抓分练5 尺规作图、逆命题与逆定理-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 5　 尺规作图、逆命题与逆定理 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列命题的逆命题错误的是(　 　 ) A. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等 B. 全等三角形的三条边对应相等 C. 如果两个角都是直角,那么这两个角 相等 D. 等边三角形每个内角都等于 60° 2. 下列尺规作图中,A,B,C 表示三个居民小 区,为丰富居民们的文化生活,现准备建一 个文化广场,使文化广场中心 P 到三个小 区的距离相等,能确定文化广场中心 P 的 位置的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 3. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 30°,取大 于 1 2 AB 的长为半径,分别以点 A、B 为圆心, 作弧相交于两点,过此两点的直线交 AC 边 于点 D(作图痕迹如图所示),连结 BD,则 ∠DBC 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. (长沙期末)如图,在△ABC 中,∠C = 90°, AD 平分∠BAC,AB = 8,CD = 3,则△ABD 的 面积是(　 　 ) A. 12 B. 8 C. 24 D. 11 5. 如图,在△ABC 中,BA =BC,∠B = 80°,按下 列步骤作图:①以点 C 为圆心,适当长度为 半径作圆弧,与 CA,BC 延长线分别交于 M, N 两点;②分别以 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 长为半径作圆弧,两条圆弧交于点 D;③过点 C,D 作射线 CD.则∠DCN 的度数为(　 　 ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,等腰△ABC 的底边 BC 长为 6,面积是 18,腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于 E,F 点. 若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则△CDM 周长的最 小值为(　 　 ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 如图,OM 平分∠AOB,MA⊥OA,垂足为 A, MB ⊥ OB, 垂足为 B. 若 ∠MAB = 20°, 则 ∠AOB 的度数为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,点 D 为线段 AB 与线段 BC 的垂直平 分线的交点,∠A= 34°,则∠D= 　 　 　 　 . 9. 如图, △ABC 中,AB 的垂直平分线 DG 交 ∠ACB 的平分线 CD 于点 D,过点 D 作 DE ⊥AC 于点 E. 若 AC = 10, CB = 4, 则 AE 9 情境期末·ZBH·八年级数学上 = 　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. (青岛期末)如图,Rt△ABC 中,∠C = 90°, 利用尺规在 BC,BA 上分别截取 BE,BD, 使 BE=BD;分别以 D,E 为圆心、以大于 1 2 DE 的长为半径作弧,两弧在∠CBA 内交 于点 F;作射线 BF 交 AC 于点 G. 若 AC = 3,BC= 4,AB= 5,P 为 AB 上一动点,则 GP 的最小值为　 　 　 　 . 三、解答题(共 20 分) 11. 新趋势·尺规作图 ( 10 分 ) 如 图, 在 △ABC,∠BAC= 90°. (1)请用尺规作图:过点 A 作 AD⊥BC,垂 足为点 D (保留作图痕迹,不要求写作 法); (2) 在 ( 1) 的条件下, 若 ∠C = 32°, 求 ∠BAD 的度数. 12. (10 分)(长春一模)【教材呈现】下面是华 师版八年级上册数学教材第 96 页的部分 内容. 　 　 我们已经知道角是轴对称图形,角 平分线所在的直线是角的对称轴. 如图, OC 是∠AOB 的平分线,P 是 OC 上任一 点,作 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点 D 和点 E. 将∠AOB 沿 OC 对折,我们发 现 PD 与 PE 完全重合. 由此即有:角平 分线的性质定理:角平分线上的点到角 两边的距离相等. 已知:如图,OC 是∠AOB 的平分线,点 P 是 OC 上的任意一点,PD⊥OA,PE⊥ OB,垂足分别为点 D 和点 E. 求证:PD=PE. 分析 　 　 图中有两个直角三角形 PDO 和 PEO,只要证明这两个三角形全等,便 可证得 PD=PE. (1)请根据分析,结合图①,写出“角平分 线的性质定理”完整的证明过程. 【定理应用】 (2)如图②,已知 OC 是∠AOB 的平分线, 点 P 是 OC 上的任意一点,点 D、E 分别在 边 OA、OB 上,连结 PD、PE,∠AOB+∠DPE = 180°. 若 OD+OE = 2 3 ,且点 P 到 OA 的 距离为 2,则 OP 的长为　 　 　 　 . 　 图① 　 图② 01 ∴ ∠ECB= ∠FCD= 30°. 13. 解:( 1) 相等. 理由如下:由题意得∠BAD = ∠CAD. 在 △ABD 和 △ACD 中. ∵ AB=AC ∠BAD= ∠CAD AD=AD { , ∴ △ABD ≌ △ACD(S. A. S. ) . ∴ BD=CD; (2)∵ ∠BAC= 140°,∴ ∠BAD= ∠CAD = 1 2 ∠BAC = 1 2 × 140° = 70°. 又 ∵ ∠MBD = 120°, ∴ ∠BDA = ∠MBD - ∠BAD= 120°-70° = 50°. ∵ △ABD≌△ACD,∴ ∠CDA = ∠BDA= 50°. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形的性质及判定 1. C　 2. C　 3. D 4. C 　 【解析】 ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ MN ⊥ BC, ∴ ∠MNC= ∠MNB= 90°,∴ ∠B+∠BON = 90°,∠C+∠M = 90°, ∴ ∠M = ∠BON. ∵ ∠BON = ∠MOA, ∴ ∠M = ∠MOA,∴ AM=AO= 3. ∵ BO= 4,∴ AB = AC = AO+BO = 7, ∴ MC=AM+AC= 10. 故选 C. 5. C　 6. B 7. D　 【解析】∵ △ABC 和△DCE 是等边三角形,∴ ∠BCA = ∠DCE = 60°,AC = BC,CE = CD,∴ ∠BCE = ∠ACD,∴ △BCE≌△ACD(S. A. S. ),∴ ∠CBF = ∠CAH. ∵ ∠BFC = ∠AFG,∴ ∠AGB = ∠ACB = 60°,故①②正确;∵ ∠ACB = ∠ECD= 60°,B、C、D 在同一条直线上,∴ ∠ACE= 60° = ∠BCF, 在 △BCF 和 △ACH 中, ∠FBC= ∠HAC BC=AC ∠BCF= ∠ACH { , ∴ △BCF≌△ACH(A. S. A. ),∴ CF = CH,BF = AH,故③正 确;∵ CF=CH,∠ACH = 60°,∴ △CFH 是等边三角形,故 ④正确. 故选 D. 8. 20　 【解析】根据题意得:b2 -16b+64+ | a- 4 | = 0,即(b- 8) 2 + | a-4 | = 0,∴ b = 8,a = 4,∴ 这个等腰三角形的三边 长分别为 8,8,4 或 4,4,8(舍去),∴ 这个等腰三角形的 周长为:8+8+4 = 20. 9. 5　 【解析】作点 E 关于 AD 的对称点 F,连结 BF,交 AD 于点 P. ∵ 等边三角形为轴对称图形,∴ 点 F 在线段 AC 上,∴ PF=PE,∴ BP+PE =BP+PF≥BF,即 BP+EP 的最 小值为 BF 的长,且此时 AC⊥BF,根据等边三角形三边 上的高相等,得 AD=BF= 5. ∴ BP+EP 的最小值为 5. 10. 4 或 16　 【解析】①当点 N 在 AB 边上,点 M 在 AC 边上, 得到等腰三角形 AMN. ∵ ∠CAB= 60°∴ △AMN 是等边三 角形. 设点 M、N 运动 x 秒后,AN=AM,由运动知,AN= 12 -2x,AM=x,∴ 12-2x = x,解得 x = 4,∴ 点 M、N 运动 4 秒 后,△AMN 是等腰三角形;②当点 M、N 在 BC 上时,得到 等腰三角形 AMN,∴ AN = AM,∴ ∠AMN = ∠ANM,∴ ∠AMC=∠ANB. ∵ △ACB 是等边三角形,∴ ∠C = ∠B. 在△ACM 和△ABN 中,∠C = ∠B,∠AMC = ∠ANB,AC = AB,∴ △ACM≌△ABN(A. A. S. ),∴ CM=BN. 设当点 M、 N 在 BC 边上运动时,M、N 运动的时间 y 秒时,△AMN 是 等腰三角形,∴ CM= y-12,NB = 36-2y. ∵ CM =NB,∴ y- 12= 36 - 2y,解得 y = 16,∴ 当点 M、N 运动 16 秒后, △AMN 是等腰三角形,综上所述,当点 M、N 运动时间为 4 秒或 16 秒时,△AMN 为等腰三角形. 11. (1) 证明:∵ AC = AB,∴ ∠C = ∠B. ∵ ∠BED = ∠CFE, BE=CF,∴ △BDE≌ △CEF( A. S. A. ),∴ EF = DE,∴ △DEF 是等腰三角形. (2) 由( 1) 知,△BDE≌ △CEF,∴ ∠BDE = ∠CEF. ∵ ∠DEC = ∠B+∠BDE,∴ ∠DEF+∠CEF = ∠B+∠BDE, ∴ ∠B = ∠DEF. ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠A = 50°,∴ ∠B= 65°,∴ ∠DEF= 65°; (3)△DEF 是等边三角形. 理由:由(2)知∠DEF = ∠B. ∵ ∠DEF= ∠A,∴ ∠B= ∠A. ∵ AC=AB,∴ ∠C = ∠B,∴ ∠A = ∠B = ∠C, ∴ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠A = ∠DEF= 60°. 由(1)知△DEF 是等腰三角形,∴ △DEF 是等边三角形. 12. ( 1) BE +BD = BF 　 【解析】由题意得,AB = AC = BC, ∠BAC= 60°,AD = AE,∠DAE = 60°,∴ ∠BAE = ∠DAE- ∠BAD = 60° - ∠BAD,∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 60° - ∠BAD, ∴ ∠BAE = ∠CAD, ∴ △CAD ≌ △BAE (S. A. S. ),∴ BE=CD,∴ BE+BD=CD+BD =BC. ∵ BC = BF,∴ BE+BD=BF; (2)图 2 猜想:BE+BD=BF;图 3 猜想:BD+BF=BE. 图 3 证明:过点 D 作 DG∥AC,交 AB 于点 G. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠A = ∠C = 60°. ∵ DG∥AC,∴ ∠BGD= ∠A= 60°,∠BDG= ∠C = 60°,∴ △BDG 为等边 三角形,∴ BD=DG=BG. ∵ △DEF 为等边三角形,∴ DE =DF,∠FDE= 60°. ∵ ∠GDB+∠BDF = ∠EDF+∠BDF, 即∠GDF= ∠BDE,∴ △BDE≌△GDF( S. A. S. ),∴ BE =GF. ∵ GF=BF+BG=BF+BD,∴ BD+BF=BE. 基础知识抓分练 5　 尺规作图、逆命题与逆定理 1. C　 2. B 3. B　 【解析】由题意得,点 D 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴ AD= BD,∴ ∠DBA = ∠A = 30°. ∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -∠A 2 = 75°, ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠DBA = 45°. 故选 B. 4. A 5. B　 【解析】在△ABC 中,BA = BC,∠B = 80°,故∠ACB = ∠A= 50°. 根据作图步骤可得,CD 平分∠ACN,故∠DCN = ∠DCA= 65°. 故选 B. 6. C　 【解析】连结 AD,MA. ∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×6 ×AD= 18,解得 AD = 6. ∵ EF 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C,MA = MC,∴ MC+ DM=MA+DM≥AD,∴ AD 的长为 CM+MD 的最小值,∴ △CDM 的周长最短 = (CM+MD) +CD = AD+ 1 2 BC = 6 + 1 2 ×6 = 9. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与 最短路径问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解 题的关键. 7. 40°　 8. 68° 9. 3　 【解析】连结 AD、BD,作 DH⊥CB 于点 H. ∵ 点 D 在 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 3 页 AB 的垂直平分线上,∴ AD=BD. ∵ 点 D 在∠ACB 的平分 线上,DE ⊥ AC,DH ⊥ BC, ∴ DE = DH. 在 Rt △ADE 和 Rt△BDH 中, AD=BD DE=DH{ ,∴ Rt△ADE≌Rt△BDH(H. L. ), ∴ AE=BH. 同理可证 Rt△CDE≌Rt△CDH(H. L. ),∴ CE =CH=BC+BH. ∵ AE+CE = AC,∴ AE+CH = AE+BC+BH = AC,∴ 2AE+BC=AC,∴ 2AE+4 = 10,∴ AE= 3. 10. 4 3 　 【解析】过点 G 作 GH⊥AB 于点 H. ∵ ∠ACB = 90°, AC= 3,BC= 4,AB= 5,由作图过程可知:BG 平分∠ABC. ∵ GC⊥BC,GH⊥AB,∴ GH =GC,设 GH =GC = x,则有 1 2 ×5·x+ 1 2 ×4·x= 1 2 ×4×3,∴ x = 4 3 ,∴ GH = 4 3 . ∵ P 为 AB 上一动点,则 GP≥GH,∴ GP 的最小值为 4 3 . 11. 解:(1)如图,AD 即为所求; (2)∵ ∠BAC= 90°,AD⊥BC,∴ ∠ADC = ∠BAC = 90°,∴ ∠BAD+∠CAD= 90°,∠C+∠CAD = 90°,∴ ∠BAD = ∠C = 32°. 12. (1)证明:∵ OC 是∠AOB 的平分线,∴ ∠DOP = ∠EOP. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. ∵ OP = OP,∴ △ODP≌△OEP(A. A. S. ),∴ PD=PE; (2) 7 基础知识抓分练 6　 勾股定理及其逆定理 1. D　 2. D 3. D　 【解析】连结 CP,依题意,得 CP=BC=OA= 3,OC =AB = 1,∴ OP = CP2 -OC2 = 8,∴ 点 P 表示的数是 8 . 故 选 D. 4. C 5. B　 【解析】由题知一个直角三角形的面积是 1 4 ×(13-1) = 3. ∴ 1 2 ab = 3. 又∵ 大正方形的面积为 13,a2 +b2 = 13, ∴ (a+b) 2 =a2 +b2 +2ab= 25,a+b= 5. 故选 B. 6. C　 【解析】由题意知,旋转角∠DAP = ∠BAC = 60°,AD = AP,∴ △ADP 是等边三角形,故①正确;∴ AD = AP =DP. ∵ AP2 = BP2 +CP2,∴ AP≠CP,∴ △ABP 与△CBP 不全 等,故②错误;∵ AP2 = BP2 +CP2,∴ DP2 = BP2 +BD2,∴ △BDP 是直角三角形, ∴ ∠DBP = 90°,故 ③ 正确; ∵ ∠DAP= 60°,∠DBP = 90°,∴ 在四边形 APBD 中,∠BDA +∠BPA= 360°-∠DAP-∠DBP = 210°,故④正确;综上, 正确的有①③④. 故选 C. 7. 三角形三个内角都大于 60° 8. 2 或 6 　 【解析】当 2 和 2 均为直角边时,第三边 = 2+4 = 6;当 2 为斜边, 2 为直角 边, 则 第 三 边 = 4-2 = 2 . 故第三边的长为 2或 6 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【易错分析】已知直角三角形两边长,求第三边时,若 没有明确这两边是直角边还是斜边,需要分类讨论. 9. 6　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,a = 3,b = 4,∴ AB= AC2 +BC2 = 5,∴ 图中两个“月牙”即阴影部分面 积为 1 2 π·( b 2 ) 2 + 1 2 π·( a 2 ) 2 + 1 2 ab- 1 2 π·( c 2 ) 2 = 1 2 π×( 4 2 ) 2 + 1 2 π×( 3 2 ) 2 + 1 2 ×3×4- 1 2 π×( 5 2 ) 2 = 6. 10. 1 22 020 　 【解析】记第一个直角三角形的直角顶点为 E. ∵ △CDE 为等腰直角三角形,∴ CE =DE,DE2 +CE2 =DC2, ∴ 2DE2 =CD2,即 S2 = 1 2 S1 = 1 2 × 22 = 2. 同理可得:S3 = 1 2 S2 = 1 22 S1 = 1,S4 = 1 2 S3 = 1 22 S2 = 1 23 S1 = 1 2 ,∴ S2 023 = 1 22 022S1 = 1 22 022 ×4 = 1 22 020 . 11. 90°或 50° 　 【解析】 ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 100°,∴ ∠B = ∠C = 1 2 (180°-∠A)= 40°. ∵ △ABD 为 直角三角形,∴ 有以下两种情况:① ∠ADB = 90°,② ∠BAD= 90°,此时∠ADB = 180° - ∠BAD- ∠B = 180° - 90°-40° = 50°. ∴ 若△ABD 为直角三角形,则∠ADB 的 度数是 90°或 50°. 12. 解:(1) ∵ ∠ADC = 90°,AD = 4,CD = 3. 在△ADC 中,根 据勾股定理得:AC2 =AD2 +CD2 = 42 +32 = 25,AC= 5,∵ AB = 13,BC= 12,AC2 +BC2 = 25+122 = 169,AB2 = 132 = 169, ∴ AC2 +BC2 =AB2 ,根据勾股定理逆定理可知,△ABC 是 直角三角形; (2)由题意得,S四边形ABCD =S△ABC-S△ACD = 1 2 ×5×12- 1 2 ×3 ×4 = 24,则四边形 ABCD 面积为 24. 13. 解:(1)由题意得,小正方形的面积+四个直角三角形的 面积=大正方形的面积,∴ (a-b) 2 +4× 1 2 ab = c2 ,∴ a2 - 2ab+b2 +2ab= c2 ,即 a2 +b2 = c2 ; (2)由(1)知,(a-b) 2 +4× 1 2 ab = c2 ,即 4+4× 1 2 ab = 20, ∴ 1 2 ab= 4,故一个直角三角形的面积为 4. 14. 解:(1)4　 16 (2)当 t = 3. 6 或 10 时,△CBD 是直角三角形. 理由:① ∠CDB= 90°时,S△ ABC = 1 2 AC·BD = 1 2 AB·BC,则 BD = 9. 6,∴ CD = BC2 -BD2 = 7. 2,∴ t = 7. 2 ÷ 2 = 3. 6; ② ∠CBD= 90°时,点 D 和点 A 重合,t = 20÷2 = 10;综上所 述,当 t= 3. 6 或 10 时,△CBD 是直角三角形; (3)当 t= 7. 2 时,BC=BD.理由:过点 B 作 BF⊥AC 于 F, 由(2)①得 CF = 7. 2. ∵ BD =BC,∴ CD = 2CF = 7. 2×2 = 14. 4,∴ t= 14. 4÷2= 7. 2,∴ 当 t= 7. 2 时,BC=BD. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【解后反思】本题主要考查了勾股定理,等腰三角形 与直角三角形的性质,应用等面积法来解题. 注意在 解题时要考虑所有可能的情况,不能遗漏. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 4 页