专题2.1 等式与不等式（考点清单，15个考点梳理+12题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题2.1 等式与不等式 【清单01】等式的性质 （1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立. （2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立. 【清单02】恒等式 1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等. 注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一. 2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd 【清单03】方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 【清单04】一元二次方程的解集 1.配方法解方程 （1）配方 （2）一元二次方程的解集： （3）一元二次方程的判别式：Δ=b2-4ac 【清单05】一元二次方程根与系数的关系 的两根记作x1，x2 则 【清单06】方程组的解集 1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法. 发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来. 【清单07】不等式的基本性质 性质1：a>b⇔a＋c>b＋c 性质2：a>b，c>0⇒ac>bc 性质3：a>b，c<0⇒ac<bc 性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性） 性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 推论1：a+b>c⇔a>c-b（移项法则） 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广） 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1） 推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 【清单08】证明不等式的方法 1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法. 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q 5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论． 【清单09】不等式的重要结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 【清单10】不等式的解集与不等式组的解集 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 【清单11】绝对值不等式 1.绝对值的概念：． 2.含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 3.常见绝对值不等式的解 （1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 ②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)， |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 4.如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B，即A（a）,B(b)，线段AB的中点M（x）则 (1)数轴上两点之间的距离公式:AB=|a-b| (2)数轴上的中点坐标公式: 5.拓广：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 【清单12】一元二次不等式的解法 1.概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3.一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 4.一元二次不等式的常见解法 （1）因式分解法； （2）配方法； （3）解一元二次不等式的一般步骤 ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 【清单13】分式不等式的解法 1.定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 2.常见类型：>0⇔f(x)g(x) >0，<0⇔f(x)·g(x)< 0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x) <0或 【清单14】均值不等式 1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为 2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． （2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=, a≠b时，> a=b时，= 【清单15】均值不等式与最值 1.已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 2.常用推论： （1）（） （2）（，）； （3） 【考点题型一】已知一元二次方程根与系数关系问题 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【变式1-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为，则 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则 . 【变式1-4】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则 . 【考点题型二】含参数一元二次方程根与系数关系问题 【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【变式2-1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程的两个实根分别为、，且，求实数的值. 【变式2-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； (2)若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围. 【考点题型三】不等式性质及其应用 【例3】（多选）（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）若，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，比较大小： ． 【变式3-4】（2024高三·全国·专题练习），，则，的大小关系为 ． 【考点题型四】简单不等式（组）的解法 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 【变式4-1】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·山西·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【变式4-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式（组）： (1)； (2). 【考点题型五】一元二次不等式的解法 【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函数满足且，函数 (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值； (3)解关于的不等式. 【变式5-1】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【变式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【变式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 【变式5-4】（24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【考点题型六】由不等式（组）的解（集）求参数（范围） 【例6】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【变式6-1】（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【变式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【变式6-4】（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【考点题型七】不等式的判断与证明 【例7】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）（24-25高三上·湖南·期中）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】“配凑法”求最值 【例8】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【变式8-1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知，则有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【变式8-3】（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 【变式8-4】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 【考点题型九】“1”的代换求最值 【例9】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 【变式9-1】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．无最大值 D．有最小值 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值是 ． 【变式9-4】（24-25高一上·广东·期中）已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【考点题型十】“和”“积”共存式条件最值问题 【例10】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设正数，满足，则的最小值为 ． 【变式10-1】（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（    ） A．10 B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【变式10-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】均值不等式的实际应用 【例11】（24-25高一上·重庆·阶段练习）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． (1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【变式11-1】（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【变式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【考点题型十二】根据不等式成立、恒成立求参数（范围） 【例12】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【变式12-1】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高一上·福建福州·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是 . 【变式12-4】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数，，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)当时，图象始终在图象上方，求实数的取值范围； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式与不等式 【清单01】等式的性质 （1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立. （2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立. 【清单02】恒等式 1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等. 注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一. 2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd 【清单03】方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 【清单04】一元二次方程的解集 1.配方法解方程 （1）配方 （2）一元二次方程的解集： （3）一元二次方程的判别式：Δ=b2-4ac 【清单05】一元二次方程根与系数的关系 的两根记作x1，x2 则 【清单06】方程组的解集 1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集 2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法. 发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来. 【清单07】不等式的基本性质 性质1：a>b⇔a＋c>b＋c 性质2：a>b，c>0⇒ac>bc 性质3：a>b，c<0⇒ac<bc 性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性） 性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 推论1：a+b>c⇔a>c-b（移项法则） 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广） 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1） 推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 【清单08】证明不等式的方法 1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． 2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法. 3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q 5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论． 【清单09】不等式的重要结论 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 【清单10】不等式的解集与不等式组的解集 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 【清单11】绝对值不等式 1.绝对值的概念：． 2.含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 3.常见绝对值不等式的解 （1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． （2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 ①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集 ②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)， |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 4.如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B，即A（a）,B(b)，线段AB的中点M（x）则 (1)数轴上两点之间的距离公式:AB=|a-b| (2)数轴上的中点坐标公式: 5.拓广：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解． 【清单12】一元二次不等式的解法 1.概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2.形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3.一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 4.一元二次不等式的常见解法 （1）因式分解法； （2）配方法； （3）解一元二次不等式的一般步骤 ①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． ②判：计算对应方程的判别式． ③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． ④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 【清单13】分式不等式的解法 1.定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 2.常见类型：>0⇔f(x)g(x) >0，<0⇔f(x)·g(x)< 0. ≥0⇔ ⇔f(x)·g(x) >0或. ≤0⇔⇔f(x)·g(x) <0或 【清单14】均值不等式 1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为 2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． （2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab, 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大. ②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=, a≠b时，> a=b时，= 【清单15】均值不等式与最值 1.已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）． 特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！ 2.常用推论： （1）（） （2）（，）； （3） 【考点题型一】已知一元二次方程根与系数关系问题 【例1】（23-24高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据韦达定理及计算可得； （2）根据韦达定理及计算可得； （3）根据韦达定理及计算可得； （4）根据韦达定理及计算可得. 【详解】（1）因为、是方程的两个根， 所以，，所以. （2）. （3）. （4） . 【变式1-1】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 【变式1-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程求根公式分别求出，从而可求解. 【详解】方程的两个根为，由求根公式可得： ，或，； 当，时，； 当，时，， 综上可得. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）设是方程的两个实数根，则 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理，结合已知条件，转化求解表达式的值即可. 【详解】因为是方程的两个实数根， 所以， 即，且， 所以 故答案为：. 【变式1-4】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知，是方程的两个不等实根，则 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理即可得解. 【详解】因为，是方程的两个根， 所以，， 则. 故答案为：. 【考点题型二】含参数一元二次方程根与系数关系问题 【例2】（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解. 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴，∴. （2）∵方程有两实根，， ∴，∴， 且，， ∴， ，， ∴，或， ∵，∴. 【变式2-1】（24-25高一上·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理可求的值，问题可解. 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 【变式2-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程的两个实根分别为、，且，求实数的值. 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理，结合完全平方公式即可得解. 【详解】一元二次方程的两个实根分别为， 则， 所以，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意； 综上，. 【变式2-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程. (1)当时，设方程的两个实根分别为，求代数式的值； (2)若该方程有两个异号实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）利用韦达定理求出，代入即可； （2）利用韦达定理，满足两根之积小于零即可. 【详解】（1）当时，由韦达定理可得方程的两个实根满足，， 所以. （2）若方程有两个异号实根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【考点题型三】不等式性质及其应用 【例3】（多选）（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等性质直接判断AB选项，利用作差法可判断CD选项. 【详解】A选项：由，可知，则，A选项正确； B选项：当，时，满足，，此时，B选项错误； C选项：由，，则，，即，C选项错误； D选项：由，则，，即，D选项正确； 故选：AD. 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】赋值法验证A，由不等式的基本性质验证BD，作差法验证C. 【详解】对A，取，且成立，此时，故A错误； 对B，由与，则，所以，故B正确； 对C，， 因为，， 所以，所以，故C正确； 对D，由，得，又，所以，故D错误. 故选：BC 【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】应用不等式性质求目标式的范围. 【详解】由题设，则，即. 故答案为： 【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知，比较大小： ． 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】我们有. 而，故，所以. 故答案为：. 【变式3-4】（2024高三·全国·专题练习），，则，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比大小. 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 【考点题型四】简单不等式（组）的解法 【例4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 【答案】答案见解析 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分类讨论参数即可解. 【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论： ①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为． ②当，即时，原不等式可变为． 所以． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式4-1】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）不等式的最小整数解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解绝对值不等式 【分析】解不等式，可得出满足此不等式的的最小整数值. 【详解】当时，则，可得，此时，； 当时，则恒成立，此时，； 当时，则，解得，此时，. 综上所述，不等式的解集为， 则满足原不等式的最小整数解为， 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·山西·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或} D．或} 【答案】B 【知识点】分式不等式 【分析】将原不等式转化为一次不等式组或，再解不等式组可得解集． 【详解】因为，所以， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【答案】R 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为， 即，则，∴； 当时，原不等式化简为，即恒成立，∴； 当时，原不等式化简为，即，则，∴， 综上所述：. 故答案为：R 【变式4-4】（24-25高一上·上海·课堂例题）解下列不等式（组）： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集； （2）解不等式①和②，画出数轴，求出解集. 【详解】（1）去分母，得， 去括号，得， 移项化简，得， 所以不等式的解集为． （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图． 由图可知，不等式组的解集为． 【考点题型五】一元二次不等式的解法 【例5】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知二次函数满足且，函数 (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3)时，解集为；时，解集为；时，解集为. 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由已知可得的图象的对称轴为直线，设，求出，即可得到的解析式； （2）利用二次函数性质求出函数在区间上的最值. （3）不等式即，通过讨论和的大小，即可求解. 【详解】（1）因为二次函数满足， 所以二次函数的图象的对称轴为直线， 又，故设， 因为，所以，则， 所以，就. （2）由（1）知，的对称轴为直线，且开口向上， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为； （3）因为， 由（1）知，， 不等式即为， 即，即， 所以，当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 【变式5-1】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意得和3为方程的根，进而结合韦达定理求得的值，进而求解； （2）直接根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，和3为方程的根， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 所以不等式，即为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式5-3】（24-25高一上·湖南永州·期中）设函数，求不等式的解集； 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题设有，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】由题设，所以不等式化为， 解方程，又， 所以当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式5-4】（24-25高一上·山东·期中）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先根据已知不等式的解集，结合韦达定理，求出和的值，再将其代入后面的不等式，分类讨论进行求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，的解为或. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为.   综上所得，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【考点题型六】由不等式（组）的解（集）求参数（范围） 【例6】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求b，c的值； (2)若为非负实数，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根. 根据韦达定理，可得，. 解得，. （2）由（1）知，，则不等式为，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，，不等式的解为. 当时，不等式化为，即，此时不等式无解. 当时，，不等式的解为. 综上所得，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. 【变式6-1】（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含参数的一元一次不等式 【分析】根据解集确定集合包含关系，即可得参数范围. 【详解】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 【变式6-2】（多选）（24-25高一上·四川泸州·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 【变式6-3】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-4】（22-23高一上·天津滨海新·期中）设函数 (1)若不等式 的解集为 求 的值； (2)若 求不等式 的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据不等式的解集与对应的方程的根的关系，利用韦达定理列方程求解即可； （2）整理不等式可得，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则和3是方程的两个根， 得，解得， 所以. （2）若，则，即， 因为，所以， ①当时，不等式的解集为， ②当时，，不等式的解集为， ③当时，解集为， ④当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【考点题型七】不等式的判断与证明 【例7】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A选项，由，得，A错误；先利用基本不等式与将消去，再利用配方法转化为二次函数的形式求解判断B，C，D选项． 【详解】，,两式相加，得， 则，当且仅当时，等号成立，故A错误； 由，得， 当且仅当，时等号成立，故B正确； ，当且仅当，时，等号成立，故C正确； ，当且仅当，时，等号成立．又，故D正确． 故选：BCD． 【变式7-1】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 【变式7-2】（多选）（24-25高三上·湖南·期中）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 【变式7-3】（多选）（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】根据不等式的性质可判断A、B的正误；利用作差法可得C的正误；根据基本不等式可得D的正误. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确． 对于B，因为，，所以，所以，所以，故B正确． 对于C，因为，所以，故C错误． 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以，故D正确． 故选：ABD． 【变式7-4】（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据已知等式化简得出再应用基本不等式判断A,结合取值范围判断B，C,再应用立方和公式结合已知条件，应用不等式取等条件判断D. 【详解】由，得， 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； 取，，可得，，满足条件， 此时则，A错误； 由，得， 所以， 第二个等号在，即时成立，故两个等号不同时成立， 因此，D正确； 取，，可得，，满足条件， 此时，C错误； 故选：BD. 【考点题型八】“配凑法”求最值 【例8】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【变式8-1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知，则有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】结合基本不等式求解即可. 【详解】， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值. 故选：. 【变式8-3】（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 【变式8-4】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式进行求解，得到答案. 【详解】， 因为，故， 故， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：；. 【考点题型九】“1”的代换求最值 【例9】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，. (1)求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3 (2)1 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）构造得，再利用基本不等式即可； （2）构造得，再利用乘“1”法即可. 【详解】（1）因为，则， 由题意得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为3. （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为1. 【变式9-1】（24-25高一上·广西桂林·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式9-2】（多选）（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）设正实数，满足，则下列说法中正确的有（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．无最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件，结合基本不等式和二次函数的性质，求选项中算式的最值. 【详解】正实数，满足， 则有，当且仅当时等号成立，所以有最大值，A选项正确； ，当且仅当时等号成立，所以有最小值4，B选项错误； 正实数，满足，则，得， ， 由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，没有最大值，CD选项正确. 故选：ACD. 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由条件可得，然后利用“1”的代换构造乘积为定值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，得， 则， 当且仅当，且，即，时，等号成立． 所以的最小值是. 故答案为： 【变式9-4】（24-25高一上·广东·期中）已知正数满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）利用基本不等式可求的最大值； （2）根据，结合基本不等式可求得结果. 【详解】（1）由， 得，当且仅当时，等号成立， 则，得，即的最大值为1. （2）由，得， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 【考点题型十】“和”“积”共存式条件最值问题 【例10】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为正数，满足，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 【变式10-1】（24-25高一上·贵州毕节·期中）已知正数、满足，则的最小值等于（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一上·山西·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 【变式10-3】（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 又因为，即，整理可得， 且，，则，可得， 当且仅当，即，时，所以取得最大值． 故选：C. 【变式10-4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的取值范围为， 故选：C 【考点题型十一】均值不等式的实际应用 【例11】（24-25高一上·重庆·阶段练习）“守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． (1)要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； （2）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【变式11-1】（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用、不等式 【分析】根据题意，，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 【变式11-2】（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由，利用基本不等式取等条件可确定结果. 【详解】由，当且仅当 且，即时取等号， 因此经过后池水中药品的浓度达到最大． 故选：B． 【变式11-3】（24-25高一上·新疆和田·期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用 【分析】对于①，设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可判断①；对于②，③，④，记窗户面积为和地板面积为，同时根据②，③，④设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断②，③，④. 【详解】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有， 解得，所以这所公寓的窗户面积至少为，故①错误； 对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为， 同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故②正确； 对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确； 对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为 地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以， 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故④错误. 故选：B. 【变式11-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，； (2)20 (3)每次购买量在吨范围内. 【知识点】分式型函数模型的应用、一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意得到，； （2）表达出一年的总运费与总存储费用之和为，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 【考点题型十二】根据不等式成立、恒成立求参数（范围） 【例12】（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知二次函数，满足，且的解集为. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)的取值范围为. 【知识点】求二次函数的解析式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由求得，接着由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根，从而由韦达定理可求解. （2）先由“当时，恒成立”结合得到在上恒成立，从而，再利用基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）由题意可得，所以， 又因为的解集为， 所以由不等式的解集特征可得，且和是方程的两根， 所以， 所以函数的解析式为. （2）当时，恒成立， 所以由（1）知当时，恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 所以， 又因为，当且仅当即时等号成立， 所以， 所以，即的取值范围为. 【变式12-1】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知不等式，的解集为，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用二次不等式解集得到，从而利用基本不等式求得的范围，再利用换元法将不等式转化可得，进而利用二次函数性质解决恒成立问题，由此得解. 【详解】因为不等式，的解集为， 所以是方程，的两根， 所以，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 而不等式可化为， 所以， 则在上恒成立，即， 因为， 当且仅当时，即，等号成立， 所以，此时，，满足题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式12-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式12-3】（24-25高一上·福建福州·期中）若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法得到不等号后面的最小值，由一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】由已知可得， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以不等式有解即不等式有解， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：. 【变式12-4】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数，，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)当时，图象始终在图象上方，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程即可求解. （2）将原问题转换为在上恒成立，从而对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由不等式的解集为或， 所以方程的两个根为. 所以，经检验满足题意， 所以. （2）当时，，因为函数的图象始终在图象上方， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时，不恒成立，所以不合题意； 当时，依题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$