第二章 圆知识归纳与题型突破（11类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第二章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 1．圆的定义 　　（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2.点与圆的位置关系 判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 图文： 点P在⊙O 内 d＜r 点P在⊙O 上 d=r 点P在⊙O 外 d>r 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 4．与圆有关的角 　　圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 　　90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 图文： 所对的圆周角有、、、，它们都相等。 （同弧所对的圆周角相等） 5. 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 图文： 如图圆的内接四边形ABCD， 对角互补 ∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180° 外角等于内对角∠DCE=∠A 6.图形的旋转 　　在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.　 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 7.正多边形 　　各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 8.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 9.弧长及扇形的面积 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一　圆的对称性 例题：（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·北京·期中）点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 【答案】或/1或4 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，分别考虑点P在圆内和点P在圆外两种情况是解题的关键．根据点P在圆内时，圆的直径为最短距离与最长距离的和，点P在圆外时，圆的直径为最长距离与最短距离的差，由此即可得出答案． 【详解】若点P在圆内，如图①， 则，， ， 的半径为． 若点P在圆外，如图②， 则，， ， 的半径为． 故答案为：或． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了圆的基础知识，根据距离最长可得点是在圆的直径上的点，由此作图分析即可求解． 【详解】解：根据直径是圆中最长线段，作图如下， ∴， ∴圆的半径为， 故答案为：7 ． 题型二　圆心角、圆周角 例题：（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点，连接，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，如图， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识．先利用等边对等角求出，由三角形内角和定理求出，最后由圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴, 故选：A 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理；先根据圆周角定理计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数． 【详解】解：，而， ﹣． 故选：A． 5．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据，求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质等；由等腰三角形的性质得，由同弧所对的圆周角相等得，，由直径所对的圆周角为直角得，即可求解；掌握 圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， 故选：C． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，都是上的点，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，弧弦圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧弦圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧弦圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查圆周角定理及推论．熟练掌握圆周角定理及推论，三角形内角和定理和角平分线定义，是解题的关键． 根据圆周角定理及推论得到，，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解: ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：80． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形内接于，，为的中点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系，根据圆心角、弦、弧之间的关系得，则，求出的度数，再根据圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，若，，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，，进而即可得结论，熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/34度 【分析】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，由是的直径，得，利用圆内接四边形的性质求出，即可求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为． 题型三　垂径定理 例题：（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（   ） A．8 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理． 根据，，得到，在直角中，由勾股定理得，根据垂径定理得出的长． 【详解】解：，， ， ， 为直角三角形， 为直径，， 根据垂径定理 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，由垂径定理得，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：设的半径为， ∵弦于，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴，， 故选：A． 3．（九年级上·浙江温州·期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．过作于交于，求得，设半径为，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过作于交于，如图所示： 则， 设半径为，则， 根据勾股定理得，， 解得：， 这个球的直径为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，如果的半径为，弦，那么圆心到的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了是垂径定理以及勾股定理的应用，首先根据，可知，在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示， ， ， 在中，， ， 故选：A． 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：过O作交于点C，垂径定理可得，进而勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图：过O作交于点C，可得出， 由直径是，则半径， 在中，根据勾股定理得． 所以排水管内水的深度为：． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，则， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 题型四　过不共线三点作圆 例题：（24-25九年级上·全国·期末）请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 【答案】(1)图形见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图原理、圆周角定理，明确三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点是解决第一问的关键．能够综合运用圆周角定理及三角函数求解半径是解决第二问的关键． （1）分别作线段，的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作⊙，⊙即为所求． （2）根据圆周角定理由的度数得到，再根据等腰三角形‘三线合一’得到与的值，最后利用三角函数求得⊙的半径长即可． 【详解】（1）如图，⊙即为所求． （2）设的垂直平分线交于点，连接，． ． ． ，是的垂直平分线． ，． ． 即⊙ 的半径长为． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：连接，，，由图可知， ， ∴， ∴点在，，三边的垂直平分线上， ∴点是外心， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，上的高．则外接圆的半径长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一些简单的直角三角形的计算问题．作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，先求出，再由，即可求出直径，由此即可解题． 【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，过点A作直径交于G，连接，如图所示： 则，， 是的高， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， 即外接圆的半径长为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 4．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，．   (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹） (2)求它的外接圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查三角形外接圆的作法以及勾股定理解三角形，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）分别作和的中垂线，他们的交点就是圆心； （2）根据勾股定理得出，再由，确定半径即可求出面积． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求的的外接圆； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆的面积为：． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)图见详解 (2)这钢梁圆弧的半径长为 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 题型五　直线与圆的位置关系 例题5-1：（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 例题5-2：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系的判断方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：（1）直线和相交（如图）；（2）直线和相切（如图）；（3）直线和相离（如图）． 根据直线和圆的位置关系的判断方法直接判断即可得出答案． 【详解】解：圆心到直线的距离的半径， 直线与的位置关系是：相离， 故选：． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）若⊙的半径是，圆心到直线的距离是，则直线与⊙的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，理解判断方法是解题关键．直接根据直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：，，， 位置关系为相交， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作，则， 即， 解得， 当时，所作的圆与斜边相切， ∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当线段的两个端点、在上，连接，作于点，由，，得，则，因为与线段有两个交点，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出线段的两个端点、在上时，点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：如图，线段的两个端点、在上，连接，作于点，     的半径为3，， ，， ， ， 与线段有两个交点，点到直线的距离， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程0的两根是，， ∵，不符合题意，舍去， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故答案为：相切． 6．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 题型六　圆的切线的判定与性质 例题：（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接，根据是的直径，可知，根据，可得，再根据，可知，故是的切线； （2）根据，可知，则，根据，则，可得，故，可证； （3）设，证明可得，易证，故，在中，由勾股定理得，即求解即可． 【详解】（1）证明：如图∶连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵, ， ∴, ∴， ∴, ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得：（舍去）， 故． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆切线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的定义以及性质，由切线的定义得出，由直角三角形两锐角互余得出，由三角形外角的定义以及等边对等角即可得出答案． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），连接，根据同弧所对的圆周角相等得，再根据等边对等角得，然后根据圆周角定理得，最后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)3， 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，作垂足为H，连接，先证明是的平分线， ，然后由切线的判定定理进行证明即可； （2）根据勾股定理和直角三角形的性质可得、，设的半径为r，则，，然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得r，然后运用勾股定理求得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，作垂足为H，连接， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的平分线， ∵O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∵是的平分线，， ∴是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵，点D是边的中点， ∴， 设的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴，即，解得：， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点C， ∴于点E， ∵是的半径， ∴为的切线 （2）解：设半径为r， 在中，， ∴（， 解得： 即⊙O的半径为2.5． 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． （2）∵是的直径， ∴， ∵ ∴，     又∵在中， ， ∴． 7．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E． (1)求证∶是的切线 (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5； 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质． （1）连接，根据已知条件及各角之间的关系证明即可解决问题； （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）解：如图，取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长是 8．（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，由得到，再由和得到，即，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段，则． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 题型七　切线长定理 例题：（24-25九年级上·北京·期中）如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可． 【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，， ，，， 的周长为：， 故答案为：5． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、切线长定理，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可． 【详解】、分别切于、， ，， ， 、分别切于、，切于， ，， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 题型八　三角形的内切圆 例题：（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了外接圆半径和内接圆半径，根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半求出半径，根据直角三角形的面积公式求出内接圆半径． 【详解】解：∵中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半得圆的半径为4． ∴ ∴ 设内切圆半径为，则有， ∴此三角形内切圆的半径 故答案为：． 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心，熟练掌握三角形的内心的定义，三角形的内角和定理是解题的关键．由点是的内心，得出、分别平分、，结合计算出，进而得到，再利用三角形的内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：点是的内心， 、分别平分、， ，， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个三角形的内切圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的内切圆与内心，熟练掌握勾股定理和直角三角形的内切圆半径公式是解题的关键．先利用勾股定理得出直角三角形的斜边长为，再利用直角三角形的内切圆半径公式：（a、b是直角边，c为斜边）即可解答． 【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8， 直角三角形的斜边长为， 直角三角形的内切圆的半径为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）中，，点是内心，那么 ． 【答案】/124度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知在圆内接三角形中，，圆心O到的距离为，圆的半径为，则腰的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当圆心在内部时；②当圆心在外部时；由，可判定是的垂直平分线，进而可得，由题意可知，于是可求出的长，然后利用勾股定理可求出的长，进而可求得的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当圆心在内部时， 如图， ，， 是的垂直平分线， ， 由题意可知：， ， 根据勾股定理可得： ， ； ②当圆心在外部时， 如图， ，， 是的垂直平分线， ， 由题意可知：， ， 根据勾股定理可得： ， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心，解直角三角形，根据等边三角形的性质，当剪下的圆与等边三角形的三边相切时，圆的半径最大，求出等边三角形的内切圆的半径即可． 【详解】解：如图，当剪下的圆与等边三角形的三边都相切时，圆的半径最大， 设等边三角形的内切圆的圆心为O，与相切于点D，连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵等边三角形的内切圆的圆心为O， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∵是等边三角形纸片，， ∴， ∴， ∴， ∴，即r的最大值是， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是三角形的内切圆的性质，作出过切点的半径是解本题的关键； （1）如图，记，与切于点，，可得，，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）证明，， ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）如图，记，与切于点，， ∴，，， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， 是的内切圆， ， ， ， 故答案为：，． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2020次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8081， ， 故答案为：． 题型九　弧长 例题9-1：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：扇形的弧长为， 故答案为：． 例题9-2：（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ． 【答案】/ 【分析】先求解，，结合点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，在同一直线上，， ∴，， ∴点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长． ∴点A经过的最短路线长． 故答案为： 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式，学会通过题目的条件计算出圆心角的度数是解题的关键．根据题意，作出秋千的示意图，通过作垂线构造直角三角形计算出圆心角的度数，再代入弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，作出秋千的示意图（如图），其中，，， 作交于， 则， ， ， ， ， ， 即该秋千所荡过的圆弧长为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、勾股定理，由勾股定理可得长方形的对角线长为，结合第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，即可得出第一次走过的路径，再由第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，计算出第二次走过的路径，即可得解． 【详解】解：第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到， 长方形的对角线长为， 此次点走过的路径为， ∵第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角， ∴第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到， 此次点走过的路径为， ∴点翻滚到时，共走过的路径长为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，旋转的性质；根据旋转的性质可得点旋转经过的路线为为半径圆心角为的弧，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：依题意 ∴点旋转经过的路线长是， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：的长为， 故答案为： 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ． 【答案】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接．若，，则的长为 ．（结果保留） 【答案】// 【分析】本题考查平行线的性质，弧长公式，根据平行线的性质求得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的半径为，所对圆心角为， ∴． 故答案为： 题型十　扇形面积 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了圆周角定理、扇形面积公式以及勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． （1）连接，，由圆周角定理得，进而利用勾股定理即可得解； （2）利用求解即可． 【详解】（1）解：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的半径为； （2）解：由（）得，， ∴， ∴ ． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，扇形面积和三角形面积，根据圆周角定理得​，再由“阴影部分的面积扇形的面积的面积”即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积 ， 故选：． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，证明，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的内角和以及扇形的面积公式．解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和． 首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：五边形的内角和是：， 则阴影部分面积之和是：， 故选：B． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 7．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）在半径为2的圆中，一个扇形的圆心角是，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查求扇形面积，根据扇形面积公式为求解即可，也是解题关键． 【详解】解：这个扇形的面积是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则边扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式成为解题的关键． 根据旋转的性质得，由于点A、C、三点共线，即，可得；根据直角三角形的性质可得，最后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∵A，B，三点在同一直线上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴边扫过的面积为． 故答案为：． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 题型十一　正多边形与圆 例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：， 即这个多边形的边数是6，是正六边形． 故选：C． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，熟悉掌握中心角的求法是解题的关键． 根据外角的度数求出多边形的边数，再由中心角求解即可． 【详解】解：∵正多边形的一个外角等于， ∴，此正多边形为边形， ∴中心角， 故选：D． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质．熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的所有边都相等，所有内角都相等，结合等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：五边形为正五边形， ，， ， ， 故选C． 5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是正确作出辅助线．连接，过点A作于点M，求出的长即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点M， 在正八边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故选A． 6．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】为正五边形， ， ， 故选：D． 7．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 【答案】(1)； (2)这个正六边形的周长与面积分别为和． 【分析】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径． （1）连接，，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质即可得到结论； （2）由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】（1）解：连接，， 正六边形的半径等于边长， ，， ， ， ， ， ，； （2）解：如图，连接，，作于点， 由题意得； ∴正六边形的周长； ∴， 正六边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 1．圆的定义 　　（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. 　　（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 2.点与圆的位置关系 判定一个点P是否在⊙O上 　　设⊙O的半径为，OP=，则有 　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 图文： 点P在⊙O 内 d＜r 点P在⊙O 上 d=r 点P在⊙O 外 d>r 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 4．与圆有关的角 　　圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 　　90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 图文： 所对的圆周角有、、、，它们都相等。 （同弧所对的圆周角相等） 5. 圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 图文： 如图圆的内接四边形ABCD， 对角互补 ∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180° 外角等于内对角∠DCE=∠A 6.图形的旋转 　　在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.　 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 7.正多边形 　　各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 8.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 9.弧长及扇形的面积 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　要点诠释： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 题型一　圆的对称性 例题：（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 4．（24-25九年级上·北京·期中）点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 5．（2024九年级上·江苏·专题练习）平面上有及内一点，到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为 ． 题型二　圆心角、圆周角 例题：（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在内，若圆周角，则圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·天津静海·期中）如图，是的直径，点，在上，．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，都是上的点，若，则（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为 ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点D，则的度数是 度． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，四边形内接于，，为的中点，，则的度数为 ． 11．（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，若，，则 ． 12．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 题型三　垂径定理 例题：（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 巩固训练 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，则的长为（   ） A．8 B．4 C．6 D．2 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，线段是的直径，弦于．如果，，那么的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（九年级上·浙江温州·期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径 ． 4．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，如果的半径为，弦，那么圆心到的距离的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为 cm． 8．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 题型四　过不共线三点作圆 例题：（24-25九年级上·全国·期末）请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，，上的高．则外接圆的半径长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 4．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在中，，．   (1)作的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹） (2)求它的外接圆的面积． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 题型五　直线与圆的位置关系 例题5-1：（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 例题5-2：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 巩固训练 1．（2024九年级下·全国·专题练习）已知的半径为2，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法判断 2．（2025九年级下·全国·专题练习）若⊙的半径是，圆心到直线的距离是，则直线与⊙的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知的半径为3，线段，若与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知，的半径分别为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 6．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 题型六　圆的切线的判定与性质 例题：（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求证：； (3)若于D，，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 4．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 7．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，四边形是的内接四边形，为直径，平分；且的延长线于点E． (1)求证∶是的切线 (2)若，求的半径和的长． 8．（2023·广东深圳·三模）如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型七　切线长定理 例题：（24-25九年级上·北京·期中）如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 题型八　三角形的内切圆 例题：（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点是的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个三角形的内切圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．1 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）中，，点是内心，那么 ． 4．（24-25九年级上·山东临沂·期中）已知在圆内接三角形中，，圆心O到的距离为，圆的半径为，则腰的长为 ． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知是等边三角形纸片，，若从该纸片中剪下一个半径为的圆，则的最大值是 ． 6．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，…，依此规律，第2020次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 题型九　弧长 例题9-1：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为，圆心角度数为的扇形的弧长为 ． 例题9-2：（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为 ． 巩固训练 1．（2025九年级下·全国·专题练习）秋千拉绳长，静止时踩板离地面，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则点旋转经过的路线长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·云南昆明·期中）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 ． 7．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线、于、两点，连接．若，，则的长为 ．（结果保留） 题型十　扇形面积 例题：（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的直径，为的一条弦，，垂足为，已知． (1)求的半径； (2)求阴影部分的面积． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形，则图中的阴影部分的面积之和为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）在半径为2的圆中，一个扇形的圆心角是，则这个扇形的面积是 ． 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则边扫过的面积为 ． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 题型十一　正多边形与圆 例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 巩固训练 1．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（   ） A．3 B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知一正多边形的一个外角等于，则该正多边形的中心角等于（    ）． A． B． C． D． 4．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在圆内接正五边形中，对角线和相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正八边形内接于，的半径为2，连接，则（   ） A． B． C． D．2 6．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（   ） A．3 B． C．6 D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正六边形的半径为5． (1)求对角线的长； (2)求这个正六边形的周长与面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$