专项1 大题抢分练(分考点针对练习解答题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

基础知识抓分练 7　 勾股定理及其逆定理的实际应用 1. B 2. D　 【解析】由题可知:∠BOA= 90°,OB= 1×2 = 2(海里), OA= 1. 5 × 2 = 3(海里),∴ AB = OA2 +OB2 = 13 (海 里) . 故选 D. 3. B 4. A　 【解析】依题意,AC= 24,BC= 7cm,在 Rt△ABC 中,AB = AC2 +BC2 = 25cm,∵ AB = AD = 25cm,DE = 20cm,在 Rt△ADE 中,AE= AD2 -DE2 = 15cm. 故选 A. 5. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,由勾股定理得,AC = AB2 +BC2 = 17 ( cm), ∴ CE = AE - AC = 25 - 17 = 8(cm) . 故选 C. 6. C 7. 15　 【解析】将半圆面展开,连结 AE. ∵ 滑行部分的斜面 是半径为 3 的半圆,∴ AD= 1 2 ×2π×3 = 9. ∵ AB=CD= 16, CE = 4, ∴ DE = 16 - 4 = 12. 在 Rt △ADE 中, AE = AD2 +DE2 = 15. 8. 612 9. 2. 9　 【解析】根据题意得:OD = 0. 8 米,OC = OB = 1 米, DH = 2. 3 米,∴ CD = OC2 -OD2 = 0. 6 米,∴ CH = DH+ CD= 2. 9 米,∴ 卡车的外形高必须低于 2. 9 米. 10. 解:(1)设 AB = x 米,则 OB = (x-18)米,根据勾股定理 可得:OA2 +OB2 =AB2 ,∴ 242 +(x-18) 2 = x2 ,解得 x = 25, ∴ 云梯 AB 的长度为 25 米. (2)根据题意可得:AC = 4 米,AB =CD = 25 米,OB = 25- 18 = 7(米),∴ OC = 24-4 = 20(米),根据勾股定理可得 OD= CD2 -OC2 = 15(米),∴ BD = OD-OB = 15- 7 = 8 (米) . 答:云梯底端在水平方向上滑动距离 BD 为 8 米. 11. 解:(1)∵ 在△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 15,AB = 17,∴ AC= AB2 -BC2 = 8,又∵ AD = AC+CD,AC = 8 米,CD = 1. 7 米,∴ AD = 8+ 1. 7 = 9. 7(米),答:风筝离地面的垂 直高度 AD 的长为 9. 7 米; (2)设再上升 12 米,风筝此时在点 E,则 EC = 8+12 = 20 (米),∴ 此时风筝线的长 EB 为 152 +202 = 25(米), ∴ 风筝应该放出线的长度为:25- 17 = 8(米) . 答:他应 该再放出 8 米风筝拉线. 基础知识抓分练 8　 数据的收集与表示 1. C　 2. D　 3. C 【变式】C　 【解析】由题知优秀的有 12 人,总人数为 3+21+ 24+12 = 60(人),则优秀的频率是12 60 ×100% = 20%. 故选 C. 4. C 5. C　 【解析】C. 每周使用手机支付次数小于 21 次的有 3+ 10+15 = 28 人,原说法错误,符合题意. 故选 C. 6. A　 7. 18　 8. 460 9. 解:(1)本次被调查的学生有 10÷25% = 40(人); (2)补全条形统计图如图所示: (3)108 (4)1200×15 40 = 450(名),所以估计全校有 450 名学生喜 爱篮球. 10. 解:(1)50　 (2)8　 108　 (3)18 (4)1200×15 50 = 360(名),故全校 1200 名学生,估计阅读 时间不少于 6 小时的学生有 360 名. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 2- 3 -2+1 = 1- 3 ; (2)原式= -1. 5-0. 3+3 = 1. 2. 2. 解:(1)由题意,得 3a+1 = 16,2b+6 = 8,解得 a = 5,b = 1, 则 5a+2b= 5×5+2×1 = 27,∴ 5a+2b 的立方根为 3; (2)由(1)知 a= 5,b = 1,∴ 1 a-b = 1 4 , 1 4 = 1 2 ,∴ 1 a-b 的 算术平方根为 1 2 . 3. 解:(1) 19 -4 (2)∵ 4 < 5 < 9 ,即 2< 5 <3,∴ 5 的小数部分 a = 5 - 2. ∵ 9 < 13 < 16 ,即 3< 13 <4,∴ 13 的整数部分 b= 3,∴ a+b- 5 = 1; (3)∵ 1 < 3 < 4 ,即 1< 3 <2,∴ 3 的整数部分为 1,小 数部分为 3 -1,又∵ x+y = 10+ 3 = 11+ 3 - 1. ∵ x 是整 数,且 0<y<1,∴ x= 11,y= 3 -1,∴ 2x-y= 23- 3 ,∴ 2x-y 的相反数为 3 -23. 4. 解:(1)原式=a2(x-1)-4(x-1)= (x-1)(a2 -4)= (x-1) (a+2)(a-2); (2)原式= (2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) = (3x+3y) (x-y) = 3(x+y)(x-y) . 5. 解:(1)原式= [x2 +6xy+ 9y2 -(4x2 -y2 ) - 10y2 ] ÷( - 3x) = (x2 +6xy+ 9y2 - 4x2 + y2 - 10y2 ) ÷ ( - 3x) = ( - 3x2 + 6xy) ÷ (-3x)= x-2y,当 x= -2,y= 1 2 时,原式= -2-2× 1 2 = -3; (2)由题意,得 2a-1 = 0,b+3 = 0,∴ a = 1 2 ,b = -3. 原式 = (a2 +b2 - a2 + 2ab - b2 + 2ab - 2b2 ) ÷ ( - 2b) = ( 4ab - 2b2 ) ÷ (-2b)= -2a+b.当 a= 1 2 ,b= -3 时,原式= -2× 1 2 +(-3)= -4. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错分析】①在整式的化简过程中,去括号时要注意当 括号外面是负号时要变号;②括号里的每一项都要除以 单项式,不能漏项. 6. 解:(1)(a+b)(2a+b)= 2a2 +b2 +3ab　 a2 +b2 +c2 +2ab+2ac +2bc= (a+b+c) 2 (2)155 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 5 页 (3)长方形面积为(2a+b)(a+2b)= 2a2 +2b2 +5ab 可得:x =2,y= 2,z= 5,所以 x+y+z= 9; (4)(a+2b) 7. 解:(1)如图,射线 AD 即为所求; (2)如图,直线 MN 即为所求; (3)内错角相等,两直线平行　 两直线平行,内错角相等 与等角对等边　 3 ∶5　 　 【解析】作 DF⊥AB 于点 F. ∵ ∠C= 90°,AC = 6,BC = 8,∴ AB = AC2 +BC2 = 10. ∵ AD 平分∠BAC,DC⊥AC,DF⊥AB,∴ DC=DF,∴ S△ADC ∶S△ADB =( 1 2 DC·AC) ∶( 1 2 DF·AB)= AC ∶AB= 3 ∶5. 8. 解:(1)∠BAC 的平分线 (2)如图,直线 l 即为所求; (3)115°　 【解析】∵ ∠B = 55°,∠BCA = 60°,∴ ∠BAC = 65°. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠GAC= 1 2 ∠BAC= 32. 5°. ∵ 直 线 l 垂直平分 AC,∴ AG = CG,∴ ∠GAC = ∠ACG = 32. 5°, ∴ ∠AGC= 180°-∠GAC-∠ACG= 115°. 9. 解:(1)250　 72° (2)喜欢“攀岩”的有 250×20% = 50(人), 补全条形统计图如下: (3)1500× 12% = 180(人),答:全校 1500 名学生中最喜 欢“排球”的学生大约有 180 人. 10. (1)解:∵ AB= 9,BC= 12,∴ 在 Rt△ABC 中,由勾股定理 得 AC= AB2 +BC2 = 15,答:氢能源环保电动步道 AC 的长是 15; (2)证明:∵ CD = 8,AD = 17,AC = 15, ∴ AD2 = CD2 + AC2 ,∴ △ACD 是直角三角形,∠ACD= 90°,即 AC⊥CD. 11. 解:在△ABC 中,AB = 15,BC = 14,AC = 13,设 BD = x,则 有 CD= 14-x,由勾股定理得 AD2 =AB2 -BD2 =AC2 -CD2 , ∴ 152 -x2 = 132 -(14-x) 2 ,解得 x = 9,∴ AD = 12,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×14×12 = 84. 12. 解:(1) 13 (2)设秋千绳索 AC 的长度为 xm,由题意可得 AC =AB = xm,BE= 1m,DC= 6m,DE=CF= 4m,∴ DB=DE-BE= 3m, ∴ AD = AB-BD = (x- 3) m,在 Rt△ADC 中,AD2 +DC2 = AC2,即(x-3) 2 +62 = x2,解得 x = 7. 5. 故绳索 AC 的长为 7. 5m. 13. 解:(1)①　 ③　 ②(答案不唯一) (2) 证明:在△AOC 和△BOD 中, ∠A= ∠B OA=OB ∠AOC= ∠BOD { ,∴ △AOC≌△BOD(A. S. A. ),∴ AC=BD. 14. 解:( 1) OB = OC, 理由如下: ∵ AB = AC, ∴ ∠ABC = ∠ACB. ∵ 两条角平分线 BD、CE 相交于点 O,∴ ∠OBC = ∠OCB,∴ OB=OC; (2)AF 是∠BAC 的角平分线,AF⊥BC(答案不唯一), 证明:∵ OA = OA,OB = OC,AB = AC,∴ △ABO≌△ACO (S. S. S. ),∴ ∠BAO= ∠CAO,即 AF 是∠BAC 的角平分 线. 15. 解:【教材呈现】AC=BC　 PA=PB 证明:∵ MN⊥AB,∴ ∠PCA = ∠PCB = 90°,在△PCA 和 △PCB 中, AC=BC ∠PCA= ∠PCB PC=PC { , ∴ △PCA ≌ △PCB (S. A. S. ),∴ PA=PB; 【学以致用】∠CAD = ∠CBD,理由:∵ CD 是线段 AB 的 垂直平分线, ∴ AC = BC,AD = BD, ∴ ∠CAB = ∠CBA, ∠DAB= ∠DBA,∴ ∠CAB- ∠DAB = ∠CBA- ∠DBA,即 ∠CAD= ∠CBD. 16. 解:(1)15 (2)证明:∵ AB = 4,DC = 4,∴ AB = DC. ∵ ∠B = ∠C = ∠ADE = 55°, ∴ ∠ADB + ∠EDC = ∠DEC + ∠EDC, ∴ ∠ADB = ∠DEC. 在 △ABD 和 △DCE 中, ∠B= ∠C ∠ADB= ∠DEC AB=DC { ,∴ △ABD≌△DCE(A. A. S. ); (3)∠BDA 的度数为 117. 5°或 110°. 　 【解析】∵ AB = AC,∠B = ∠C = 55°,∴ ∠BAC = 180°-∠B-∠C = 70°. 当 △ADE 是等腰三角形时,分三种情况:①AD=AE,则∠AED =∠ADE=55°. ∵ ∠AED = ∠C+∠CDE = 55°+∠CDE>55°, ∴ 不合题意,舍;②DE = AE,则∠EAD = ∠ADE = 55°,∴ ∠DAB=15°,∴ ∠BDA = 180°-∠DAB-∠B = 110°;③DE = AD,则∠AED = ∠DAE = 1 2 (180° - ∠ADE) = 62. 5°,∴ ∠DAB=7. 5°,∴ ∠BDA=180°-∠DAB-∠B= 117. 5°. 综上, ∠BDA 的度数为 117. 5°或 110°. 17. 解:(1)BC=CE+CD　 【解析】∵ ∠BAD+∠DAC = ∠BAC = 90°,∠CAE+∠DAC = ∠DAE = 90°,∴ ∠BAD = ∠CAE. 又∵ AB= AC,AD = AE,∴ △ABD≌△ACE(S. A. S. ),∴ BD=CE,∴ BC=BD+CD=CE+CD,即 BC=CE+CD; (2)CE=BC+CD. 理由如下:∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°,∴ ∠BAC+∠CAD = ∠DAE+ ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE. 在 △ABD 与 △ACE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { , ∴ △ABD ≌ △ACE(S. A. S. ),∴ BD=CE. ∵ BD =BC+CD,∴ CE =BC +CD; (3)CE = 4. 　 【解析】 由 ( 1) 同理可证得:△ABD≌ △ACE(S. A. S. ),∴ BD=CE. ∵ CD = 12,BC = 8,∴ BD = CD-BC= 4,∴ CE=BD= 4. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 6 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 1 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 2 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 3 页 　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 　 数的开方 1. (8 分)(重庆期末)计算: (1) | 2- 3 | - ( -2) 2 -( -1) 2 025;　 　 　 　 　 　 　 　 (2) 3 -27 8 -( - 0. 3 ) 2 + 9 . 2. (8 分)若 3a+1 的平方根为±4, 3 2b+6 = 2. (1)求 5a+2b 的立方根; (2)求 1 a-b 的算术平方根. 3. 学习情境· 学习笔记 (9 分)下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记. 无理数的估算 大家知道 3 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 3 的小数部分我们不可能全部写出 来,于是我用 3 -1 来表示 3 的小数部分,你同意我的表示方法吗? 事实上,我的表示方法是有道 理的,因为 3 的整数部分是 1,所以将这个数减去其整数部分,差就是小数部分. 例如:∵ 4 < 7 < 9 ,即 2< 7 <3,∴ 7 的整数部分为 2,小数部分为 7 -2. 根据以上笔记内容,请完成如下任务. (1)任务一: 19的小数部分为　 　 　 　 . (2)任务二:a 为 5的小数部分,b 为 13的整数部分,请计算 a+b- 5的值. (3)任务三:x+y= 10+ 3 ,其中 x 是整数,且 0<y<1,求 2x-y 的相反数. 　 整式的乘除 4. (8 分)因式分解:(1)a2(x-1) +4(1-x);　 　 　 　 　 　 　 　 (2)(2x+y) 2 -(x+2y) 2 . 5. (8 分)先化简,再求值: (1)[(x+3y) 2 -(2x+y)(2x-y) -10y2] ÷( -3x),其中 x= -2,y= 1 2 ; (2)若(2a-1) 2 + | b+3 | = 0,求[(a2 +b2) -(a-b) 2 +2b(a-b)] ÷( -2b)的值. 6. 数学思想·数形结合 (9 分)“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法. 比如:在学习“整式的乘 法”时,我们通过构造几何图形,用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式:(a+b) 2 = a2 +2ab+ b2(如图 1) . 利用“数形结合”的思想方法,可以从代数角度解决图形问题,也可以用图形关系解决 代数问题. 【方法应用】根据以上材料提供的方法,完成下列问题: (1)由图 2 可得等式:　 　 　 　 　 　 　 　 ;由图 3 可得等式:　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)利用图 3 得到的结论,解决问题:若 a+b+c= 15,ab+ac+bc= 35,则 a2 +b2 +c2 = 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)如图 4,若用其中 x 张边长为 a 的正方形,y 张边长为 b 的正方形,z 张边长分别为 a、b 的长方形 纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形(无空隙、无重叠地拼接),求 x+y+z 的值; (4)如图 4,若有 4 张边长为 a 的正方形纸片,4 张边长分别为 a、b 的长方形纸片,5 张边长为 b 的正 方形纸片. 从中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张. 把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空 隙、无重叠地拼接),则拼成的正方形的边长最长可以为　 　 　 　 . 　 尺规作图 7. (8 分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 6,BC= 8. (1)用直尺和圆规作∠A 的平分线,交 BC 于点 D;(要求:不写作法,保留作图痕迹) (2)用直尺和圆规作 AB 的平行线 MN,使 MN 经过点 C;(要求:不写作法,保留作图痕迹) (3)由作图可知,MN∥AB 的依据是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 延长 AD 交 MN 于点 E,可得 AC=CE 的 依据是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ;S△ADC ∶ S△ADB 的值是　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. (7 分)在下面的△ABC 中,请你按要求用尺规作出下列图形,并在图中标明相应的字母. (1)根据作图痕迹判断,AD 是　 　 　 　 ; (2)作出 AC 边上的垂直平分线 l 交 AD 于点 G; (3)连结 GC,若∠B= 55°,∠BCA= 60°,则∠AGC 的度数为　 　 　 　 . 　 数据的收集与表示 9. 热点情境·巴黎奥运会 (10 分)2024 年巴黎奥运会,即第 33 届夏季奥林匹克运动会(The 33rd Sum- mer Olympic Games),是由法国巴黎举办的国际性奥林匹克赛事. 本届奥运会于 2024 年 7 月 26 日开 幕,8 月 11 日闭幕. 为了解学生对篮球、棒球、排球、垒球、攀岩这些比赛项目的喜欢程度,某校随机 抽查了部分学生进行问卷调查,要求每名学生只选其中最喜欢的一个项目,并将抽查结果绘制成如 图所示的不完整的统计图. ① 　 　 　 ② 根据图中信息,解答下列问题: (1)本次调查了　 　 　 　 名学生;图②中“攀岩”对应的圆心角的度数是　 　 　 　 ; (2)在图①中补全条形统计图: (3)全校共有 1 500 名学生,请你估计全校学生中最喜欢“排球”的学生有多少人. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 1 　 　 　 　 　 情境期末·八年级数学·上册　 第 4 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 5 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 6 页 　 勾股定理的运用与证明 10. (8 分)某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点,对运动员休息区进行了精心设计. 如图,四边形 ABCD 为休闲区域,四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动 步道 AC. 经测量 AB= 9,BC= 12,CD= 8,AD= 17. (1)求氢能源环保电动步道 AC 的长; (2)证明:AC⊥CD. 11. (8 分)在△ABC 中,AB= 15,BC= 14,AC= 13,求△ABC 的面积. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 如图,作 AD⊥BC 于 D,设 BD = x,用含 x 的代数式表示 CD → 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 根据勾股定理,利用 AD 作为“桥梁”,建 立方程模型求出 x → 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 利用勾股定理求出 AD 的长,再计算三 角形面积 　 　 　 12. (9 分)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重 要的工具之一,也是数形结合的纽带之一,它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广 泛而使人入迷. (1)应用场景 1———在数轴上画出表示无理数的点. 如图 1,在数轴上找出表示 3 的点 A,过点 A 作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取点 B,使 AB= 2,以原点 O 为圆心,OB 为半径作弧,则弧与数轴的交点 C 表示的数是　 　 　 　 ; (2)应用场景 2———解决实际问题. 如图 2,秋千静止时,踏板离地面的垂直高度 BE=1 m,将它往前推 6 m 至 C 处时,水平距离 CD= 6 m, 踏板离地面的垂直高度 CF=DE= 4 m,它的绳索始终拉直,求绳索 AC 的长. 图 1 　 　 　 图 2 　 全等三角形的证明及综合探究 13. (9 分)如图,AB 交 CD 于点 O,在△AOC 与△BOD 中,有下列三个条件:①OA =OB,②AC =BD,③ ∠A= ∠B. 请你在上述三个条件中选择两个为条件,另一个能作为这两个条件推出来的结论,并证 明你的结论(只要求写出一种正确的选法,多选的只按第一种选法评分,后面的选法不给分) . (1)你选的条件为　 　 　 　 、　 　 　 　 ,结论为　 　 　 　 ; (2)请证明你的结论. 14. (10 分)如图,△ABC 中,AB = AC,∠ABC 的角平分线 BD 交 AC 于点 D,∠ACB 的角平分线 CE 交 AB 于点 E,BD、CE 相交于点 O. (1)OB 与 OC 相等吗? 请说明你的理由; (2)若连接 AO,并延长 AO 交 BC 于点 F. 你有哪些新发现? 请写出两条,并就其中的一条发现进 行证明. 15. (10 分)【教材呈现】下图是华师版数学八年级上册教材 94 页的部分内容,我们都知道演绎推理的 方法是研究图形属性的重要方法,请你写出完整的证明过程. 13. 5. 2　 线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图 1,直线 MN 是线段 AB 的 垂直平分线,P 是 MN 上任一点,连结 PA、PB,将线段 AB 沿直线 MN 对折,我们发现 PA 与 PB 完全重 合,由此即有:线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 请你结合图形把已知和求证补充完整,并写出证明过程. 已知:如图 1,MN⊥AB,垂足为点 C,　 　 　 　 ,点 P 是直线 MN 上的任意一点. 求证:　 　 　 　 　 　 . 证明: 【学以致用】如图 2,CD 是线段 AB 的垂直平分线,则∠CAD 与∠CBD 有何关系? 请说明理由. 图 1 　 　 　 图 2 16. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC = 4,∠B = ∠C = 55°,点 D 在边 BC 上运动(点 D 不与 B、C 重 合),连结 AD,作∠ADE= 55°,DE 交边 AC 于点 E. (1)当∠ADB= 110°时,∠CDE= 　 　 　 　 °; (2)若 DC= 4,求证:△ABD≌△DCE; (3)在点 D 的运动过程中,当△ADE 是等腰三角形时,直接写出∠BDA 的 度数. 17. (11 分)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,点 D 是直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B,C 重 合),∠DAE= 90°,AD=AE,连结 CE. (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时,直接写出 BC,CD 与 CE 之间的数量关系; (2)如图 2,当点 D 在边 BC 的延长线上时,请探究线段 BC,CD 与 CE 之间存在怎样的数量关系? 并说明理由; (3)如图 3,若点 D 在边 CB 的延长线上,且点 A,E 分别在直线的两侧,其他条件不变,若 CD= 12, BC= 8,直接写出 CE 的长度. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 图 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋