的值不变”是解决问题的关键． 解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐项进行判断即可 解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意； 故选：C 【题型9】求使分式变形成立的条件 【例9】（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 【变式】（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例10】（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据分式的性质即可求解． 解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知（x，y，z均不为零），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据（x，y，z均不为零），可设，则，，将其代入所求分式计算即可． 解：（x，y，z均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 解：∵分式中的和都扩大到原来的倍， ∴， 即分式的值缩小到原来的， 故选：C． 【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数 【例11】（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 解： 故答案为：． 【题型12】最简分式 【例12】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）把分式化为最简分式为 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 【变式2】（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行分式的乘法，进行化简． 解：， ， ． 【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 【题型13】约分 【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键． 先把分式的分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 解： ． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得． 解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）已知m、n为有理数，那么可看成数轴上表示数m和数n的两点之间的距离，若有理数x在数轴上的位置如图所示，则型的值为 ．    【答案】 【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到，可得出小于0，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简，即可得到结果． 解：由数轴上表示x的点的位置，得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值及分式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键． 【题型14】最简公分母 【例14】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【变式1】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ，的最简公分母是 【答案】ab(a+b)(a-2b) 【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母即可求出答案． 解：分式 ， ，的分母依次为：，， 故最简公分母是ab(a+b)(a-2b) 故答案为：ab(a+b)(a-2b) 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【变式2】（19-20八年级下·湖北黄石·阶段练习）分式与的最简公分母是 ． 【答案】x(x+2)(x-2) 【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母． 【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)， ∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)， 故答案为：x(x+2)(x-2) 【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【题型15】通分 【例15】（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【答案】 5 2 【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果. 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴，解得. 【点睛】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键. 【变式2】（18-19九年级·湖北黄冈·自主招生）已知实数，满足，则 ． 【答案】0或 【分析】将已知等式变形可得，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0”即可得出a=-b或a=b，最后代入即可． 解：∵ ∴ ∴ 整理，得 ∴a=-b或a=b 当a=-b时，； 当a=b时， 综上：原式=0或 故答案为：0或． 【点睛】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$