试卷4 郑东新区2023-2024学年上学期学情调研-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（北师大版 郑州专用）

(3)函数 y= 2 | x+1 | -3 有最小值,最小值为 y = -3; 函数 y= 2 | x+1 | -3 的图象关于直线 x = -1 对称(答 案不唯一) (4)5 个 (5)2 | x+1 | -3 = x+1 的解为 x1 = -2,x2 = 2. 画出函数 y= 2 | x+1 | -3 和 y = x+1 的图象,函数 y = 2 | x+1 | -3 和 y= x+1 的图象交点坐标分别为 D( -2,-1),E(2, 3),∴ 方程 2 | x+1 | -3 = x+1 的解为:x1 = -2,x2 = 2. 22. 解:(1)20　 3 (2)根据表中数据画出 B 套餐图象如图所示: (3)设 DM 段所在函数解析式为 y = kx+b,把( 20, 99),( 30, 129) 代入解析式得: 20k +b= 99 30k+b= 129{ ,解得 k= 3 b= 39{ ,∴ DM 段所在函数解析式为 y = 3x+39,当 y = 169 时,3x+39 = 169,解得 x= 130 3 ,∴ M( 130 3 ,169) . 点 M 的实际意义:当月使用流量为 130 3 GB 时,A,C 套餐所需费用为 169 元; (4)根据图象可知,当 x≤ 130 3 时,选用 A 套餐最省 钱;当 130 3 <x≤70 时,选用 C 套餐更省钱. 郑东新区上学期学情调研 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D C C C D A C D 1. D　 2. B　 3. D 4. C　 【解析】①两直线平行,内错角相等,原命题是假 命题;③若 a ∶b ∶c= 1 ∶2 ∶3,则 a+b = c,因此以 a,b,c 为 三边,不能构成三角形,更不可构成直角三角形,原 命题是假命题;综上可知,真命题有 2 个. 故选 C. 5. C　 【解析】∵ ∠CAB= ∠DAB = 30°,∴ ∠DAC = ∠DAB +∠CAB= 60°,∵ 直线 l1∥l2,∴ ∠1 = ∠DAC = 60°. 故 选 C. 6. C　 【解析】根据题意得:85×20% +90×30% +92×50% = 90(分),∴ 布布的最终成绩是 90 分. 故选 C. 7. D 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次 方程组,解决本题的关键是得到电压表数量和电流表 数量的等量关系. 8. A　 【解析】把(a,3)代入 y = x+2 得 a+2 = 3,解得 a = 1,所以点(1,3)满足解析式 y= -3x+b,所以关于 x 的 方程-3x+b= 3 的解是 x= 1. 故选 A. 9. C　 【解析】①根据函数图象可知,学校距家的距离为 10. 6km,故①正确;②根据函数图象可知,爸爸比乐 乐提前 15-10 = 5(min)到达集合地点,故②正确;③ 乐乐步行的速度为 (10. 6-10)×1000 15-9 = 100(m / min), 故③正确;④爸爸返程时的速度为 10 (30-15)× 1 60 = 40 (km / h),故④错误;综上可知,正确的有 3 个. 故选 C. 10. D　 【解析】由题知,因为△OAA1 是等腰直角三角 形,且 A1 ( 1, 1),所 以 O A1 = 1 2 +12 = 2 . 因 为 △OA1A2 是等腰直角三角形,且 OA1 = 2 ,所以 OA2 = 2OA1 = 2,则点 A2 的坐标为(0,2);同理可得,点 A3 的坐标为(-2,2);点 A4 的坐标为( -4,0);点 A5 的坐标为( -4,-4);点 A6 的坐标为(0,-8);点 A7 的坐标为(8,-8);点 A8 的坐标为(16,0);点 A9 的 坐标为(16,16);…,由此可见,每操作八次,点 Ai 的 横、纵 坐 标 都 扩 大 24 倍, 所 以 点 A8 n 的 坐 标 为 ((24) n,0) (n 为正整数),又因为 2024÷8 = 253,所 以(24) 253 = 21012,即点 A2024 的坐标为(2 1012,0) . 故选 D. 二、填空题 11. >　 【解析】∵ 3 2 = 18 ,2 3 = 12 ,而 18>12,∴ 3 2 >2 3 . 12. y= -x-1(答案不唯一) 13. 如果两个角为等腰三角形的底角,那么这两个角相 等 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查了将原命题写成条件与结 论的形式,“如果”后面是命题的条件,“那么”后面是 条件的结论,解决本题的关键是找到相应的条件和结 论. 14. 10 　 【解析】过点 D 作 DE⊥BA,交 BA 的延长线 于点 E,∴ ∠DEA = 90°,∴ ∠ADE+ ∠EAD = 90°,∵ ∠ABC = 90°, ∴ ∠ABC = ∠DEA = 90°, ∵ ∠DAC = 90°,∴ ∠EAD+∠BAC= 180°-∠DAC = 90°,∴ ∠BAC = ∠ADE,∵ AD = AC,∴ △EDA≌ △BAC( AAS),∴ DE=AB= 1,AE = BC = 2,∴ EB = AE+AB = 2+1 = 3,∴ BD= DE2 +BE2 = 12 +32 = 10 . 15. (1,0)或(9,0) 　 【解析】∵ 点 C′是由点 C 沿 AB 折 叠得到,∴ ∠C′AB = ∠CAB,当点 P 在点 A 左侧时, ∵ ∠PBA= ∠C′AB,∴ ∠PBA = ∠CAB,∴ PB∥AC,在 直线 y= x-3 中,令 x= 0,则 y= -3;令 y = 0 时,则 x = 3,∴ B(0,-3),A(3,0),∵ BC∥x 轴,∴ 点 B、C 的纵 坐标相等,C(2,a),∴ a= -3,∴ C(2,-3),BC = 2,∵ BC∥AP,∴ ∠PAB = ∠ABC,又∵ BA = AB,∠PBA = ∠BAC,∴ △PAB≌△CAB,∴ PA = BC = 2,OP = OA- PA= 1,∴ P(1,0) . 当点 P 在点 A 右侧时,∵ ∠PBA= ∠C′AB,∴ AC′∥BP. ∵ A(3,0),B(0,- 3),∴ OA = OB,∴ ∠OBA= ∠OAB = 45°,∴ ∠ABC = 45°,∴ 点 C′ 在 y 轴上,∵ BC = 2,∴ BC′ = 2,∴ OC′ = 1,∴ C′(0, -1) . 设 AC′解析式为 y = kx + b,则 3k +b= 0 b= -1{ ,解得 k= 1 3 b= -1 { ,y= 13 x-1. ∵ AC′∥BP,∴ 设 BP 的解析式为 y= 1 3 x+c,将 B(0,-3)代入得 c= -3,∴ y= 1 3 x-3,令 y= 0,则 x= 9,∴ P(9,0),综上,点 P 坐标为(1,0)或 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学上　 第 16 页 (9,0) . 三、解答题 16. 解:(1) 24 × 16 8 + | 3 -2 | + 3 -8 = 24×16 8 + 2 - 3 +( -2) = 4 3 +2- 3 -2 = 3 3 ; (2) 2x+3y= 16① 3x-y= 13②{ ,① +② × 3 得:11x = 55,解得:x = 5,把 x= 5 代入①得:10+3y = 16,解得:y = 2,∴ 原方 程组的解为: x= 5 y= 2{ . 17. 解:(1)9　 8. 5 补充完整的统计图如下: (2)七年级更好,理由:七,八年级的平均分相同,七 年级中位数大于八年级中位数,说明七年级一半以 上人不低于 9 分,七年级方差小于八年级方差,说明 七年级的波动较小,所以七年级成绩更好; (3)800× 5+7 20 +700×(5% +45%)= 830(人),答:估计 该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为 优秀的学生共有 830 人. 18. 解:(1)建立平面直角坐标系 xOy 如图所示; (2)如图所示,点 C 即为所求; (3)如图,△A1B1C1 即为所求;　 y 轴 (4) 13 +3 2 +5　 【解析】∵ BA = 32 +22 = 13 , AC1 = 3 2 +32 = 3 2 ,BC1 = 5,∴ △BAC1 的周长是 13 +3 2 +5. 19. 解:(1)∵ 点 A(2,3)和点 B( -1,-4),∴ 过 A,B 两点 的直线 l1 的斜率为:k1 = 3-( -4) 2-( -1) = 7 3 ; (2)①∵ C(2,a)、D(3,a-1)在直线 l2:y = k2x+b( k2 ≠0)上,∴ k2 = a-(a-1) 2-3 = a -a+1 -1 = -1; ②∵ k2 = - 1 < 0,∴ y 随 x 的增大而减小,∵ E( - 1, y1),F(1,y2)为直线 l2:y= k2x+b(k≠0)上不重合的 两点,-1<1,∴ y1 >y2 . 20. 解:(1)D (2)设 AD= a,则 CD = 10-a,∵ BD 是 AC 边上的高, ∴ BD⊥AC,∴ △ABD 和△BCD 为直角三角形, ∴ BD2 = AB2 -AD2,BD2 = BC2 -CD2,∴ AB2 -AD2 = BC2 - CD2,∵ AB= 4,BC= 8,∴ 42 -a2 = 82 -(10-a) 2,解得:a = 2. 6,∴ AD= 2. 6. 21. 解:(1)设甲型号的客车每辆可乘坐 x 人,乙型号的 客车每辆可乘坐 y 人,根据题意,得: 2x+3y= 270 3x+2y= 255{ . 解得: x= 45 y= 60{ . 答:甲型号的客车每辆乘坐 45 人,乙 型号的客车每辆乘坐 60 人; (2)∵ 租用甲型客车数量 a 辆,学校计划共租用 12 辆客车,∴ 租用乙型客车数量 ( 12 - a) 辆. ∴ w = 1200a+1500(12-a)= -300a+18000; (3)∵ 甲型客车只剩下 8 辆,∴ a≤8. ∵ k = -300<0, ∴ w 随 a 的增大而减小. ∴ a = 8 时,w 最小. w最小 = - 300×8+18000 = 15600. ∴ 12-a= 4. 答:租用甲型客车 数量 8 辆,乙型客车数量 4 辆,最省钱,最少租车费 用为 15600 元. 22. 解:(1)(0,6)　 【解析】设直线 AB 的解析式为 y= kx +b,把 B ( 6,0),A ( 4,2) 代入得: 6k+b= 0 4k+b= 2{ ,解得: k= -1 b= 6{ ,∴ 直线 AB 的解析式为 y = -x+6,把 x = 0 代 入得:y= 6,∴ 点 C 的坐标为(0,6); (2)作点 C 关于 x 轴的对称点 P,连接 AP,交 x 轴于 点 D,连接 CD,∴ DC =PD,∴ AD+CD = AD+PD = AP, ∵ 两点之间线段最短,∴ 此时 AD+CD 的值最小,∵ C(0,6),∴ 点 C 关于 x 轴的对称点 P 的坐标为(0, -6),设直线 AD 的解析式为 y =mx+n,根据题意,可 得: n= -6 4m+n= 2{ ,解得: m= 2 n= -6{ ,∴ 直线 AD 的解析式为 y= 2x-6,令 y= 0,则 2x-6 = 0,解得:x = 3,∴ 点 D 的 坐标(3,0); (3)S△ ACD = S△ ACP-S△ PCD = 1 2 ×[6-( -6)] ×4- 1 2 ×[6- ( -6)] ×3 = 24-18 = 6. 因此△ADC 的面积为 6. 23. 解:(1)90° 　 33° 　 【解析】∵ ∠ACB+∠ACE = 180°, OC 与 CF 是∠ACB 和∠ACE 的平分线,∴ ∠OCF = 1 2 (∠ACB+∠ACE) = 90°;∵ ∠FBC+∠F = ∠FCE, ∠ABC + ∠BAC = ∠ACE, 又 ∵ OA, OB, CF 平 分 ∠BAC,∠ABC,∠ACE,∴ ∠F = 1 2 (∠ACE-∠ABC) = 1 2 ∠BAC= 33°; (2)①∵ ∠ODB = ∠AOB,∠ABO = ∠OBD,∴ ∠BOD = ∠BAO= 1 2 ∠BAC= 33°; ②OD∥CF,理由:∵ ∠F = 33°,∠BOD = 33°,∴ OD∥ CF; (3)β = 180° - 1 2 α 或者 β = 360° - 1 2 α 　 【解析】若 ∠ABC=α,将△OCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度 β (0°<β<360°)后得到△O′CD′,∵ CD′∥BF,∠FBC = 1 2 ∠ABC= 1 2 α,∴ ∠D′CE= 1 2 α 或∠D′CB = 1 2 α,∴ β= 180°- 1 2 α 或者 β= 360°- 1 2 α. 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学上　 第 17 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 3 页　 　 　 　 试卷 4 郑东新区上学期学情调研 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. 2 的平方根是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 B. ±2 C. 2 D. ± 2 2. 在平面直角坐标系中,点 A( -2,3)到 x 轴的距离为(　 　 ) A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 3. 能够使二次根式 a-3有意义的 a 的值可以是(　 　 ) A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 4. 下列命题中,真命题的个数是(　 　 ) ①内错角相等; ②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角; ③若 a ∶b ∶c= 1 ∶2 ∶3,则以 a,b,c 为三边的三角形是直角三角形; ④若两个变量 x,y 间的对应关系可以表示成 y = kx+b (k、b 为常 数,k≠0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 5. 将两个完全相同的三角板斜边重合如图放置,其中∠CAB = ∠DAB= 30°,若直线 l1∥l2,则图中∠1 的度数为(　 　 ) A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° 第 5 题图 　 第 8 题图 　 第 9 题图 6. 某校 “校园之声”社团招新时,需考查应聘学生的应变能力、知 识储备、朗读水平三个项目,布布的三个项目得分分别为 85 分、 90 分、92 分。 若评委按照应变能力占 20%,知识储备占 30%,朗 读水平占 50%计算加权平均数来作为最终成绩,则布布的最终 成绩为(　 　 ) A. 85 分 B. 89 分 C. 90 分 D. 92 分 7. 某学校为学生配备物理电学实验器材,一个电表包内装有 1 个 电压表和 2 个电流表,某生产线共 60 名工人,每名工人每天可 生产 14 个电压表或 20 个电流表. 若分配 x 名工人生产电压表,y 名工人生产电流表,恰好使每天生产的电压、电流表配成套,则 可列出方程组(　 　 ) A. x +y= 60 2×20y= 14x{ B. x+y= 60 14 2 x= 20y ì î í ï ï ïï C. x +y= 60 14x= 20y{ D. x+y= 60 2×14x= 20y{ 8. 如图,一次函数 y = x+2 与 y = -3x+b 图象的交点的坐标为(a, 3),可以确定关于 x,y 的二元一次方程组 3x +y= b x-y= -2{ 的解和 b 的 值,则关于 x 的方程-3x+b= 3 的解是(　 　 ) A. x= 1 B. x= 2 C. x= 3 D. x= 4 9. 为避开周五放学时学校门口的交通拥堵,乐乐和爸爸商定了一 个学校附近的集合地点,爸爸开车从家出发提前到集合地点等 待,乐乐放学后从学校出发步行到达集合地,爸爸接到乐乐后再 返回家中. 假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶,二人出发时 间 t(min)与距家路程 S( km)的函数关系图象如图所示,下列说 法中正确的有(　 　 ) ①学校距家的距离为 10. 6 km; ②爸爸比乐乐提前 5 min 到达集合地点; ③乐乐步行的速度为 100 m / min; ④爸爸返程时的速度为 45 km / h. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 OAA1 的直角边 OA 在 x 轴上,点 A1 的坐标为(1,1),以点 A1 为直角顶点,OA1 为一直角边作等腰 直 角 三 角 形 OA1A2,再以点 A2 为直角顶点,OA2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3, …,依此规律, 则点 A2 024 的坐标 为(　 　 ) A. (21 011,-21 011) B. (21 011,0) C. (21 012,-21 012) D. (21 012,0) 二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 比较两数大小:3 2 　 　 　 　 2 3 . 12. y 与 x 成一次函数关系,满足 y 随 x 的增大而减小,函数图象经 过点 ( 0, - 1 ), 请 写 出 一 个 满 足 上 述 要 求 的 函 数 关 系式　 　 　 　 　 　 　 　 . 13. 命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“如果” 引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 请将“等腰三角 形的 两 底 角 相 等 ” 改 写 为 “ 如 果 …… 那 么 …… ” 的 形式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 14. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 1,BC = 2,△CAD 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形,连接 BD,则 BD 的长为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,直线 y= x-3 与 x 轴和 y 轴分别交于 A,B 两点,第四象限 中有一点 C(2, a),连接 AC,BC,BC∥x 轴. 将△ABC 沿 AB 折 叠,使点 C 落在点 C′处. 若在 x 轴上存在一点 P,满足∠PBA = ∠C′AB,则点 P 坐标为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (1)(5 分)计算: 24 × 16 8 + | 3 -2 | + 3 -8 ; (2)(5 分)解方程组: 2x +3y= 16 3x-y= 13{ . 17. (9 分)某中学为全面普及和强化急救知识和技能,特邀某医疗 培训团在全校开展了系列急救培训活动,并于结束后在七、八 年级开展了一次急救知识竞赛,竞赛成绩分为 A、B、 C、D 四个 等级,其中相应等级的得分依次记为 10 分、9 分、8 分、7 分,学 校分别从七、八年级各抽取 20 名学生的竞赛成绩整理并绘制 成如下统计图表,请根据提供的信息解答下列问题: 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8. 7 9 a 1. 01 八年级 8. 7 b 9 1. 175 　 七年级竞赛成绩统计图　 　 八年级竞赛成绩统计图 　 　 (1)根据以上信息可以求出:a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,并把七 年级竞赛成绩统计图补充完整; (2)依据数据分析表,你认为七年级和八年级哪个年级的成绩 更好,并说明理由; (3)若该校七年级有 800 人、八年级有 700 人参加本次知识竞 赛,且规定 9 分及以上的成绩为优秀,请估计该校七、八年级参 加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少? 18. (8 分)如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1, △ABC 的顶点都在网格线的交点上,点 A 的坐标为( -2,4),点 B 的坐标为( -4,1) . (1)根据上述条件,在网格中建立平面直角坐标系 xOy; 试卷 4 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·上册　 第 4 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 5 页 郑州专版·八年级数学·上册　 第 6 页 (2)点 C 的坐标为( -1,1),在平面直角坐标系中找出点 C 的 位置; (3)将点 A,B,C 的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,得到点 A1,B1,C1 的坐标,在图中找到点 A1,B1,C1,连接 A1B1,B1C1, A1C1,得到△A1B1C1,则△A1B1C1 与△ABC 的对称轴是　 　 　 　 ; (4)连接 AC1,△BAC1 的周长是　 　 　 　 . 19. (8 分)阅读材料,完成下列各题: 对于不与 x 轴、y 轴平行或重合直线 l:y= kx+b(k≠0),其中 k 叫 做直线 l 的斜率,若在直线 l 上有不重合的两点 P1(x1,y1 ),P2 (x2,y2),则斜率的计算公式为 k= y1 -y2 x1 -x2 ,此公式叫做斜率公式. (1)新知运用:已知点 A(2,3)和点 B( -1,-4),求过 A,B 两点 的直线 l1 的斜率 k1; (2)拓展迁移:若直线 l2 ∶ y = k2x+b( k2 ≠0)上有不重合四点 C (2,a),D(3,a-1),E ( -1, y1), F (1,y2) . ①求出 k2 的值; ②比较 y1 与 y2 的大小. 20. (8 分)学完勾股定理后,小宇对勾股定理产生了极大的兴趣, 通过搜集资料,整理了一篇有关勾股定理的数学学习笔记,下 面是学习笔记的部分内容,请阅读并完成相应的任务. 对勾股定理的再认识 　 　 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠, 被称为“几何学的基石” . 在我国最早对勾股定理 进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 如图 是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼 成,用它可以验证勾股定理,思路是:大正方形的面积有两种求 法,一种是等于 c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正 方形的面积之和,即 1 2 ab×4+(b-a) 2,从而得到等式 c2 = 1 2 ab×4 +(b-a) 2,化简便得结论 a2 +b2 = c2 . 这里用两种求法来表示同 一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”… 任务:请参照学习笔记中的“双求法”解决下面问题: (1)图 1、图 2 的两个正方形网格的面积分别为 S1,S2(两个网格 单位 长 度 不 同 ), 正 方 形 ABCD, MNPQ 满 足 S正方形ABCD = S正方形MNPQ,下列结论正确的是(　 　 ) A. S1 = 36 B. S正方形ABCD = 4 9 S1 C. S正方形MNPQ = 5 9 S2 D. S1 S2 = 9 10 (2) 如图,在△ABC 中,BD 是 AC 边上的高,AB= 4,BC= 8,AC= 10,求 AD 的值. 21. (10 分)为落实立德树人的根本任务,培养有理想、有本领、有 担当的新时代好少年,某校组织八年级师生开展以“寻根河南 生生不息”为主题,为期一天的“只有河南之旅”研学实践活动, 学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车,已知 2 辆甲型客车 和 3 辆乙型客车可乘坐 270 人,3 辆甲型客车和 2 辆乙型客车 可乘坐 255 人. (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人? (2)已知甲型客车每天的租车费用为 1 200 元,乙型客车每天 的租车费用为 1 500 元,学校计划共租用 12 辆客车,请写出总 租车费用 w(元)与租用甲型客车数量 a(辆)的函数关系式; (3)如果客车租赁公司的甲型客车只剩下 8 辆,乙型客车还有 很多. 在(2)的条件下,请选出最省钱的租车方案,并求出最少 租车费用. 22. (10 分)已知,在平面直角坐标系中,过点 B(6,0)的直线 AB 与 直线 OA 相交于点 A(4,2),直线 AB 与 y 轴的交点为 C. (1)点 C 的坐标为　 　 　 　 ; (2)在 x 轴上找一点 D,连接 AD,CD,使 AD+CD 的值最小,求出 此时点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,求△ADC 的面积. 23. (12 分)综合与实践 如图 1,在△ABC 中,∠BAC = 66°,三个内角平分线交于点 O, △ABC 的外角∠ACE 的角平分线交 BO 的延长线于点 F. 【问题初探】 (1)∠OCF 的度数为　 　 　 　 ,∠F 的度数为　 　 　 　 ; 【问题再探】 (2)如图 2,过点 O 作∠ODB = ∠AOB. (可直接使用问题(1)中 的结论) ①求∠BOD 的度数; ②试判断线段 OD 和 CF 之间的位置关系,并说明理由; 【拓展探究】 (3)若∠ABC=α,将△OCD 绕点 C 顺时针旋转一定角度 β(0°< β<360°)后得到△O′CD′,当 CD′所在直线与 BF 平行时,请直接 写出此时旋转角度 β 与 α 之间的关系. 图 1 　 图 2 　 备用图