专题08 概率与统计（5大经典基础题+5大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题08 概率与统计 条件概率 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75 2．（23-24高二上·陕西汉中·期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 4．（23-24高二上·黑龙江·期末）（多选）已知编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为 B．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为 C．第二次抽到2号球的概率为 D．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是 . 7．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是 ． 乘法公式与事件的独立性 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 4．（23-24高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 5．（23-24高二上·陕西渭南·期末）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.2，收到1的概率为0.8．下列说法正确的有（    ） A．若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为1，0的概率为0.02 B．若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为0，0的概率为0.18 C．若在信道内依次发送信号0，1，则收到的信号为1，0的概率为0.02 D．若收到的信号为1，1，则在信道内依次发送的信号为1，0的概率为0.09 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 7．（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为 ． 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值． 9．（23-24高二上·四川绵阳·期末）多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 10．（23-24高二上·四川德阳·期末）在一次抛掷硬币的试验中规定：若正面向上（用数字1表示），质点向东移动1个单位；若正面向下（用数字0表示），质点向北移动1个单位.甲同学将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了3次，则质点在水平面中从点经过3次移动后到达点，记事件“”. (1)写出甲同学进行该试验的样本空间，并求； (2)如果乙同学按照甲同学完全相同的方式独立的进行试验，记事件“”，求A与B至少有一个发生的概率. 11．（23-24高二上·河南南阳·期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率. 12．（23-24高二上·江西赣州·期末）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 全概率公式 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为（    ） A．0.78 B．0.82 C．0.87 D．0.49 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）医学上用血清甲胎球蛋白法诊断某种疾病，研究表明，这种诊断方法是可能存有误差的，且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 7．（23-24高二上·山东日照·期末）若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为 ． 8．（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 10．（23-24高二上·江西赣州·期末）某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 11．（23-24高二上·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 12．（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 13．（23-24高二上·吉林·期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 离散型随机变量的分布列 1．（23-24高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 3．（23-24高二上·河南·期末）设随机变量的分布列为，则常数 . 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛. (1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？ (2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列. 离散型随机变量的均值与方差 1．（23-24高二上·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知随机变量，满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 4．（23-24高二上·江西·期末）（多选）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）（多选）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则 . 7．（23-24高二上·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 8．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 9．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 10．（23-24高二上·江西九江·期末）飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”、“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关.已知甲、乙两人的棋子已接近终点，位置如图所示： (1)求乙还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率； (2)若甲、乙每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两人再投掷骰子的次数分别为，求的分布列和期望. 11．（23-24高二上·河南南阳·期末）某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金. (1)求某顾客摸出红球的概率； (2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望. 12．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 13．（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 14．（23-24高二上·广西桂林·期末）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字. (1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差； (2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率. 二项分布 1．（23-24高二上·北京昌平·期末）某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 3．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 5．（23-24高二上·河南·期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图. (1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸； (2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润. 6．（23-24高二上·江西·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表： 省代表队 A B C D E F G H I J 电子竞技人数 45 52 24 38 57 19 26 47 34 29 霹雳舞人数 26 18 44 43 32 27 56 36 48 20 (1)从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过35人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过25人的概率； (2)某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove中的Swipe、Windmill、Air tracks、Flare、Headspin动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得1分．已知在一轮测试的5个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4分的次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 超几何分布 1．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．服从二项分布 B．的值最小为1 C． D． 3．（23-24高二上·辽宁·期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 正态分布 1．（23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．（23-24高二上·河南·期末）某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 3．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 5．（23-24高二上·广西桂林·期末）（多选）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 6．（23-24高二上·江西·期末）已知随机变量，若，则 . 7．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 8．（23-24高二上·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 线性回归和非线性回归 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（23-24高二上·辽宁·期末）下列有关回归分析的说法正确的是（    ） A．样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强. B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线. C．回归直线方程不一定过样本中心点. D．回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系. 3．（23-24高二上·山东日照·期末）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 4．（23-24高二上·江苏常州·期末）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到新的线性回归直线的斜率为3，则下列结论中正确的是（    ） A．相关变量，具有正相关关系 B．去除异常数据后，新的平均数 C．去除异常数据后的线性回归方程为 D．去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变大 5．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（    ） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A．回归直线至少会经过其中一个样本点 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 9．（23-24高二上·黑龙江·期末）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额： 月份 1 2 3 4 5 6 带货金额万元 254 354 454 954 1654 2054 (1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）； (2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）. 附：经验回归方程，其中， 样本相关系数； 参考数据：. 独立性检验解决实际问题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（    ）把握喜欢篮球与性别有关. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是 . 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中. 3．（23-24高二上·陕西渭南·期末）为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取200件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为．根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”．抽样统计后得到的数据如下： 质量指标值 甲生产线生产的产品数量 4 9 15 32 76 64 乙生产线生产的产品数量 6 7 22 45 67 53 (1)将下面的列联表补充完整； 优等品 非优等品 合计 甲生产线生产的产品数量 乙生产线生产的产品数量 合计 (2)根据独立性检验的思想，判断能否有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 4．（23-24高二上·江西·期末）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解 比较了解 合计 男生 20 40 60 女生 20 20 40 合计 40 60 100 (1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异； (2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及. 附：①，其中； ②当时有95%的把握认为两变量有关联. 5．（23-24高二上·山东德州·期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差． (1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 45 女性 15 总计 根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？ 参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强． （iii），其中．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 6．（23-24高二上·广西桂林·期末）年月日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.某市为了解政策开放后已婚女性生育三孩意愿的情况，选取“后”和“后”已婚女性作为调查对象，随机调查了位，得到数据如表： 生育三孩意愿 无生育三孩意愿 合计 “后” “后” 合计 (1)请根据题目信息，依据列联表中的数据求出、的值； (2)根据调查数据，是否有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”，并说明理由.参考数据： （参考公式：，其中） 7．（23-24高二上·吉林·期末）李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表： 年龄/岁 抽取人数 有意向购买熏肉大饼的人数 (1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关? 年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 (2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望. 【参考数据及公式】，其中. 8．（23-24高二上·黑龙江·期末）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男､女各100人进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）： 偶尔或不网购 经常网购 合计 男性 40 60 100 女性 20 80 100 合计 60 140 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购的情况与性别有关联？ (2)用分层抽样的方法，从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人赠送礼品，设其中经常网购的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.附：，其中. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 9．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：单位：人 数学专业 非数学专业 总计 男生 e f 120 女生 60 g 80 总计 160 h 200 (1)求e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率； (2)能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 33 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率与统计 条件概率 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.75 【答案】B 【详解】由题意若被选中，则只需从其余四个人中再选一个人即可，所以被选中的概率为. 故选：B. 2．（23-24高二上·陕西汉中·期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件， 所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为： . 故选：B. 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 【答案】C 【详解】设事件为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件为“抽到喜欢科普阅读的学生”， 则，， 则， 即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为. 故选：C. 4．（23-24高二上·黑龙江·期末）（多选）已知编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为 B．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为 C．第二次抽到2号球的概率为 D．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大 【答案】AB 【详解】记第一次取得号球为事件，则，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为，即正确； 第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为，即B正确； 记第二次在第i号盒子内抽到2号球的事件分别为，而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到2号球的事件为，则，即C错误； 由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球， 则它来自1号盒子的概率为， 它来自3号盒子的概率， 即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D错误. 故选：AB 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【答案】 【详解】根据题意，设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”， 将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法， 甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率． 故答案为：． 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是 . 【答案】 【详解】设：狗的寿命超过15岁，：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是. 依题意有.又因为，所以， 从而，因此. 所以一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是， 故答案为：. 7．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是 ． 【答案】/ 【详解】设事件表示“第一次抽到函数题”，表示“第二次抽到函数题”， 则，， 所以. 故答案为：. 乘法公式与事件的独立性 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为， 则. 因为：. 由，得：. 所以在上递增，在上递减. 所以当时，取得最大值.即. 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期末）（多选）已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（    ） A．一定小于； B．可能等于； C．事件和事件不可能相互独立； D．事件和事件可以相互独立. 【答案】BC 【详解】且相互独立，则，,正确. ∵表示事件至少发生一个，表示事件同时发生， ∴， ∴不能等于，错误. 若，满足，符合题意， 此时，所以， 所以事件和可能相互独立，错误； 由C，， 事件和可能相互独立，正确. 故选：BC. 3．（23-24高二上·山东潍坊·期末）（多选）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（    ） A．A与D相互独立. B．A与B相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】BCD 【详解】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种， 事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 4．（23-24高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（    ） A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 【答案】ABD 【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯， 第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确； 对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故B正确； 对C：由题意可得，即， 即，即， 又，故，∴，故C错误； 对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有， 共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点， 则概率，故D正确； 故选：ABD. 5．（23-24高二上·陕西渭南·期末）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.2，收到1的概率为0.8．下列说法正确的有（    ） A．若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为1，0的概率为0.02 B．若在信道内依次发送信号1，0，则收到的信号为0，0的概率为0.18 C．若在信道内依次发送信号0，1，则收到的信号为1，0的概率为0.02 D．若收到的信号为1，1，则在信道内依次发送的信号为1，0的概率为0.09 【答案】BC 【详解】对于A，所求概率为，故A错误；对于B，所求概率为，故B正确； 对于C，所求概率为，故C正确；对于D，所求概率为，故D错误. 故选：BC. 6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 故答案为：. 7．（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率. 因为， 所以，解得：. 又因为， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高二上·广东茂名·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 ， 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为； （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 则由题意， ， 解得． 9．（23-24高二上·四川绵阳·期末）多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. (1)甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率； (2)现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）甲同学所有可能的选择答案有11种： ，其中正确选项只有一个， 样本空间, 共11个基本事件， 所以他猜对本题得5分的概率为. （2）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为， 乙比丙刚好多得5分的情况包含： 事件：乙得10分，丙得5分，则； 事件：乙得7分，丙得2分，则； 事件：乙得5分，丙得0分，则； 所以乙比丙总分刚好多得5分的概率. 10．（23-24高二上·四川德阳·期末）在一次抛掷硬币的试验中规定：若正面向上（用数字1表示），质点向东移动1个单位；若正面向下（用数字0表示），质点向北移动1个单位.甲同学将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了3次，则质点在水平面中从点经过3次移动后到达点，记事件“”. (1)写出甲同学进行该试验的样本空间，并求； (2)如果乙同学按照甲同学完全相同的方式独立的进行试验，记事件“”，求A与B至少有一个发生的概率. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意， 事件， 从而. （2）由（1）知，事件A与B至少有一个发生可以表示为“” 由独立事件同时发生的概率公式及概率的性质得 . 11．（23-24高二上·河南南阳·期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球. (1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球. 因为采取放回抽样方式， 所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 所以. 即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为. （2）设事件为第一次摸到黑球， 事件第二次摸到黑球， 所以，， 所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为： . 12．（23-24高二上·江西赣州·期末）甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局．每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束．已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】(1) (2)第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大 【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为 ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为 综上，甲获胜的概率为. （2）若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为 若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为； 若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况： ①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为， ②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为， ③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大． 全概率公式 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”， ，且互斥，， 依题意有，解得 从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 故选：C 3．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）设小明乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4.汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.7，0.9，则小明正点到达目的地的概率为（    ） A．0.78 B．0.82 C．0.87 D．0.49 【答案】A 【详解】小明正点到达目的地，由两个互斥事件构成，分别为乘汽车正点到达和乘火车正点到达， 所以. 故选：A 5．（23-24高二上·河南南阳·期末）医学上用血清甲胎球蛋白法诊断某种疾病，研究表明，这种诊断方法是可能存有误差的，且这种疾病在自然人群中的发病率仅为1%.已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性.现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件A：某人患病.事件B：化验结果呈阳性. 由题意可知， 所以，. 现在某人的化验结果呈阳性， 则他真的患该疾病的概率是. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 【答案】 【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得， 即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·山东日照·期末）若10个篮球中有7个已打足气，3个没有打足气．已知小明用打足气的篮球投篮，命中率为，用没有打足气的篮球投篮，命中率为，则小明任拿一个篮球投篮，命中的概率为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知，小明任意拿一个球投篮命中的概率为 . 故答案为：0.72 8．（23-24高二上·山东德州·期末）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； . 【答案】 / 【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故； 奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为， 奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故， 由全概率公式可得：. 故答案为：； 9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 ． 【答案】0.012 【详解】设事件“取得一件次品”事件：“取得次品是甲厂生产”，：“取得次品是乙厂生产”， 由题意可知, 所以由全概率公式知取得次品的概率为. 故答案为： 10．（23-24高二上·江西赣州·期末）某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有5个男生，7个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ． 【答案】 【详解】该学生是男生的概率是. 故答案为：. 11．（23-24高二上·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)0.81. 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，， 由（1）知， 由全概率公式得 . 12．（23-24高二上·山东潍坊·期末）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个. (1)求这个零件是次品的概率； (2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件， 记事件：这个零件是次品， 由题意可得，，，， 由全概率公式可得： . （2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为 . 13．（23-24高二上·吉林·期末）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3盒三鲜馅的“饺子”和4盒青菜馅的“饺子”.问： (1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件“取出饺子是肉馅”，， （2）设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”， （3）设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”. 设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”， 离散型随机变量的分布列 1．（23-24高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 【答案】0.7/ 【详解】由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故答案为：0.7 3．（23-24高二上·河南·期末）设随机变量的分布列为，则常数 . 【答案】 【详解】， 解得， 故答案为：. 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 5．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛. (1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？ (2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列. 【答案】(1)种 (2)分布列见解析 【详解】（1）共有种选派方法. （2）由题意知，的取值范围为， ， 所以的分布列为 -3 -1 1 离散型随机变量的均值与方差 1．（23-24高二上·河南·期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是， 则， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则数学期望为， 方差为. ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则，故，， 故. 故选：D. 2．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，X的取值可能为，，， 因为， ， ， 所以， 故． 故选：B. 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知随机变量，满足，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题可知. 故选：B. 4．（23-24高二上·江西·期末）（多选）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 5．（23-24高二上·江西上饶·期末）（多选）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 【答案】AC 【详解】因为随机变量，则，， ， 由期望的性质可得， 由方差的性质可得，AC对，BD错. 故选：AC. 6．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则 . 【答案】0.09/ 【详解】，且，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板， 故共有种情况， 的可能取值为， 其中时，只有三个数为，故， 则， 所以，. 故答案为： 7．（23-24高二上·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 【答案】/0.1875 【详解】依题意，的取值为0，1，且，， 则的期望， 所以的方差. 故答案为： 8．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【详解】由题意及方差定义知，所以. 故答案为： 9．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，， ，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故最大值为． 故答案为：. 10．（23-24高二上·江西九江·期末）飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”、“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关.已知甲、乙两人的棋子已接近终点，位置如图所示： (1)求乙还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率； (2)若甲、乙每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两人再投掷骰子的次数分别为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）因为乙还需抛掷2次骰子才顺利通关， 则第一次不能通过，故第一次只能掷， 若第一次为或，则第二次为， 若第一次为，则第二次为， 所以乙还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率为； （2）均可取， 由（1）得，，， ， 的分布列为： ； 若甲还需抛掷2次通过，， 当第一次为时，则第二次为， 当第一次为时，则第二次为， 当第一次为时，则第二次为， 当第一次为4时，则第二次为， 故， ， ， 的分布列为： . 11．（23-24高二上·河南南阳·期末）某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金. (1)求某顾客摸出红球的概率； (2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望. 【答案】(1) (2)192（元）. 【详解】（1）设“从甲箱中摸出黑球”，“从甲箱中摸出白球”，“从乙箱中摸出红球”，“某顾客摸出红球”，则. 因为， 所以. （2）设该家庭每个人获得的奖金为元，则的取值可能为， 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 90 180 （元）. 又因为，所以（元）. 12．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【详解】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 13．（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含但不包含”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为，则 ；；； ；. 所以随机变量的分布列为： 因此，， . 14．（23-24高二上·广西桂林·期末）某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字. (1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差； (2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率. 【答案】(1)分布列答案见解析，， (2) 【详解】（1）解：由题意可知，， 则，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，，. （2）解：记事件第一次抽到印有“奖”字卡片，事件第三次抽到未印有“奖”字卡片， 则，. 由条件概率公式可得， 所以，在第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率为. 二项分布 1．（23-24高二上·北京昌平·期末）某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【答案】A 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为； （2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中， 成绩在内的人数为，成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率， 由题意可知，则的可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 3．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 【答案】(1) (2)该同学没有希望进入决赛 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，， ②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，， ③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，， 故所求的概率； （2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为： ， ，且，，即，， 则，， 故可得：，， ， ， 令，则在上单调递减， ． 该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数， ， 故该同学没有希望进入决赛． 4．（23-24高二上·陕西西安·期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或； 【详解】（1）先把个坑排好共个空，再把剩下的2个坑往空里放，共有种方案； （2）一个坑需要补播种有两种可能：两粒种子不发芽和三粒种子不发芽 两粒种子发芽的概率 三粒种子发芽的概率 所以一个坑需要补播种的概率 （3）3个坑要补播种的概率为，要想有3个坑要补播种概率最大，即满足不等式组 解得：，又，所以或时，3个坑要补播种的概率最大，此时. 5．（23-24高二上·河南·期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图. (1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸； (2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润. 【答案】(1) (2)40元 【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为：. （2）次品的尺寸范围， 故生产线生产的产品次品率为. 设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为， 故，则. 设生产一箱零件获利为元， 则， 则（元）， 所以这箱零件的期望利润为40元. 6．（23-24高二上·江西·期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技（E-Sports）和霹雳舞（Breaking）两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机抽取10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队人数如下表： 省代表队 A B C D E F G H I J 电子竞技人数 45 52 24 38 57 19 26 47 34 29 霹雳舞人数 26 18 44 43 32 27 56 36 48 20 (1)从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过35人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数均超过25人的概率； (2)某省代表队准备进行为期3个月的霹雳舞封闭训练，对Powermove中的Swipe、Windmill、Air tracks、Flare、Headspin动作进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在每轮测试中，有一个裁判判定每项评分，有一个动作达到“优秀”即可得1分．已知在一轮测试的5个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响．如果甲队员在集训测试中的得分不低于4分的次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 【答案】(1) (2)18轮 【详解】（1）参与电子竞技的人数超过35人的代表队有5个， 在此基础上，参与霹雳舞的人数超过25人的省代表队有4个， 则所求概率为； （2）在一轮测试中，得分不低于4分的概率为， 则甲队员在集训测试中得分不低于4分的次数服从二项分布， 由题意，，解得，注意到，所以， 即至少要进行18轮测试． 超几何分布 1．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）（多选）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（    ） A．服从二项分布 B．的值最小为1 C． D． 【答案】BCD 【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误； 的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD 3．（23-24高二上·辽宁·期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 【答案】/0.5 【详解】因 . 故答案为：. 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题意知，的可能取值有， ，， ，， 所以的分布列为 . （2）因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为， 由，又，得到， 则，又，所以， 令，则，当时，取到最大值为， 要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值， 设甲、乙两人在轮答题中取得胜利的次数为，则， 所以，由，解得， 又，则，理论上至少要参加11轮竞赛. 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X． (1)写出X的分布列，并求出和的值； (2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)，; 【详解】（1）依题意，得， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 ； . （2）依题意，得， 则，. 6．（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： (1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； (2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； (3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. （2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. （3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 正态分布 1．（23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 2．（23-24高二上·河南·期末）某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 【答案】B 【详解】，则数学成绩位于的人数约为. 故选：B. 3．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，，， 所以． 故选：A 4．（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【答案】C 【详解】由题可设，则， 又的学生人数为，故. 故选：C 5．（23-24高二上·广西桂林·期末）（多选）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为， 对于A选项，该正态分布的均值为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错. 故选：AB. 6．（23-24高二上·江西·期末）已知随机变量，若，则 . 【答案】0.14/ 【详解】因为，所以， 故答案为：0.14. 7．（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 8．（23-24高二上·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【答案】(1)15.925万 (2) 【详解】（1）， 所以旅游费用支出在7000元以上的概率为 ， ，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上 （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为， 设3人总得分为4分为事件，则 即3人总得分为4分的概率. 线性回归和非线性回归 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点都在直线上，则有相关系数. 故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁·期末）下列有关回归分析的说法正确的是（    ） A．样本相关系数越大，则两变量的相关性就越强. B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线. C．回归直线方程不一定过样本中心点. D．回归分析中，样本相关系数，则两变量是负相关关系. 【答案】D 【详解】由知识点：两变量的相关性就越强，则相关系数越接近或可知A不正确；由回归直线是基于样本数据使残差平方和最小的拟合直线可判断B不正确；由回归直线方程一定过样本中心点可知C不正确；由当相关系数时两个变量正相关，时两个变量负相关可得D正确. 故选:D 3．（23-24高二上·山东日照·期末）（多选）下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 【答案】ABD 【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确； 对于C，已知，，则，故C错误； 对于D，已知随机变量，则，故D正确. 故选：ABD. 4．（23-24高二上·江苏常州·期末）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，根据最小二乘法求得线性回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到新的线性回归直线的斜率为3，则下列结论中正确的是（    ） A．相关变量，具有正相关关系 B．去除异常数据后，新的平均数 C．去除异常数据后的线性回归方程为 D．去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变大 【答案】AD 【详解】A选项，因为回归方程的斜率为正，所以相关变量，具有正相关关系，所以A正确； B选项，因为，所以去除两个异常数据和后， 得到新的，故B错； 且，得， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以， 去除异常数据后的线性回归方程为，故C错； 因为经验回归直线的斜率为正数，所以变量x，y具有正相关关系，且去除异常数据后，斜率由2增大到3，故值增加的速度变大，故D对； 故选：AD 5．（23-24高二上·广西北海·期末）（多选）下列各组的两个变量中呈正相关关系的是（    ） A．学生的身高与学生的化学成绩 B．汽车行驶的里程与它的耗油量 C．人的年龄与年收入 D．水果的重量与它的总价 【答案】BD 【详解】由题意知，选项A，为非确定性关系， 选项B为相关关系，且为正相关关系． 选项C，为非确定性关系， 选项D，为相关关系，且为正相关关系． 故选：BD 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A．回归直线至少会经过其中一个样本点 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 【答案】BD 【详解】A选项，回归直线不一定经过样本点，A选项错误. B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确. C选项，，所以模型的拟合度更好，C选项错误. D选项，由，得，D选项正确. 故选：BD 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 【答案】(1) (2)，40 (3)分布列见解析， 【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型. （2）设，变换后可得， 设，建立w关于x的回归方程， ， 所以 所以w关于x的回归方程为， 所以， 当时，， 即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87. （3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50， 故x的可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为 0 1 2 . 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得，， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为，可得，即， 可得，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为. 9．（23-24高二上·黑龙江·期末）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额： 月份 1 2 3 4 5 6 带货金额万元 254 354 454 954 1654 2054 (1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）； (2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）. 附：经验回归方程，其中， 样本相关系数； 参考数据：. 【答案】(1)，与相关程度较强，且正相关； (2)，预测2023年10月份该公司的直播带货金额为3443万元. 【详解】（1）由已知可得. 又， 所以， 则样本相关系数 因为样本相关系数，所以与相关程度较强，且正相关. （2）设关于的经验回归方程为，其中 ， ， 所以关于的经验回归方程为. 把代入得（万元）. 所以预测2023年10月份该公司的直播带货金额为3443万元. 独立性检验解决实际问题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（    ）把握喜欢篮球与性别有关. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 有把握认为喜欢篮球与性别有关， 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏常州·期末）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是 . 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中. 【答案】5 【详解】根据独立性检验思想可得， ， 得， 因为且，所以； 故答案为：5． 3．（23-24高二上·陕西渭南·期末）为了检测产品质量，某企业从甲、乙两条生产线上分别抽取200件产品作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为．根据该产品的质量标准，规定质量指标值在内的产品为“优等品”，否则为“非优等品”．抽样统计后得到的数据如下： 质量指标值 甲生产线生产的产品数量 4 9 15 32 76 64 乙生产线生产的产品数量 6 7 22 45 67 53 (1)将下面的列联表补充完整； 优等品 非优等品 合计 甲生产线生产的产品数量 乙生产线生产的产品数量 合计 (2)根据独立性检验的思想，判断能否有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关． 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 k 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析； (2)没有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关. 【详解】（1）依题意可列联表如下表所示： 优等品 非优等品 合计 甲生产线生产的产品数量 140 60 200 乙生产线生产的产品数量 120 80 200 合计 260 140 400 （2）由（1）知， 所以没有99%的把握认为产品是否为“优等品”与生产线有关. 4．（23-24高二上·江西·期末）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解 比较了解 合计 男生 20 40 60 女生 20 20 40 合计 40 60 100 (1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异； (2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及. 附：①，其中； ②当时有95%的把握认为两变量有关联. 【答案】(1)没有 (2)分布列见解析， 【详解】（1）根据列联表中的数据， 得， 所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异. （2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人， 则抽取的男生有3人，女生在2人， 所以的取值依次为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 5．（23-24高二上·山东德州·期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差． (1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 45 女性 15 总计 根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？ 参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强． （iii），其中．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.9375，y与x线性相关较强 (2)有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关 【详解】（1）相关系数为 ， (由y关于x的线性回归方程为可知：，且，) 故y与x线性相关较强． （2）由题意： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 ． 由表可得，所以有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关． 6．（23-24高二上·广西桂林·期末）年月日，中共中央政治局召开会议，审议《关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》并指出，为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策及配套支持措施.某市为了解政策开放后已婚女性生育三孩意愿的情况，选取“后”和“后”已婚女性作为调查对象，随机调查了位，得到数据如表： 生育三孩意愿 无生育三孩意愿 合计 “后” “后” 合计 (1)请根据题目信息，依据列联表中的数据求出、的值； (2)根据调查数据，是否有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”，并说明理由.参考数据： （参考公式：，其中） 【答案】(1)， (2)有，理由见解析 【详解】（1）解：由列联表中的数据可得，. （2）解：列联表如下表所示： 生育三孩意愿 无生育三孩意愿 合计 “后” “后” 合计 由列联表中的数据可得， 因此，有有以上的把握认为“已婚女性生育三孩意愿与年龄有关”. 7．（23-24高二上·吉林·期末）李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表： 年龄/岁 抽取人数 有意向购买熏肉大饼的人数 (1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关? 年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 (2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望. 【参考数据及公式】，其中. 【答案】(1)列联表见解析，购买熏肉大饼与人的年龄有关 (2)分布列见解析， 【详解】（1）列联表如下： 年龄低于 岁的人数 年龄不低于 岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 零假设为购买熏肉大饼与人的年龄无关. 根据表中数据计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即购买熏肉大饼与人的年龄有关，该推断犯错误的概率不超过. （2）由已知得，，， ，， ，. 所以随机变量的分布列为: 所以. 8．（23-24高二上·黑龙江·期末）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男､女各100人进行分析，从而得到如下列联表（单位：人）： 偶尔或不网购 经常网购 合计 男性 40 60 100 女性 20 80 100 合计 60 140 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购的情况与性别有关联？ (2)用分层抽样的方法，从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人赠送礼品，设其中经常网购的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.附：，其中. 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)认为我市市民网购的情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01 (2)分布列见解析， 【详解】（1）零假设为：我市市民网购情况与性别无关. 则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为我市市民网购的情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）按分层抽样的方法从偶尔或不网购和经常网购的市民中随机抽取10人， 则偶尔或不网购的人数为3，经常网购的人数为7， 故的所有可能取值为， ， 故的分布列为 0 1 2 3 则. 9．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：单位：人 数学专业 非数学专业 总计 男生 e f 120 女生 60 g 80 总计 160 h 200 (1)求e，f，g，h的值，并估计男生中是非数学专业的概率； (2)能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，，， (2)没有 【详解】（1）由题意可知，，， ，， 故男生中是非数学专业的概率. （2）由题意可知． 又因为，而且查表可得， 由于，所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关． ( 25 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$