第03讲 5.3.1函数的单调性（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第03讲 5.3.1函数的单调性 课程标准 学习目标 ①理解导数与函数的单调性的关系。 ②掌握利用导数判断函数单调性的方法。 ③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 ④会利用导数证明一些简单的不等式问题。 ⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 【即学即练1】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先求函数的导数，求解的解集，即是函数的单调递减区间. 【详解】由题意得， 令，得，所以的单调递减区间为． 故选：A 知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【即学即练2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B 知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 【即学即练3】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 【即学即练4】（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 知识点04：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 题型01 求函数的单调区间 【典例1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对求导，令即可求出函数的单调递增区间. 【详解】， 令可得， 所以函数的单调增区间为：， 故选：CD. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求的单调区间. 【答案】减区间为，增区间为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对原函数求导，结果分解因式，构造函数，通过导数研究的单调性，并解出，进而通过的符号研究的单调性. 【详解】由题意， 则， 设，则恒成立，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的减区间为，增区间为. 【变式1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得或， 所以函数的单调减区间为和. 故选：D 【变式2】（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】/ 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间，单调递增区间 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出函数的定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，令，得到， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，递增区间为. 题型02函数与导函数图象间的关系 【典例1】（23-24高二下·山东·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，再根据导函数的大小确定函数变化的快慢，即可得到结论. 【详解】由导函数图象可知原函数应是先增后减再增的，故在B、C中选择，随着的增大，导函数越来越大，故原函数增长越来越快，应选C. 故选：C 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．  B．  C．     D．   【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 【典例3】（多选）（23-24高三上·辽宁铁岭·期末）已知是的导函数，且（，），则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的应用、幂函数图象的判断及应用 【分析】设，由图象确定的范围或值，求导得到函数单调性，得到答案. 【详解】设， A选项，由图象可以得到，，，此时， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减，满足要求，A正确； B选项，由图象可得，，，此时， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减，不合要求，B错误； C选项，由图象可得为奇函数，且， 故，，此时恒成立，此时单调递增，C正确； D选项，由图象可得，当时，，故，且， ，令，解得， 故， 令得，，单调递增， 令得，或，单调递减，满足要求. 故选：ACD 【变式1】（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②， 由①得或，则， 由②得，则， 综上，. 故选：B. 【变式3】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 【答案】和； 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象得到导数大于零的的取值范围，得解. 【详解】设函数为，由图象可得，当，， 所以函数的单调区间是和. 故答案为：和. 题型03已知函数在区间上单调，求参数 【典例1】（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题可知导函数在上恒大于等于零.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】函数在上单调递增， 即在恒成立. 故，即在恒成立， 因为在上单调递减， 所以在处取得的最大值0，所以. 故选：A 【典例2】（23-24高二下·陕西西安·期末）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导得到在上恒成立，即，设，计算值域得到答案. 【详解】，在上恒成立， 即，设，，故，故. 故选：A 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】求出函数的导数，利用导数非负可求参数的取值范围. 【详解】， 因为在上单调递减，故，有恒成立， 故对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 令，而在上为减函数， 故在上最大值为， 故. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范围. 【详解】由，则， 因为函数在区间上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，则，解得. 故选：B 【变式2】（多选）（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】ABC 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由在上恒成立，参变分离得，结合二次函数求出最小值即可求解. 【详解】由题意得在上恒成立，即，整理得，即， 又在上单调递增，则最小值为，故，结合选项知，可取0，1，2. 故选：ABC. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若函数的单调递减区间为，实数 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出导函数，先排除，当时求出函数的单调区间，结合函数的单调递减区间为可得答案. 【详解】的定义域为．． 若，，所以的单调增区间为，无单调减区间，不合题意． 若，令，得． 当时，有；当时，有． 所以的单调增区间为，单调减区间为． 又因为函数的单调递减区间为，所以． 故答案为：2. 题型04 已知函数在区间上存在单调区间，求参数 【典例1】（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可. 【详解】，因为在区间上存在单调递减区间， 所以在区间上有解，即在区间上有解， 当显然不出来； 当时，，即， 故选:C． 【典例2】（23-24高二下·广东东莞·期中）若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据导数与单调性的关系得函数存在单调递减区间即为有解，再将有解问题转化成最值问题处理即可求解. 【详解】由题在内有解， 即在内有解，故， 因为当时，， 所以，故. 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·安徽·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用参数分离，构造新函数，求得函数最值，进而可得结论． 【详解】，即 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 所以在区间上有解，所以 令，，则 令，则在上单调递增，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数的运算法则 【分析】对求导，分和两种情况，结合在区间内存在单调减区间，求出的取值范围即可. 【详解】，， 当时，，不符合题意； 当时，令，解得， 在区间内存在单调减区间， ，解得. 实数的取值范围是. 故选：. 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】借助函数与导数的关系，再参变分离，可得在区间上有解，结合的单调性计算即可得解. 【详解】， 函数在上存在严格减区间，则在区间上有解． 即在区间上有解， 令，因为在区间上严格递减， 所以，故有． 故答案为：. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范围； 【答案】． 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】函数在区间上存在减区间，转化为，使得成立，求参数的取值范围即可. 【详解】由题意，若函数在区间上存在减区间， 等价于，使得成立， 可得，使得成立，构建， 可知开口向上，对称轴，所以，故， 解得，则的取值范围为． 题型05 已知函数在的单调区间为（是），求参数 【典例1】（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 【典例2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 【典例3】（23-24高二下·四川成都）已知函数的单调递减区间为，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出函数的导函数，依题意的解集为，即可求出参数的值. 【详解】由，所以， 单调递减区间是，的解集为， 即的解集为， ，，经检验符合题意. 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【变式2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可. 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 【变式3】（23-24高二下·四川成都）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案. 【详解】由，由已知递减区间，则得：， 故，1是的两根，，， 故选：A 题型06 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例1】（23-24高三·云南·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，解之即可． 【详解】解：因为定义域为， 又， 由，得， 当时，， 当时， 据题意，， 解得：，故实数的取值范围是，． 故选：D． 【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由“函数在上不单调”可等价转化为在上必有变号零点,通过参变分离法，即可求得，依题，只需判断选项是否为得真子集即可. 【详解】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 【典例3】（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解. 【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根， 又的根为，且在或两侧异号， 而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内， ∴或， ∴或，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数 【详解】试题分析：，令，，由题意，解得，又，即，所以．故选D． 考点：导数与函数的单调性． 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可. 【详解】由，函数定义域为， 当时，函数单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若函数在区间不单调，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得， 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型) 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）已知，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求得，分和，两种情况讨论，结合的符号，即可求解. 【详解】解：由函数，可得 ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，令，解得， 可得当时，；当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增 综上所述：当时，在上单调递增 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【典例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数,若，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可； 【详解】解：当时，，定义域为， 所以，， 所以，时，在上恒成立，故在上单调递增， 当时，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求的单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出函数的导函数，分和两种情况讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间. 【详解】解：， 当时，，在上为增函数， 当时，由，解得：， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以，当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【变式1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】对函数进行求导，然后对进行分类讨论，根据导函数值的正负，得到函数的单调区间 【详解】由，得，且， 当时，，在上单调递减； 当时，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】（23-24高二上·辽宁盘锦·期末）设，函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）解：当时，，定义域为， ， ， 曲线在点处的切线方程为，即为. （2）解：因为，定义域为，所以， 当时，恒成立， 函数在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数（），讨论的单调性. 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出导函数，分和两类情况讨论即可求出结论即可. 【详解】易得. 当时，恒成立，所以在R上单调递增. 当时，令，得， ①当时，，所以在上单调递减； ②当时，，所以在上单调递增. 综上，当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 题型08 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解) 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后为可因式分解的类二次函数，但由于定义域为，所以的解只有可能是一个或者无解，根据解的个数分为和两类. 【详解】因为的定义域为， 又， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），； 当，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数.当时，讨论函数的单调性； 【答案】见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】由题求导得，分，，，三种情况讨论其单调性即可. 【详解】由题知，函数的定义域为， 所以求导得， 若， 由得或， 由得， 所以函数在，和上单调递增，在上单调递减， 若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增， 若， 由得或， 由得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 【典例3】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】由题设可得，讨论、、，结合判断的区间单调性. 【详解】由题设，， 当时，若即时，递减；若即时，递增； 当时，，定义域上递增； 当时，若即时，递减；若即时，递增； 综上，：在上递减，在上递增； ：在R上递增； ：在上递减，在上递增； 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导之后为可因式分解的类二次函数，由于函数的定义域为，所以有一个零点或者无零点，根据方程是否有解分为和两类. 【详解】函数的定义域为，求导得， ①当时，有，此时函数在区间上单调递减； ②当时，当时，，此时函数在区间上单调递增； 当时，，此时函数在区间上单调递减. 所以当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知函数．求函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据题意，求导得，然后根据与两种情况进行分类讨论，即可得到其单调区间. 【详解】函数的定义域为 则 当，时，恒成立，所以单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 令，，令， 所以在上单调递减；上单调递增． 综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求出函数f(x)定义域并求出其导数，分，两类确定不等式、的解集即可. 【详解】解：， ， 当时，令，得：；令，得； 当时，令，得：或， 令，得； 因此，当时，在递增，在递减； 当时，在，递减；在递增． 题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解) 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性； 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】根据题意，求导可得，然后分，，三种情况讨论，综合可得. 【详解】因为， 当时，，此时在上恒成立， 所以在上单调递减； 当时，在上单调递减，所以在上有唯一零点， 当时，，在上单调递增， 当时在上单调递减； 当时，在上有零点， 当和时，， 所以在和上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． 【典例2】（2024·山东青岛·二模）已知函数. (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）可求得切点为，斜率，则切线方程为，则恒过原点； （2）首先求函数的导数，当时，和，可得的单调区间；当时，令，当时由的判别式和，讨论出函数的单调区间；当时，的判别式，讨论出函数的单调区间. 【详解】（1）由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． （2）由（1）得， 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 当时，令，则， 当且时，即时，，在上单调递增， 当时，， 由，则，或，则， 所以在上单调递增，在上单调递增； 由，则，则， 所以在上单调递减； 当时，，则为开口向下的二次函数， 对称轴，，， 由，则，则，所以在上单调递增， 由，则，则，所以在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）讨论函数，的单调性 【答案】 答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后为不可因式分解的类二次函数，首先对开口方向谈论分为三类，时，有两个根，需要判断根的符号，因为函数的定义域为，当时，分为和两种情况，的情况仍需判断根的符号. 【详解】因为，所以， 即， 当时，，令，解得， 所以时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增； 当时， ， 令，， 当时，令，则，， 所以方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， 所以不在定义域内， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 时，当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时，方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， ，又因为，， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 综上所述：时， 在是单调递减，在单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增 时，在和上单调递减， 在上单调递增； 时，在单调递减. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性 【答案】当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】先求出导函数，在定义域内分类讨论和时的符号，从而确定函数的单调性． 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则． 若，即时，恒成立， 所以在上单调递增． 若，即时， 方程的根为， 当时，或， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中 为非零实数． (1)讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； 【详解】（1），， 当 即 时 ，在 递增， 当 时，由 ，解得 ，， 令，，解得 令，，解得 当 时， ， 令，，解得 令，，解得 综上所述， 当 时，在上递增，没有递减区间； 当 时，在 ，上递增，在上递减； 当 时，在上递增 ，在上递减 . 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】答案见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、简单复合函数的导数 【分析】求出函数的导数，再按照值的正负零分类，并结合一元二次方程的判别式求出单调区间即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， （i）当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； （ⅱ）当时，的判别式， 若，①当时，，在上恒成立，在上单调递增； ②当时，，方程的二根， 由，得或，由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 若，①当时，，在上恒成立，在上单调递减； ②当时，，方程的二根， 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高三上·甘肃武威·阶段练习）函数 的单调递增区间是（    ） A． B． C．(1，4) D．(0，3) 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令，即得解 【详解】由题意， 令，得 故函数 的单调递增区间是： 故选：B 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由导数符号与函数单调性的关系即可逐一判断各个选项. 【详解】由题意恒成立，且只有一个点使得，所以在实数域上单调递增，由此可排除BC， 设的根为，则当时，，当时，，即先单调递减再单调递增，故排除D，经检验A符合题意. 故选：A. 3．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据单调性可得导函数在上恒成立即可求解. 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数导数，令可得解. 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 5．（23-24高二下·福建宁德·期中）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围． 【详解】函数，， 若在递增，则在恒成立， 可得,解得， 故选：D 6．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可. 【详解】， 若函数在上单调递增， 则在上恒成立， 故在上恒成立， 故. 故选：B 7．（2024高三·全国·专题练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据导数的正负性与原函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以在上是减函数， 因为在区间上单调递减，所以且，解得. 故选：A 8．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数 ，求出 ，利用导数判断 的单调性，进而得出答案. 【详解】令，则，易得在上单调递增， ∴，即，∴. 故选：B. 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 10．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数的运算性质，结合导数的性质逐一判断即可. 【详解】A：由，令， 因为，所以函数是实数集上的增函数，符合题意； B：由，因为一次函数是实数集上的增函数， 所以符合题意； C：由，因为函数是周期函数，所以函数不是实数集上的增函数，因此不符合题意； D：由，令， 则，当时，单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 三、填空题 11．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，则的范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性及单调性去函数符号计算即可. 【详解】由函数，可得为奇函数， 又，所以为R上的单调递增函数， 故由可得， 即， 即的范围是. 故答案为： 12．（23-24高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可. 【详解】由题意可得：且，解得 此时，令解得符合题意，故. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对函数求导后，由题意可得的解集为，从而可求出实数的值； （2）由题意可得在上恒成立，转化为在上恒成立，利用函数的范围，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 因为的单调减区间是， 所以的解集为， 所以方程的两个根为0和4，且， 所以，解得； （2）因为在上为严格减函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以， 即实数的取值范围为. B能力提升 1．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】探讨函数的奇偶性、单调性，再求解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则函数为奇函数， 求导得，当且仅当时取等号， 因此函数为R上的增函数，， 于是，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求导得，由题意得时，恒成立，即在区间上恒成立，令，对称轴为，对对称轴的位置分类讨论：①；②；③.分别求出，解不等式，即可求解. 【详解】由， 得． 又在区间上单调递增， 所以时恒成立，即在区间上恒成立． 令， 函数图象的对称轴为直线． 当，即时，， 解得，又此时无解； 当，即时，， 解得，故； 当，即时，， 解得，故． 综上可得，实数a的取值范围是． 故答案为：. 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1个 (2)见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）设，结合函数的单调性求解即可； （2）根据和0的大小关系，进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 即， 设， 则， 且定义域为， 故在时，恒成立，在上单调递增， 在时，恒成立，在上单调递减， 所以， 故只有一个解， 即方程只有一个解. （2）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减． 4．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)唯一的零点1 (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解； （2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性. 【详解】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 C综合素养 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析 (2) 【知识点】导数新定义、由函数在区间上的单调性求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可； （2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论即可求解； 【详解】（1）由题意，， 令，则， 当时，， 即此时，所以即单调递减， 从而由定义可知函数在上是“上凸函数”； （2）因为， 所以， 设，则， 由题意函数是其定义域上的“上凸函数”， 所以单调递减， 从而当时，恒成立，即当时，恒成立， 因为一元二次函数的对称轴为， 当，即时，恒成立，只需即可，解得，即； 当，即时，恒成立，只需，即，解得； 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 5.3.1函数的单调性 课程标准 学习目标 ①理解导数与函数的单调性的关系。 ②掌握利用导数判断函数单调性的方法。 ③能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。 ④会利用导数证明一些简单的不等式问题。 ⑤掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法。 通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题. 知识点01：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 【即学即练1】（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 知识点02：求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【即学即练2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 知识点03：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 【即学即练3】（23-24高二下·山东烟台·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（23-24高二下·四川泸州·期中）若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 知识点04：含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 题型01 求函数的单调区间 【典例1】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求的单调区间. 【变式1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D．和 【变式2】（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 【变式3】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）求函数的单调区间. 题型02函数与导函数图象间的关系 【典例1】（23-24高二下·山东·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．  B．  C．    D．   【典例3】（多选）（23-24高三上·辽宁铁岭·期末）已知是的导函数，且（，），则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 题型03已知函数在区间上单调，求参数 【典例1】（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·陕西西安·期末）若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【变式1】（23-24高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数在上单调递增，则实数的所有可能取值是（    ） A． B． C． D．3 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）若函数的单调递减区间为，实数 ． 题型04 已知函数在区间上存在单调区间，求参数 【典例1】（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·广东东莞·期中）若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·安徽·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 【变式1】（23-24高二下·吉林四平·期中）若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段练习）若函数在上存在严格减区间，则m的取值范围是 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，在区间上存在减区间，求的取值范围； 题型05 已知函数在的单调区间为（是），求参数 【典例1】（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【典例2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【典例3】（23-24高二下·四川成都）已知函数的单调递减区间为，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【变式3】（23-24高二下·四川成都）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 题型06 已知函数在区间上不单调，求参数 【典例1】（23-24高三·云南·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·浙江嘉兴·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【变式1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·北京·期中）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型) 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）已知，讨论的单调性； 【典例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数,若，求函数的单调区间. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求的单调区间. 【变式1】（23-24高二下·全国·课后作业）已知函数．讨论函数的单调性. 【变式2】（23-24高二上·辽宁盘锦·期末）设，函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数（），讨论的单调性. 题型08 含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解) 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数.当时，讨论函数的单调性； 【典例3】（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）讨论函数的单调性． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性； 【变式2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知函数．求函数的单调区间； 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间. 题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解) 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性； 【典例2】（2024·山东青岛·二模）已知函数. (1)证明曲线在处的切线过原点； (2)讨论的单调性； 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）讨论函数，的单调性 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中 为非零实数． (1)讨论函数 的单调性； 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论的单调性． A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高三上·甘肃武威·阶段练习）函数 的单调递增区间是（    ） A． B． C．(1，4) D．(0，3) 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建宁德·期中）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 10．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，则的范围是 ． 12．（23-24高二下·北京海淀·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 四、解答题 13．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数． (1)若的单调减区间是，求实数的值； (2)若在上为严格减函数，求实数的取值范围． B能力提升 1．（23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 ． 3．（23-24高二下·云南红河·期末）已知函数，（）. (1)当时，求出方程解的个数； (2)讨论函数的单调性. 4．（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. C综合素养 1．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数在区间上可导，为函数的导函数.若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数. (1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由； (2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$