专题03代数式中的规律题专项复习（3题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题03 代数式中的规律题专项复习（3题型） 数字变化类规律题 1．（2023秋•仙居县期末）已知，以此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 2．（2023秋•奉化区期末）若1+2+3+4+…+100＝a，则200+201+202+203+…+299用含a的代数式表示为（　　） A．200a B．200+a C．19900+a D．20000+a 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 4．（2023秋•武义县期末）烯烃是一类由碳（C）、氢（H）元素组成的有机化合物，在生活中应用广泛．通常用碳原子的个数命名为乙烯、丙烯、丁烯、…癸烯（当碳原子数目超过10个时即用中文数字表示，如十一烯、十二烯、…）等．如图是乙烯、丙烯和丁烯的分子结构模型，如乙烯由2个碳（C）原子和4个氢（H）原子组成，化学式为C2H4，丙烯的化学式为C3H6，丁烯的化学式为C4H8，按照此规律，n烯的化学式为 　 　． 5．（2023秋•余姚市期末）有一行数2，0，2，3，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数2，2，0，﹣2，2，﹣1，3，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为 　 　，经过2023次操作，得到的这一行数的各个数之和为 　 　． 6．（2023秋•桐乡市期末）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数……，以此类推，那么a1+a2+a3+⋯+a110的值是 　 　． 7．（2022秋•北仑区期末）观察下列等式： 1+8＝32， 1+8+16＝52， 1+8+16+24＝k2， … 通过探究发现： （1）第3个等式中正整数k的值是 　 　； （2）第n个等式（其中n是正整数）是：　 　． 8．（2023秋•嘉兴期末）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题： （1）【尝试】写出关于a6的等式． （2）【归纳】写出关于an的等式． （3）【运用】计算a1•a2•a3…a18•a19•a20的值． 图形变化类规律题 1．（2023秋•诸暨市期末）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（　　） A．399 B．420 C．450 D．499 2．（2023秋•武义县期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．9 3．（2023秋•莲都区期末）如图，PO是直线l的垂线段，每次在PO两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 4．（2023秋•衢江区期末）图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图③中有16个“□”，24个“●”，…，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（　　） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 5．（2023秋•路桥区期末）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆圈的个数为（　　） A．23 B．26 C．29 D．32 6．（2023秋•金东区期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个图形中正方形的个数是（　　） A．110 B．330 C．440 D．572 7．（2023秋•玉环市期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，c的值是（　　） A．248 B．264 C．504 D．520 8．（2023秋•新昌县期末）如图，点O在直线AB上，点A1A2A3，…，在射线OA上，点B1B2B3…，在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从O→A1→B1→B2→A2→A3＝B1→B4…，按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（　　）秒． A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π 9．（2023秋•婺城区期末）如图，用大小相同的黑白两种小正方形按一定规律摆放，第1个图案中白色小正方形为5个，第2个图案中白色小正方形为8个，……，则第2024个图案中白色小正方形的个数为 　 　个． 10．（2023秋•北仑区期末）我们把由三根长度为1的火柴棒围成的三角形称为单位三角形（如图①），现按如图的方式拼搭图形，则第④张图中共有 　 　个单位三角形；若要拼出64个单位三角形，则需要 　 　根火柴棒． 与其他知识点结合类规律题 1．（2023秋•南浔区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 　 　． 2．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　 　条． 3．（2023秋•南浔区期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•德清县期末）一列数按一定规律排列成﹣1，4，﹣16，64，﹣256，⋯，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（　　） A． B．|a| C．|a| D． 5．（2023秋•温州期末）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： （1）设中间数为x，用式子表示十字框中五个数之和． （2）十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 6．（2023秋•拱墅区期末）“鱼骨图”，又名因果图、石川图，指的是一种发现问题“根本原因”的分析方法，现代工商管理教育将其划分为问题型、原因型及对策型鱼骨图等几类． 如图的“鱼骨图”有1条主骨、若干条大骨，每条大骨带有2条中骨．把主骨、大骨、中骨统称为“骨头”，如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有4条“骨头”；有2条大骨，则共有7条“骨头”…… （1）如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数（用含m的代数式表示）． （2）这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由． （3）如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数（用含n的代数式表示）． 1．（2023秋•义乌市期末）如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　） A．181 B．217 C．219 D．199 2．（2023秋•湖州期末）如图1为数轴的正半轴，小陈将它在某些整点处弯折得到图2，虚线上的第1个数字为1，第2个数字为7，第3个数字为11，第4个数字为21，…，按此规律，第23个数字为（　　） A．551 B．552 C．505 D．507 3．（2023秋•江北区期末）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第三个图形共有小正方形24个；……则第n个图形中小正方形的总个数为（　　） A．5n﹣1 B．5n+4 C．5n+9 D．5n+14 4．（2023秋•柯桥区期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中m＝　 　． 5．（2023秋•鄞州区期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为 　 　块，第n个图案中白色瓷砖块数为 　 　块．（用含n的代数式表示） 6．（2023秋•拱墅区期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　 　个图形中． 7．（2023秋•长兴县期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是 　 　． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，⋯，OPn，满足∠AOP1∠AOB，∠P1OP2∠P1OB，∠P2OP3∠P2OB，⋯，∠Pn﹣1OPn∠Pn﹣1OB，若∠AOB＝α，则∠PnOB＝　 　．（用含n，α的代数式表示） 9．（2023秋•慈溪市期末）对于两条不相等的线段a和线段b（a＞b），用较长线段a减去较短线段b，得到新线段，称为第一次操作；比较较短线段b和新线段，用较长的线段减去较短的线段，又得到新线段，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作以后，两条线段的长度相等，则称线段a和线段b“n阶相等”．如图，线段a的长为3，线段b的长为2，则线段a和线段b是“2阶相等”． （1）若线段a的长为5，线段b的长为3，则线段a和线段b为“　 　阶相等”； （2）若两条线段的长为a和3（a＞3），且它们“2阶相等”，求a的值； （3）若两条线段的和为7，且它们“3阶相等”，请直接写出所有符合条件的线段． 10．（2023秋•桐乡市期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： （1）第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第n个呢？ （2）小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形．若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 11．（2022秋•金华期末）如图1，从大拇指开始，按食指、中指、无名指、小指，再回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5…． （1）当第5次数到中指时，这个数是 　 　． （2）当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由． （3）若改变顺序，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指…的顺序，如图2，当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数式中的规律题专项复习（3题型） 数字变化类规律题 1．（2023秋•仙居县期末）已知，以此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据找到规律为an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，，代值求解即可得到答案，根据题中式子找到an规律是解决问题的关键． 【解答】解：∵a1＝3， ∴， ， ， ， ⋯， ∴按照上面代数式呈现的规律可知，an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，， ∵2024＝3×674+2， ∴， 故选：A． 2．（2023秋•奉化区期末）若1+2+3+4+…+100＝a，则200+201+202+203+…+299用含a的代数式表示为（　　） A．200a B．200+a C．19900+a D．20000+a 【分析】将要表示的算式改写成含有1+2+3+…+100的形式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 200+201+202+…+299 ＝199+1+199+2+199+3+…+199+100 ＝199×100+1+2+3+…+100 ＝19900+1+2+3+…+100， 又因为1+2+3+…+100＝a， 所以原式＝19900+a． 故选：C． 3．（2023秋•郧阳区期末）如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是（　　） A．90 B．96 C．150 D．156 【分析】根据每圈上数字特征，找到规律求解． 【解答】解：第1个数为0， 第2个数为：2+4+6＝12， 第3个数为：12+8+10+12＝42， 第4个数为：42+14+16+18＝90， 第5个数为：90+20+22+24＝156， 故选：D． 4．（2023秋•武义县期末）烯烃是一类由碳（C）、氢（H）元素组成的有机化合物，在生活中应用广泛．通常用碳原子的个数命名为乙烯、丙烯、丁烯、…癸烯（当碳原子数目超过10个时即用中文数字表示，如十一烯、十二烯、…）等．如图是乙烯、丙烯和丁烯的分子结构模型，如乙烯由2个碳（C）原子和4个氢（H）原子组成，化学式为C2H4，丙烯的化学式为C3H6，丁烯的化学式为C4H8，按照此规律，n烯的化学式为 　∁nH2n　． 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【解答】解：乙烯的化学式为C2H4， 丙烯的化学式为C3H6，丁烯的化学式为C4H8，……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍， n烯的化学式为的化学式为∁nH2n， 故答案为：∁nH2n． 5．（2023秋•余姚市期末）有一行数2，0，2，3，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数2，2，0，﹣2，2，﹣1，3，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为 　4　，经过2023次操作，得到的这一行数的各个数之和为 　﹣2016　． 【分析】令原来的四个数分别为a，b，c，d，通过计算发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 原来这行数的和为：2+0+2+3＝7； 令原来四个数分别为a，b，c，d， 则第一次操作所得数的和为：a+b+c+d+a﹣b+b﹣c+c﹣d＝a+b+c+d+a﹣d， 即第一次操作所得数的和为原来这数行的和加上首数与尾数的差， 所以第一次操作所得数的和为：7+2﹣3＝6＝7﹣1； 令第一次操作所得数为：e，f，g，h，i，j，k， 则第二次操作所得数的和为：e+f+g+h+i+j+k+e﹣f+f﹣g+g﹣h+h﹣i+i﹣j+j﹣k＝e+f+g+h+i+j+k+e﹣k， 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：6+2﹣3＝5＝7﹣2； …， 所以第n次操作所得数的和为：7﹣n． 当n＝3时， 7﹣n＝7﹣3＝4， 即经过3次操作，得到的这一行数的各个数之和为4； 当n＝2023时， 7﹣n＝7﹣2023＝﹣2016， 即经过2023次操作，得到的这一行数的各个数之和为﹣2016． 故答案为：4，﹣2016． 6．（2023秋•桐乡市期末）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数……，以此类推，那么a1+a2+a3+⋯+a110的值是 　　． 【分析】依次求出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝﹣2， 所以； ； ； …， 由此可见，这一列数按循环出现． 又因为110÷3＝36余2， 所以a1+a2+a3+⋯+a110＝36×（）+（﹣2）． 故答案为：． 7．（2022秋•北仑区期末）观察下列等式： 1+8＝32， 1+8+16＝52， 1+8+16+24＝k2， … 通过探究发现： （1）第3个等式中正整数k的值是 　7　； （2）第n个等式（其中n是正整数）是：　1+8+16+24+…+8n＝（2n+1）2　． 【分析】（1）计算出等号左边的结果即可解决问题． （2）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 1+8+16+24＝49＝72， 所以正整数k的值是7． 故答案为：7． （2）由题知， 1+8＝32， 则1+1×8＝（1×2+1）2； 1+8+16＝52， 则1+1×8+2×8＝（2×2+1）2； 1+8+16+24＝72， 则1+1×8+2×8+3×8＝（3×2+1）2； …， 所以第n个等式是：1+8+16+24+…+8n＝（2n+1）2． 故答案为：1+8+16+24+…+8n＝（2n+1）2． 8．（2023秋•嘉兴期末）观察下面的等式：，，，，…，根据其中的规律，解决下列问题： （1）【尝试】写出关于a6的等式． （2）【归纳】写出关于an的等式． （3）【运用】计算a1•a2•a3…a18•a19•a20的值． 【分析】（1）类比给出的4个等式，写出第6个等式即可 （2）按照（1）的规律进而得出第n个等式； （3）利用得到的规律化简求值即可． 【解答】解：（1）∵，，，， ∴； （2）∵，，，，…， ∴； （3）， 把n＝20代入，得． 图形变化类规律题 1．（2023秋•诸暨市期末）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（　　） A．399 B．420 C．450 D．499 【分析】依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1幅图形中圆点的个数为：3＝1×4﹣1； 第2幅图形中圆点的个数为：7＝2×4﹣1； 第3幅图形中圆点的个数为：11＝3×4﹣1； 第4幅图形中圆点的个数为：15＝4×4﹣1； …， 所以第n幅图形中圆点的个数为（4n﹣1）个， 当n＝100时， 4n﹣1＝4×100﹣1＝399（个）， 即第100幅图形中圆点的个数为399个． 故答案为：A． 2．（2023秋•武义县期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．9 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， （1+4）﹣（2+3）＝5﹣5＝0， （2+4）﹣（﹣2+3）＝6﹣1＝5， （﹣3+5）﹣（﹣1+6）＝2﹣5＝﹣3， ∴（﹣3+5）﹣（﹣1﹣6）＝2+7＝9， 故选：D． 3．（2023秋•莲都区期末）如图，PO是直线l的垂线段，每次在PO两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数量是（　　） A．820 B．840 C．40 D．20 【分析】根据所给图形，依次求出三角形的数量，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1个图形中三角形的数量是：3＝1+2； 第2个图形中三角形的数量是：10＝1+2+3+4； 第3个图形中三角形的数量是：21＝1+2+3+4+5+6； 第4个图形中三角形的数量是：36＝1+2+3+4+5+6+7+8； …， 所以第n个图形中三角形的数量是：1+2+3+…+2n， 当n＝20时， n（2n+1）＝20×（40+1）＝820（个）， 即第20个图形中三角形的数量是820个． 故选：A． 4．（2023秋•衢江区期末）图形“□”，“●”按如图所示的规律拼图案，图①中有4个“□”，4个“●”，图②中有9个“□”，12个“●”，图③中有16个“□”，24个“●”，…，按此规律排列下去，则同一幅图中“□”和“●”的个数不符合规律的是（　　） A．25，40 B．36，60 C．100，160 D．121，220 【分析】通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律即可解决问题．据此可以求得答案． 【解答】解：第1个图形中有（1+1）2＝4个“□”，（1+2）2﹣（1+1）2﹣12＝4个“●”； 第2个图形中有（2+1）2＝9个“□”，（2+3）2﹣（2+1）2﹣22＝12个“●”； 第3个图形中有（3+1）2＝16个“□”，（3+4）2﹣（3+1）2﹣32＝16个“●”； ⋯； 第n个图形中有（n+1）2个“□”，[n+（n+1）]2﹣（n+1）2﹣n2＝2n（n+1）个“●”（n为正整数）； ∵当2n（n+1）＝40时，n＝4； 当2n（n+1）＝60时，n＝5； 当2n（n+1）＝160时，n不是正整数； 当2n（n+1）＝220时，n＝10； 故选：C． 5．（2023秋•路桥区期末）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆圈的个数为（　　） A．23 B．26 C．29 D．32 【分析】依次求出每个图形中圆圈的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中圆圈的个数为：2＝1×3﹣1； 第②个图案中圆圈的个数为：5＝2×3﹣1； 第③个图案中圆圈的个数为：8＝3×3﹣1； …， 所以第n个图案中圆圈的个数为（3n﹣1）个． 当n＝9时， 3n﹣1＝3×9﹣1＝26（个）， 即第⑨个图案中圆圈的个数为26个． 故选：B． 6．（2023秋•金东区期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个图形中正方形的个数是（　　） A．110 B．330 C．440 D．572 【分析】根据图形的变化归纳正方形个数与图形序数之间的关系即可． 【解答】解：由图知，第1个图形有2个正方形：2＝1×2， 第2个图形有8个正方形：8＝1×2+2×3， 第3个图形有20个正方形：20＝1×2+2×3+3×4， 第4个图形有40个正方形：40＝1×2+2×3+3×4+4×5， …， 第10个图形正方形个数为：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×11＝440． 故选：C． 7．（2023秋•玉环市期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第⑧个图中，c的值是（　　） A．248 B．264 C．504 D．520 【分析】a所在的位置的数字规律为：1，﹣2，3，﹣4，...，（﹣1）n+1n；b所在的位置的数字规律为：4＝22，8＝23，16＝24，...，2n+1；且：c＝b﹣a，据此即可求解． 【解答】解：由题意得：a所在的位置的数字规律为：1，﹣2，3，﹣4，...，（﹣1）n+1n； b所在的位置的数字规律为：4＝22，8＝23，16＝24，...，2n+1； 且：c＝b﹣a， ∴在第⑧个图中，a＝（﹣1）9×8＝﹣8，b＝28+1＝512， ∴c＝b﹣a＝520， 故选：D． 8．（2023秋•新昌县期末）如图，点O在直线AB上，点A1A2A3，…，在射线OA上，点B1B2B3…，在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从O→A1→B1→B2→A2→A3＝B1→B4…，按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（　　）秒． A．10+55π B．20+55π C．10+110π D．20+110π 【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，然后可得到动点M到达A10点处运动的单位长度＝4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10），然后除以速度即可得到动点M到达A10点处所需时间． 【解答】解：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度， ∵10＝4×2.5， ∴动点M到达A10点处运动的单位长度＝4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10）＝10+55π； ∴动点M到达A10点处运动所需时间＝（10+55π）÷1＝（10+55π）秒． 故选：A． 9．（2023秋•婺城区期末）如图，用大小相同的黑白两种小正方形按一定规律摆放，第1个图案中白色小正方形为5个，第2个图案中白色小正方形为8个，……，则第2024个图案中白色小正方形的个数为 　6074　个． 【分析】根据题意，可以得出规律，第n个图案中白色小正方形的个数为：2+3n，即可得出结果． 【解答】解：第1个图案中白色小正方形为5个，即5＝2+1×3， 第2个图案中白色小正方形为8个，即8＝2+2×3， 第3个图案中白色小正方形为11个，即11＝2+3×3， ⋯ ∴第2024个图案中白色小正方形的个数为：2+2024×3＝6074， 故答案为：6074． 10．（2023秋•北仑区期末）我们把由三根长度为1的火柴棒围成的三角形称为单位三角形（如图①），现按如图的方式拼搭图形，则第④张图中共有 　16　个单位三角形；若要拼出64个单位三角形，则需要 　108　根火柴棒． 【分析】观察图形得：第①个图中有12个单位三角形，第②个图中有22个单位三角形，第③个图中有32个单位三角形，…，以此类推，第n个图中有n2个单位三角形，据此可得第④个图中单位三角形的个数；观察图形得：第①个图中用了3＝3×1根火柴棒，第②个图中用了3×（1+2）根火柴棒，第③个图中用了3×（1+2+3）根火柴棒，…，以此类推，第n个图中用了3×（1+2+3+…+n）根火柴棒，然后根据64＝82得第8个图中有64个单位三角形，进而即可求出第8个图中所用的火柴棒． 【解答】解：第①个图中有1个单位三角形，即1＝12； 第②个图中有4个单位三角形，即4＝22； 第③个图中有9个单位三角形，即9＝32， …，以此类推，第n个图中有n2个单位三角形， ∴第④个图中共有42＝16个单位三角形； 第①个图中用了3根火柴棒，即3＝3×1； 第②个图中用了9根火柴棒，即9＝3×（1+2）； 第③个图中用了18根火柴棒，即18＝3×（1+2+3）； …，以此类推，第n个图中用了3×（1+2+3+…+n）根火柴棒， ∵64＝82， ∴第8个图中有64个单位三角形，所用的火柴棒为108（根）． 故答案为：16；108． 与其他知识点结合类规律题 1．（2023秋•南浔区期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 　615或645或675或705或735　． 【分析】根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可． 【解答】解：由图得，1×4＝4，5×4＝20，1•a＝a， ∴如图， ∴b＝6， ∴如图， 有图得，a应为奇数1，3，5，7，9． 所以两个两位数可以为15×41；15×43；15×45；15×47；15×49， ∴相乘结果为615或645或675或705或735． 故答案为：615或645或675或705或735． 2．（2023秋•嵊州市期末）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕共有 　127　条． 【分析】根据前三次对折结果对第n次对折后得到的折痕条数进行猜想、归纳． 【解答】解：∵第一次对折后可得到的折痕条数为：1＝21﹣1； 第二次对折后可得到的折痕条数为：3＝22﹣1； 第三次对折后可得到的折痕条数为：7＝23﹣1； 第n次对折后可得到的折痕条数为：2n﹣1； ……， ∴第7次对折后可得到的折痕条数为：27﹣1＝128﹣1＝127， 故答案为：127． 3．（2023秋•南浔区期末）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据满七向左进一，分别算出每个选项表示的数即可得到答案． 【解答】解：A选项中，1×7×7+3×7+5＝75，故不符合题意； B选项中，2×7×7+3×7+1＝120，故不符合题意； C选项中，2×7×7+3×7+2＝121，故不答题意； D选项中，3×7×7+2×7+1＝162，故符合题意， 故选：D． 4．（2023秋•德清县期末）一列数按一定规律排列成﹣1，4，﹣16，64，﹣256，⋯，从中取出三个相邻的数，若三个数的和为a，则这三个数中最大的数与最小的数的差为（　　） A． B．|a| C．|a| D． 【分析】分三个数为两正一负和两负一正，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：由已知数据可知，相邻两个数据的商为（﹣4）； ①当三个数中两端为正中间为负时， 设相邻的三个数为n，﹣4n，16n 由题意可得n+（﹣4n）+16n＝a， 解得：， 此时三个数中最大数与最小数的差为：； ②当三个数中两端为负中间为正设相邻的三个数为﹣n，4n，﹣16n 由题意可得﹣n+4n﹣16n＝a， 解得： 此时三个数中最大数与最小数的差为：， ∴则这三个数中最大数与最小数的差为； 故选：C． 5．（2023秋•温州期末）将连续奇数1，3，5，7，9，…排列成如下的数表： （1）设中间数为x，用式子表示十字框中五个数之和． （2）十字框中的五个数之和能等于2024吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【分析】（1）先用x表示其余4个数，再求和； （2）假设可以，再根据“五个数之和能等于2024”列方程求解． 【解答】解：（1）由题意得：x﹣16+x﹣2+x+x+2+x+16＝5x； 答：十字框中五个数之和为5x； （2）不能等于2024， 理由：∵5x＝2024， ∴x＝404.8， ∴404.8不是整数， 则十字框中的五个数之和能不能等于2024． 6．（2023秋•拱墅区期末）“鱼骨图”，又名因果图、石川图，指的是一种发现问题“根本原因”的分析方法，现代工商管理教育将其划分为问题型、原因型及对策型鱼骨图等几类． 如图的“鱼骨图”有1条主骨、若干条大骨，每条大骨带有2条中骨．把主骨、大骨、中骨统称为“骨头”，如果这张“鱼骨图”只有1条大骨，那么共有4条“骨头”；有2条大骨，则共有7条“骨头”…… （1）如果这张“鱼骨图”有m条大骨，求“骨头”总数（用含m的代数式表示）． （2）这张“鱼骨图”的“骨头”总数是否可能为2024？说明理由． （3）如果这张“鱼骨图”有n条中骨，求“骨头”总数（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）由题知，每增加1根大骨，则“骨头”总数增加3，据此可解决问题． （2）根据（1）的发现可解决问题． （3）找出中骨数量与“骨头”总数之间的关系即可． 【解答】解：（1）由题知， 当“鱼骨图”有1条大骨时，“骨头”总数为：4＝1×3+1； 当“鱼骨图”有2条大骨时，“骨头”总数为：7＝2×3+1； 当“鱼骨图”有3条大骨时，“骨头”总数为：10＝3×3+1； …， 所以当“鱼骨图”有m条大骨时，“骨头”总数为（3m+1）条． （2）这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2024． 假设这张“鱼骨图”的“骨头”总数可能为2024， 令此时的大骨条数为x， 则3x+1＝2024， 解得x， 因为x为正整数， 所以这张“鱼骨图”的“骨头”总数不能为2024． （3）当“鱼骨图”有2条中骨时，“骨头”总数为：4＝21； 当“鱼骨图”有4条中骨时，“骨头”总数为：7＝41； 当“鱼骨图”有6条中骨时，“骨头”总数为：10＝61； …， 所以当“鱼骨图”有n条中骨时，“骨头”总数为（）条． 1．（2023秋•义乌市期末）如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（　　） A．181 B．217 C．219 D．199 【分析】分别猜想、归纳出各个方格中数字的规律，再运用该规律进行求解． 【解答】解：由题意得2n﹣1＝19， 解得n＝10， ∴a＝10，b＝11， ∴x＝19b﹣a＝19×11﹣10＝209﹣10＝199， 故选：D． 2．（2023秋•湖州期末）如图1为数轴的正半轴，小陈将它在某些整点处弯折得到图2，虚线上的第1个数字为1，第2个数字为7，第3个数字为11，第4个数字为21，…，按此规律，第23个数字为（　　） A．551 B．552 C．505 D．507 【分析】如图，先找虚线上方实线上的数的规律得到第1个数字为2，第2个数字为2+4＝2×（1+2）＝6，第3个数字为2+4+6＝2×（1+2+3）＝12，第4个数字为2+4+6+8＝2×（1+2+3+4）＝20，…，由此得到第23个数字为，再根据实线上得数与虚线上的数间的关系即可解决． 【解答】解：如图，先找虚线上方实线上的数的规律： ∵第1个数字为2， 第2个数字为2+4＝2×（1+2）＝6， 第3个数字为2+4+6＝2×（1+2+3）＝12， 第4个数字为2+4+6+8＝2×（1+2+3+4）＝20， 第5个数字为2+4+6+8+10＝2×（1+2+3+4+5）＝30， ⋯， 第23个数字为， 对应实线下方虚线上的数的规律是： 第1个数字为2﹣1＝1， 第2个数字为6+1＝7， 第3个数字为12﹣1＝11， 第4个数字为20+1＝21， 第5个数字为30﹣1＝29， ⋯， 第23个数字为552﹣1＝551， 故选：A． 3．（2023秋•江北区期末）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第三个图形共有小正方形24个；……则第n个图形中小正方形的总个数为（　　） A．5n﹣1 B．5n+4 C．5n+9 D．5n+14 【分析】依次求出每个图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1个图形中小正方形的个数为：14＝1×5+9； 第2个图形中小正方形的个数为：19＝2×5+9； 第3个图形中小正方形的个数为：24＝3×5+9； …， 所以第n个图形中小正方形的个数为（5n+9）． 故选：C． 4．（2023秋•柯桥区期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中m＝　804　． 【分析】根据题意图形归纳总结每个图形中四个数字的规律，据此即可得出答案． 【解答】解：由图形可知，左上方数字按0、2、4……排列，则第n个图中，左上数字为2n﹣2， 右上方的数字按1、2、3……排列，则第n个图中，右上数字为n， 左下方的数字按3、6、9……排列，则第n个图中，左下数字为3n， 右下方的数字为每个图形中左下数字和左上数字的乘积，再加上右上数字， ∴第12个图中，左上方的数字为2×12﹣2＝22，右上方的数字为12，左下方的数字为3×12＝36， ∴m＝22×36+12＝804， 故答案为：804． 5．（2023秋•鄞州区期末）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第5个图案中灰色瓷砖块数为 　12　块，第n个图案中白色瓷砖块数为 　（3n+2）　块．（用含n的代数式表示） 【分析】根据图形的变化得到规律即可求解． 【解答】解：观察图形发现： 解：n＝1时，灰瓷砖的块数为：4； n＝2时，灰瓷砖的块数为：6； n＝3时，灰瓷砖的块数为：8； …； 当n＝5时，灰瓷砖的块数为：2×5+2＝12． 第1个图案中有白色瓷砖5块， 第2个图案中白色瓷砖多了8块， 第3个图案中白色瓷砖多了11块， 第4个图案中白色瓷砖块数为14块， 以此类推， 第n个图案中，白色瓷砖是5+3（n﹣1）＝（3n+2）块， 故答案为：12，（3n+2） 6．（2023秋•拱墅区期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　1012　个图形中． 【分析】依次求出每个图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中火柴棒的根数为：3＝1×2+1； 第2个图形中火柴棒的根数为：5＝2×2+1； 第3个图形中火柴棒的根数为：7＝3×2+1； …， 所以第n个图形中火柴棒的根数为（2n+1）根， 当n＝1012时， 2n+1＝2×1012+1＝2025（根）， 则第2024和第2025根火柴棒都在第1012个图形中． 故答案为：1012． 7．（2023秋•长兴县期末）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是 　2n﹣m　． 【分析】先逐步操作前7次，找到规律，再计算即可． 【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m； 第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m； 第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n； 第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m； 和为：m+n+n﹣m﹣m﹣n﹣n+m＝0； 第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，m，﹣n，﹣n+m，m； 第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n； 第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m； 观察：该“回头差”游戏每6次组成一个循环， ∵2024÷6＝337••••••2， ∴第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m的和为2n﹣m； 故答案为：2n﹣m． 8．（2023秋•拱墅区期末）如图，在∠AOB内部顺次有一组射线OP1，OP2，⋯，OPn，满足∠AOP1∠AOB，∠P1OP2∠P1OB，∠P2OP3∠P2OB，⋯，∠Pn﹣1OPn∠Pn﹣1OB，若∠AOB＝α，则∠PnOB＝　　．（用含n，α的代数式表示） 【分析】首先计算∴∠AOP1，∠P1OP2，∠P2OP3，…，以此类推，∠Pn﹣1OPn，由此得∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn，然后再根据∠PnOB＝∠AOB﹣（∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn）可得出答案． 【解答】解：∵∠AOB＝α， ∴∠AOP1∠AOB，∠P1OP2∠P1OB，∠P2OP3∠P2OB， …，以此类推，∠Pn﹣1OPn∠Pn﹣1OB， ∴∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn ， ∴∠PnOB＝∠AOB﹣（∠AOP1+∠P1OP2+∠P2OP3+…+∠Pn﹣1OPn） ． 9．（2023秋•慈溪市期末）对于两条不相等的线段a和线段b（a＞b），用较长线段a减去较短线段b，得到新线段，称为第一次操作；比较较短线段b和新线段，用较长的线段减去较短的线段，又得到新线段，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作以后，两条线段的长度相等，则称线段a和线段b“n阶相等”．如图，线段a的长为3，线段b的长为2，则线段a和线段b是“2阶相等”． （1）若线段a的长为5，线段b的长为3，则线段a和线段b为“　3　阶相等”； （2）若两条线段的长为a和3（a＞3），且它们“2阶相等”，求a的值； （3）若两条线段的和为7，且它们“3阶相等”，请直接写出所有符合条件的线段． 【分析】（1）根据线段a和线段b“n阶相等”的概念即可得到结论； （2）根据线段a和线段b“n阶相等”的概念列方程即可得到结论； （3）设一条线段为a，则另一条线段为7﹣a，（a＞7﹣a），根据线段a和线段b“n阶相等”的概念列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）第一次操作：5﹣3＝2， 第二次操作：3﹣2＝1， 第三次操作：2﹣1＝1， ∴线段a和线段b为“3阶相等”； （2）∵第一次操作：a﹣3， 第二次操作：3﹣（a﹣3）， ∵它们“2阶相等”， ∴3﹣（a﹣3）＝a﹣3， 解得a＝4.5， 故a的值为：4.5； （3）设一条线段为a，则另一条线段为7﹣a 第一次操作：a﹣（7﹣a）＝2a﹣7， 第二次操作：7﹣a﹣（2a﹣7）＝14﹣3a， 第三次操作：2a﹣7﹣（14﹣3a）＝14﹣3a， 解得a， ∴7﹣a， 同理得到，符合条件的线段有2和5，3和4，和， 综上所述符合条件的线段为和，2和5，3和4，和． 10．（2023秋•桐乡市期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形： （1）第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第n个呢？ （2）小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形．若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？ 【分析】（1）观察图1、图2、图3的图形特征，整理出式子特征，即图n的火柴棒根数为8n+3； （2）依题意，令8n+3＝1603，解得n的值，即可作答． 【解答】解：（1）图1：11＝8×1+3； 图2：11＝8×2+3＝19， 图3：27＝8×3+3， 图4：35＝8×4+3； 图5：43＝8×5+3； 图n：8×n+3＝8n+3； 答：第4个图形中有35根火柴棒，第5个有43根火柴棒，第n个有（8n+3）根火柴棒． （2）依题意， 8n+3＝1603 解得n＝200， ∵图1有2个六边形；图2有4个六边形；图3有6个六边形；…… ∴图n有2n个六边形； ∴2n＝400， 即图中会产生400个六边形． 11．（2022秋•金华期末）如图1，从大拇指开始，按食指、中指、无名指、小指，再回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5…． （1）当第5次数到中指时，这个数是 　23　． （2）当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由． （3）若改变顺序，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指…的顺序，如图2，当数到2023时，表示的是哪一个手指？说明相应理由． 【分析】（1）根据题意可知每5个数为一个循环，第5次数到中指，则循环了4次，然后再从大拇指数到中指，据此求解即可； （2）根据题意可知每5个数为一个循环，据此求解即可； （3）根据题意可知从2开始，每8个数为一个循环，据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，当第5次数到中指时，这个数是5×4+3＝23， 故答案为：23； （2）数到2023时，表示的是中指，理由如下： 由题意得，每5个数为一个循环， ∵2023÷5＝404…3， ∴数到2023时与数到3的手指一样， ∴数到2023时，表示的是中指； （3）数2023对应的手指为中指，理由如下： 由题意可知，从2开始，每8个数为一个循环， ∵（2023﹣1）÷8＝252…7， ∴数2023与数7对应的手指一样， ∴数2023对应的手指为中指． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$