期末常考提升60题（考题猜想，15种热考题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版2024）

期末常考提升60题（考题猜想，15种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．数轴（共9题） 1．（2023秋•栾城区校级期末）如图，已知，在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为8，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①点对应的数是4； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度不变． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023秋•德城区期末）是数轴上一点表示的数，则的最小值是　　 A．1 B． C．5 D． 3．（2023秋•红旗区校级期末）若有理数、在数轴上的位置如图所示，请化简：的值是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•无为市期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 　 　． 5．（2023秋•乌海期末）在同一条数轴上，点位于有理数处，点位于有理数16处，若点每秒向右匀速运动6个单位长度，同时点每秒向左匀速运动2个单位长度，当运动　 　秒时，的长度为8个单位长度． 6．（2023秋•东港区期末） 已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　　； （2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是 　　； （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 7．（2023秋•湛江期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，设点，，所对应数的和是． （1）若点为原点，，则点，所对应的数分别为 　 　，　　，的值为 　　； （2）若点为原点，，求的值． （3）若原点到点的距离为8，且，求的值． 8．（2023秋•龙山区期末）已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点． （1）直接写出点所对应的数：　　； （2）当点到点、的距离之和是5个单位时，点对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点、对应的数各是多少？ 9．（2023秋•东港区期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． （1）若点表示数，点表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是 　 　； （2）点表示数，点表示的数是30，点为数轴上一个动点：若点在线段上，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数． 二．绝对值的性质（共3题） 10．（2023秋•莲池区期末）若三个非零有理数，，满足，则的值为　　 A． B． C．3或 D．1或 11．（2023秋•濠江区期末）若，则　 　． 12．（2023秋•柳州期末）若，则　 　． 三．有理数大小比较（共3题） 13．（2023秋•南开区期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是　　 ①，②，③，④． A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 14．（2023秋•潮南区期末）如果，那，，的大小顺序是 　 　．（请用“”连接） 15．（2023秋•历下区期末）比较下列两数的大小：　 　．（填“”、“ ”或“” 四．有理数的乘法（共2题） 16．（2024秋•五华区校级期中）已知，，且，则的值为　 　． 17．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 五．有理数的除法（共2题） 18．（2023秋•新安县期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 19．（2023秋•新干县期末）对于有理数，，若，则的值是　　 A． B． C．1 D．3 六．偶次方的性质（共2题） 20．（2023秋•衡东县期末）若，则的值为　　 A．1 B． C．5 D．不确定 21．（2023秋•腾冲市期末）若，则　　． 七．有理数的混合运算（共5题） 22．（2023秋•禅城区期末）利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 23．（2023秋•文山市期末）现在规定两种新的运算“”和“◎”：；◎，如◎，则◎　 　． 24．（2023秋•凉山州期末）根据如图所示的数值转换器，当输入的，满足时，输出的结果为 　　． 25．（2023秋•东莞市校级期末）计算：． 26．（2023秋•东莞市校级期末）计算：． 八．列代数式（共2题） 27．（2023秋•衢江区期末）1905年清朝学堂的课本中用“”来表示代数式，则“”表示的代数式为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•三元区期末）如图，边长为和2的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积为 　 　． 九．代数式求值（共5题） 29．（2023秋•泸县校级期末）若代数式的值为2，则代数式的值为　　 A．30 B． C． D．26 30．（2023秋•凤阳县期末）按如图所示的运算程序，当输入，时，则输出的结果是 　　． 31．（2023秋•铁东区期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条 （1）若该客户按方案①购买，需付款　 　元（用含的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款　　 元（用含的代数式表示）； （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 32．（2023秋•兰州期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　 　平方米；种花的面积为 　　 平方米；（结果保留 （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 （3）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 33．（2023秋•唐河县期末）小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中（单位：米）． （1）这套住房的建筑总面积是 　 　平方米；（用含、的式子表示） （2）当，时，求出小语家这套住房的具体面积． （3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由． 十．整式的加减与化简求值（共5题） 34．（2023秋•亳州期末）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值　　 A．0 B． C． D． 35．（2024春•萨尔图区校级期末）若代数式的值与的取值无关，则　　． 36．（2023秋•禹城市期末）先化简，再求值：，其中，． 37．（2023秋•琼海校级期末）在计算代数式的值，其中，时，甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的．试说明理由，并求出这个结果． 38．（2023秋•冷水滩区校级期末）已知多项式， （1）若与的和为单项式，试求的值． （2）若式子的值与无关，求的值． 十一．一元一次方程的应用（共10题） 39．（2023秋•沙坪坝区校级期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，则所列方程为　　 A． B． C． D． 40．（2023秋•昭通期末）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•平凉期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为　　 A．24 B．25 C．26 D．27 42．（2023秋•海珠区期末）定义：关于的方程与方程，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． （1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则　　． （2）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． （3）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 　　．（请直接写出答案） 43．（2023秋•洪山区期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是．解决问题： （1）请把无限循环小数化为分数； （2）我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，．请你直接用含，的式子表示纯循环小数　 　． 44．（2023秋•和平区期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 　　元，每件乙种商品利润率为 　　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 45．（2023秋•梅里斯区期末）问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米分，乙的平均速度为400米分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为 　　米，骑手乙离开商店的距离为 　　米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为5000米时的值． 46．（2023秋•龙口市期末）某水果店以10元千克的价格购进一批水果，由于销售良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜，所购进水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进该水果共花去8400元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克水果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得7500元的利润，那么该水果店销售该水果每千克应定价为多少元？ 47．（2023秋•重庆期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． （1）表中的值为 　　； （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元度，求老李家8月份的用电量． 48．（2023秋•坡头区期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足． （1）　 　，　　； （2）点在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点，使得，请求出点对应的数； （3）点、分别以2个单位秒和3个单位秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位秒的速度同时向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 十二．几何体的展开图（共2题） 49．（2023秋•邢台期末）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是　　 A． B． C． D． 50．（2023秋•船营区校级期末）下面选项中可能是单孔纸箱的展开图是　　 A． B． C． D． 十三．组合体的三视图（共2题） 51．（2023秋•靖江市期末）（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则的最大值为 　　． 52．（2023秋•沭阳县期末）（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图； （2）若现在你的手里还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持从正面和左面看到的形状不变，则最多可以添加 　　个小正方体． 十四．求线段的长度（共3题） 53．（2023秋•高安市期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． （1）求的长； （2）若为的中点，求长． 54．（2023秋•防城区期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的长． 55．（2023秋•凉州区期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点运动时间为秒． （1）当时，①　　．②求线段的长度． （2）用含的代数式表示运动过程中的长． （3）在运动过程中，若中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 十五．角的计算（共5题） 56．（2024春•萨尔图区校级期末）如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿 折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 57．（2023秋•娄星区校级期末）如图，为直线上一点，，平分，． （1）求出的度数； （2）请通过计算说明是否平分． 58．（2023秋•柘城县期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图2，因为平分，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． 完成以下问题： （1）请你将小明的解答过程补充完整； （2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数． 59．（2023秋•江海区期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． （1）应用：若，为的二倍分线，且，则　　； （2）如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，已知，，则　　； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 60．（2023秋•禹城市期末）已知为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．射线平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数． $$期末常考提升60题（考题猜想，15种热考题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．数轴（共9题） 1．（2023秋•栾城区校级期末）如图，已知，在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数为8，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①点对应的数是4； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度不变． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【解答】解：设点对应的数是， 点对应的数为8，且， ， ， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒， 点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒， 当点在点左边时， ，， ， （秒， 综上，时，或7；故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了数轴，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 2．（2023秋•德城区期末）是数轴上一点表示的数，则的最小值是　　 A．1 B． C．5 D． 【分析】分情况根据绝对值的意义进行化简，即可求出结果． 【解答】解：当时， ， 代数式的值随的增大而减小， 当时， ， 当时， ， 代数式的值随的增大而增大，当时，代数式的值为5， 则的最小值是5， 故选：． 【点评】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分类讨论是关键． 3．（2023秋•红旗区校级期末）若有理数、在数轴上的位置如图所示，请化简：的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数、在数轴上的位置，正确判断出，进而确定，，；再根据绝对值的性质计算化简即可． 【解答】解：读数轴可得， ，，， 根据绝对值的性质可得： ，，， ； 故选：． 【点评】本题主要考查数轴上的正负有理数的判读、大小比较及利用绝对值的性质进行化简的知识．熟练运用数轴及绝对值的性质是解决本题的关键． 4．（2023秋•无为市期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 　　． 【分析】数轴上、两点间的单位长度是9，刻度尺对应的是5.4，所以数轴的单位长度是，的长度是，除以0.6得在数轴上的单位长度． 【解答】解：， 数轴的单位长度是0.6厘米， ， 在数轴上，的距离是3个单位长度， 点所对应的数为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是数轴的概念和单位长度的换算，解题的关键是数轴上的单位长度等于多少． 5．（2023秋•乌海期末）在同一条数轴上，点位于有理数处，点位于有理数16处，若点每秒向右匀速运动6个单位长度，同时点每秒向左匀速运动2个单位长度，当运动　2或4　秒时，的长度为8个单位长度． 【分析】设运动秒时，（单位长度），然后分点在点的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：设运动秒时，单位长度， ①当点在点的左边时， 由题意得： 解得：； ②当点在点的右边时， 由题意得： 解得：． 故答案为：2或4． 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，结合数轴求得两点之间的距离，探讨运动性问题，渗透分类讨论思想，综合性较大． 6．（2023秋•东港区期末） 已知数轴上三点，，对应的数分别为，0，3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． （1）的长为 　4　； （2）如果点到点、点的距离相等，那么的值是 　　； （3）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点以每分钟1个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【分析】（1）的长为，即可解答； （2）根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （3）可分为点在点的左侧和点在点的右侧，点在点和点之间三种情况计算； （4）分别根据①当点和点在点同侧时；②当点和点在点异侧时，进行解答即可． 【解答】解：（1）的长为； （2）根据题意得：， 解得：； （3）①当点在点的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②在点和点之间时，则，方程无解，即点不可能在点和点之间． ③点在点的右侧时，． 解得：． 的值是或5； （4）设运动分钟时，点到点，点的距离相等，即． 点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是． ①当点和点在点同侧时，点和点重合， 所以，解得，符合题意． ②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度大于点的速度，所以点永远位于点的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，的值为或4． 【点评】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据，位置的不同进行分类讨论是解题关键． 7．（2023秋•湛江期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，设点，，所对应数的和是． （1）若点为原点，，则点，所对应的数分别为 　　，　　，的值为 　　； （2）若点为原点，，求的值． （3）若原点到点的距离为8，且，求的值． 【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解； （2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解； （3）根据原点在点的右边先确定点对应的数，进而确定点、点所表示的数即可求解． 【解答】解：（1）点为原点，， 所对应的数为， ， ， 点所对应的数为， ； 故答案为：，，； （2）点为原点，，， 点所对应的数为，点所对应的数为2， ； （3）原点到点的距离为8， 点所对应的数为， ， ， 当点对应的数为8， ，， ， 点所对应的数为4，点所对应的数为， ； 当点所对应的数为， ，， ， 点所对应的数为，点所对应的数为， 综上所述或． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用． 8．（2023秋•龙山区期末）已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点． （1）直接写出点所对应的数：　1　； （2）当点到点、的距离之和是5个单位时，点对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点、对应的数各是多少？ 【分析】（1）根据向右就做加法，列式求解； （2）根据两点间的距离公式列方程求解； （3）设点运动时间为，列方程求出的值，再求，对应的数． 【解答】解：（1）， 故答案为：1； （2）设点表示的数为，则， 解得：或； （3）设点运动的时间为秒，则运动的时间为秒， 由题意得：， 解得：或， 当时，表示的数为：，表示的数为：， 当时，表示的数为：，表示的数为：． 【点评】本题考查了数轴，方程思想和分类讨论思想是解题的关键． 9．（2023秋•东港区期末）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． （1）若点表示数，点表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为，，，其中是点，的“联盟点”的是 　或　； （2）点表示数，点表示的数是30，点为数轴上一个动点：若点在线段上，且点是点，的“联盟点”，求此时点表示的数． 【分析】（1）分别求得，，到点，的距离，根据“联盟点”的定义即可得到答案； （2）根据“联盟点”的定义，分类讨论点的位置，设点对应的数为，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）点表示数，点表示的数是4，下列各数3，2，0所对应的点分别为，，， ，， 不是，的“联盟点”； ，， 是，的“联盟点”； ，， 是，的“联盟点”； 故答案为：或． （2）设点在数轴上所表示的数为， 当点在线段上，且时， 根据题意得， 解得； 当点在线段上，且时， 根据题意得， 解得； 综上所述，点表示的数为或． 【点评】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 二．绝对值的性质（共3题） 10．（2023秋•莲池区期末）若三个非零有理数，，满足，则的值为　　 A． B． C．3或 D．1或 【分析】由于，，的符号不能确定，所以应分三个数两个大于0、三个都小于0进行解答． 【解答】解：， ， 当，，中有两个大于0时，原式； 当，，均小于0时，原式． 故选：． 【点评】本题考查的是有理数的除法，绝对值的性质，解答此题的关键是利用分类讨论的思想解答． 11．（2023秋•濠江区期末）若，则　　． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12．（2023秋•柳州期末）若，则　　． 【分析】根据非负数的性质求出，的值，代入代数式求值即可． 【解答】解：，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键． 三．有理数大小比较（共3题） 13．（2023秋•南开区期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，在0到1之间的是　　 ①，②，③，④． A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据数轴得出，再逐个判断即可． 【解答】解：①根据数轴可以知道：， ， ，符合题意； ②， ， ，符合题意； ③， ， ， ，符合题意； ④， ，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了数轴，绝对值，相反数的定义，其中，用绝对值的定义去判断是解题的关键． 14．（2023秋•潮南区期末）如果，那，，的大小顺序是 　　．（请用“”连接） 【分析】利用乘除运算法则，以及有理数的大小比较，利用法则解题即可． 【解答】解：． ，则， ，则， ，则． ，，． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的乘除运算法则，以及有理数的大小比较，掌握法则是解题的关键． 15．（2023秋•历下区期末）比较下列两数的大小：　　．（填“”、“ ”或“” 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．即可解答． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握有理数大小比较的法则． 四．有理数的乘法（共2题） 16．（2024秋•五华区校级期中）已知，，且，则的值为　　． 【分析】根据绝对值的性质求出、，再根据异号得负判断出、异号，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：，， ，， ， 、异号， 当时，，， 当时，，， 综上所述，的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 17．（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】分别根据运算“”的运算方法列式，然后进行计算即可得解． 【解答】解：（1）； （2）． 【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键． 五．有理数的除法（共2题） 18．（2023秋•新安县期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 【分析】根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则． 19．（2023秋•新干县期末）对于有理数，，若，则的值是　　 A． B． C．1 D．3 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【解答】解：， ，异号． ， ， 当时，，则，， 原式． 当时，，则，． 原式． 故选：． 【点评】本题考查绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 六．偶次方的性质（共2题） 20．（2023秋•衡东县期末）若，则的值为　　 A．1 B． C．5 D．不确定 【分析】先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论． 【解答】解：， ，， 解得，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键． 21．（2023秋•腾冲市期末）若，则　9　． 【分析】根据非负数的性质可求出、的值，再将它们代入中求解即可． 【解答】解：、满足，，；，；则． 故答案为：9． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 七．有理数的混合运算（共5题） 22．（2023秋•禅城区期末）利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 【分析】根据图形，可以发现，然后计算即可． 【解答】解：由图可得， ， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．（2023秋•文山市期末）现在规定两种新的运算“”和“◎”：；◎，如◎，则◎　　． 【分析】根据题意，把◎中代入到中； 把◎代入到◎，求出结果即可． 【解答】解：根据题意可知：◎． 【点评】本题的关键是需明白新的运算相对于我们平时所见的运算之间的联系． 24．（2023秋•凉山州期末）根据如图所示的数值转换器，当输入的，满足时，输出的结果为 　　． 【分析】根据，可以得到、的值，然后将的值代入，求出最后可以输出的的值即可． 【解答】解：， ，， 解得，， ， 当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是求出最后的的值． 25．（2023秋•东莞市校级期末）计算：． 【分析】先算乘方，再算括号里，最后从左往右依次计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 26．（2023秋•东莞市校级期末）计算：． 【分析】先算乘方，再利用乘法分配律算加号前面的式子，最后从左往右依次计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 八．列代数式（共2题） 27．（2023秋•衢江区期末）1905年清朝学堂的课本中用“”来表示代数式，则“”表示的代数式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意列出代数式即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查代数式，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 28．（2023秋•三元区期末）如图，边长为和2的两个正方形拼在一起，阴影部分的面积为 　　． 【分析】根据题意利用阴影部分的面积为：进而求出答案． 【解答】解：如图所示：阴影部分的面积为： ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了列代数式，正确利用总面积减去空白面积阴影部分面积是解题关键． 九．代数式求值（共5题） 29．（2023秋•泸县校级期末）若代数式的值为2，则代数式的值为　　 A．30 B． C． D．26 【分析】先根据题意得，再进一步整理，整体代入求出答案即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查代数式求值，掌握整体代入的方法是解决问题的关键． 30．（2023秋•凤阳县期末）按如图所示的运算程序，当输入，时，则输出的结果是 　25　． 【分析】首先理解图示，然后再代入求值． 【解答】解：，，， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查代数式求值，理解题目所提供的运算程序是解答本题的关键． 31．（2023秋•铁东区期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条 （1）若该客户按方案①购买，需付款　　元（用含的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款　　元（用含的代数式表示）； （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 【分析】（1）根据给出的方案列出代数式即可． （2）令代入求值即可． （3）先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带． 【解答】（1）方案①：元 方案②：元 （2）当时 方案①：（元 方案②：（元 选择方案①购买较为合算． （3）方案③：先按方案①购买20套西装，再按方案②购买10条领带． 所需费用为（元 选择方案③购买更省钱． 故答案为：（1）； 【点评】本题考查列代数式，涉及有理数混合运算，代入求值等知识． 32．（2023秋•兰州期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　　平方米；种花的面积为 　　平方米；（结果保留 （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 （3）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【解答】解：（1）依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）该长方形场地上种草的面积为： 平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 【点评】本题主要考查了利用长方形和扇形的面积公式列出代数式，然后利用代数式求值解决实际问题，熟练准确的求出结果是本题的关键． 33．（2023秋•唐河县期末）小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中（单位：米）． （1）这套住房的建筑总面积是 　　平方米；（用含、的式子表示） （2）当，时，求出小语家这套住房的具体面积． （3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由． 【分析】（1）根据图形，可以用代数式表示这套住房的建筑总面积； （2）将，代入（1）中的代数式即可求得小语家这套住房的具体面积； （3）根据住房的面积每平方米的单价计算出甲公司和乙公司的钱数，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意可得：这套住房的建筑总面积是：平方米， 即这套住房的建筑总面积是平方米． 故答案为：； （2）当，时， （平方米）． 答：小语家这套住房的具体面积为90平方米； （3）选择乙公司比较合算．理由如下： 甲公司的总费用： （元， 乙公司的总费用： （元， （元， ， ，， ， 所以选择乙公司比较合算． 【点评】本题考查了列代数式、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值． 十．整式的加减与化简求值（共5题） 34．（2023秋•亳州期末）将两边长分别为和的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值　　 A．0 B． C． D． 【分析】根据周长的计算公式，列式子计算解答． 【解答】解：由题意知：， 因为四边形是长方形， 所以 ， 同理，， 故． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键． 35．（2024春•萨尔图区校级期末）若代数式的值与的取值无关，则　6　． 【分析】首先化简代数式，因为代数式的值与无关，所以含有的项系数为0． 【解答】解：， 代数式的值与的取值无关， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了整式的化简，单项式的系数，解题关键是合并同类项． 36．（2023秋•禹城市期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，最后将，的值代入运算即可． 【解答】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点评】本题主要考查了整式的加减与化简求值，熟练掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的关键． 37．（2023秋•琼海校级期末）在计算代数式的值，其中，时，甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的．试说明理由，并求出这个结果． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可做出判断． 【解答】解：原式， 结果与的取值无关， 则甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的． 【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 38．（2023秋•冷水滩区校级期末）已知多项式， （1）若与的和为单项式，试求的值． （2）若式子的值与无关，求的值． 【分析】（1）根据单项式的概念可得，即可求解； （2）根据的值与的取值无关，即为含的式子为0即可求解． 【解答】解：（1）由题意与的和为单项式， ，， ． （2）由题意得， ， 式子的值与无关， ，， ，， ． 【点评】本题考查了单项式的概念，整式的化简求值、非负数的性质，解决本题的关键是与的值无关即是含的式子为0． 十一．一元一次方程的应用（共10题） 39．（2023秋•沙坪坝区校级期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，则所列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，根据题意，列出方程，即可求解． 【解答】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为 ，根据题意得： ． 故选：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 40．（2023秋•昭通期末）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设买羊的人数为人，则这头羊的价格是文或文，根据羊的价格不变，即可得出关于的一元一次方程． 【解答】解：设买羊的人数为人， 根据题意，可列方程为， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 41．（2023秋•平凉期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数中的最大数为　　 A．24 B．25 C．26 D．27 【分析】设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设中间第二个数为，则其他四个数分别为，，，， 由题意可得：， 解得， 这五个数中最大的数为， 故选：． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是设中间第二个数为，并表示出其他四个数，根据题意列出方程． 42．（2023秋•海珠区期末）定义：关于的方程与方程，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． （1）若关于的方程与方程互为“反对方程”，则　　． （2）若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． （3）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 　　．（请直接写出答案） 【分析】（1）求出方程的“反对方程”并与方程对比即可得到的值； （2）先求出方程的“反对方程”，再分别求方程与其“反对方程”的解，根据它们的解都是整数来确定整数的值； （3）把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式，将代入并去分母；将第二个方程整理成与前者相同的形式，对比系数可以得到关于的一元一次方程，求出的值即可． 【解答】解：（1）关于的方程的“反对方程”为， ， ， 故答案为：2． （2）关于的方程的解为， 将整理，得，其“反对方程”为，解为， 和都是整数， ，解得或． （3）整理，得，将代入， 得①； 整理，得②； 比对①和②，得，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握它的解法是本题的关键． 43．（2023秋•洪山区期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是．解决问题： （1）请把无限循环小数化为分数； （2）我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，．请你直接用含，的式子表示纯循环小数　　． 【分析】（1）根据阅读材料，设，由，可知，得到关于的一元一次方程，解之即可； （2）限循环小数的循环节的位数记作，循环节的数字组成的数记作，对而言，，，若是一个整数部分为0，小数部分都是循环的无限循环小数，得到关于的与、有关的一元一次方程，解之即可． 【解答】解：（1）设， 由，可知， 所以， 解得：， 于是； （2）根据题意得： ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次方程和无限循环小数，正确掌握根据阅读材料列方程和解一元一次方程的方法是解题的关键． 44．（2023秋•和平区期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价90元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 　　元，每件乙种商品利润率为 　　． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2800元，求购进乙种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打六折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【分析】（1）设甲的进价为元件，根据甲的利润率为，求出的值； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，再由总进价是2800元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲的进价为元件， 则， 解得：． 故甲的进价为60元件； 乙商品的利润率为． 故答案为60， （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：． 即购进甲商品30件，乙商品20件． （3）设小华打折前应付款为元， ①打折前购物金额超过400元，但不超过600元， 由题意得， 解得：， （件， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：， （件， 综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． 45．（2023秋•梅里斯区期末）问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店3600米的光明小区，2分钟后乙出发向西前往距离商店4800米的幸福小区，甲的平均速度为600米分，乙的平均速度为400米分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为 　　米，骑手乙离开商店的距离为 　　米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为5000米时的值． 【分析】（1）根据“距离速度时间”即可列出骑手甲离开商店的距离和骑手乙离开商店的距离； （2）根据“骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离”列方程，解出即可； （3）根据“甲、乙两人之间距离为5000米”列方程，解出即可． 【解答】解：（1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为：米，骑手乙离开商店的距离为：（米， 故答案为：，； （2）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲距光明小区的距离为：米，骑手乙距商店的距离为：米， 根据题意，得， 解得； （3）①骑手甲到光明小区前：， 解得， 骑手甲返回时，骑手乙送达幸福小区之前，甲、乙两人之间距离为：（米， 根据题意，得， 解得． 综上，符合题意的的值为5.8或7． 【点评】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 46．（2023秋•龙口市期末）某水果店以10元千克的价格购进一批水果，由于销售良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜，所购进水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进该水果共花去8400元． （1）求该水果店两次分别购买了多少千克水果？ （2）在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得7500元的利润，那么该水果店销售该水果每千克应定价为多少元？ 【分析】（1）设该水果店第一次购买了千克该水果，则第二次购买了千克，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设该水果店每千克售价应定为元，根据销售利润销售总价其他费用两次购进水果的总费用，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设该水果店第一次购买了千克该水果，则第二次购买了千克， 依题意，得． 解得， 所以． 答：该水果店第一次购买了300千克该水果，第二次购买了600千克该水果； （2）设该水果店每千克售价应定价为元， 依题意，得， 解得， 答：该水果店每千克应定价20元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 47．（2023秋•重庆期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． （1）表中的值为 　0.6　； （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.76元度，求老李家8月份的用电量． 【分析】（1）利用电费电价月用电量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． （2）设老李家9月份的用电量为度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.76元度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：0.6； （2）设老李家9月份的用电量为度， （元， （元， ， ． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度； （3）依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． 48．（2023秋•坡头区期末）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足． （1）　　，　　； （2）点在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点，使得，请求出点对应的数； （3）点、分别以2个单位秒和3个单位秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位秒的速度同时向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质即可求出、的值； （2）设点表示的数为，利用两点之间的距离计算方法列出方程解答即可； （3）设经过秒运动，分别用含的式子表示、、及，再令的系数为0即可得答案． 【解答】解：（1）， ，， ，， 故答案为：，5； （2）设点表示的数为， ， ， 解得：或， 满足的所对应的数是或； （3）存在， 设经过秒运动，则运动后表示的数是，运动后表示的数是，运动后表示的数是， ，，， ， ，即时，的值是定值，定值为40． 【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，数轴，用方程的思想解决问题是本题的关键． 十二．几何体的展开图（共2题） 49．（2023秋•邢台期末）如图是一个正方体的展开图，则该正方体可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，进行判断即可． 【解答】解：由正方体的展开图可知，两点和五点是相对面，一点和六点是相对面，故，，均不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查由展开图还原立方体．解题的关键是根据展开图确定正方体的相对面． 50．（2023秋•船营区校级期末）下面选项中可能是单孔纸箱的展开图是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单孔纸箱及孔和阴影面的位置即可解决问题． 【解答】解：因为这是一个单孔纸箱， 所以选项不符合要求． 又单孔面和阴影面是邻面， 所以选项不符合要求． 故选：． 【点评】本题考查几何体的展开图，能利用单孔纸箱及单孔面和阴影面的关系是解决问题的关键． 十三．组合体的三视图（共2题） 51．（2023秋•靖江市期末）（1）画出如图所示几何体从正面、左面、上面看到的平面图形； （2）若再添加个小正方体，使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则的最大值为 　　． 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形； （2）为了使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，在底层可以添加6个小正方形． 【解答】解：（1）三视图如图所示： （2）使新得到的几何体从正面和左面看到的平面图形不变，则的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查作图简单几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义． 52．（2023秋•沭阳县期末）（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图； （2）若现在你的手里还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持从正面和左面看到的形状不变，则最多可以添加 　　个小正方体． 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）根据主视图、左视图判断即可． 【解答】解：（1）从正面，从左面看到的形状图，如图所示： （2）如图， 要保持从正面和左面看到的形状不变，则最多可以添加10个小正方体． 故答案为：10． 【点评】本题考查作图三视图，简单的几何体，解题的关键是连接三视图的定义，灵活运用所学知识解决问题． 十四．求线段的长度（共3题） 53．（2023秋•高安市期末）如图，点是线段的中点，是上一点，且，． （1）求的长； （2）若为的中点，求长． 【分析】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得的长； （2）由线段的中点，线段的和差计算出长为． 【解答】解：如图所示： （1）设的长为， ， ， 又， ， 又为线段的中点， ， ， 又，， ， 解得：， ； （2）为线段的中点， ， 又 ． 【点评】本题综合考查了线段的和差倍分，线段的中点等知识点，重点掌握两点间距离计算方法． 54．（2023秋•防城区期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求的长； （2）如果，求的长． 【分析】（1）先求出，再求出，根据线段的中点求出即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【解答】解：（1）点是线段的中点， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ； （2）点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ， ． 【点评】本题考查了两点之间的距离的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力． 55．（2023秋•凉州区期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点运动时间为秒． （1）当时，①　　．②求线段的长度． （2）用含的代数式表示运动过程中的长． （3）在运动过程中，若中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由． 【分析】（1）①根据即可得出结论； ②先求出的长，再根据是线段的中点即可得出的长； （2）分类讨论； （3）直接根据中点公式即可得出结论． 【解答】解：（1）①是线段上一动点，沿以的速度往返运动， 当时，． 故答案为：4； ②，， ， 是线段的中点， ； （2）是线段上一动点，沿以的速度往返运动， 当时，； 当时，； （3）不变． 中点为，是线段的中点， ． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键． 十五．角的计算（共4题） 56．（2024春•萨尔图区校级期末）如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿 折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠定义得到，，然后根据平角定义推出，最后根据的度数即可求出的度数． 【解答】解：由折叠得到：，， 又， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查角的计算，深入理解折叠的意义是解决问题的关键． 57．（2023秋•娄星区校级期末）如图，为直线上一点，，平分，． （1）求出的度数； （2）请通过计算说明是否平分． 【分析】（1）根据，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和即可； （2）根据与互余即可得出的度数，由（1）可知，那么，进而可得出结论，从而求解． 【解答】解：（1）因为，平分， 所以，， 所以； （2）平分．理由如下： ，， ， ， ， ， 平分． 【点评】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． 58．（2023秋•柘城县期末）阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图2，因为平分，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部”． 完成以下问题： （1）请你将小明的解答过程补充完整； （2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时的度数． 【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空； （2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时的度数． 【解答】解：（1）因为平分，， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，40，，60； （2）如图3， 因为平分，， 所以， 因为， 所以． 【点评】本题考查了角的计算，角的平分线，解决本题的关键是掌握角的平分线． 59．（2023秋•江海区期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线． （1）应用：若，为的二倍分线，且，则　40　； （2）如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线． ①若，分别为和的三倍分线，已知，，则　　； ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． ③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； ③设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【解答】解：（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ，，，，，； ③设， ， ， ，所在射线恰好是分别为和的三倍分线， ，， ， ， ， ，， ． 【点评】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． 60．（2023秋•禹城市期末）已知为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．射线平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）因为为直线上一点，且，， 所以，， 因为射线平分， 所以， 因为， 所以， （2）因为为直线上一点，且，， 所以，， 因为射线平分， 所以， 因为， 所以， （3）设，则，，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键． $$