抓分练6 勾股定理及其逆定理-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

AB 的垂直平分线上,∴ AD=BD. ∵ 点 D 在∠ACB 的平分 线上,DE ⊥ AC,DH ⊥ BC, ∴ DE = DH. 在 Rt △ADE 和 Rt△BDH 中, AD=BD DE=DH{ ,∴ Rt△ADE≌Rt△BDH(H. L. ), ∴ AE=BH. 同理可证 Rt△CDE≌Rt△CDH(H. L. ),∴ CE =CH=BC+BH. ∵ AE+CE = AC,∴ AE+CH = AE+BC+BH = AC,∴ 2AE+BC=AC,∴ 2AE+4 = 10,∴ AE= 3. 10. 4 3 　 【解析】过点 G 作 GH⊥AB 于点 H. ∵ ∠ACB = 90°, AC= 3,BC= 4,AB= 5,由作图过程可知:BG 平分∠ABC. ∵ GC⊥BC,GH⊥AB,∴ GH =GC,设 GH =GC = x,则有 1 2 ×5·x+ 1 2 ×4·x= 1 2 ×4×3,∴ x = 4 3 ,∴ GH = 4 3 . ∵ P 为 AB 上一动点,则 GP≥GH,∴ GP 的最小值为 4 3 . 11. 解:(1)如图,AD 即为所求; (2)∵ ∠BAC= 90°,AD⊥BC,∴ ∠ADC = ∠BAC = 90°,∴ ∠BAD+∠CAD= 90°,∠C+∠CAD = 90°,∴ ∠BAD = ∠C = 32°. 12. (1)证明:∵ OC 是∠AOB 的平分线,∴ ∠DOP = ∠EOP. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. ∵ OP = OP,∴ △ODP≌△OEP(A. A. S. ),∴ PD=PE; (2) 7 基础知识抓分练 6　 勾股定理及其逆定理 1. D　 2. D 3. D　 【解析】连结 CP,依题意,得 CP=BC=OA= 3,OC =AB = 1,∴ OP = CP2 -OC2 = 8,∴ 点 P 表示的数是 8 . 故 选 D. 4. C 5. B　 【解析】由题知一个直角三角形的面积是 1 4 ×(13-1) = 3. ∴ 1 2 ab = 3. 又∵ 大正方形的面积为 13,a2 +b2 = 13, ∴ (a+b) 2 =a2 +b2 +2ab= 25,a+b= 5. 故选 B. 6. C　 【解析】由题意知,旋转角∠DAP = ∠BAC = 60°,AD = AP,∴ △ADP 是等边三角形,故①正确;∴ AD = AP =DP. ∵ AP2 = BP2 +CP2,∴ AP≠CP,∴ △ABP 与△CBP 不全 等,故②错误;∵ AP2 = BP2 +CP2,∴ DP2 = BP2 +BD2,∴ △BDP 是直角三角形, ∴ ∠DBP = 90°,故 ③ 正确; ∵ ∠DAP= 60°,∠DBP = 90°,∴ 在四边形 APBD 中,∠BDA +∠BPA= 360°-∠DAP-∠DBP = 210°,故④正确;综上, 正确的有①③④. 故选 C. 7. 三角形三个内角都大于 60° 8. 2 或 6 　 【解析】当 2 和 2 均为直角边时,第三边 = 2+4 = 6;当 2 为斜边, 2 为直角 边, 则 第 三 边 = 4-2 = 2 . 故第三边的长为 2或 6 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【易错分析】已知直角三角形两边长,求第三边时,若 没有明确这两边是直角边还是斜边,需要分类讨论. 9. 6　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,a = 3,b = 4,∴ AB= AC2 +BC2 = 5,∴ 图中两个“月牙”即阴影部分面 积为 1 2 π·( b 2 ) 2 + 1 2 π·( a 2 ) 2 + 1 2 ab- 1 2 π·( c 2 ) 2 = 1 2 π×( 4 2 ) 2 + 1 2 π×( 3 2 ) 2 + 1 2 ×3×4- 1 2 π×( 5 2 ) 2 = 6. 10. 1 22 020 　 【解析】记第一个直角三角形的直角顶点为 E. ∵ △CDE 为等腰直角三角形,∴ CE =DE,DE2 +CE2 =DC2, ∴ 2DE2 =CD2,即 S2 = 1 2 S1 = 1 2 × 22 = 2. 同理可得:S3 = 1 2 S2 = 1 22 S1 = 1,S4 = 1 2 S3 = 1 22 S2 = 1 23 S1 = 1 2 ,∴ S2 023 = 1 22 022S1 = 1 22 022 ×4 = 1 22 020 . 11. 90°或 50° 　 【解析】 ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 100°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 (180°-∠A)= 40°. ∵ △ABD 为 直角三角形,∴ 有以下两种情况:① ∠ADB = 90°,② ∠BAD= 90°,此时∠ADB = 180° - ∠BAD- ∠B = 180° - 90°-40° = 50°. ∴ 若△ABD 为直角三角形,则∠ADB 的 度数是 90°或 50°. 12. 解:(1) ∵ ∠ADC = 90°,AD = 4,CD = 3. 在△ADC 中,根 据勾股定理得:AC2 =AD2 +CD2 = 42 +32 = 25,AC= 5,∵ AB = 13,BC= 12,AC2 +BC2 = 25+122 = 169,AB2 = 132 = 169, ∴ AC2 +BC2 =AB2 ,根据勾股定理逆定理可知,△ABC 是 直角三角形; (2)由题意得,S四边形ABCD =S△ABC-S△ACD = 1 2 ×5×12- 1 2 ×3 ×4 = 24,则四边形 ABCD 面积为 24. 13. 解:(1)由题意得,小正方形的面积+四个直角三角形的 面积=大正方形的面积,∴ (a-b) 2 +4× 1 2 ab = c2 ,∴ a2 - 2ab+b2 +2ab= c2 ,即 a2 +b2 = c2 ; (2)由(1)知,(a-b) 2 +4× 1 2 ab = c2 ,即 4+4× 1 2 ab = 20, ∴ 1 2 ab= 4,故一个直角三角形的面积为 4. 14. 解:(1)4　 16 (2)当 t = 3. 6 或 10 时,△CBD 是直角三角形. 理由:① ∠CDB= 90°时,S△ ABC = 1 2 AC·BD = 1 2 AB·BC,则 BD = 9. 6,∴ CD = BC2 -BD2 = 7. 2,∴ t = 7. 2 ÷ 2 = 3. 6; ② ∠CBD= 90°时,点 D 和点 A 重合,t = 20÷2 = 10;综上所 述,当 t= 3. 6 或 10 时,△CBD 是直角三角形; (3)当 t= 7. 2 时,BC=BD.理由:过点 B 作 BF⊥AC 于 F, 由(2)①得 CF = 7. 2. ∵ BD =BC,∴ CD = 2CF = 7. 2×2 = 14. 4,∴ t= 14. 4÷2= 7. 2,∴ 当 t= 7. 2 时,BC=BD. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解后反思】本题主要考查了勾股定理,等腰三角形 与直角三角形的性质,应用等面积法来解题. 注意在 解题时要考虑所有可能的情况,不能遗漏. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 4 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 勾股定理及其逆定理 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列几组数中,不能作为直角三角形的三 边长的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 7 ,2, 3 B. 3,4,5 C. 2 ,2, 2 D. 2,3,4 2. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别记 为 a,b,c,下列条件中,不能判定△ABC 是 直角三角形的是(　 　 ) A. a= 3,b= 5,c= 4 B. a2 = (c-b)(c+b) C. ∠A+∠B= ∠C D. ∠A ∶∠B ∶∠C= 3 ∶4 ∶5 3. 数学思想·数形结合 如图,在数轴上,点 O 是原点,点 A 表示的数是 3,在数轴上方以 OA 为边作长方形 OABC,AB = 1,以点 C 为 圆心,CB 的长为半径画弧,在原点右侧交该 数轴于点 P,则点 P 表示的数是(　 　 ) A. 1 B. 7 2 C. 3 2 D. 8 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (大理期末) 如图,在△ABC 中, ∠ACB = 90°,CD⊥AB 于 D,若 CA = 4,CB = 3,则 CD = (　 　 ) A. 3 5 B. 4 5 C. 12 5 D. 5 5. 如图是“赵爽弦图”,由 4 个 全等的直角三角形拼成的图 形,若大正方形的面积是 13, 小正方形的面积是 1,设直角 三角形较长直角边为 b,较短直角边为 a,则 a+b 的值是(　 　 ) A. 6 B. 5 C. 19 D. 4 6. 如图,点 P 是等边△ABC 内 部一点,连结 AP、BP、CP,且 AP2 = BP2 +CP2,现将△APC 绕点 A 顺时针旋转到△ADB 的位置,对于 下列结论: ① △ADP 是等边三角形; ② △ABP≌△CBP;③∠DBP = 90°;④∠BDA+ ∠BPA= 210°. 其中正确的结论有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 7. 用反证法证明“三角形三个内角至少有一 个不大于 60°”时,应先假设 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 一个直角三角形的两边长分别为 2 和 2 , 则第三边的长为　 　 　 　 . 9. (教材 P118 习题 4 变式)(枣庄期末)张老 师和“数学小分队”的队员们在学习数学史 时,发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问 题 ( Hippocrate ’ s Theorem )”. 如 图, 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,a = 3,b = 4,分别 以 Rt△ABC 的各边为直径作半圆,则图中 两个“月牙”即阴影部分面积为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 第 10 题图 10. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,其面积标记 为 S1,以 CD 为斜边作等腰直角三角形,以该 等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正 方形,其面积标记为 S2,…,按照此规律继续 下去,则 S2 023 的值为　 　 　 　 . 11. 数学思想·分类思想 在△ABC 中,AB=AC, ∠BAC= 100°,点 D 在 BC 边上,连结 AD, 若△ABD 为直角三角形,则∠ADB 的度数 是　 　 　 　 . 11 情境期末·ZBH·八年级数学上 三、解答题(共 27 分) 12. ( 8 分) 如图, △ABC 内部有一点 D, 且 ∠ADC= 90°,AB = 13,BC = 12,AD = 4,CD = 3. (1)判断△ABC 的形状; (2)求四边形 ABCD 的面积. 13. 文化情境·数学文化 (9 分)“赵爽弦图”巧 妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我 国古代数学的骄傲! 如图,“赵爽弦图”是 由四个全等的直角三角形和一个小正方 形拼成的一个大正方形. 设直角三角形较 长直角边长为 a,较短直角边长为 b,斜边 为 c. (1)请利用“赵爽弦图”证明:a2 +b2 = c2; (2)若大正方形的面积为 20,小正方形面 积为 4,求其中一个直角三角形的面积. 14. ( 10 分) 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠ABC = 90°,AB= 16,BC= 12,点 D 为 AC 边上的动 点,点 D 从点 C 出发,沿边 CA 向点 A 运 动,当运动到点 A 时停止,若设点 D 运动 的时间为 t 秒,点 D 运动的速度为每秒 2 个单位长度. ( 1 ) 当 t = 2 时, CD = 　 　 　 　 , AD = 　 　 　 　 ; (2)求当 t 为何值时,△CBD 是直角三角 形,说明理由; (3) 求当 t 为何值时,BC = BD, 并说明 理由. 　 21