抓分练3 全等三角形的性质及判定-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（华东师大版）

0. 046,即 7 ≈2. 646. 基础知识抓分练 2　 整式的乘除 1. C　 2. D　 3. A　 4. A 5. B　 【解析】∵ 大正方形的边长为 a+b,∴ 大正方形的面 积=(a+b) 2 . 由图得大正方形的面积=a2 +2ab+b2,∴ (a+ b) 2 =a2 +2ab+b2 . 故选 B. 6. A 7. C 　 【解析】整理得,a3 -b3 -a2b+ab2 -ac2 +bc2 = 0,( a3 - a2b)+(ab2 -b3)-(ac2 -bc2)= 0,a2(a-b)+b2(a-b)-c2(a- b)= 0,(a-b)(a2 +b2 -c2)= 0,所以 a-b = 0 或 a2 +b2 -c2 = 0,∴ a= b 或 a2 +b2 = c2 . 故△ABC 的形状是等腰三角形或 直角三角形或等腰直角三角形. 故选 C. 8. A　 【解析】(4m+5) 2 -9 = (4m+5) 2 - 32 = (4m+ 8) (4m+ 2)= 8(m+2)(2m+1) . ∵ m 是整数,而(m+2)和(2m+1) 都是随着 m 的变化而变化的数,∴ 该多项式肯定能被 8 整除. 故选 A. 9. 1 10. ±12　 【解析】∵ x2 -mx+36 是一个完全平方式,∴ x2 -mx +36 =(x±6) 2,∴ x2 -mx+36 = x2 ±12x+36,∴ m= ±12. 11. 3 2 　 【解析】原式= 2x2 +(2m-3)x-3m,∵ 多项式展开后 不含 x 项,∴ 2m-3 = 0,∴ m= 3 2 . 12. 5 13. 解:(1)原式= 2x(x2 -4y2 )= 2x(x+2y)(x-2y); (2)原式= 3(a2 -4a+4)= 3(a-2) 2 . 14. 解:原式= x2 -4xy+4y2 +x2 -4y2 -2x2 +2xy = -2xy. 当 x = - 3 8 ,y= 4 时,原式= 3. 15. 解:(1)a2 -b2 　 (a+b)(a-b) (2)图 1 和图 2 两图中阴影部分面积相等,等量关系 a2 -b2 = (a+b)(a-b) . (3)a+b= 14,a-b= 2,a2 -b2 = (a+b)(a-b)= 14×2 = 28. 16. 解:(1)①②③ (2)①(x2 -y2 )+(x+y)　 ②(a2 -2ab+b2 )+(2a-2b) (3)原式 = (4x2 + 4x+ 1) -y2 = (2x+ 1) 2 -y2 = (2x+y+ 1) (2x-y+1) . 基础知识抓分练 3　 全等三角形的性质及判定 1. D　 2. C 3. C　 【解析】∵ ∠EAB = ∠CAD = ∠BDE,∴ ∠EAB+∠BAD = ∠CAD+∠BAD,得∠EAD = ∠BAC. ∵ ∠ADB = ∠ADE+ ∠EDB= ∠DAC+∠C,∴ ∠ADE = ∠C,在△AED 和△ABC 中, ∠EAD= ∠BAC AD=AC ∠ADE= ∠C { ,∴ △AED≌△ABC(A. S. A. ),则有 AE=AB,∠E= ∠B,DE=BC 成立. 故选 C. 4. D　 【解析】分三种情况找点,①公共边是 AC,符合条件的是△ACE;②公共边是 BC, 符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH;③公 共边是 AB,符合条件的三角形顶点不在网 格上. ∴ 共有 4 个. 故选 D. 5. C　 【解析】∵ △ADC≌△BDF,∴ AD = BD = 4. ∵ DC = 2, ∴ BC =BD+DC = 4+2 = 6,∴ S△ABC = 1 2 ×BC×AD = 1 2 ×6×4 = 12. 故选 C. 6. C　 【解析】∵ AC= 2AB,点 D 是 AC 的中点,∴ AB=DC. ∵ △ADE 是等腰直角三角形,∴ AE = DE,∠EAD = 45°, ∠ADE = 45°, ∴ ∠BAE = ∠BAC + ∠EAD = 90° + 45° = 135°,∠EDC= 180°-∠ADE = 180°- 45° = 135°. 在△ABE 和△DCE 中,AB=DC,∠BAE= ∠CDE,AE =DE,∴ △ABE ≌△DCE(S. A. S. ),∴ BE =EC,故①②正确;∴ ∠AEB = ∠DEC,∴ ∠BEC = ∠BED + ∠DEC = ∠BED + ∠AEB = ∠AED= 90°,∴ BE⊥CE. 故③正确;∵ △ABE≌△DCE, ∴ S△ABE =S△DCE . ∵ S△AEC = S△DCE +S△AED,∴ S△AEC >S△AEB,故 ④错. 故选 C. 7. 7　 【解析】由题意得,AB = BD = 12,BC = DE = 5,∴ CD = BD-BC= 12-5 = 7. 8. 55° 　 【解析】 ∵ ∠BAC = ∠DAE, ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠1 = ∠EAC,在△BAD 和△CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE ì î í ïï ï ,∴ △BAD≌△CAE(S. A. S. ),∴ ∠2 = ∠ABD= 30°. ∵ ∠1 = 25°,∴ ∠3 = ∠1+∠ABD = 25°+30° = 55°. 9. ④　 【解析】如果∠NGQ = 26°,在△GNM 和△GNQ 中, ∠GNM= ∠GNQ GN=GN ∠NGM= ∠NGQ ì î í ïï ï ,则△GNM≌△GNQ(A. S. A. ),即 NM =NQ,即可测得点 M,N 之间的距离. 10. 1 或 3 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【技巧点拨】分两种情况:①若 BP=AC= 4,AP=BQ = 8,则 △CAP≌△PBQ;②若 BP = AP = 6,AC = BQ = 4,则△ACP ≌△BQP 即可得出结果. 11. 解:①②④　 ③ 已知:如图,在△AFD 和△CEB 中,点 A、E、F、C 在同一 条直线上,AD=CB,AE=CF,AD∥BC. 求证:DF=BE. 证明:∵ AD∥BC,∴ ∠A= ∠C. ∵ AE=CF,∴ AE+EF =CF +EF,即 AF = CE,∴ 在△AFD 和△CEB 中, AD=CB ∠A= ∠C AF=CE ì î í ïï ï , ∴ △AFD≌△CEB(S. A. S. ),∴ DF=BE. (答案不唯一) 12. (1)证明:∵ AC 平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,∴ CE = CF,∠CEB = ∠F = 90°. ∵ BC = CD, ∴ Rt △ECB ≌ Rt△FCD(H. L. ),即△ECB≌△FCD; (2)解:∵ DC∥AB,∴ ∠DCA = ∠CAE = 30°. ∵ AC 平分 ∠BAD,∴ ∠DAC = ∠CAE = 30°,∴ ∠FDC = 2 ∠DAC = 60°,∴ ∠FCD = 90° -∠FDC = 30°. ∵ △ECB≌△FCD, 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 2 页 ∴ ∠ECB= ∠FCD= 30°. 13. 解:( 1) 相等. 理由如下:由题意得∠BAD = ∠CAD. 在 △ABD 和 △ACD 中. ∵ AB=AC ∠BAD= ∠CAD AD=AD { , ∴ △ABD ≌ △ACD(S. A. S. ) . ∴ BD=CD; (2)∵ ∠BAC= 140°,∴ ∠BAD= ∠CAD = 1 2 ∠BAC = 1 2 × 140° = 70°. 又 ∵ ∠MBD = 120°, ∴ ∠BDA = ∠MBD - ∠BAD= 120°-70° = 50°. ∵ △ABD≌△ACD,∴ ∠CDA = ∠BDA= 50°. 基础知识抓分练 4　 等腰三角形的性质及判定 1. C　 2. C　 3. D 4. C 　 【解析】 ∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C. ∵ MN ⊥ BC, ∴ ∠MNC= ∠MNB= 90°,∴ ∠B+∠BON = 90°,∠C+∠M = 90°, ∴ ∠M = ∠BON. ∵ ∠BON = ∠MOA, ∴ ∠M = ∠MOA,∴ AM=AO= 3. ∵ BO= 4,∴ AB = AC = AO+BO = 7, ∴ MC=AM+AC= 10. 故选 C. 5. C　 6. B 7. D　 【解析】∵ △ABC 和△DCE 是等边三角形,∴ ∠BCA = ∠DCE = 60°,AC = BC,CE = CD,∴ ∠BCE = ∠ACD,∴ △BCE≌△ACD(S. A. S. ),∴ ∠CBF = ∠CAH. ∵ ∠BFC = ∠AFG,∴ ∠AGB = ∠ACB = 60°,故①②正确;∵ ∠ACB = ∠ECD= 60°,B、C、D 在同一条直线上,∴ ∠ACE= 60° = ∠BCF, 在 △BCF 和 △ACH 中, ∠FBC= ∠HAC BC=AC ∠BCF= ∠ACH { , ∴ △BCF≌△ACH(A. S. A. ),∴ CF = CH,BF = AH,故③正 确;∵ CF=CH,∠ACH = 60°,∴ △CFH 是等边三角形,故 ④正确. 故选 D. 8. 20　 【解析】根据题意得:b2 -16b+64+ | a- 4 | = 0,即(b- 8) 2 + | a-4 | = 0,∴ b = 8,a = 4,∴ 这个等腰三角形的三边 长分别为 8,8,4 或 4,4,8(舍去),∴ 这个等腰三角形的 周长为:8+8+4 = 20. 9. 5　 【解析】作点 E 关于 AD 的对称点 F,连结 BF,交 AD 于点 P. ∵ 等边三角形为轴对称图形,∴ 点 F 在线段 AC 上,∴ PF=PE,∴ BP+PE =BP+PF≥BF,即 BP+EP 的最 小值为 BF 的长,且此时 AC⊥BF,根据等边三角形三边 上的高相等,得 AD=BF= 5. ∴ BP+EP 的最小值为 5. 10. 4 或 16　 【解析】①当点 N 在 AB 边上,点 M 在 AC 边上, 得到等腰三角形 AMN. ∵ ∠CAB= 60°∴ △AMN 是等边三 角形. 设点 M、N 运动 x 秒后,AN=AM,由运动知,AN= 12 -2x,AM=x,∴ 12-2x = x,解得 x = 4,∴ 点 M、N 运动 4 秒 后,△AMN 是等腰三角形;②当点 M、N 在 BC 上时,得到 等腰三角形 AMN,∴ AN = AM,∴ ∠AMN = ∠ANM,∴ ∠AMC=∠ANB. ∵ △ACB 是等边三角形,∴ ∠C = ∠B. 在△ACM 和△ABN 中,∠C = ∠B,∠AMC = ∠ANB,AC = AB,∴ △ACM≌△ABN(A. A. S. ),∴ CM=BN. 设当点 M、 N 在 BC 边上运动时,M、N 运动的时间 y 秒时,△AMN 是 等腰三角形,∴ CM= y-12,NB = 36-2y. ∵ CM =NB,∴ y- 12= 36 - 2y,解得 y = 16,∴ 当点 M、N 运动 16 秒后, △AMN 是等腰三角形,综上所述,当点 M、N 运动时间为 4 秒或 16 秒时,△AMN 为等腰三角形. 11. (1) 证明:∵ AC = AB,∴ ∠C = ∠B. ∵ ∠BED = ∠CFE, BE=CF,∴ △BDE≌ △CEF( A. S. A. ),∴ EF = DE,∴ △DEF 是等腰三角形. (2) 由( 1) 知,△BDE≌ △CEF,∴ ∠BDE = ∠CEF. ∵ ∠DEC = ∠B+∠BDE,∴ ∠DEF+∠CEF = ∠B+∠BDE, ∴ ∠B = ∠DEF. ∵ 在△ABC 中,AB = AC,∠A = 50°,∴ ∠B= 65°,∴ ∠DEF= 65°; (3)△DEF 是等边三角形. 理由:由(2)知∠DEF = ∠B. ∵ ∠DEF= ∠A,∴ ∠B= ∠A. ∵ AC=AB,∴ ∠C = ∠B,∴ ∠A = ∠B = ∠C, ∴ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠A = ∠DEF= 60°. 由(1)知△DEF 是等腰三角形,∴ △DEF 是等边三角形. 12. ( 1) BE +BD = BF 　 【解析】由题意得,AB = AC = BC, ∠BAC= 60°,AD = AE,∠DAE = 60°,∴ ∠BAE = ∠DAE- ∠BAD = 60° - ∠BAD,∠CAD = ∠BAC - ∠BAD = 60° - ∠BAD, ∴ ∠BAE = ∠CAD, ∴ △CAD ≌ △BAE (S. A. S. ),∴ BE=CD,∴ BE+BD=CD+BD =BC. ∵ BC = BF,∴ BE+BD=BF; (2)图 2 猜想:BE+BD=BF;图 3 猜想:BD+BF=BE. 图 3 证明:过点 D 作 DG∥AC,交 AB 于点 G. ∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠A = ∠C = 60°. ∵ DG∥AC,∴ ∠BGD= ∠A= 60°,∠BDG= ∠C = 60°,∴ △BDG 为等边 三角形,∴ BD=DG=BG. ∵ △DEF 为等边三角形,∴ DE =DF,∠FDE= 60°. ∵ ∠GDB+∠BDF = ∠EDF+∠BDF, 即∠GDF= ∠BDE,∴ △BDE≌△GDF( S. A. S. ),∴ BE =GF. ∵ GF=BF+BG=BF+BD,∴ BD+BF=BE. 基础知识抓分练 5　 尺规作图、逆命题与逆定理 1. C　 2. B 3. B　 【解析】由题意得,点 D 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴ AD= BD,∴ ∠DBA = ∠A = 30°. ∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 180° -∠A 2 = 75°, ∴ ∠DBC = ∠ABC - ∠DBA = 45°. 故选 B. 4. A 5. B　 【解析】在△ABC 中,BA = BC,∠B = 80°,故∠ACB = ∠A= 50°. 根据作图步骤可得,CD 平分∠ACN,故∠DCN = ∠DCA= 65°. 故选 B. 6. C　 【解析】连结 AD,MA. ∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×6 ×AD= 18,解得 AD = 6. ∵ EF 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C,MA = MC,∴ MC+ DM=MA+DM≥AD,∴ AD 的长为 CM+MD 的最小值,∴ △CDM 的周长最短 = (CM+MD) +CD = AD+ 1 2 BC = 6 + 1 2 ×6 = 9. 故选 C. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与 最短路径问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解 题的关键. 7. 40°　 8. 68° 9. 3　 【解析】连结 AD、BD,作 DH⊥CB 于点 H. ∵ 点 D 在 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBH·八年级数学上　 第 3 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 3　 全等三角形的性质及判定 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 如图,要测量池塘两岸相对的两点 A,B 的 距离,可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C,D, 使 BC=CD. 再作出 BF 的垂线 DE,使 A,C, E 三点在一条直线上,通过证明△ABC≌ △EDC,得到 DE 的长就等于 AB 的长,这里 证明三角形全等的依据是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. A. A. S. B. S. A. S. C. S. S. S. D. A. S. A. 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,在四边形 ABDC 中,AB=AC,DB=DC, 连结 AD、BC 交于点 E,则图中的全等三角 形有(　 　 ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 3. 如图,D 是△ABC 的边 BC 上一点,DE 交 AB 于点 F, 连结 AE, AD, 已知 AD = AC, ∠EAB= ∠CAD = ∠BDE,下列结论不一定 正确的是(　 　 ) A. AB=AE B. ∠B= ∠E C. ∠B= ∠DAF D. DE=BC 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. △ABC 是格点三角形(顶点在网格线的交 点),则在图中能够作出△ABC 全等且有一 条公共边的格点三角形(不含△ABC)的个 数是(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于点 E,AD,BE 交于点 F,△ADC≌△BDF, 若 BD = 4, CD = 2, 则 △ABC 的 面 积 为(　 　 ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 8 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,在直角三角形 ABC 中,∠BAC = 90°, AC= 2AB,点 D 是 AC 的中点,将一块锐角为 45°的直角三角板 ADE 如图放置,使三角板 斜边的两个端点分别与 A、D 重合,连结 BE、EC. 下列判断正确的有(　 　 ) ①△ABE≌△DCE;②BE=EC; ③BE⊥EC;④S△AEC =S△AEB . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. 如图,△ABC≌△BDE,若 AB= 12,ED= 5,则 CD 的长为　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 如 图 所 示, AB = AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE, ∠1 = 25°, ∠2 = 30°, 则 ∠3 = 　 　 　 　 . 9. 生活情境·测距离 如图,彭彭和欢欢去郊外 游玩,他们想测量点 N 到河对岸的点 M 之 间的距离,彭彭在点 N 的同侧选择了一点 G,测得∠MNG = 60°,∠NGM = 26°,欢欢在 点 P 处放了一块石头,使∠PNG = 60°. 要想 测得点 M,N 之间的距离,有下列四种方案: ①测量 NG 的长;②测量 PN 的长;③测量 ∠GMN 的度数;④在 GN 的下方作∠NGQ = 26°,交射线 NP 于点 Q,测量 QN 的长. 你认 为正确的是　 　 　 　 . (填序号) 5 情境期末·ZBH·八年级数学上 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 数学思想·分类思想 如图,AB = 12 m,CA ⊥AB 于 A,DB⊥AB 于 B,且 AC= 4 m,Q 点 从 B 向 D 运动,每分钟走 2 m,P 点从 B 向 A 运动,P,Q 两点同时出发,P 点每分钟走 　 　 　 　 m 时,△CAP 与△PQB 全等. 三、解答题(共 30 分) 11. ( 8 分) ( 淄 川 二 模) 如图, 在 △AFD 和 △CEB 中,点 A、E、F、C 在同一条直线上, 有下面四个选项:①AD = CB;②AE = CF; ③DF=BE;④AD∥BC. 请用其中三个作为条件,余下一个作为结 论,编一道真命题. 并写出证明过程. 条件为:　 　 　 　 (填序号) . 结论为:　 　 　 　 (填序号) . 12. (10 分)如图,已知 AC 平分∠BAD,CE⊥ AB 于点 E,CF⊥AD 的延长线于点 F,且 BC=CD. (1)求证:△ECB≌△FCD; (2)若 DC∥AB,∠DCA = 30°,求∠ECB 的 度数. 13. 文化情境·传统文化 (12 分)如图①,油纸 伞是中国传统工艺品之一,起源于中国的 一种纸制或布制伞. 油纸伞的制作工艺十 分巧妙,如图②,伞圈 D 沿着伞柄 AP 滑动 时,伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞 骨所成的∠BAC,伞骨 BD,CD 的 B,C 点固 定不动,且到点 A 的距离 AB=AC. (1)当 D 点在伞柄 AP 上滑动时,处于同一 平面的两条伞骨 BD 和 CD 相等吗? 请说 明理由; (2)如图③,当油纸伞撑开时,伞的边缘 M,N 与点 D 在同一直线上,若∠BAC = 140°,∠MBD= 120°,求∠CDA 的度数. 6