专题04一元一次方程及其应用（5题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题04 一元一次方程及其应用（5题型） 等式的基本性质 1．（2023秋•玉环市期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则am＝bm B．若a2＝b2，则a＝b C．若a＝b，则a+2＝b+3 D．若a＝b，则 2．（2023秋•莲都区期末）下列方程变形过程正确的是（　　） A．由x+3＝6，得x＝6+3 B．由5x＝3，得 C．由x+5＝1，得x＝5﹣1 D．由，得x＝0 3．（2023秋•婺城区期末）下列变形错误的是（　　） A．若a＝b，ac＝bc B．若a＝b，则a+c＝b+c C．若a＝b，则a2＝b2 D．若ac＝bc，则a＝b 4．（2023秋•杭州期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ax＝ay，则3﹣ax＝3+ay C．若a＝b，则ac2＝bc2 D．若ac2＝bc2，则a＝b 5．（2023秋•滨江区期末）已知a，b，c是实数，若ac＝bc，则（　　） A．a＝b B．a+c＝b﹣c C．ac2＝bc2 D．a2＝b2 6．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 一元一次方程的解法 1．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 2．（2023秋•新昌县期末）把方程的分母化为整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•莲都区期末）整式kx﹣2b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式kx﹣2b对应的值，则关于x的方程kx＝2（b+2）的解为 　 　． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 kx﹣2b ﹣8 ﹣5 ﹣2 1 4 4．（2023秋•舟山期末）小舟同学解方程的过程如下框： 解：3x＝1﹣2x﹣1 5x＝0 x＝0 你认为小舟的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 5．（2023秋•莲都区期末）解方程． （1）3x＝10﹣2x； （2）． 6．（2023秋•南浔区期末）解方程：． 7．（2023秋•椒江区校级期末）计算，解方程： （1）211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365； （2）． 一元一次方程的解 1．（2023秋•南浔区期末）方程3x﹣a＝8的解是x＝2，则a等于（　　） A．14 B．﹣14 C．2 D．﹣2 2．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 3．（2023秋•镇海区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣2b＝3的解，则6a﹣4b+5的值为 　 　． 4．（2023秋•嘉兴期末）已知a为实数，关于x的方程的解为x＝5，则关于y的方程的解为y＝　 　． 5．（2023秋•路桥区期末）解关于x的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“﹣1”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为x＝2，则方程的正确的解为 　 　． 从实际问题抽象出一元一次方程 1．（2023秋•东阳市期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多10分钟，如果设上学路上所花的时间为x小时，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D．4x＝3（x﹣10） 2．（2023秋•江北区期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 3．（2023秋•台州期末）我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 4．（2023秋•衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为3m的草坪．若草坪总面积为90m2，设雕塑的底面边长为x m，则有（　　） A．2×3x+3（x+3）＝90 B．2×3（x+3）+3x＝90 C．3×3（x+3）＝90 D． 5．（2023秋•拱墅区期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载了这样一题：“今有程传委输（驿站受托运粮），空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返（五天往返三趟）．问太仓去（距离）上林几何（多远）？”用现在的解法，设太仓到上林的距离为x里，可列方程（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•嵊州市期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为　 　． 一元一次方程的应用 1．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 2．（2023秋•松阳县期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为（　　） A．56cm B．57cm C．58cm D．59cm 3．（2023秋•上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000元，那么此人的住院医疗费是（　　） 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500～1000元的部分 60 超过1000～3000元的部分 80 … … A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元 4．（2023秋•武义县期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息（如图）．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米/小时． （1）汽车原来的速度是 　 　千米/小时． （2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是 　 　分钟． 5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题． 欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）． 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 6．（2023秋•南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有A、B、C三种型号的灯笼，已知A种灯笼的单价比B种灯笼的单价多9元，C种灯笼单价20元/盏． （1）学校决定购买A种灯笼30盏，B种灯笼40盏，且购买A、B两种灯笼的费用相同，请问A、B两种灯笼的单价分别是多少？ （2）商家节日期间为了促销，A种灯笼每盏降价6元，B种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在A、B灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买C种灯笼．问C种灯笼可以购买多少盏？ 7．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨＜用水量≤21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 14×3.35+（15﹣14）×5.02＝51.92（元） 污水处理费 15×0.95＝14.25（元） 水费 14×4.3+（15﹣14）×5.97＝66.17（元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 1．（2023秋•武义县期末）下列说法中，错误的是（　　） A．若mx＝my，则mx﹣my＝0 B．若mx＝my，则x＝y C．若mx＝my，则mx+my＝2my D．若x＝y，则mx＝my 2．（2023秋•义乌市期末）已知2a＝b+1，那么下列等式中不成立的是（　　） A．2a+1＝b+2 B．2a﹣b＝1 C． D．4a＝2b+1 3．（2023秋•江北区期末）小马虎在解关于x的方程3a+x＝7﹣a时，错把+x看成了﹣x，解得x＝2．则a的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•婺城区期末）多项式mx﹣n和﹣2mx+n（m，1为实数，且m≠0）的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是（　　） x 1 2 3 4 mx﹣n ﹣2 ﹣1 0 1 ﹣2mx+n 1 ﹣1 ﹣3 ﹣5 A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 6．（2023秋•嵊州市期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（　　） A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm 9．（2023秋•长兴县期末）观察下表，写出关于x的方程2x+1＝ax﹣2的解是 　 　． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 2x+1 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 … ax﹣2 … ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 10．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝　 　． 11．（2023秋•诸暨市期末）已知关于x的方程x+2x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23（y+21）＝m的解是y＝　 　． 12．（2023秋•南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得20%的利润，则这件羽绒衣的标价是 　 　元． 13．（2023秋•越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 　 　人． 14．（2023秋•慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．则天头长为 　 　cm． 15．（2023秋•鄞州区期末）解方程： （1）4x﹣3＝2（x﹣1）； （2）解方程：． 16．（2023秋•东阳市期末）解方程： （1）6+2（x﹣4）＝x； （2）． 17．（2023秋•路桥区期末）定义：若关于x的一元一次方程mx＝n的解为x＝n+2m，则称该方程为“和合”方程，例如：一元一次方程2x＝﹣8的解为x＝﹣8+2×2＝﹣4，则方程2x＝﹣8为“和合”方程． （1）若关于x的一元一次方程3x＝a是“和合”方程，求a的值； （2）若关于x的一元一次方程6x＝ab+b是“和合”方程，求ab+b的值． 18．（2023秋•武义县期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式． 例：将化为分数形式． 设，由可知，10x＝7.77⋯，所以10x＝7+x，解得．于是，得． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果都用最简分数表示） 【理解】　 　． 【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．（温馨提示：，它的循环节有两位哦！） 【创新】若，则　 　． 19．（2023秋•仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为160km的单轨普速铁路．客车以150km/h的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 11：03 11：25 11：53 12：04 12：23 驶出时间 11：05 11：27 11：55 12：07 （1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）． （2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程及其应用（5题型） 等式的基本性质 1．（2023秋•玉环市期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则am＝bm B．若a2＝b2，则a＝b C．若a＝b，则a+2＝b+3 D．若a＝b，则 【分析】熟记等式性质即可解答． 【解答】解：∵等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴若 a＝b，则a+2＝b+2，故C错误； ∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴若 a＝b，则am＝bm，故A正确； 若a＝b，c＝0，则不成立，故D错误； 若a2＝b2，则a＝b或a+b＝0，故B错误； 故选：A． 2．（2023秋•莲都区期末）下列方程变形过程正确的是（　　） A．由x+3＝6，得x＝6+3 B．由5x＝3，得 C．由x+5＝1，得x＝5﹣1 D．由，得x＝0 【分析】AC．根据等式的基本性质1计算即可； BD．根据等式的基本性质2计算即可． 【解答】解：将x+3＝6的两边同时减3，得x＝6﹣3， ∴A不正确，不符合题意； 将5x＝3的两边同时除以5，得x， ∴B不正确，不符合题意； 将x+5＝1的两边同时减5，得x＝1﹣5， ∴C不正确，不符合题意； 将x＝0的两边同时除以，得x＝0， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•婺城区期末）下列变形错误的是（　　） A．若a＝b，ac＝bc B．若a＝b，则a+c＝b+c C．若a＝b，则a2＝b2 D．若ac＝bc，则a＝b 【分析】根据等式的性质即可作出判断． 【解答】解：A、根据等式的性质2，可知若a＝b，ac＝bc正确； B、根据等式性质1，可得若a＝b，则a+c＝b+c正确； C、根据等式性质1可知，若a＝b，则a2＝b2，正确； D、当c＝0时，a≠b仍成立，故若ac＝bc，则a＝b错误． 故选：D． 4．（2023秋•杭州期末）下列说法正确的是（　　） A．若a＝b，则a+c＝b﹣c B．若ax＝ay，则3﹣ax＝3+ay C．若a＝b，则ac2＝bc2 D．若ac2＝bc2，则a＝b 【分析】A．利用等式的基本性质1判断即可； B．利用等式的基本性质1和2判断即可； C、D利用等式的基本性质2判断即可． 【解答】解：将a＝b等号两边同时加c，得a+c＝b+c， ∴A不正确，不符合题意； 将ax＝ay等号两边同时乘以﹣1，得﹣ax＝﹣ay， 再将﹣ax＝﹣ay等号两边同时加3，得3﹣ax＝3﹣ay， ∴B不正确，不符合题意； 将a＝b等号两边同时乘以c2，得ac2＝bc2， ∴C正确，符合题意； 当c≠0时，将ac2＝bc2等号两边同时除以c2，得a＝b； 当c＝0时，a和b均为任意值，二者不一定相等， ∴D不正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2023秋•滨江区期末）已知a，b，c是实数，若ac＝bc，则（　　） A．a＝b B．a+c＝b﹣c C．ac2＝bc2 D．a2＝b2 【分析】ACD．根据等式的基本性质2判断即可； B．根据等式的基本性质2和1判断即可． 【解答】解：若c≠0，将ac＝bc的两边同时除以c，得a＝b； 若c＝0，a与b为任意值，a＝b不一定成立； ∴A不正确，不符合题意． 若c≠0，将ac＝bc的两边同时除以c，得a＝b，再将a＝b的两边同时加c，得a+c＝b+c； 若c＝0，a与b为任意值，a＝b不一定成立； ∴B不正确，不符合题意． 将ac＝bc的两边同时乘以c，得ac2＝bc2， ∴C正确，符合题意． 若c≠0，将ac＝bc的两边同时除以c，得a＝b，将a＝b的两边同时乘以a，得a2＝ab，将a＝b的两边同时乘以b，得ab＝b2， ∴a2＝b2； 若c＝0，a与b为任意值，a＝b不一定成立， ∴a2＝b2不一定成立； ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 6．（2023秋•郧阳区期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　） A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴2x+y＝350，x+2y＝400， 相加得：3x+3y＝750， ∴x+y＝250． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 一元一次方程的解法 1．（2023秋•金东区期末）解方程2﹣3（2﹣3x）＝2，去括号正确的是（　　） A．2﹣6﹣9x＝2 B．2﹣6﹣3x＝2 C．2﹣6+9x＝2 D．2﹣6+3x＝2 【分析】根据去括号法则进行变形即可． 【解答】解：2﹣3（2﹣3x）＝2， 去括号，得2﹣6+9x＝2． 故选：C． 2．（2023秋•新昌县期末）把方程的分母化为整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分数的基本性质进行变形即可． 【解答】解：， 化简得：1． 故选：B． 3．（2023秋•莲都区期末）整式kx﹣2b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式kx﹣2b对应的值，则关于x的方程kx＝2（b+2）的解为 　x＝2　． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 kx﹣2b ﹣8 ﹣5 ﹣2 1 4 【分析】根据x＝0，kx﹣2b＝﹣2和x＝1，kx﹣2b＝1，得到关于k和b的二元一次方程并求解，将k和b的值代入kx＝2（b+2）解方程即可． 【解答】解：根据x＝0，kx﹣2b＝﹣2和x＝1，kx﹣2b＝1，得， 解得， 把代入kx＝2（b+2），得3x＝2（1+2）， 解得x＝2． 故答案为：x＝2． 4．（2023秋•舟山期末）小舟同学解方程的过程如下框： 解：3x＝1﹣2x﹣1 5x＝0 x＝0 你认为小舟的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可， 【解答】解：小舟的解法错误， 解：3x＝1﹣2x﹣1 5x＝0 x＝0 （×） ， 去分母得：3x＝6﹣2（x﹣1）， 去括号得：3x＝6﹣2x+2， 整理得：5x＝8， 解得：． 5．（2023秋•莲都区期末）解方程． （1）3x＝10﹣2x； （2）． 【分析】根据一元一次方程的求解步骤作答即可． 【解答】解：（1）移项，得3x+2x＝10， 合并同类项，得5x＝10， 两边同除以5，得x＝2． （2）去分母，得2（3x﹣1）＝12﹣（4x﹣1）， 去括号，得6x﹣2＝12﹣4x+1， 移项，得6x+4x＝12+1+2， 合并同类项，得10x＝15， 两边同除以10，得x． 6．（2023秋•南浔区期末）解方程：． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去分母，可得：6﹣2（2x﹣1）＝x+5， 去括号，可得：6﹣4x+2＝x+5， 移项，可得：﹣4x﹣x＝5﹣6﹣2， 合并同类项，可得：﹣5x＝﹣3， 系数化为1，可得：x＝0.6． 7．（2023秋•椒江区校级期末）计算，解方程： （1）211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365； （2）． 【分析】（1）按照乘法分配律进行简便计算； （2）等式两边同时乘1，去掉分母；再去括号；最后系数化为1，求出方程的解． 【解答】解：（1）211×（﹣455）+365×455﹣211×545+545×365 ＝211×（﹣455﹣545）+365×（545+455） ＝﹣211000+365000 ＝154000； （2） 10（0.3x﹣0.2）﹣2（x+1）＝3×1 3x﹣2﹣2x﹣2＝3 x＝7． 一元一次方程的解 1．（2023秋•南浔区期末）方程3x﹣a＝8的解是x＝2，则a等于（　　） A．14 B．﹣14 C．2 D．﹣2 【分析】将x＝2代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【解答】解：将x＝2代入原方程得3×2﹣a＝8， 解得：a＝﹣2， ∴a的值为﹣2． 故选：D． 2．（2023秋•椒江区校级期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝（　　） A．﹣5 B．0 C． D． 【分析】要使一元一次方程无解，则需要一次项系数为0，常数项不等于0，根据这个知识点可以得到关于a的方程，从而求解即可． 【解答】解：由原方程得：2ax+10a﹣3x﹣1＝0， 即（2a﹣3）x＝1﹣10a， 要使方程无解，则2a﹣3＝0， 解得：a， 故选：C． 3．（2023秋•镇海区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣2b＝3的解，则6a﹣4b+5的值为 　11　． 【分析】将x＝3代入方程ax﹣2b＝3得3a﹣2b＝3，再将3a﹣2b＝3整体代入6a﹣4b+5之中即可得出答案． 【解答】解：∵x＝3是关于x的方程ax﹣2b＝3的解， ∴3a﹣2b＝3， ∴6a﹣4b+5＝2（3a﹣2b）+5＝2×3+5＝11． 故答案为：11． 4．（2023秋•嘉兴期末）已知a为实数，关于x的方程的解为x＝5，则关于y的方程的解为y＝　7　． 【分析】两个方程形式相似，第一个方程的解为x＝5，则第二个方程中y﹣2与x对应，可得y﹣2＝5，可得结果． 【解答】解：关于x的方程的解为x＝5， 则 ， ∴y﹣2＝5， ∴y＝7． 故答案为：7． 5．（2023秋•路桥区期末）解关于x的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“﹣1”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为x＝2，则方程的正确的解为 　x＝1　． 【分析】根据“在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2”可得x＝2是方程3（3x﹣a）＝2（2x+1）﹣1的解，进而求出a的值，再根据求解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【解答】解：由题意得， x＝2是方程3（3x﹣a）＝2（2x+1）﹣1的解， 所以3（6﹣a）＝2（4+1）﹣1， 解得a＝3， 则正确解为： 去分母得，3（3x﹣3）＝2（2x+1）﹣6， 去括号得，9x﹣9＝4x+2﹣6， 移项合并同类项得，5x＝5， 系数化为1得，x＝1． 故答案为：x＝1． 从实际问题抽象出一元一次方程 1．（2023秋•东阳市期末）小明以每小时4千米的速度从家步行到学校上学，放学时以每小时3千米的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多10分钟，如果设上学路上所花的时间为x小时，根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D．4x＝3（x﹣10） 【分析】根据放学及上学路上所花时间之间的关系，可得出放学路上所花的时间为（x）小时，利用路程＝速度×时间，结合从家到学校的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：∵放学路上比上学所花的时间多10分钟，上学路上所花的时间为x小时， ∴放学路上所花的时间为（x）小时． 根据题意得：4x＝3（x）． 故选：A． 2．（2023秋•江北区期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 【分析】设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设有牧童x人， 根据题意可列方程为：6x+14＝8x﹣2， 故选：A． 3．（2023秋•台州期末）我国古代《孙子算经》中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是“每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”若设有x个人，则可列方程是（　　） A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9 C． D． 【分析】设有x个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可． 【解答】解：设有x个人，则可列方程：． 故选：C． 4．（2023秋•衢江区期末）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右侧及后方种植宽度均为3m的草坪．若草坪总面积为90m2，设雕塑的底面边长为x m，则有（　　） A．2×3x+3（x+3）＝90 B．2×3（x+3）+3x＝90 C．3×3（x+3）＝90 D． 【分析】根据图形可知左右侧草坪面积都为3（x+3），后面剩下的草坪面积为3x，再根据草坪总面积为90m2，即可得到方程2×3（x+3）+3x＝90． 【解答】解：由图可得， 2×3（x+3）+3x＝90， 故选：B． 5．（2023秋•拱墅区期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载了这样一题：“今有程传委输（驿站受托运粮），空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返（五天往返三趟）．问太仓去（距离）上林几何（多远）？”用现在的解法，设太仓到上林的距离为x里，可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】利用时间＝路程÷速度，结合五天往返三趟（即往返一趟需天），即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 6．（2023春•嵊州市期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托为5尺，那么索和竿各为几尺？设竿为x尺，可列方程为　（x+5）＝x﹣5　． 【分析】设竿为x尺，则索为（x+5）尺，根据“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程． 【解答】解：设竿为x尺，则索为（x+5）尺， 根据题意得：（x+5）＝x﹣5， 故答案为：（x+5）＝x﹣5． 一元一次方程的应用 1．（2023秋•路桥区期末）某种商品的进价为80元，出售时的标价为110元．为了尽快减少库存，商店准备打折出售，但要使利润率为10%，则该商品应打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【分析】设该商品打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该商品打x折销售， 根据题意得：11080＝80×10%， 解得：x＝8， ∴该商品打8折销售． 故选：C． 2．（2023秋•松阳县期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为（　　） A．56cm B．57cm C．58cm D．59cm 【分析】根据题中所给图形，求出一个杯子高度及叠放后每个杯子漏出部分的高度即可得到答案． 【解答】解：由图可知，右边8个杯子叠放高度比左边3个杯子高15﹣10＝5（cm）， ∴杯子叠放后每个杯子漏出来部分的高度为5÷5＝1cm，则一个杯子高度为10﹣2＝8（cm）， ∴把这50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为8+49＝57（cm）， 故选：B． 3．（2023秋•上城区期末）某医疗保险产品对住院病人的费用实行分段报销，报销细则如下表．如甲的住院医疗费为800元，其中报销部分为180元，自付部分为620元．若某人住院医疗费的自付部分是1000元，那么此人的住院医疗费是（　　） 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500～1000元的部分 60 超过1000～3000元的部分 80 … … A．2500元 B．2000元 C．1750元 D．1250元 【分析】设此人的住院医疗费是x元，根据此人住院医疗费的自付部分是1000元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设此人的住院医疗费是x元， 根据题意得：500+（1000﹣500）×（1﹣60%）+（x﹣1000）×（1﹣80%）＝1000， 解得：x＝2500， ∴此人的住院医疗费是2500元． 故选：A． 4．（2023秋•武义县期末）元旦假期，东东一家自驾出游，汽车匀速行驶在山路上，东东每隔1小时提示一次里程信息（如图）．10点后进入景区，汽车沿景区门口到景点的观光车路线匀速行驶，速度比原来减少9千米/小时． （1）汽车原来的速度是 　45　千米/小时． （2）若所有的观光车都以相同的速度匀速行驶，景区门口站和景点站每隔相同的固定时间发一辆车，东东在自家汽车上看到，每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，上下车的时间忽略不计，则观光车从站点开出的间隔时间是 　15　分钟． 【分析】（1）设8：00看到的里程数的十位数字为x，则个位数字为（7﹣x），根据汽车匀速行驶，得到每小时的路程相等，列出方程进行求解即可； （2）设观光汽车的速度为每分钟y米，根据每15分钟超过一辆观光车，每5分钟有一辆观光车迎面开来，列出方程求出y的值，进而求出间隔时间即可． 【解答】解：设8：00看到的里程数的十位数字为x，则个位数字为（7﹣x）， 由题意得：10（7﹣x）+x﹣[10x+（7﹣x）]＝100x+（7﹣x）﹣[10（7﹣x）+x]， 解得：x＝1， ∴7﹣x＝6， ∴汽车的速度为：（61﹣16）÷1＝45（千米/小时）； 故答案为：45； （2）设观光汽车的速度为每分钟y米， 由题意得：东东自家汽车的速度为45﹣9＝36千米/小时， 36千米/小时＝600米/分钟， ∴3， 解得：y＝300米/分钟， ∴观光车从站点开出的间隔时间是15×（600﹣300）÷5＝15分钟； 故答案为：15． 5．（2023秋•东阳市期末）列方程解应用题． 欧尚超市恰好用3200元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的与少10件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：每件商品获利＝售价﹣进价）． 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ 【分析】（1）设该商场购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x﹣10）件，所以购进这两种商品需要的总钱数为[20x+30×（x﹣10）]元，于是列方程得20x+30×（x﹣10）＝3200，解方程求出x的值，再求出代数式x﹣10的值即可； （2）甲、乙两种商品每件的利润分别为（25﹣20）元、（40﹣30）元，即可由（25﹣20）×100+（40﹣30）×40求得将购进的甲、乙两种商品全部卖完共可获利900元． 【解答】解：（1）设该商场购进甲种商品x件，则购进乙种商品（x﹣10）件， 根据题意得20x+30×（x﹣10）＝3200， 解得x＝100， ∴x﹣10100﹣10＝40， 答：该商场购进甲种商品100件、乙两种商品40件． （2）（25﹣20）×100+（40﹣30）×40＝900（元）， 答：该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润900元． 6．（2023秋•南浔区期末）南浔区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰．某商家有A、B、C三种型号的灯笼，已知A种灯笼的单价比B种灯笼的单价多9元，C种灯笼单价20元/盏． （1）学校决定购买A种灯笼30盏，B种灯笼40盏，且购买A、B两种灯笼的费用相同，请问A、B两种灯笼的单价分别是多少？ （2）商家节日期间为了促销，A种灯笼每盏降价6元，B种灯笼每盏降价2元．购买三种灯笼的顾客，所有商品价格一律九折．根据灯笼价格变化，学校发现在A、B灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购买C种灯笼．问C种灯笼可以购买多少盏？ 【分析】（1）设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为（x+9）元，根据购买A、B两种灯笼的费用相同列出方程求解即可得到A、B两种灯笼的单价； （2）根据A种灯笼降价又打折后的总价格+B种灯笼降价又打折后的总价格+C种灯笼打折后的总价钱＝原价购买A种灯笼30盏，B种灯笼40盏的价钱，把相关数值代入求解即可． 【解答】解：（1）设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为（x+9）元，根据题意，得： 30（x+9）＝40x． 解得：x＝27． ∴x+9＝36． 答：A种灯笼的单价为36元，B种灯笼的单价为27元； （2）设C种灯笼可以购买y盏． （36﹣6）30+（27﹣2）40+20y＝30×36+40×27． 810+900+18y＝1080+1080． 解得：y＝25． 答：C种灯笼可以购买25盏． 7．（2023秋•舟山期末）根据如表素材，探索未完成任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量≤14吨）：水费为4.3元/吨，其中自来水为3.35元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第二阶梯（14吨＜用水量≤21吨）：水费为5.97元/吨，其中自来水为5.02元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 第三阶梯（用水量＞21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10.05元/吨，污水处理费为0.95元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 14×3.35+（15﹣14）×5.02＝51.92（元） 污水处理费 15×0.95＝14.25（元） 水费 14×4.3+（15﹣14）×5.97＝66.17（元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为66.98元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费209.01元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【分析】（1）先判断12月份用水量超过14吨不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，再建立方程求解即可； （2）根据分段收费的分式分三种情况分别列代数式即可； （3）由6月份用水量超过5月份用水量，设该用户5月份的用水量为x吨，6月份的用水量为（42﹣x）吨，再分两种情况分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵3.35×14＝46.9＜66.98＜3.35×14+7×5.02＝82.04， ∴12月份用水量超过14吨不超过21吨， 设该用户12月份的用水量为x吨， 3.35×14+5.02（x﹣14）＝66.98， 解答x＝18， 18×0.95＝17.1（元）， 答：设该用户12月份的污水处理费为17.1元； （2）当a≤14时，应缴水费为4.3a元； 当14＜a≤21时，应缴水费为14×4.3+5.97（a﹣14）＝（5.97a﹣23.38）元； 当a＞21时，应缴水费为14×4.3+7×5.97+11（a﹣21）＝（11a﹣129.01）元； （3）设该用户5月份的用水量为x吨，6月份的用水量为（42﹣x）吨， 当x≤14时，4.3x+11（42﹣x）﹣129.01＝209.01， 解答x≈18.5＞14（不合题意，舍去）， 14＜x＜21时，5.97x﹣23.38+11（42﹣x）﹣129.01＝209.01， 解得：x＝20， ∴42﹣20＝22， 答：该户居民5，6月份各用水20吨和22吨． 1．（2023秋•武义县期末）下列说法中，错误的是（　　） A．若mx＝my，则mx﹣my＝0 B．若mx＝my，则x＝y C．若mx＝my，则mx+my＝2my D．若x＝y，则mx＝my 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可得． 【解答】解：A、若mx＝my，则mx﹣my＝0，此选项正确； B、若mx＝my，当m≠0时，x＝y，此选项错误； C、若mx＝my，则mx+my＝2my，此选项正确； D、若x＝y，则mx＝my，此选项正确； 故选：B． 2．（2023秋•义乌市期末）已知2a＝b+1，那么下列等式中不成立的是（　　） A．2a+1＝b+2 B．2a﹣b＝1 C． D．4a＝2b+1 【分析】AB．利用等式的基本性质1判断即可； CD．利用等式的基本性质2判断即可． 【解答】解：将2a＝b+1的两边同时加1，得2a+1＝b+2， ∴A成立，不符合题意； 将2a＝b+1的两边同时减b，得2a﹣b＝1， ∴B成立，不符合题意； 将2a＝b+1的两边同时除以2，得ab， ∴C成立，不符合题意； 将2a＝b+1的两边同时乘以2，得4a＝2b+2， ∴D不成立，符合题意． 故选：D． 3．（2023秋•江北区期末）小马虎在解关于x的方程3a+x＝7﹣a时，错把+x看成了﹣x，解得x＝2．则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得：把x＝2代入方程3a﹣x＝7﹣a中得：3a﹣2＝7﹣a，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：把x＝2代入方程3a﹣x＝7﹣a中得： 3a﹣2＝7﹣a， 3a+a＝7+2， 4a＝9， a， 故选：B． 4．（2023秋•诸暨市期末）把方程的分母化成整数，结果应为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， 16， 故选：D． 5．（2023秋•婺城区期末）多项式mx﹣n和﹣2mx+n（m，1为实数，且m≠0）的值由x的取值决定，下表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是（　　） x 1 2 3 4 mx﹣n ﹣2 ﹣1 0 1 ﹣2mx+n 1 ﹣1 ﹣3 ﹣5 A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】根据表格确定出方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解即可． 【解答】解：当x＝2时，﹣mx+n＝1， 当x＝2时，2mx﹣n＝1， 则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是x＝2． 故选：B． 6．（2023秋•嵊州市期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设乙出发x日，甲乙相逢，则甲、乙分别所走路程占总路程的和，进而得出等式． 【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，故可列方程为： 1． 故选：D． 7．（2023秋•玉环市期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了x天，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲一共工作了（x﹣9）天，乙一共工作了x天， 故可列方程， 故选：B． 8．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（　　） A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm 【分析】根据题意，得等量关系为：将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，则水面下降了（5﹣4）cm，说明容器的底面积是两个玻璃棒底面积的6倍，设设两个玻璃棒底面积为x，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）+x（h﹣m），解方程即可求解． 【解答】解：设两个玻璃棒底面积为x，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m cm， 依题意得：y（h﹣1）＝yh﹣2xh+x（h﹣5）+x（h﹣1）， 解得y＝6x． 再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）+x（h﹣m）， 解得m＝8.5， 故乙玻璃棒露出水面部分高度为8.5cm． 故选：D． 9．（2023秋•长兴县期末）观察下表，写出关于x的方程2x+1＝ax﹣2的解是 　x＝﹣2　． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 2x+1 … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 … ax﹣2 … ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 【分析】根据表格可知：当x＝﹣2时，2x+1＝ax﹣2＝﹣3，再得出方程的解即可． 【解答】解：根据表格可知：当x＝﹣2时，2x+1＝﹣3，ax﹣2＝﹣3， 即2x+1＝ax﹣2， 所以关于x的方程2x+1＝ax﹣2的解是x＝﹣2． 故答案为：x＝﹣2． 10．（2023秋•婺城区期末）已知a，b为实数，且关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6，则关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝　7　． 【分析】根据第一个方程的解是x＝6得出第二个方程中y﹣1＝﹣6，再求出y即可． 【解答】解：∵关于x的方程x﹣ax＝b的解为x＝6， ∴关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b中y﹣1＝6， 解得：y＝7， 即关于y的方程（y﹣1）﹣a（y﹣1）＝b的解为y＝7， 故答案为：7． 11．（2023秋•诸暨市期末）已知关于x的方程x+2x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23（y+21）＝m的解是y＝　0　． 【分析】由整体思想可得y+21＝21，即可求y＝0． 【解答】解：∵方程y+23（y+21）＝m可变形为（y+21）+2（y+21）＝m， ∴方程 y+23（y+21）＝m和方程（y+21）+2（y+21）＝m同解， ∵方程x+2x＝m的解是x＝21， ∴y+21＝x＝21， ∴y＝0， 故答案为：0． 12．（2023秋•南浔区期末）元旦期间南浔某商场进行促销活动，把一件进价为600元的羽绒衣，按照标价的八折出售后仍可获得20%的利润，则这件羽绒衣的标价是 　900　元． 【分析】设这件衬衫的标价是x元，利用利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出这件衬衫的标价． 【解答】解：设这件衬衫的标价是x元， 依题意得：80%x﹣600＝600×20%， 解得：x＝900． 故答案为：900． 13．（2023秋•越城区校级期末）某次考试以70分为合格分数线，全班的总平均分为76分，而所有成绩合格学生的平均分为81分，所有成绩不合格学生的平均分为66分，为了减少不合格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上5分，加分之后，所有成绩合格学生的平均分变为85分，所有成绩不合格学生的平均分变为69分，已知该班学生人数在30到40人之间，则该班有学生 　36　人． 【分析】设成绩合格的学生有x人，成绩不合格的学生有y人，给不及格的学生加上5分成为及格的学生有n人，列出81x+66y＝76（x+y）和（76+5）（x+y）＝85（x+n）+69（y﹣n），根据范围进行求解即可． 【解答】解：设成绩合格的学生有x人，成绩不合格的学生有y人，给不及格的学生加上5分成为及格的学生有n人， 81x+66y＝76（x+y）， 解得：x＝2y， 加分后可得：（76+5）（x+y）＝85（x+n）+69（y﹣n）， 整理得：x+4n﹣3y＝0， ∴2y+4n﹣3y＝0， 解得：y＝4n， 全班人数为：x+y＝3y＝12n， ∵该班学生人数在30到40人之间， ∴30≤12n≤40， ∵n是正数， ∴n＝3， ∴x+y＝12n＝36， ∴全班人数为36人； 故答案为：36． 14．（2023秋•慈溪市期末）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，一般情况下，天头长和地头长的比为3：2，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．若某副对联长为100cm，宽为26cm，装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2．则天头长为 　31.5　cm． 【分析】设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为cm，根据装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2列出方程即可解得x的值，从而可得答案． 【解答】解：设天头长为3x cm，则地头长为2x cm，边宽为cm， ∵装裱后的周长与装裱前的周长比为3：2， ∴， 解得x＝10.5， ∴3x＝3×10.5＝31.5， ∴天头长为31.5cm； 故答案为：31.5． 15．（2023秋•鄞州区期末）解方程： （1）4x﹣3＝2（x﹣1）； （2）解方程：． 【分析】（1）根据一元一次方程的解法即可求出答案； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1可求出答案． 【解答】解：（1）4x﹣3＝2（x﹣1）， 4x﹣3＝2x﹣2， 4x﹣2x＝﹣2+3， 2x＝1， x； （2）， 2（2x﹣1）＝6﹣3（x﹣2）， 4x﹣2＝6﹣3x+6， 4x+3x＝14， 7x＝14， x＝2． 16．（2023秋•东阳市期末）解方程： （1）6+2（x﹣4）＝x； （2）． 【分析】（1）“去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题． （2）“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”，即可解题． 【解答】解：（1）6+2（x﹣4）＝x， 6+2x﹣8＝x， 2x﹣x＝8﹣6， x＝2； （2）解：； ， 3（20x﹣10）＝7×10x﹣3， 60x﹣30＝70x﹣3， 60x﹣70x＝﹣3+30， ﹣10x＝27， x＝﹣2.7． 17．（2023秋•路桥区期末）定义：若关于x的一元一次方程mx＝n的解为x＝n+2m，则称该方程为“和合”方程，例如：一元一次方程2x＝﹣8的解为x＝﹣8+2×2＝﹣4，则方程2x＝﹣8为“和合”方程． （1）若关于x的一元一次方程3x＝a是“和合”方程，求a的值； （2）若关于x的一元一次方程6x＝ab+b是“和合”方程，求ab+b的值． 【分析】（1）首先求出关于x的一元一次方程3x＝a的解，然后根据求出的方程的解等于a+2×3，求出a的值即可； （2）根据题意，可得x＝ab+b+2×6，据此求出ab+b的值即可． 【解答】解：（1）∵3x＝a， ∴x， ∵关于x的一元一次方程3x＝a是“和合”方程， ∴a+2×3， ∴a＝3a+18， 解得a＝﹣9． （2）∵关于x的一元一次方程6x＝ab+b是“和合”方程， ∴x＝ab+b+2×6， ∴6（ab+b+2×6）＝ab+b， ∴6（ab+b）+6×2×6＝ab+b， ∴5（ab+b）＝﹣72， 解得ab+b＝﹣14.4． 18．（2023秋•武义县期末）我们知道分数写为小数形式即，反过来，无限循环小数写为分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式． 例：将化为分数形式． 设，由可知，10x＝7.77⋯，所以10x＝7+x，解得．于是，得． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果都用最简分数表示） 【理解】　　． 【迁移】将化为分数形式，写出推导过程．（温馨提示：，它的循环节有两位哦！） 【创新】若，则　　． 【分析】【理解】设，得到10x＝8+x，解方程即可； 【迁移】设，得到100x＝23+x，解方程即可； 【创新】设，得到，设，即可求出答案． 【解答】解：【理解】设，由可知，10x＝8.88⋯， ∴10x＝8+x， 解得． ∴， 故答案为：； 【迁移】设，由可知，100x＝23.23⋯， ∴100x＝23+x， 解得． ∴； 【创新】设，则， ∴， ∴0.999999x＝5.71428， ∴， 设，则， ∴1000000y＝428571+y， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 19．（2023秋•仙居县期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为160km的单轨普速铁路．客车以150km/h的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 11：03 11：25 11：53 12：04 12：23 驶出时间 11：05 11：27 11：55 12：07 （1）求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为40km，标记40．（只要求写数字，单位为km）． （2）一列货运列车以120km/h的速度匀速行驶开往永康南站，在10：55通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 【分析】（1）根据路程＝速度×时间求出各段距离即可； （2）①分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程求解即可； ②分别计算停仙居南站、停磐安南站、停壶镇站等待的时间，然后比较即可求解． 【解答】解：（1）客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min； 临海南到仙居南铁路公里数：20×2.5＝50km； 仙居南到磐安南铁路公里数：26×2.5＝65km； 磐安南到壶镇铁路公里数：9×2.5＝22.5km； 标注在示意图中 （2）货运列车速度120km/h＝2km/min．客运列车的行驶速度150km/h＝2.5km/min． ①首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故． 由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发． 临海南至永康南：铁路总里程为40+22.5+65+50＝177.5km． 货运列车用时为177.5÷2＝88.75min， 客运列车行驶时间为177.5÷2.5＝71min．三站停车总时长2+2+3＝7min． 78+10＜88.75，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾． 验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟． 根据题意可知：2t＝2.5（t﹣10﹣2﹣2﹣3）， 解得：t＝85， 追尾点与临海南站的距离为85×2＝170km； ②临海南至永康南铁路总行程为177.5km．因170＜177.5， 所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾．为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过． 停仙居南站：货车用时为50÷2＝25分钟，客车用时为50÷2.5+2＝22分钟，货车等待时间：22+10﹣25＝7分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟． 停磐安南站：115÷2＝57.5分钟，50+10﹣57.5＝2.5分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟． 停壶镇站：137.5÷120×60＝78.75分钟，62+10﹣68.75＝3.25分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟． 综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$