专题06 空间向量与立体几何（8大经典基础题+6大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题06 空间向量与立体几何 点在空间直角坐标系中的坐标 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川巴中·期末）若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·上海·期末）空间直角坐标系中，三个坐标平面将空间分为 个部分． 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 空间两点间的距离公式 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24高二上·广西桂林·期末）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    向量的加减、数乘运算 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知棱长为1的正方体，点满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南开封·期末）（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江西·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 空间向量的数量积 1．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 6．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高二上·福建南平·期末）（多选）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    13．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 14．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 15．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 空间向量的正交分解 1．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 7．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·内蒙古·期末）（多选）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 11．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知向量则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知，若点A,B,C共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·安徽·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）（多选）若向量，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C．∥ D． 10．（23-24高二上·广东·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则 . 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 12．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 14．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 15．（23-24高二上·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，，在线段上，且.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，设、、、． (1)设，，求的坐标，并判断、是否平行； (2)求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 空间共线向量定理和空间共面向量定理 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3．（23-24高二上·北京大兴·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 5．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知，点在平面内，则的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（    ） A． B． C．1 D． 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 10．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选）已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·新疆和田·期中）（多选）已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 15．（23-24高二上·江西上饶·期末）若向量，，共面，则 ． 平面法向量 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 5．（23-24高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东菏泽·期末）一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，，满足，，则有 C．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 11．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 12．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 空间位置关系的向量证明 1．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 4．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（    ）．    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．直线与ED所成角的余弦值为   6．（23-24高二上·陕西汉中·期末）（多选）设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（23-24高二上·江西赣州·期末）（多选）在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（    ） A．//平面 B．平面//平面 C．⊥平面 D．平面平面 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 10．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 12．（23-24高二上·江西宜春·期末）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点F是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)当为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：无论点在边的何处，都有． 异面直线夹角的向量求法 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．在上的投影的数量为 9．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 10．（23-24高二上·辽宁·期末）已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则 . 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 12．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中（如图），，点是棱的中点． (1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由； (2)求直线与直线所成角的大小． 13．（23-24高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． (1)当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 线面角的向量求法 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，分别是的中点，平面，. (1)证明： (2)若，点到平面的距离为.求直线与平面所成角的正弦值． 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图，多面体由正四面体和正四面体组合而成，棱长为.    (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值. 10．（23-24高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，，M为的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 11．（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 12．（23-24高二上·江西吉安·期末）如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 13．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.    (1)求证：. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 面面角的向量求法 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 4．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面． (2)点是线段的中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在三棱锥中，M是线段的中点，，，，．    (1)证明：P在平面内的射影O为的垂心； (2)求二面角的余弦值． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)若平面AEF，求的值； (2)在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值． 8．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）三棱台中，． (1)若与交于点，求证：平面； (2)若平面平面与底面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长． 12．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，侧面底面，为等边三角形，，，点在上，. (1)求证：为中点； (2)设上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 14．（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，四边形中，，，，，，点M为的中点，点N为上一点，且，现将四边形沿翻折，使得与重合，得到如图2所示的几何体，其中． (1)证明：平面； (2)若点P是棱上一动点，当二面角的正弦值为时，试确定点P的位置． 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥． (1)若，证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 点到平面距离的向量求法 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 3．（23-24高二上·江西九江·期末）（多选）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 5．（23-24高二上·四川泸州·期末）在正方体中，E为的中点，F为直线上的动点． (1)若，求平面AEF与平面的夹角的正切值； (2)若，P为底面ABCD的中心，当点P到平面AEF的距离为时，求线段CF的长． 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到面的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. (1)求图2中的点B到平面ACDE的距离； (2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 9．（23-24高二上·安徽·期末）如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 11．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 12．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 点到直线距离的向量求法 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 7．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 8．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间向量与立体几何 点在空间直角坐标系中的坐标 1．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点关于平面的对称点是． 故选:B. 2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东肇庆·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 4．（23-24高二上·四川巴中·期末）若点在空间直角坐标平面yOz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于题意可得,所以A，B两点的中点坐标， 故选：B 5．（23-24高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知， 关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐标都变为原来的相反数， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：D 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设第四个顶点的坐标为， ①，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， 所以第四个顶点的坐标为或或. 故选：ABD. 7．（23-24高二上·上海·期末）空间直角坐标系中，三个坐标平面将空间分为 个部分． 【答案】8 【详解】根据题意，两平面相交，将空间分成了4部分，然后再一平面与那两个平面都垂直相交， 则将原来的每部分一分为二，故空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成了8部分. 故答案为：8. 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 空间两点间的距离公式 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由、可得， 故. 故选：C. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为，， 所以的中点为，又， 则边上的中线长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广西桂林·期末）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为. 故选：C. 4．（23-24高二上·湖南永州·期末）在空间直角坐标系中，点，点C是点关于轴的对称点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点C是点关于轴的对称点， 所以， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：在空间直角坐标系中， 点关于平面的对称点为， 点关于原点的对称点为， 所以点与的距离为， 故选：B 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 7．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    【答案】/ 【详解】设的中心为，则底面，延长至， 使得，则， 由三条侧棱两两垂直且相等， 故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，则、，, 有， 由对称性可设，则有， 解得，故， ， 的最小值为.    故答案为：. 向量的加减、数乘运算 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知棱长为1的正方体，点满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点作平面于点，过作于点，连接， 因为平面，又平面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以，即线段的长即为点到直线的距离， 因为正方体的棱长为1，且，延长交于， 则，得到，所以， 故选：B. 4．（23-24高二上·四川凉山·期末）空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，在空间四边形中，，为中点， ∴, ∴ , 故选：C.    5．（23-24高二上·天津·期末）在四棱柱中，设，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C 6．（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又为中点，所以， 即， 故选：A. 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示， 在三棱柱中，，， 依题意， 故选：A. 8．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， . 故选：A. 9．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 化简得：， 故选：A . 10．（23-24高二上·河南开封·期末）（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 11．（23-24高二上·江西·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D错误． 故选：BC. 12．（23-24高二上·山西长治·期末）（多选）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确； 对于B，当点在线段上时，因为，此时， 则，所以B正确； 对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点， 可得，所以C正确； 对于D，当点在线段上时，可得； 当点在线段的延长线上时，， 当点在线段的延长线上时，不可能成立，所以D不正确. 综上可得，可能正确的结论为BC. 故选：BC. 13．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 空间向量的数量积 1．（23-24高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等边中，因为，可得的高为， 所以， 在直角中，可得， 又因为分别为的中点，可得， 在中，可得， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】关于平面的对称点为，所以， 所以，即，， 所以. 故选：C. 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C 6．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 7．（23-24高二上·福建南平·期末）（多选）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 8．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【详解】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 11．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 13．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，延长，交于， 由为的重心，得是边上的中线，且， 结合，得， 因为，所以，整理得， 因此，； （2）因为底面，，底面是边长为的正方形， 所以，，， 可得 ， 所以，即线段的长为． 14．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 15．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，. (1)求； (2)求CD的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以； （2）因为， 所以 ， 所以. 空间向量的正交分解 1．（23-24高二上·广东东莞·期末）若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连，，    可得 . 故选：A. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， . 故选：A 4．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】， 所以，故． 故选：C. 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 6．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 7．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中，，为实数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， 所以，故. 故选：A. 8．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 9．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； B：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底； C：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； D：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底， 故选：AC 10．（23-24高二上·内蒙古·期末）（多选）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 【答案】ACD 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确． 因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误． ，C正确． 因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确． 故选：ACD 11．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 【答案】/ 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故答案为：. 空间向量运算的坐标表示 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，若直线AB与平面xOy交于点，点P的轨迹方程为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然，则，解得， 又，即， 所以. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知向量则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为. 故选：D 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 5．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知，若点A,B,C共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知，， 即，解得：. 故选：B 6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 7．（23-24高二上·安徽·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 【答案】AC 【详解】对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A正确； 对于选项B:若，则，即，故B错误； 对于选项C:若，则，故C正确； 对于选项D:若且，或，故D错误． 故选：AC. 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）（多选）已知向量，则（    ） A． B． C． D．向量的夹角为 【答案】AC 【详解】对A，，A选项正确； 对B，，B选项错误； 对C，，C选项正确； 对D，， 所以向量的夹角为，D选项错误. 故选：AC 9．（23-24高二上·广东深圳·期末）（多选）若向量，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C．∥ D． 【答案】AB 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 10．（23-24高二上·广东·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则 . 【答案】2 【详解】因为点是点在坐标平面内的射影，所以， 所以，所以. 故答案为：2 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知空间四点，，，，满足. (1)求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1) (2)12 【详解】（1）由题意得，. ∵，则，解得 （2）由，得， ∵，，， ∴，. ∴. ∴以，为邻边的平行四边形的面积为12. 15．（23-24高二上·河南三门峡·期末）在正四棱柱中，，，在线段上，且.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，，，，， 所以， 所以； （2）由已知得，, ， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，设、、、． (1)设，，求的坐标，并判断、是否平行； (2)求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 【答案】(1)，平行； (2)，. 【详解】（1）由、、、，得， 所以，而，则， 所以、平行. （2）由（1）知，，，，， 因此，而，则， 所以、为相邻两边的三角形面积. 空间共线向量定理和空间共面向量定理 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题： （1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则； （2）若两个非零向量与满足，则； （3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面． 其中正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】对于（1），A，B，C，D是空间任意四点， 则成立，（1）正确； 对于（2），若两个非零向量与满足，即， 则，（2）正确； 对于（3），因为空间任意两个向量共面，因此分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 这两个向量是共面向量，（3）错误； （4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C， 若xyz（x，y，）， 当且仅当时成立，则P，A，B，C四点共面，（4）正确， 所以正确命题的个数是3个． 故选：A 2．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】根据题意：，， 与共线，所以， 可得，． 故选：B 3．（23-24高二上·北京大兴·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为，且， ∴直线的方向向量与平面的法向量平行， 则存在实数使， ∴，解得， 故选：D. 4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 解得． 故选：B. 5．（23-24高二上·广东·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 6．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知，点在平面内，则的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在平面内，所以，得， 对于选项A，由，得无解，故选项A错误， 对于选项B，由，得无解，故选项B错误， 对于选项C，由，得无解，故选项C错误， 对于选项D, ，得，故选项D正确， 故选：D. 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得：. 故选：C 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得. 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 10．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BC 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点， 则点是的中点，所以 ，故B正确；    对于C，若，则， 所以四点共面，故C正确； 对于D，设在基底下的坐标为， 则， 因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得， 则在基底下的坐标为，故D错误. 故选：BC. 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选）已知空间直角坐标系中，点，，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，不共线，设为平面内一点， 则， ，由于无解，所以不在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由，解得，所以在平面内. ，由于，所以在平面内. 故选：BCD 13．（23-24高二上·新疆和田·期中）（多选）已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且， 对于A，由，得，则空间中四点A，B，C，D不共面； 对于B，由，得，则空间中四点A，B，C，D共面； 对于C，由，得，则向量共面，即四点A，B，C，D共面， 对于D，由，即，得， 则空间中四点A，B，C，D不共面. 故选：AD 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 15．（23-24高二上·江西上饶·期末）若向量，，共面，则 ． 【答案】2 【详解】由，，得不共线， 由共面，得，即， 则，解得， 所以. 故答案为：2 平面法向量 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意或. 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知平面平面的法向量分别为，则实数（    ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【详解】∵平面平面， ∴平面的法向量也垂直， ∴，即，解得：. 故选：B. 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 5．（23-24高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设过点且以为法向量的平面上不同于P的任一点， 则，所以， 所以过点且以为法向量的平面方程为， 故选：A 6．（23-24高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 7．（23-24高二上·山东菏泽·期末）一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 8．（23-24高二上·河南新乡·期末）已知为平面的一个法向量，，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记，因为，所以， 故是平面的一个法向量，故D正确. 易知A，B，C中的向量均不与向量平行，所以均不能作为平面的一个法向量. 故选：D. 9．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 10．（23-24高二上·四川绵阳·期末）（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，，满足，，则有 C．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 【答案】AC 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误； 对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二上·重庆·期末）（多选）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 【答案】ABD 【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为， 由题设可知平面的一个法向量为，且即共线， 所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确； 故选：ABD. 12．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 【答案】 【详解】由题意，若平面经过点，且以为法向量， 则，即点的坐标满足的关系式为. 故答案为：. 空间位置关系的向量证明 1．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【答案】B 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【详解】由直线的方向向量是，平面的法向量是， 得，即， 所以或. 故选：D 4．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 【答案】AD 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 5．（23-24高二上·山东聊城·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（    ）．    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．直线与ED所成角的余弦值为 【答案】AC 【详解】因为三棱柱为直棱柱，， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， ， 设平面， ， 即，令，则，所以， 设平面， ， 即，令，则， 所以， 对于A，，， 平面，所以平面，故A正确； 对于B，，因为，所以不垂直平面，故B错误； 对于C，，所以平面平面，故C正确； 对于D，， 则， 故直线与ED所成角的余弦值为，故D错误. 故选：AC.    6．（23-24高二上·陕西汉中·期末）（多选）设两条不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，由，为不同的直线，可知，且， 则，故A错误； 对于B项，若，则且， 又为不同的直线，所以，故B正确； 对于C项，若，则且，又，所以，故C正确； 对于D项，若，则，所以，故D正确. 故选：BCD 7．（23-24高二上·江西赣州·期末）（多选）在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（    ） A．//平面 B．平面//平面 C．⊥平面 D．平面平面 【答案】AD 【详解】由正方体性质易得平面//平面，又平面，故EF//平面，故A正确 如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设， 则,,,，,, 则， 对B,设平面的法向量为， 则有，令， 则而，故平面//平面不成立，故B错误； 对C,因为，故⊥平面不成立，C错误； 对D，设平面的法向量为， ， 令，则平面的法向量为 因为，则平面平面，故D正确. 故选：AD． 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， . （2）因为， ， . 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求与平面成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法1：取的中点,连接,, 依题意可知：且,且 所以且,四边形为平行四边形，故， 又平面,平面,所以平面.    法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，，，,, ，， 设平面的法向量， 则，取，得， ,又面，所以平面，    （2）由（1）， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为. 10．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）如图以为原点，建立空间直角坐标系， 易得，,,,,,,，设面的法向量，连接，则，，令，解得，，故，，则与平行，可得平面. （2）易知，，，，故，，设异面直线与所成角为，故 11．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． 12．（23-24高二上·江西宜春·期末）如图所示，四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点F是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)当为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)求证：无论点在边的何处，都有． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当点为的中点时，与平面平行． ∵在中，E、F分别为的中点，． 又平面，而平面， 平面. （2）以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，． 则， 所以， 所以，当为中点时，异面直线与所成角的余弦值为． （3）依据（2）所建立坐标系， 则， 设，则， ， ，， 所以，无论点在边的何处，都有． 异面直线夹角的向量求法 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，设异面直线与的夹角为， . 故选：A. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设菱形对角线相交于点，则为的中点，， 又为矩形的边的中点. 所以， 又面面，，面， 所以面，所以面， 又面， 所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    不妨设，， 则， 所以，所以， 所以直线与的所成的角为. 故选：B. 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    设正方体的棱长为1，则， 所以， 所以，即异面直线与CF所成角的余弦值为. 故选：A. 5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵两条异面直线的方向向量分别是 ，， 又两条异面所成的角为，则， 故选：B. 6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 设异面直线与所成的角为， 则． 故选：C. 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为，则、、、， 设点，其中，则，， 所以，， 当时，，则，则， 所以，， 因为，所以，， 故选：BD. 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．在上的投影的数量为 【答案】AC 【详解】A：，所以，A正确； B：，所以，B错误； C：，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确； D：，所以在上的投影的数量为，D错误． 故选：AC． 9．（23-24高二上·河南·期末）在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 10．（23-24高二上·辽宁·期末）已知是平行六面体，，，，，为直线上一点，若，则 . 【答案】 【详解】设，即， 则， 因为且， 所以， 即， 即， 所以，所以. 故答案为： 11．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 【答案】(1)，； (2)1，. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由，，得，， 所以. （2）依题意，，则， ，则， 所以异面直线与的夹角余弦值为. 12．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中（如图），，点是棱的中点． (1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由； (2)求直线与直线所成角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）在长方体中，，， 点是棱的中点，， 平面平面， ，平面，平面， 平面， 四面体为鳖臑． （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则， 得， 故， 直线与直线所成角的大小为． 13．（23-24高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2）由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 14．（23-24高二上·贵州安顺·期末）将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． (1)当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； (2)在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【详解】（1）如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz． 则，，，， 当E是线段的中点时，，，， 则， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为． （2）设， 设平面的法向量为， 又，，， 所以，令，得， 若平面，则，解答． 所以在线段上存在点E，使得平面，此时． 线面角的向量求法 1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】设与所成角的大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 2．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， 由正三棱柱性质可知平面，又， 平面， 可得，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空问直角坐标系， 则， 所以， 由于， 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2）因为平面， 所以平面的一个法向量为， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，分别是的中点，平面，. (1)证明： (2)若，点到平面的距离为.求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为平面，所以⊥，取的中点，连接，， 所以 ，又因为，所以， 因为 平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）取的中点，连接ME，MF，由（1）知MC，ME，MF两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 设则 设平面 的法向量为，则有 可取，由点到平面的距离为， ，解得，则， 于是，设平面的法向量为， 则有，可取， 设直线与平面 所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值. 7．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，且或 【详解】（1），所以为等边三角形， 为中点，， 又，所以 以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，如图，    则 ， 设平面的一个法向量， 则，，令，可得， ，， 又面，面. （2）设， 则, , 设平面的法向量， 则，即， 令，得平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 解得或， 即存在点，且或. 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图，多面体由正四面体和正四面体组合而成，棱长为.    (1)证明：； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接， 在正四面体和正四面体中，可得和均为等边三角形， 所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）取的中心为坐标原点，过作的平行线为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，    因为正四面体的棱长是，可得，则, 所以， 则， 再取的中心为，因为， 设，可得， 解得，即， 所以，，可得， 则 又由平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 9．（23-24高二上·陕西西安·期末）在四棱锥中，平面平面，底面是边长为的正方形，，取的中点，连接.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）   ，且为的中点， ， 又平面平面，且平面平面， 则平面， 取中点， 则， 则以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 10．（23-24高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，，M为的中点． (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，． 因为，所以，即． （2）时，， 由（1）知，，． 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，，所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 11．（23-24高二上·福建三明·期末）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）因为平面平面，，平面， 平面平面， 所以平面， 又因为平面,所以， 因为四边形为菱形，所以， 又，平面，所以平面， （2） 设，取中点,连接, 易得,因为平面，所以平面, 因为， 所以． 因为为锐角，所以，所以为等边三角形， 所以，． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面CEF的一个法向量，则， 即， 取，可得，，故， 假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为， ， 设，由,得， 即，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，即或，又因为，所以， 故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 12．（23-24高二上·江西吉安·期末）如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）． (1)若，证明：； (2)若，且与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点， ∵底面是菱形，∴，且，互相平分． 又，∴，， 连接，交于点，连接， 则平面， ∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， ，，． ∴，∴， ∴， ∴时，． ∵， ∴． （2）由（1）可得， ，， 设平面的法向量为， 则即 ∴，令，得， 则， 设与平面所成角为， 则， 化简得 解得或（舍去）． 所以. 13．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.    (1)求证：. (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【详解】（1）取中点，连接，，如图，    又为的中点，， 由，则， 又为等腰直角三角形，，，， 又，，平面，平面， 又平面，. （2）由（1）知，， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，即，，两两互相垂直， 故以为原点，，，为、、轴正方向建立空间直角坐标系，如图，    则，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，即， 若存在使得与平面所成的角的正弦值为，且，， 则，解得，则. 则， 整理得，， 解得，或. 故存在使得与平面所成的角的正弦值为， 此时或. 面面角的向量求法 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在平面内过点作于，由平面平面，平面平面， 得平面，而平面，则，由平面， 平面，得，又平面， 所以平面. （2）由，得，由（1）知平面，则平面， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，平面平面， 所以平面，同理可知：平面， 因为，所以平面平面， 因为，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 得， 设为平面的法向量， 则有，得，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设为平面的法向量， 则有，得，所以， 所以， 由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 4．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，又，即， 以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由，为的中点， 得，，，， 所以，， 所以，，    所以. （2）由（1）可得，，，， ，所以，，， ， 设平面的法向量为， 所以 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为. 则，取，得 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，整理得， 解得或（舍） 即线段的长为. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，． (1)求证：平面． (2)点是线段的中点，求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为在梯形中，，，，如图： 过作交于，可得， 则， 所以，得， 又平面平面，平面平面，面， 所以平面； （2）因为四边形为矩形 所以， 又平面平面，又平面平面，平面， 所以平面， 则两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设平面的法向量为， 则，取可得， 所以. 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在三棱锥中，M是线段的中点，，，，．    (1)证明：P在平面内的射影O为的垂心； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，可知， 同理可得． 且平面，平面，，所以平面． 由平面，可得， 又因为是的中点，且，则． 由，可知，， 则，所以， 过P作平面于O，平面，则，，    且，平面，所以平面， 由平面，可知， 由，，，所以平面， 由平面，可知， 且，平面，所以平面， 由平面，可知， 所以P在平面内的射影O为的垂心． （2）由（1）知，，， 故以P为原点，为x轴，为z轴，为y轴建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 由（1）可知：平面，则平面的一个法向量为． 因为，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设所求二面角的平面角为，由图象可知，为锐角， 可得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. (1)若平面AEF，求的值； (2)在（1）的条件下，求平面AEF与平面PAE夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，过作平行线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 因为，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 若平面AEF，则，解得. （2）由（1）可得：平面的法向量为， 由题意可知：平面的一个法向量， 设平面与平面所成夹角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 8．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在图中，，是的中点，， 而，，故为二面角的平面角， 又为直二面角，， 而平面，故平面， 而平面，，且，平面， 因此平面，又平面，平面平面. （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，所以，那么， 设平面的法向量， 由且，得，取，则， 设平面的一个法向量，， 则，即，令，则，所以， 于是， 所以二面角的正弦值为． 9．（23-24高二上·福建福州·期末）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：取中点，连接， 为的中点，， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. 法二：取中点，连接， 为的中点，， 平面平面，平面， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面 又，平面，平面平面， 又平面，平面. （2）因为平面平面，平面平面平面，， 平面， 取中点，连接，则平面， 所以是直线与平面所成的角，即， 又，， 又， 又，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， ， ， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 易得平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， ， 故平面与平面所成的夹角的余弦为. 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）三棱台中，． (1)若与交于点，求证：平面； (2)若平面平面与底面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：法1、连接，设与交于点， 在三棱台中，可得 因为，所以， 同理， 因为，所以与重合，即， 在中，，且平面，平面， 所以平面. 法2、在三棱台中，可得， 因为，所以，同理， 则 ，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）解：因为平面平面，平面平面， 且平面ABED，所以平面， 取中点，连接，可得，所以平面， 所以与底面所成角为， 在直角中，，所以， 因为， 所以，所以， 过作，垂足为，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在长方体中，点，分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设， 则，，， 则，，， 由（1）平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得（负值舍去）， 所以平面与平面的夹角的余弦值为时. 12．（23-24高二上·北京平谷·期末）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，侧面底面，为等边三角形，，，点在上，. (1)求证：为中点； (2)设上一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）因为四边形是矩形，则， 又因为平面底面，面底面，平面， 所以平面，平面，则， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为是等边三角形，所以是中点； （2）分别以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 所以，， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 显然平面的一个法向量是， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，又，故解得， 所以． 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面； (2)若，若平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点,连接, 因为，则，,且, 又面，所以面,面,则, 又因为,平面，所以平面. （2）由（1）可知，平面，且，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以，,,,, ,,, 所以,,, 设平面的一个法向量， 则令，可得，所以， 设平面的一个法向量为， 则,令，可得， 所以， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以,解得：或， 因为，所以. 14．（23-24高二上·重庆·期末）如图1所示，四边形中，，，，，，点M为的中点，点N为上一点，且，现将四边形沿翻折，使得与重合，得到如图2所示的几何体，其中． (1)证明：平面； (2)若点P是棱上一动点，当二面角的正弦值为时，试确定点P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)点为靠近的三等分点. 【详解】（1）∵四边形中，，，，， M为的中点，且， ∴四边形为正方形，且边长为， ∴题图2中，四边形是边长为的正方形，故， 又，，∴，∴， 又，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 易知，∴，∴， 又，平面，平面， ∴平面； （2）由（1）知平面，又， 以N为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 设，则， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，令，则，∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，，∴， 设二面角的所成角为，所以， ∴， 即，即， 解得：或（舍去），故， 故点为靠近的三等分点. 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥． (1)若，证明：； (2)若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，所以为的中点． 由题可知，，所以． 又，平面，所以平面． 取，如图，则．由平面，可得，则． （2）连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面． 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如上图所示的空间直角坐标系． 由，得， 从而，则， 则， ，． 设平面的一个法向量为， 则由得 令，得． 由图可知，平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得． 故的值为. 点到平面距离的向量求法 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得：，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 3．（23-24高二上·江西九江·期末）（多选）在长方体中，，，则（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【详解】在长方体中，，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值为：; 直线与平面所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，设直线与平面所成角为， 则，直线与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于，点到平面的距离为，故C正确； 对于， 点到平面的距离为，故D正确． 故选：BCD． 4．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．      (1)证明：平面平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为原点，以AD，DC所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，．     设平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以 设可得平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以， 因为，两平面又不重合， 所以平面平面． （2）因为，所以， 由（1）知平面的一个法向量， 则． 5．（23-24高二上·四川泸州·期末）在正方体中，E为的中点，F为直线上的动点． (1)若，求平面AEF与平面的夹角的正切值； (2)若，P为底面ABCD的中心，当点P到平面AEF的距离为时，求线段CF的长． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设棱长为2，且为的中点， ，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量， 设平面的法向量为， 设平面AEF与平面的夹角为， 则，，则， 所以平面AEF与平面的夹角的正切值为； （2）设 ，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的法向量， 点到平面的距离， 解得：， 所以的长为或. 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于，连接， 在三角形中，是三角形的中位线， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）由是直三棱柱，且， 故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则， 设平面的法向量为， 由，得到，令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则. 7．（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到面的距离； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意，可以为原点，，，分别为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， （1）显然为平面的一个法向量，而. 因为，所以. 又平面，所以平面； （2）设为面的一个法向量，又， 则，不妨取，则， 记点到面的距离为， 则. 即点到面的距离为； （3）显然为平面的一个法向量. 设为面的一个法向量，则， 不妨取，则. 设平面与平面的夹角为，则 . 即平面与平面的夹角的余弦值为. 8．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2. (1)求图2中的点B到平面ACDE的距离； (2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）由题意可知，图2中，， 又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF， 在平面BCDF内，过D作于点H，则， 又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴， 建立如图空间直角坐标系， 由题意可得，，，， ，，， 设平面ACDE的法向量为，则，得， 令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量， 所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为. （2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面， 由（1）知，，， 所以， 设平面ABFE的法向量为，则，得， 令，则，， 所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量， 所以， 即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为. 9．（23-24高二上·安徽·期末）如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 【答案】(1); (2). 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 由四棱锥是正四棱锥 易得两两互相垂直， 在正四棱锥中，因为，所以， 因为，且，所以，． 以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则， 即'取，得． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2），． 设平面的法向量为， 则，即 取，得． 所以点到平面的距离. 10．（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）证明：设点是线段上靠近的三等分点，连接，． ∵，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴，， 在正方形中，，所以，， ∴四边形是平行四边形，则，平面，平面， ∴平面； （2）∵平面，，∴以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设，，，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， ∵点到平面的距离为， 所以，解得或（舍去）， ∵，∴，∴当时，点到平面的距离为． 11．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， ，， 即异面直线与夹角的余弦值为.    （2）设平面的一个法向量， ， 由，得，于是平面的一个法向量， 点到平面的距离． 12．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，又平面， 所以，又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面，又平面， 所以； （2）如图，以点为原点，以，，所在直线为，，轴，建系如图， 则,0,,,0,,,0,,， 设点,3,，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取， 由于直线与平面所成角的正切值为，故直线与平面所成角的正弦值为 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 化简可得，即， 所以或（舍， 即点,3,，所以，，， 所以点到平面的距离． 点到直线距离的向量求法 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以， 所以点到直线的距离为. 故选：C. 2．（23-24高二上·广东·期末）在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ， ， 到的距离. 故选：D 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直， 如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.    ∵，，，， ∴，，，，， ∴，， ， ， ∴点到直线的距离. 故选：D 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】因为， 可得在方向上的投影为， 又， 由勾股定理可得点到直线的距离为. 故答案为： 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 7．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 8．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$