抓分练7 勾股定理及其逆定理的实际应用-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 勾股定理及其逆定理的实际应用 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明 珠,是用代数思想解决几何问题最重要的 工具,也是数形结合的纽带之一. 如图,工 人师傅砌门时,常用木条 EF 固定长方形门 框 ABCD 使其不变形. 若 AF = 1 米,AE = 2 米,则木条 EF= (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 米 B. 5 米 C. 6 米 D. 7 米 2. 如图,某天下午 2 时,两艘船只分别从港口 O 点处出发,其中快船沿北偏东 30°方向以 1. 5 海里 /时的速度行驶,慢船沿北偏西 60° 方向以 1 海里 /时的速度行驶,当天下午 4 时,两艘船只分别到达 A,B 两点,则此时两 船之间的距离等于(　 　 ) A. 5 海里 B. 3 海里 C. 6 海里 D. 13 海里 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 文化情境·数学文化 如图,《九章算术》中的 “折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地, 去根六尺,问折高者几何? 意思是:一根竹 子,原高一丈(一丈 = 十尺),一阵风将竹子 折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部 6 尺远,则折断处离地面的高度为(　 　 ) A. 3 尺 B. 3. 2 尺 C. 3. 6 尺 D. 4 尺 4. 生活情境·笔记本电脑 某数学兴趣小组开 展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活 动. 如图,当张角为∠BAF 时,顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为 7 cm,此时底部边缘 A 处与 C 处间的距离 AC 为 24 cm,小组成 员调整张角的大小继续探究,最后发现当 张角为∠DAF 时(D 是 B 的对应点),顶部 边缘 D 处到桌面的距离 DE 为 20 cm,则底 部边缘 A 处与 E 之间的距离 AE 为(　 　 ) A. 15 cm B. 18 cm C. 21 cm D. 24 cm 5. 生活情境·办公桌摆件 如图 1 是办公桌摆 件,在图 2 中,四边形 ABCD 是长方形,若对 角线 AC⊥EO,垂足是 E,AB = 15 cm,BC = 8 cm,AE= 25 cm,则 CE= (　 　 )cm. 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2　 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. (北京期末)如图,在桌面上放置一个正方 体,正方体的棱长为 2 cm,点 B 为一条棱的 中点. 蚂蚁在正方体表面爬行,从点 A 爬到 点 B 的最短路程是(　 　 ) A. 37 cm B. 13 cm C. 17 cm D. 15 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. (青岛期末)如图是某滑雪场 U 型池的示意 图,该 U 型池可以看作是一个长方体去掉 一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的 截面是半径为 3 的半圆,其边缘 AB = CD = 16,点 E 在 CD 上,CE = 4. 一名滑雪爱好者 从 A 点滑到 E 点时,他滑行的最短路程约 为　 　 　 　 (π 取 3). 31 情境期末·ZBH·八年级数学上 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,某会展中心在会展期间准备将高 5 m,长 13 m,宽 2 m 的楼道上铺地毯,已知 地毯每平方米 18 元,请你帮助计算一下, 铺完这个楼道至少需要　 　 　 　 元钱. 9. (教材 P121 例 2 变式)一 辆装满货物,宽为 1. 6 米 的卡车,欲通过如图所示 的隧道,则卡车的外形高 必须低于　 　 　 　 米. 三、解答题(共 18 分) 10. 生活情境·消防云梯 (9 分)消防云梯的作 用主要是用于高层建筑火灾等救援任务, 它能让消防员快速到达高层建筑的火灾 现场,执行灭火、疏散等救援任务,消防云 梯的使用可以大幅度提高消防救援的效 率,缩短救援时间,减少救援难度和风险. 如图,一架云梯 AB 斜靠在墙 AO 上,已知 AO= 24 米,云梯的长度比云梯底端到墙角 距离长 18 米. (1)求云梯 AB 的长度; (2)现云梯顶端下方 4 米 C 处发生火灾, 需将云梯顶端下滑到着火点 C 处,则云梯 底端在水平方向上滑动距离 BD 为多 少米? 11. 新趋势·项目式学习 (9 分)某实践探究小 组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直 高度,通过勘测,得到如下记录表: 测量示 意图 测量 数据 边的 长度 ①测得水平距离 BC 的 长为 15 米. ②根据手中剩余线的长 度计算出了风筝拉线 AB 的长为 17 米. ③小明牵线放风筝的手 到地面的距离为 1. 7 米. 数据处理组得到上面数据以后做了认真 分析,他们发现根据勘测组的全部数据就 可以计算出风筝离地面的垂直高度 AD. 请 完成以下任务: (1)根据上述信息,求风筝离地面的垂直 高度 AD; (2)如果小明想要风筝沿 DA 方向再上升 12 米,BC 长度不变,则他应该再放出多少 米风筝拉线? 41 基础知识抓分练 7　 勾股定理及其逆定理的实际应用 1. B 2. D　 【解析】由题可知:∠BOA= 90°,OB= 1×2 = 2(海里), OA= 1. 5 × 2 = 3(海里),∴ AB = OA2 +OB2 = 13 (海 里) . 故选 D. 3. B 4. A　 【解析】依题意,AC= 24,BC= 7cm,在 Rt△ABC 中,AB = AC2 +BC2 = 25cm,∵ AB = AD = 25cm,DE = 20cm,在 Rt△ADE 中,AE= AD2 -DE2 = 15cm. 故选 A. 5. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,由勾股定理得,AC = AB2 +BC2 = 17 ( cm), ∴ CE = AE - AC = 25 - 17 = 8(cm) . 故选 C. 6. C 7. 15　 【解析】将半圆面展开,连结 AE. ∵ 滑行部分的斜面 是半径为 3 的半圆,∴ AD= 1 2 ×2π×3 = 9. ∵ AB=CD= 16, CE = 4, ∴ DE = 16 - 4 = 12. 在 Rt △ADE 中, AE = AD2 +DE2 = 15. 8. 612 9. 2. 9　 【解析】根据题意得:OD = 0. 8 米,OC = OB = 1 米, DH = 2. 3 米,∴ CD = OC2 -OD2 = 0. 6 米,∴ CH = DH+ CD= 2. 9 米,∴ 卡车的外形高必须低于 2. 9 米. 10. 解:(1)设 AB = x 米,则 OB = (x-18)米,根据勾股定理 可得:OA2 +OB2 =AB2 ,∴ 242 +(x-18) 2 = x2 ,解得 x = 25, ∴ 云梯 AB 的长度为 25 米. (2)根据题意可得:AC = 4 米,AB =CD = 25 米,OB = 25- 18 = 7(米),∴ OC = 24-4 = 20(米),根据勾股定理可得 OD= CD2 -OC2 = 15(米),∴ BD = OD-OB = 15- 7 = 8 (米) . 答:云梯底端在水平方向上滑动距离 BD 为 8 米. 11. 解:(1)∵ 在△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 15,AB = 17,∴ AC= AB2 -BC2 = 8,又∵ AD = AC+CD,AC = 8 米,CD = 1. 7 米,∴ AD = 8+ 1. 7 = 9. 7(米),答:风筝离地面的垂 直高度 AD 的长为 9. 7 米; (2)设再上升 12 米,风筝此时在点 E,则 EC = 8+12 = 20 (米),∴ 此时风筝线的长 EB 为 152 +202 = 25(米), ∴ 风筝应该放出线的长度为:25- 17 = 8(米) . 答:他应 该再放出 8 米风筝拉线. 基础知识抓分练 8　 数据的收集与表示 1. C　 2. D　 3. C 【变式】C　 【解析】由题知优秀的有 12 人,总人数为 3+21+ 24+12 = 60(人),则优秀的频率是12 60 ×100% = 20%. 故选 C. 4. C 5. C　 【解析】C. 每周使用手机支付次数小于 21 次的有 3+ 10+15 = 28 人,原说法错误,符合题意. 故选 C. 6. A　 7. 18　 8. 460 9. 解:(1)本次被调查的学生有 10÷25% = 40(人); (2)补全条形统计图如图所示: (3)108 (4)1200×15 40 = 450(名),所以估计全校有 450 名学生喜 爱篮球. 10. 解:(1)50　 (2)8　 108　 (3)18 (4)1200×15 50 = 360(名),故全校 1200 名学生,估计阅读 时间不少于 6 小时的学生有 360 名. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 2- 3 -2+1 = 1- 3 ; (2)原式= -1. 5-0. 3+3 = 1. 2. 2. 解:(1)由题意,得 3a+1 = 16,2b+6 = 8,解得 a = 5,b = 1, 则 5a+2b= 5×5+2×1 = 27,∴ 5a+2b 的立方根为 3; (2)由(1)知 a= 5,b = 1,∴ 1 a-b = 1 4 , 1 4 = 1 2 ,∴ 1 a-b 的 算术平方根为 1 2 . 3. 解:(1) 19 -4 (2)∵ 4 < 5 < 9 ,即 2< 5 <3,∴ 5 的小数部分 a = 5 - 2. ∵ 9 < 13 < 16 ,即 3< 13 <4,∴ 13 的整数部分 b= 3,∴ a+b- 5 = 1; (3)∵ 1 < 3 < 4 ,即 1< 3 <2,∴ 3 的整数部分为 1,小 数部分为 3 -1,又∵ x+y = 10+ 3 = 11+ 3 - 1. ∵ x 是整 数,且 0<y<1,∴ x= 11,y= 3 -1,∴ 2x-y= 23- 3 ,∴ 2x-y 的相反数为 3 -23. 4. 解:(1)原式=a2(x-1)-4(x-1)= (x-1)(a2 -4)= (x-1) (a+2)(a-2); (2)原式= (2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y) = (3x+3y) (x-y) = 3(x+y)(x-y) . 5. 解:(1)原式= [x2 +6xy+ 9y2 -(4x2 -y2 ) - 10y2 ] ÷( - 3x) = (x2 +6xy+ 9y2 - 4x2 + y2 - 10y2 ) ÷ ( - 3x) = ( - 3x2 + 6xy) ÷ (-3x)= x-2y,当 x= -2,y= 1 2 时,原式= -2-2× 1 2 = -3; (2)由题意,得 2a-1 = 0,b+3 = 0,∴ a = 1 2 ,b = -3. 原式 = (a2 +b2 - a2 + 2ab - b2 + 2ab - 2b2 ) ÷ ( - 2b) = ( 4ab - 2b2 ) ÷ (-2b)= -2a+b.当 a= 1 2 ,b= -3 时,原式= -2× 1 2 +(-3)= -4. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【易错分析】①在整式的化简过程中,去括号时要注意当 括号外面是负号时要变号;②括号里的每一项都要除以 单项式,不能漏项. 6. 解:(1)(a+b)(2a+b)= 2a2 +b2 +3ab　 a2 +b2 +c2 +2ab+2ac +2bc= (a+b+c) 2 (2)155 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 5 页