专题07 计数原理（4大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第一册）

专题07 计数原理 基本计数原理 1．（23-24高二上·江西·期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 【答案】C 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：C． 2．（23-24高二上·广西桂林·期末）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（    ） A．4 B．5 C．9 D．20 【答案】C 【详解】第一类从女同学中选1名，有4种不同的选法； 第二类从男同学中选1名，有5种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法. 故选：C 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】D 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类， 上线路中有条，下线路中有条. 根据分类计数原理，不同的线路可以有条. 故选：D 4．（23-24高二上·山东德州·期末）已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】依题意，可得点的坐标有： 其中落在第三、第四象限内点有 共6个. 故选：A 5．（23-24高二上·云南曲靖·期末）10000的除去1和自己外的正因数的个数是（    ） A．25 B．24 C．23 D．16 【答案】C 【详解】由题意， 所求数的不同正因数的个数可以看做从两盒子中取数， 其中盒子中有4个2，盒子中装有4个5，从两盒中各取一个数相乘可以得到一个因数（如不取可看作取1）， 所以从两盒中取数均有5种取法，但要舍去都不取或全取出所有的4个2和4个5这2种情况（即因数为1和10000本身的情况）， 综上所述，10000的除去1和自己外的正因数的个数是. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（   ） A．36 B．24 C．48 D．12 【答案】B 【详解】张同学单独一组，由于张同学不去乙小区，所以先排张同学共有种， 再将其余三人分成两组共有，再分配到另外两个小区共有，此种情况共有种； 张同学与其他同学在一组，先排张同学共有种，其余三人三组全排列共有，此种共有12种， 所以共有24种. 故选：B 7．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 【答案】C 【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有种去法． 故一共有种去法． 故选：C. 8．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（多选）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】当时，分四步： 第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案； 第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确； 当时，分四步： 第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案； 第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案； 第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误； 当时，分四步： 第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案； 第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案. 所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确. 故选：AD. 10．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有 个，其中比516大的三位渐升数有 个． 【答案】 84 10 【详解】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解. 当百位上的数字为1，十位上的数字为2时，个位上的数字有7种选法； 当百位上的数字为1，十位上的数字为3时，个位上的数字有6种选法；…； 当百位上的数字为1，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法. 由加法原理得百位上的数字为1的三位“渐升数”有（个）. 同理，百位上的数字为2的三位“渐升数”有（个）， 百位上的数字为3的三位“渐升数”有（个）， 百位上的数字为4的“渐升数”有（个）， 百位上的数字为5的三位“渐升数”有（个）， 百位上的数字为6的三位“渐升数”有（个）， 百位上的数字为7的三位“渐升数”有1个. 根据加法原理得共有（个）“渐升数”. 百位上的数字为5，6，7的三位“渐升数”均比516大， 故比516大的三位“渐升数”有（个）. 故答案为：84；10 11．（23-24高二上·甘肃·期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个. 【答案】225 【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有： 万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法： 第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种， 百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为个， 第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为， 由分类加法原理得， 在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个. 故答案为：225 12．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)720 (2)420 【详解】（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 13．（23-24高二上·黑龙江·期末）某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分. (1)求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数； (2)求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数. 【答案】(1)162 (2)76 【详解】（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，则不同的抽法种数为. （2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡， 不同的抽法种数为. 排列 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 【答案】C 【详解】因为博物院每周一闭馆， 所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择， 再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法， 根据分步计数原理，知不同的方案有种， 故选：C. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 【答案】B 【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名， 分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况， 故选：B． 3．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 【答案】A 【详解】由题意分为两种情况：第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A. 4．（23-24高二上·江西·期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．108种 B．96种 C．84种 D．72种 【答案】B 【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位， 当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端， 第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端， 第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端， 第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ）种． A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【详解】甲和乙相邻，则甲乙有种排法，则甲、乙、丁、戊共有种排法， 此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排， 但甲和丙不相邻，故只能在三个位置中选一个，故共有种排法. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 【答案】D 【详解】先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种， 所以不同的排法总数是. 故选：D 7．（23-24高二上·河南焦作·期末）把2个相同的红球､1个黄球､1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（    ） A．18 B．20 C．21 D．24 【答案】C 【详解】先把4个球分成3堆，分法有4种：(红红，黄，蓝)､(红黄，红，蓝)､(红蓝，红，黄)､(红，红，蓝黄). 前3种分法，把3堆球放入3个盒子中，各有种放法， 最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中，有3种放法， 所以共有种放法. 故选：C 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 【答案】BCD 【详解】对于A，3个女生必须相邻，则不同的排法有种，A错误； 对于B，3个女生中有且只有2个女生相邻，先排4个男生有种，3个女生取2个女生排在一起， 与另1个女生插入4个男生排列形成的5个间隙中，有，不同排法有种，B正确； 对于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有种，C正确； 对于D，3个女生按从左到右的顺序排列，不同的排法有种，D正确. 故选：BCD 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（    ） A．若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C．若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D．若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 【答案】AC 【详解】假设有甲乙丙丁戊，这5道工序. 对A：假设甲工序不能放到最后，则甲有4种安排方式，根据分步计数原理， 所有的安排顺序有：种，故A正确； 对B：假设甲乙2道工序不能放到最前，也不能放到最后， 先安排甲乙，则共有种安排方式；再安排剩余3道工序，共有种； 根据分步计数原理，则所有的安排顺序有：种，故B错误； 对C：假设甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序， 则共有种加工顺序，故C正确； 对D：假设甲乙工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲乙， 故共有：种加工顺序，故D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二上·北京昌平·期末）北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是 . 【答案】24 【详解】从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述， 相当于从4个不同元素中选3个元素的排列问题， 则不同的分配方案种数为， 故答案为：24 11．（23-24高二上·广西桂林·期末）用、、、、这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为 （用数字作答）. 【答案】 【详解】先排首位，可在、、、中选择一个数排，然后在剩余四个数中选择两个数排十位和个位， 由分步乘法计数原理可知，没有重复数字的三位数的个数为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 【答案】 【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则， 那么，任意取两个即可，有. 故答案为：． 13．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）. （2）将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）. （3）分两步：第一步，先排男生，有种站法， 第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法， 由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）. 组合 1．（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】A 【详解】由题意. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】由得， 解得 故选：B. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．40 【答案】C 【详解】依题意，从8人中任选3人，有种方法，其中没有男教师的选法有种， 所以抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为. 故选：C 4．（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 【答案】A 【详解】由题意可知必有2名同学去同一个小区， 故不同的安排方法种数是（种）. 故选：A 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（    ）种. A．54 B．53 C．47 D．46 【答案】B 【详解】根据题意，将10个数分为2组， 一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论： ①取出的3个数全部为奇数，有种情况，都符合题意， ②取出的3个数有1个奇数，2个偶数， 若奇数取9，有种情况； 若奇数取7，有种情况； 若奇数取5，有种情况； 若奇数取3，有种情况； 若奇数取1，有种情况； 综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有种. 故选：B. 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（    ） A．240 B．360 C．480 D．720 【答案】B 【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校， 不同的分法种数为． 故选：B． 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【答案】D 【详解】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个. 故选：D. 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为； 而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确； 故答案为：ABD. 9．（23-24高二上·江苏镇江·期末）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误； 对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误； 对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 10．（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 【答案】5 【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得. 故答案为：. 11．（23-24高二上·福建龙岩·期末）编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有 种.（用数字回答） 【答案】144 【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有种不同的分法， 然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有种放法. 故答案为：144. 12．（23-24高二上·辽宁大连·期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种． 【答案】84 【详解】去生物且生物只去一人：种， 去生物且生物只去两人：种， 去影视且生物只去一人：种， 去影视且生物只去两人：种， 一共种， 故答案为：84 13．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 14．（23-24高二上·江西上饶·期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会． (1)共有多少种选法； (2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法． 【答案】(1)210 (2)140 【详解】（1）解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法． （2）法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长． 若选中1名队长，则有种选派方法； 若选中2名队长，则有种选派方法； ∴队长中至少有1人参加，有种方法． 法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人， 若没有队长，则有种选派方法， 若随机选择，则有种选派方法， ∴队长中至少有1人参加，有种方法． 二项式定理 1．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知(均为有理数),则的值为（    ） A．90 B．91 C．98 D．99 【答案】D 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以． 故选：D 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在的展开式中，的系数是（   ） A． B．56 C．8 D． 【答案】A 【详解】因为展开式的第项为， 所以令，则， 故的系数是， 故选：A 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为二项式系数之和为256，所以，得， 的展开式的通项， 令，得. 故选：A 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【详解】由二项式，可得其展开式共有9项， 根据二项式系数的性质，可得中间项第5项的二项式系数最大. 故选：C. 6．（23-24高二上·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 7．（23-24高二上·云南曲靖·期末）（多选）关于的展开式，下列陈述正确的是（    ） A．各项系数的和等于0 B．二项式系数的和等于512 C．常数项等于 D．含的最高次幂的项是. 【答案】ACD 【详解】对于A，在中，令，得，即各项系数的和等于0，故A正确； 对于B，二项式系数的和等于，故B错误； 对于C，的展开通项为， 令，得，所以常数项等于，故C正确； 对于D，由通项可知，当时，得到含的最高次幂的项是，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高二上·河南焦作·期末）（多选）若的展开式中各项的二项式系数之和为128，则（    ） A． B．项的系数为 C．各项系数之和为 D． 【答案】ACD 【详解】因为的展开式中各项的二项式系数之和为128， 所有，解得，故A正确； 展开式中项为，故B错误； 令，则展开式中的各项系数之和为，故C正确； 因为，所以最大，故D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 10．（23-24高二上·上海松江·期末）若的二项展开式的第9项为常数项，则 【答案】 【详解】由题意知的展开式， 第项为常数项，则，所以，所以. 故答案为：. 11．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）设的小数部分为，则 . 【答案】7 【详解】因为，所以的整数部分为3， 则，即， 所以 ， 故. 故答案为：7 12．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 【答案】(1)1792 (2)9 【详解】（1）因为， 所以，． 所以，，． 令，则，所以的最大值为1792． （2）因为． 所以被除的余数，即为被除的余数为． 13．（23-24高二上·陕西渭南·期末）（1）若的展开式中共有7项，求常数项； （2）已知，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】（1）依题意，，解得， 展开式的通项， 令，得，所以所求常数项为. （2）令，得， 令，得， 两式相加得. 14．（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项; （2）若，且，求中的最大值. 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）当时，的展开式中共有11项， 展开式的中间项为第6项，即. （2）由题意，得，解得. 设第项的系数为. 若，解得. 可得. 所以中的最大值为 15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知：，解得. （2），，， 令，得，所以展开式中含有的项为： 16．（23-24高二上·福建莆田·期末）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. (1)求n的值； (2)求的系数； (3)求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即， 所以. 选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得， 所以. 选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：， 所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 当时，， 所以. 组合数的性质及应用 1．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由组合数性质知，， 因为，所以， 所以，得. 故选：C. 2．（23-24高二上·辽宁·期末）（    ） A．120 B．119 C．110 D．109 【答案】B 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 , 由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为 , 故选：B． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知通项公式， 所以， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B 5．（23-24高二上·吉林·期末）（多选）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，，A错误； B选项，根据组合公式得到，B正确； C选项，， ， 故，C正确； D选项，，D错误. 故选：BC 6．（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 【答案】2或4 【详解】由题意，可知，则，所以或. 故答案为：2或4. 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）因为， （2）由，得到或，解得或， 经验证，符合题意，所以或. 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）126；（2）． 【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意， 所以 . （2）由，得， 即，而由，知，解得， 所以原方程的解为. 排列组合综合 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．35 C．36 D．45 【答案】C 【详解】“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有： 若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”； 若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”； 若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”； 若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”； 若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”； 综上所述：共有个“幸运数”. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于年月日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有个服务点，现将名志愿者分配到个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排名志愿者，共有（    ）种不同的分配方式． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，分步进行分析： 先在人中选出人，安排在最后一个服务点， 则有种安排方法； 将剩下的人安排到其他个服务点， 则有种安排方法， 故共有种安排方法. 故选：B 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（   ） A．540 B．630 C．1080 D．1260 【答案】A 【详解】将6个不同的小球按要求放有三种方案：4:1:1，3:2:1，2:2:2， 则所有的放法有种. 故选:A. 4．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 【答案】A 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选：A. 5．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 故选：C. 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 【答案】 【详解】解：可看成个坐着人的座位和个空座位排队， 先安排个坐着人的座位，共有种坐法，产生个空， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法， 然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上， 因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法， 所以共有种坐法． 故答案为：． 7．（23-24高二上·河南·期末）孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文､数学､英语､物理､化学､地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有 种. 【答案】5040 【详解】由题意可分三种情况讨论：三天复习科目的数量为或或， ①若三天复习数量为，所有的安排方法种数为， 语文与数学安排在同一天，有， 则三天复习数量为的安排方法种数为. ②若三天复习数量为， 所有的安排方法数为种， 语文与数学安排在“3”这一天，有种， 语文与数学安排在“2”这一天，有种， 则三天复习数量为的安排方法数为168. ③若三天复习数量为，所有的安排方法数为， 语文与数学安排在同一天，有种， 则三天复习数量为的安排方法数为.综上， 不同的复习方法共有种. 故答案为：. 8．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)120 (2)360 【详解】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 二项式定理的应用 1．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 【答案】 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【答案】3.07 【详解】. 故答案为：3.07 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， . (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得； 选条件②常数项为，由，则常数项为，解得； 选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得. （2） ， 所以能被6整除. 4．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， ， 显然能被7整除，， 所以二项式的值被7除的余数为. （2）因为的二项式系数之和为128， ， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则，即， 即，解得， 所以展开式中系数最大的项为第6，7项， 即. 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）判断是否能被8整除？并推理证明． 【答案】能被8整除，证明见解析 【详解】能被8整除，证明如下： 因为 ， 注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除， 所以能被8整除． 6．（23-24高二上·上海·期末）（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【详解】证明：（1）因为、，， 由组合数公式可得，故结论成立； 解：（2）因为、，， 则， 则 ； （3）因为等差数列的首项为，公差为，则， 则 ， 所以， 总是关于的一次函数. 7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，则展开式通项为，， 所以. （2）由题设， 而 ， 所以， 显然，除外，其它项均可被6整除，又， 所以被6除的余数为. ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 计数原理 基本计数原理 1．（23-24高二上·江西·期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 2．（23-24高二上·广西桂林·期末）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（    ） A．4 B．5 C．9 D．20 3．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 4．（23-24高二上·山东德州·期末）已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（23-24高二上·云南曲靖·期末）10000的除去1和自己外的正因数的个数是（    ） A．25 B．24 C．23 D．16 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（   ） A．36 B．24 C．48 D．12 7．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（    ） A．32种 B．128种 C．64种 D．256种 8．（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（多选）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有 个，其中比516大的三位渐升数有 个． 11．（23-24高二上·甘肃·期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个. 12．（23-24高二上·江西·期末）从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 13．（23-24高二上·黑龙江·期末）某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分. (1)求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数； (2)求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数. 排列 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 3．（23-24高二上·江西·期末）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．504种 B．432种 C．384种 D．240种 4．（23-24高二上·江西·期末）甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．108种 B．96种 C．84种 D．72种 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ）种． A．24 B．32 C．36 D．40 6．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 7．（23-24高二上·河南焦作·期末）把2个相同的红球､1个黄球､1个蓝球放到三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为（    ） A．18 B．20 C．21 D．24 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（多选）4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（   ）（选项中排列数的计算结果均正确） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知某种产品的加工需要经过5道工序，则下列说法正确的是（    ） A．若其中某道工序不能放在最后，有96种加工顺序 B．若其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有72种加工顺序 C．若其中某2道工序必须相邻，有48种加工顺序 D．若其中某2道工序不能相邻，有36种加工顺序 10．（23-24高二上·北京昌平·期末）北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是 . 11．（23-24高二上·广西桂林·期末）用、、、、这个数字，组成没有重复数字的三位数的个数为 （用数字作答）. 12．（23-24高二上·江西九江·期末）从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 13．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 组合 1．（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，男教师最少为1人的选法种数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．40 4．（23-24高二上·江西九江·期末）四名同学分别到3个小区参加九江市创文志愿者活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是（    ） A．36 B．24 C．64 D．81 5．（23-24高二上·江苏常州·期末）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（    ）种. A．54 B．53 C．47 D．46 6．（23-24高二上·山东潍坊·期末）有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（    ） A．240 B．360 C．480 D．720 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有（    ） A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 8．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 9．（23-24高二上·江苏镇江·期末）（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 10．（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 11．（23-24高二上·福建龙岩·期末）编号不同的四个球放入四个不同的盒子中，恰有一个空盒的不同放法有 种.（用数字回答） 12．（23-24高二上·辽宁大连·期末）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有 种． 13．（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 14．（23-24高二上·江西上饶·期末）某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会． (1)共有多少种选法； (2)若要求至少有1名队长参加，有多少种方法． 二项式定理 1．（23-24高二上·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知(均为有理数),则的值为（    ） A．90 B．91 C．98 D．99 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在的展开式中，的系数是（   ） A． B．56 C．8 D． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）的展开式中，二项式系数最大的是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 6．（23-24高二上·江西九江·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南曲靖·期末）（多选）关于的展开式，下列陈述正确的是（    ） A．各项系数的和等于0 B．二项式系数的和等于512 C．常数项等于 D．含的最高次幂的项是. 8．（23-24高二上·河南焦作·期末）（多选）若的展开式中各项的二项式系数之和为128，则（    ） A． B．项的系数为 C．各项系数之和为 D． 9．（23-24高二上·江西赣州·期末）展开式中的常数项为 ． 10．（23-24高二上·上海松江·期末）若的二项展开式的第9项为常数项，则 11．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）设的小数部分为，则 . 12．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知． (1)求的最大值； (2)求被13除的余数． 13．（23-24高二上·陕西渭南·期末）（1）若的展开式中共有7项，求常数项； （2）已知，求的值． 14．（23-24高二上·上海·期末）（1）求的二项展开式的中间项; （2）若，且，求中的最大值. 15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知在（）的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比值为2. (1)求的值； (2)求展开式中含的项. 16．（23-24高二上·福建莆田·期末）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. (1)求n的值； (2)求的系数； (3)求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 组合数的性质及应用 1．（23-24高二上·江西新余·期末）已知，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二上·辽宁·期末）（    ） A．120 B．119 C．110 D．109 3．（23-24高二上·江西·期末）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·吉林·期末）（多选）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西·期末）方程（且）的解为 ． 7．（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 8．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：； （2）解方程：． 排列组合综合 1．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．35 C．36 D．45 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于年月日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有个服务点，现将名志愿者分配到个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排名志愿者，共有（    ）种不同的分配方式． A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）把6个不同的小球随机放入3个不同的盒子中，若每个盒子中至少有1个小球，则不同放法的种数为（   ） A．540 B．630 C．1080 D．1260 4．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ） A．564 B．484 C．386 D．640 5．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 7．（23-24高二上·河南·期末）孔子曰：温故而知新，可以为师矣.某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文､数学､英语､物理､化学､地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有 种. 8．（23-24高二上·北京西城·期末）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 二项式定理的应用 1．（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 2．（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， . (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 4．（23-24高二上·江西新余·期末）已知二项式． (1)若，，求二项式的值被7除的余数； (2)若它的二项式系数之和为128，求展开式中系数最大的项． 5．（23-24高二上·江西吉安·期末）判断是否能被8整除？并推理证明． 6．（23-24高二上·上海·期末）（1）求证：； （2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$