抓分练4 等腰三角形的性质及判定-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

∴ ∠ECB= ∠FCD= 30°. 13. 解:( 1) 相等. 理由如下:由题意得∠BAD = ∠CAD. 在 △ABD 和 △ACD 中. ∵ AB=AC ∠BAD= ∠CAD AD=AD { , ∴ △ABD ≌ △ACD(S. A. S. ) . ∴ BD=CD; (2)∵ ∠BAC= 140°,∴ ∠BAD= ∠CAD = 1 2 ∠BAC = 1 2 × 140° = 70°. 又 ∵ ∠MBD = 120°, ∴ ∠BDA = ∠MBD - ∠BAD= 120°-70° = 50°. ∵ △ABD≌△ACD,∴ ∠CDA = ∠BDA= 50°. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形的性质及判定 1. C　 2. C　 3. D 4. C 　 【解析】 ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ MN ⊥ BC, ∴ ∠MNC= ∠MNB= 90°,∴ ∠B+∠BON = 90°,∠C+∠M = 90°, ∴ ∠M = ∠BON. ∵ ∠BON = ∠MOA, ∴ ∠M = ∠MOA,∴ AM=AO= 3. ∵ BO= 4,∴ AB = AC = AO+BO = 7, ∴ MC=AM+AC= 10. 故选 C. 5. C　 6. B 7. D　 【解析】∵ △ABC 和△DCE 是等边三角形,∴ ∠BCA = ∠DCE = 60°,AC = BC,CE = CD,∴ ∠BCE = ∠ACD,∴ △BCE≌△ACD(S. A. S. ),∴ ∠CBF = ∠CAH. ∵ ∠BFC = ∠AFG,∴ ∠AGB = ∠ACB = 60°,故①②正确;∵ ∠ACB = ∠ECD= 60°,B、C、D 在同一条直线上,∴ ∠ACE= 60° = ∠BCF, 在 △BCF 和 △ACH 中, ∠FBC= ∠HAC BC=AC ∠BCF= ∠ACH { , ∴ △BCF≌△ACH(A. S. A. ),∴ CF = CH,BF = AH,故③正 确;∵ CF=CH,∠ACH = 60°,∴ △CFH 是等边三角形,故 ④正确. 故选 D. 8. 20　 【解析】根据题意得:b2 -16b+64+ | a- 4 | = 0,即(b- 8) 2 + | a-4 | = 0,∴ b = 8,a = 4,∴ 这个等腰三角形的三边 长分别为 8,8,4 或 4,4,8(舍去),∴ 这个等腰三角形的 周长为:8+8+4 = 20. 9. 5　 【解析】作点 E 关于 AD 的对称点 F,连结 BF,交 AD 于点 P. ∵ 等边三角形为轴对称图形,∴ 点 F 在线段 AC 上,∴ PF=PE,∴ BP+PE =BP+PF≥BF,即 BP+EP 的最 小值为 BF 的长,且此时 AC⊥BF,根据等边三角形三边 上的高相等,得 AD=BF= 5. ∴ BP+EP 的最小值为 5. 10. 4 或 16　 【解析】①当点 N 在 AB 边上,点 M 在 AC 边上, 得到等腰三角形 AMN. ∵ ∠CAB= 60°∴ △AMN 是等边三 角形. 设点 M、N 运动 x 秒后,AN=AM,由运动知,AN= 12 -2x,AM=x,∴ 12-2x = x,解得 x = 4,∴ 点 M、N 运动 4 秒 后,△AMN 是等腰三角形;②当点 M、N 在 BC 上时,得到 等腰三角形 AMN,∴ AN = AM,∴ ∠AMN = ∠ANM,∴ ∠AMC=∠ANB. ∵ △ACB 是等边三角形,∴ ∠C = ∠B. 在△ACM 和△ABN 中,∠C = ∠B,∠AMC = ∠ANB,AC = AB,∴ △ACM≌△ABN(A. A. S. ),∴ CM=BN. 设当点 M、 N 在 BC 边上运动时,M、N 运动的时间 y 秒时,△AMN 是 等腰三角形,∴ CM= y-12,NB = 36-2y. ∵ CM =NB,∴ y- 12= 36 - 2y,解得 y = 16,∴ 当点 M、N 运动 16 秒后, △AMN 是等腰三角形,综上所述,当点 M、N 运动时间为 4 秒或 16 秒时,△AMN 为等腰三角形. 11. (1) 证明:∵ AC = AB,∴ ∠C = ∠B. ∵ ∠BED = ∠CFE, BE=CF,∴ △BDE≌ △CEF( A. S. A. ),∴ EF = DE,∴ △DEF 是等腰三角形. (2) 由( 1) 知,△BDE≌ △CEF,∴ ∠BDE = ∠CEF. ∵ ∠DEC = ∠B+∠BDE,∴ ∠DEF+∠CEF = ∠B+∠BDE, ∴ ∠B = ∠DEF. ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠A = 50°,∴ ∠B= 65°,∴ ∠DEF= 65°; (3)△DEF 是等边三角形. 理由:由(2)知∠DEF = ∠B. ∵ ∠DEF= ∠A,∴ ∠B= ∠A. ∵ AC=AB,∴ ∠C = ∠B,∴ ∠A = ∠B = ∠C, ∴ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠A = ∠DEF= 60°. 由(1)知△DEF 是等腰三角形,∴ △DEF 是等边三角形. 12. ( 1) BE +BD = BF 　 【解析】由题意得,AB = AC = BC, ∠BAC= 60°,AD = AE,∠DAE = 60°,∴ ∠BAE = ∠DAE- ∠BAD = 60° - ∠BAD,∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 60° - ∠BAD, ∴ ∠BAE = ∠CAD, ∴ △CAD ≌ △BAE (S. A. S. ),∴ BE=CD,∴ BE+BD=CD+BD =BC. ∵ BC = BF,∴ BE+BD=BF; (2)图 2 猜想:BE+BD=BF;图 3 猜想:BD+BF=BE. 图 3 证明:过点 D 作 DG∥AC,交 AB 于点 G. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠A = ∠C = 60°. ∵ DG∥AC,∴ ∠BGD= ∠A= 60°,∠BDG= ∠C = 60°,∴ △BDG 为等边 三角形,∴ BD=DG=BG. ∵ △DEF 为等边三角形,∴ DE =DF,∠FDE= 60°. ∵ ∠GDB+∠BDF = ∠EDF+∠BDF, 即∠GDF= ∠BDE,∴ △BDE≌△GDF( S. A. S. ),∴ BE =GF. ∵ GF=BF+BG=BF+BD,∴ BD+BF=BE. 基础知识抓分练 5　 尺规作图、逆命题与逆定理 1. C　 2. B 3. B　 【解析】由题意得,点 D 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴ AD= BD,∴ ∠DBA = ∠A = 30°. ∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -∠A 2 = 75°, ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠DBA = 45°. 故选 B. 4. A 5. B　 【解析】在△ABC 中,BA = BC,∠B = 80°,故∠ACB = ∠A= 50°. 根据作图步骤可得,CD 平分∠ACN,故∠DCN = ∠DCA= 65°. 故选 B. 6. C　 【解析】连结 AD,MA. ∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×6 ×AD= 18,解得 AD = 6. ∵ EF 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C,MA = MC,∴ MC+ DM=MA+DM≥AD,∴ AD 的长为 CM+MD 的最小值,∴ △CDM 的周长最短 = (CM+MD) +CD = AD+ 1 2 BC = 6 + 1 2 ×6 = 9. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与 最短路径问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解 题的关键. 7. 40°　 8. 68° 9. 3　 【解析】连结 AD、BD,作 DH⊥CB 于点 H. ∵ 点 D 在 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 等腰三角形的性质及判定 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 如图, △ABC 的周长是 20 cm,AB = AC = 7 cm, AD ⊥ BC 于 点 D, 则 BD 的 长 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 5 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 2 cm 第 1 题图 　 　 　 第 3 题图 2. 数学思想·分类思想 等腰三角形的一个内 角是 50°, 则 另 外 两 个 角 的 度 数 分 别 是(　 　 ) A. 65°,65° B. 50°,80° C. 65°,65°或 50°,80° D. 50°,50° 3. 文化情境·传统文化 在中国古代建筑中,有 一种常见的装饰元素叫做“斗拱” . 如图 1, 从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似 于一个等腰三角形,如图 2. 若底角∠B = 50°,则顶角∠A 的度数为(　 　 ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 如图,在△ABC 中,AB = AC,点 M 在 CA 的 延长线上,MN⊥BC 于点 N,交 AB 于点 O, 若 AO= 3,BO= 4,则 MC 的长度为(　 　 ) A. 12 B. 9 C. 10 D. 11 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 易错题 如图,M,N 为 4× 4 方格纸中格点 上的两点,若以 MN 为边,在方格中取一点 P(P 在格点上),使得△MNP 为等腰三角 形,则点 P 的个数为(　 　 ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 如图,△ABC 的面积为 16 cm2,AP 垂直∠B 的 平 分 线 BP 于 P, 则 △PBC 的 面 积 为(　 　 ) A. 7 cm2 B. 8 cm2 C. 9 cm2 D. 10 cm2 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. (泉州期末)如图,已知△ABC 与△CDE 都 是等边三角形,点 B、C、D 在同一条直线上, AD 与 BE 相交于点 G,BE 与 AC 相交于点 F,AD 与 CE 相交于点 H,连结 FH. 给出下 列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB = 60°; ③BF=AH;④△CFH 是等边三角形. 其中正 确结论的个数是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 8. 已知等腰三角形的两边长 a,b,满足 b2 + | a-4 | -16b+64 = 0,那么这个等腰三角形的 周长为　 　 　 　 . 9. (黑龙江二模)如图,在等边△ABC 中,D,E 分别为边 BC,AB 的中点,AD= 5,且 P 为 AD 上的动点,连结 EP,BP,则 BP+EP 的最小 值为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 7 情境期末·ZBH·八年级数学上 10. 如图,等边△ABC 的边长为 12 cm,M,N 两 点分别从点 A,B 同时出发,沿△ABC 的边 顺时针运动,点 M 的速度为 1 cm / s,点 N 的速度为 2 cm / s,当点 N 第一次到达 B 点 时,M,N 两点同时停止运动,则当 M,N 运 动时间 t= 　 　 　 　 s 时,△AMN 为等腰三 角形. 三、解答题(共 20 分) 11. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,点 D, E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,且∠BED = ∠CFE,BE=CF. (1)求证:△DEF 是等腰三角形. (2)当∠A= 50°时,求∠DEF 的度数. (3)若∠A = ∠DEF,请判断△DEF 是否为 等边三角形,并说明理由. 12. (黑龙江三模)(10 分)已知△ABC 为等边 三角形,点 D 在边 BC 上,点 F 在射线 AB 上,以 DF 为一边作等边三角形 DEF,连 结 BE. (1) 当点 F 与点 A 重合时,如图 1,线段 BE,BD,BF 之间的数量关系是　 　 　 　 ; (2)点 F 在 AB 边上时,如图 2,当点 F 在 AB 边的延长线上时,如图 3,猜想线段 BF,BD,BE 之间存在怎样的数量关系? 写出你的猜想,并对图 3 的猜想给予证明. 图 1 　 图 2 　 图 3 8