试卷2 郑州市二七区、惠济区2023-2024学年上学期期末试题-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年新教材七年级数学上册（北师大版2024 郑州专用）

(3)存在,若一个碳氢化合物恰好由 80 个 H 原子组成, 则 2n+2 = 80,解得 n = 39,所以该碳氢化合物中 C 原子 的个数为 39。 郑州市中原区上学期学情调研试题卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A B C B B A D D 1. D　 2. A 3. A　 【解析】(-15)÷3 = -(15÷3)= -5,则 B 不符合题意; 8a 与 5b 不是同类项,无法合并,则 C 不符合题意;-y2 - y2 = -2y2,则 D 不符合题意。 故选 A。 4. B　 【解析】由展开图可得“数”与“养”是相对面,“学”与 “核”是相对面,“素”与“心”是相对面。 故选 B。 5. C　 【解析】A. 河南电视台《香香美食》的收视率,调查范 围广适合抽样调查,故此项不符合题意;B. 宇通客车某 批次客车的抗撞能力,调查具有破坏性适合抽样调查, 故此项不符合题意;C. 某班级学生的视力情况,范围小, 要求数据准确,适宜采用普查,故此项符合题意;D. 一批 灯泡的使用寿命,调查具有破坏性适合抽样调查,故此 项不符合题意。 故选 C。 6. B 7. B　 【解析】当 x= 2 时,原式= 22 -7 = -3<0,将 x= -3 代入 得:(-3) 2 -7 = 2。 故选 B。 8. A 9. D　 【解析】当点 C 在线段 AB 上时,BC=AB-AC= 8-3 = 5 (cm);当点 C 在线段 BA 的延长线上时,BC=AB+AC= 8+ 3 = 11(cm),所以线段 AC 的长为 5cm 或 11cm。 故选 D。 10. D　 【解析】由题知,第 1 次操作后的厚度为:0. 09 × 2mm;第 2 次操作后的厚度为:0. 09×22 mm;第 3 次操作 后的厚度为:0. 09×23 mm;所以第 n 次操作后的厚度为: 0. 09×2nmm;当 n = 10 时,0. 09× 2n = 0. 09× 210 = 0. 09× 1024 = 92. 16(mm),所以第 10 次操作后的厚度最接近 于一支中性笔的长度。 故选 D。 二、填空题 11. 4(答案不唯一) 12. 54m　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【方法点拨】本题考查了列代数式,根据各数量之间的关 系,用含 m 的代数式表示出应付最低票价总额是解题的 关键。 13. 31°30′　 【解析】由题意可知:∠1+∠2+90° = 180°,因为 ∠1 = 58°30′,所以∠2 = 180°-90°-58°30′= 31°30′。 14. 1　 【解析】根据题意得:x+6+1 = 1+0+5,y+2+0 = 1+0+ 5,3+z+5 = 1+0+5,解得:x = -1,y = 4,z = -2,所以 x+y+z = -1+4-2 = 1。 15. 4 或 14　 【解析】因为点 C 表示的数为 8,点 A 表示的数 为-10,点 B 是 AC 的中点,所以点 B 表示的数是 -10+8 2 = -1,依题意可知,运动 t 秒时,P 表示的数为:-10+4t, Q 表示的数为:-1+3t,点 P 与点 Q 之间的距离为 5 个 单位长度时,分两种情况:①P 在 Q 的左边,因为 PQ = 5,所以-1+3t-(-10+4t)= 5,解得 t = 4;②P 在 Q 的右 边,因为 PQ= 5,所以-10+4t-(-1+3t)= 5,解得 t = 14, 综上所述:当 t 为 4 或 14 秒时,点 P 与点 Q 之间的距离 为 5 个单位长度。 三、解答题 16. 解:(1)原式= 12-16-5-9 = -18; (2)原式= (-3)×2+4-1 = -6+4-1 = -3。 17. 解:3(x2y+2xy) -2(xy+ 3 2 x2y) = 3x2y+6xy- 2xy- 3x2y = 4xy,当 x= 4,y= - 1 2 时,原式= 4×4×(- 1 2 )= -8。 18. 解:如图所示: 19. 解:(1)120　 补全统计图如下: (2)108° (3)看书和写字时与书本保持一定的距离;光线太暗时 不要看书;躺卧、走路不看书;合理利用电子产品等。 (答案不唯一) 20. 解:设 B 种果汁每杯 x 元,则 A 种果汁每杯(x+1)元,由 题意得,3x+2(x+1)= 16,解得 x = 14 5 ,则 A 种果汁为14 5 +1 = 19 5 (元)。 答:A 种果汁、B 种果汁的单价分别是19 5 元 /杯,14 5 元 /杯。 21. 解:(1)b　 (a-2b) 2 　 (a-2b) 2b (2)588　 576　 (3)C (4)16000 27 　 【解析】当 a= 20cm,b= 1 6 a = 10 3 cm 时,体积 最大,最大体积为(a-2b) 2b = (20-2× 10 3 ) 2 × 10 3 = 16000 27 (cm3)。 22. 解:(1)60 (2)①因为∠BOC = 120°,所以∠AOC = 180°-∠BOC = 60°,因为 OM 平分 ∠AOC,所以 ∠AOM = 1 2 ∠AOC = 30°,因为∠MON = 90°,所以 ∠BON = 180° - ∠AOM - ∠MON= 60°; ②∠COM+ ∠BON = 30°或∠BON- ∠COM = 30°。 【解 析】若 OM 在 OC 的左侧时,因为 ∠MON = 90°,所以 ∠CON= 90°-∠COM,因为∠BOC = 120°,所以∠CON+ ∠BON = 90° - ∠COM + ∠BON = 120°, 所 以 ∠BON - ∠COM= 120°-90° = 30°;若 OM 在 OC 的右侧时,因为 ∠MON= 90°,∠BOC= 120°,所以∠BOC= ∠COM+90°+ ∠BON,所以∠COM+∠BON = 120°- 90° = 30°;综上所 述:∠COM+∠BON= 30°或∠BON-∠COM= 30°。 郑州市二七区、惠济区上学期期末试题 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A D D C C B C B C 1. C　 2. A 3. D　 【解析】A. 为了解全省初中生观看中央电视台《开学 第一课》的情况,抽取几所郑州市区初中学校的学生进 行调查,抽样片面,故此选项不合题意;B. 为了解全校学 生寒假实践作业所花费的时间,琪琪同学在网上向 5 位 好友做了调查,抽样片面,故此选项不合题意;C. 为了解 一个家庭 5 位成员的睡眠时间,采用全面调查的方式才 行,故此选项不合题意。 故选 D。 4. D　 【解析】A. 单项式 ab 的系数是 1,次数是 2,所以选项 A 错误;B. 单项式- 23a2b3 的系数是- 23,次数是 5,所以 选项 B 错误;C. - 4a2b,3ab,- 5 是多项式- 4a2b+ 3ab- 5 的项,所以选项 C 错误。 故选 D。 5. C　 【解析】因为∠AOC = 90°,∠AOD = 126°,所以∠COD = ∠AOD-∠AOC = 36°,因为∠BOD = 90°,所以∠BOC = 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·七年级数学上　 第 8 页 ∠BOD-∠COD= 90°-36° = 54°。 故选 C。 6. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】根据等式的基本性质:等式两边乘同一个数 或除以一个不为零的数,结果仍得等式,所以在两边同除 以(x-1)时要保证 x≠1,条件没给出 x≠1,所以不能同除 以(x-1),由此可得出正确选项。 7. B　 8. C 9. B　 【解析】因为同一横行、同一竖行以及同一条斜对角 线上的 3 个数相加都得 0,所以右上角的数字为 0- 0- (-1)= 1,第二行最右边的数字为 0-0-4 = -4,所以右下 角的数字为 0-1-(-4)= 3。 依题意得:x+0+3 = 0,-1+y +3 = 0,解得 x= -3,y= -2,所以 x+y= -5。 故选 B。 10. C　 【解析】令 S= 1+5+52 +53 +54 +…+52023,则 5S= 5+52 +53 +54 +…+52023 +52024,所以 5S-S = 4S = 52024 -1,所以 S = 5 2024 -1 4 ,即 1+5+ 52 + 53 + 54 +…+ 52023 = 5 2024 -1 4 。 故选 C。 二、填空题 11. 0　 【解析】因为绝对值小于 2 的整数有:0,± 1,所以绝 对值小于 2 的整数之和为:0+1+(-1)= 0。 12. 两点确定一条直线 13. -2a3b(答案不唯一) 14. x+4. 5 = 2(x-1) 15. 4045　 【解析】由图(1)知黑色圆圈为 1× 2- 1 = 1,由图 (2)知黑色圆圈为 4 = 2×2,由图(3)知黑色圆圈为 5 = 3 ×2-1,由图(4)知黑色圆圈为 8 = 4×2,由图(5)知黑色 圆圈为 9 = 5×2-1,…,所以第 n 个图形中,当 n 为奇数 时,黑色圆圈的个数为:(2n-1)个,当 n 为偶数时,黑色 圆圈的个数为:2n 个,则第 2023 个图形中黑色圆圈的 个数为:2023×2-1 = 4045(个)。 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题主要考查图形的变化规律,根据图形的 变化归纳出第 n 个图形中,当 n 为奇数时,黑色圆圈的个 数为(2n-1)个,当 n 为偶数时,黑色圆圈的个数为 2n 个 这一规律是解题的关键。 三、解答题 16. 解:(1)小杨的解法较简单; (2)原式 = (20- 1 18 ) ×( - 9) = 20 × ( - 9) - 1 18 × ( - 9) = -180+ 1 2 = -179 1 2 。 17. 解:(1)200　 72° 　 【解析】在本次随机抽取的样本中, 调查的学生总人数是 40÷20% = 200(人),“平均每天帮 助父母干家务时间在 20~ 30 分钟”的学生人数为:200- 60-40-50-10 = 40(人),在扇形统计图中,“20 ~ 30 分 钟”所在扇形对应的圆心角的度数为 360°× 40 200 = 72°; (2)3500× 50 +10 200 = 1050(人),答:估计“平均每天帮助 父母干家务的时长不少于 30 分钟”的学生大约有 1050 人; (3)①从统计图表中发现有 30%的同学不帮父母做家 务或帮父母做家务较少,我们应该加强感恩教育,引导 学生增强感恩意识,多帮父母分担家务;②孩子也是家 庭成员,父母应该让孩子参与到家庭劳动中。 (答案不 唯一) 18. 解:(1)(-12)×( 2 3 - 1 2 )-33 = (-12)× 1 6 -27 = -2-27 = -29; (2)设被污染的数字为 x,由题意,得( - 12) ×( 2 3 -x) - 33 = -15,解得 x= 5 3 ,所以被污染的数字是 5 3 。 19. 解:(1)(4a+2b+6c)　 (2a+4b+6c)　 (2)460　 440　 (3)乙打包方式节省,理由如下:(4a+2b+6c)-(2a+4b+ 6c)= 2a-2b= 2(a-b),因为 a>b>c,所以 a-b>0,故甲> 乙,乙打包方式节省。 20. 解:设天头长为 6xcm,地头长为 4xcm,则左、右边的宽 为 xcm,根据题意得,100+(6x+4x)= 4×(27+2x),解得 x = 4,答:边的宽为 4cm,天头长为 24cm。 21. 解:(1)11　 【解析】设木棒长度为 xcm,列方程:3x = 40 -7,解得 x= 11; (2)18　 29　 【解析】点 A 所表示的数是 7+11 = 18,点 B 所表示的数是 40-11 = 29; (3)设爷爷和小艺的年龄差为 x 岁,3x = 125-(-40),解 得:x= 55。 小艺年龄为- 40+ 55 = 15(岁),爷爷年龄为 125-55 = 70(岁)。 答:小艺现在的年龄为 15 岁,爷爷 现在的年龄为 70 岁。 22. 解:(1)105 (2)假设此时 BD⊥BC,设∠ABE 为 x°,当 BD 在 BC 上 方时,∠DBA = (60-x)°,∠EBC = (45-x)°,可列出:x+ (60-x)+(45-x)= 90,解得 x= 15;当 BD 在 BC 下方时, ∠ABC+∠CBD+ ∠DBE+ ∠ABE = 45° + 90° + 60° + x° = 360°,解得 x= 165,所以当∠ABE = 15°或 165°时,BD⊥ CB; (3)∠ABE 的度数为 20°或 40°或 60°或 120°。 　 【解 析】当边 BE 在三角板 ABC 外时,设∠ABE= x,则有 2x= x+60°,解得 x= 60°或 x= 2(x-60°),解得 x = 120°;当边 BE 在三角板 ABC 内时,2x+x = 60°,解得 x = 20°或 x+ 1 2 x= 60°,解得 x= 40°,综上∠ABE 的度数是 20°或 40° 或 60°或 120°。 图 1 图 2 图 3 图 4 郑州市高新区、金水区上期学情监测 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A D C C B C B 1. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法点拨】本题考查了有理数的大小比较,熟练掌握有 理数的大小比较的规则和方法是解答的关键。 根据有理 数的大小比较方法:两个负数,绝对值大的反而小进行判 断即可。 2. D　 3. D 4. A　 【解析】图中有线段 AB,BC,BD,CD,AD,AC 共 6 条, 所以结论①正确;图中共有一条直线 BD,所以结论②正 确;图中射线 DB 可表示为射线 DC,所以图中射线 DB 与 射线 DC 是同一条射线,所以结论③不正确,综上所述: 正确的结论是①②。 故选 A。 5. D 6. C　 【解析】因为直棱柱共有 12 条棱,所以该直棱柱为四 棱柱,所以所有侧面的面积之和为 3×6×4 = 72cm2。 故选 C。 7. C　 【解析】80÷50% = 160(人),所以该校被抽查的学生 人数为 160 人。 故选 C。 8. B 9. C　 【解析】设图②右下角的数为 x,右上角的数为 y,则 -2+b+x=a-3+x,即:a= b+1,a+b+y= -2+3b+y,即:a= -2 +2b,所以 b+1 = -2+2b,所以 b = 3,则 a= 4 所以 a+b = 4+ 3 = 7。 故选 C。 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·七年级数学上　 第 9 页 郑州专版·七年级数学·上册　 第 1 页 郑州专版·七年级数学·上册　 第 2 页 郑州专版·七年级数学·上册　 第 3 页　 　 　 　 试卷 2 郑州市二七区、惠济区上学期期末试题 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 (已根据最新教材修订) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 郑州奥林匹克体育中心,简称“郑州奥体中心”,位于河南省郑州 市常西湖新区,其建筑面积为 584 000 m2。 数据 584 000 用科学 记数法表示为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0. 584×106 B. 5. 84×106 C. 5. 84×105 D. 58. 4×104 2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之 宝之一,具有极高的历史价值、文化价值。 如图所示,关于它的 从正面、左面、上面三个不同的方向观察看到的平面图形,下列 说法正确的是(　 　 ) A. 从正面看与从左面看到的图形相同 B. 从正面看与从上面看到的图形相同 C. 从左面看与从上面看到的图形相同 D. 从正面、左面、上面看到的图形都相同 第 2 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 3. 下列调查方式合适的是(　 　 ) A. 为了解全省初中生观看中央电视台《开学第一课》的情况,抽 取几所郑州市区初中学校的学生进行调查 B. 为了解全校学生寒假实践作业所花费的时间,琪琪同学在网 上向 5 位好友做了调查 C. 为了解一个家庭 5 位成员的睡眠时间,采用抽样调查的方式 D. 为了解“神舟十七号”载人飞船发射前零部件的状况,检测人 员采用了普查的方式 4. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 单项式 ab 的系数是 0,次数是 2 B. 单项式-23a2b3 的系数是-2,次数是 5 C. -4a2b,3ab,5 是多项式-4a2b+3ab-5 的项 D. xy -1 3 是二次二项式 5. 如 图, ∠AOC = ∠BOD = 90°, ∠AOD = 126°, 则 ∠BOC 的 大 小为(　 　 ) A. 36° B. 44° C. 54° D. 63° 6. 将方程 2(x-1)= 3(x-1)的两边同除以(x-1),得 2 = 3,其错误 的原因是(　 　 ) A. 方程本身是错的 B. 方程无解 C. 不能确定(x-1)的值是否为 0 D. 2(x-1)小于 3(x-1) 7. 用圆规比较两条线段 A′B′和 AB 的长短(如图),下列结论正确的 是(　 　 ) A. A′B′=AB B. A′B′>AB C. A′B′<AB D. 无法比较 8. 如图,数轴上点 A,B,C,D 分别表示有理数 a,b,c,d,下列各式的 值最小的是(　 　 ) A. | a | B. | b | C. | c | D. | d | 第 8 题图 　 　 　 　 　 x 4 0 -1 y 第 9 题图 9. 幻方最早起源于中国,在《自然科学大事年表》中,对幻方做了特 别的述说:“公元前一世纪,《大戴礼》记载,中国古代有象征吉祥 的河图、洛书、纵横图,即为九宫算,被认为是现代组合数学最古 老的发现”。 请将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 分别填入如图所示 的幻方中,要求同一横行、同一竖行以及同一斜对角线上的数相 加都得 0,则 x+y 的值为(　 　 ) A. 5 B. -5 C. 3 D. 0 10. 求 1+2+22 +23 +…+22 023 的值,可令 S= 1+2+22 +23 +…+22 023,则 2S= 2+22 +23 +24 +…+22 024,因此 2S-S= 22 024 -1,仿照以上推理, 计算出 1+5+52 +53 +…+52 023 的值为(　 　 ) A. 52 023 -1 B. 52 024 -1 C. 5 2 024 -1 4 D. 5 2 023 -1 4 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 绝对值小于 2 的整数之和是　 　 　 　 。 12. 如图,妙妙将一个衣架固定在墙上,她在衣架两端各用一个钉 子进行固定。 妙妙的操作可用数学原理解释为 　 。 第 12 题图 　 　 第 15 题图 13. 请写出一个含有字母 a 和 b,且系数为-2,次数为 4 的单项式: 　 　 　 　 。 14. 《孙子算经》是中国古代数学的重要著作,其中有一道题,原文 是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不 足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头,绳子还 剩余 4. 5 尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余一尺,问木头 长多少尺? 若设木头长为 x 尺,则可列方程为 　 。 15. 如图是由一些黑色圆圈和白色圆圈摆成的图案,则第 2 023 个 图形中黑色圆圈的个数是　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 75 分) 16. (9 分)学了有理数的运算后,老师给同学们出了一道题:计算: 19 17 18 ×( -9)。 下面是两位同学的解法: 小方:原式= -359 18 ×9 = -3 231 18 = -179 1 2 ; 小杨:原式= (19+17 18 ) ×( -9)= -19×9-17 18 ×9 = -179 1 2 。 (1)两位同学的解法中,谁的解法较为简便? (2)请你写出另外一种简便的解法。 17. (10 分)某学校在寒假期间开展“心怀感恩,孝敬父母”的实践 活动,倡导学生在假期中帮助父母干家务。 开学以后,校学生 会随机抽取了部分学生,就寒假“平均每天帮助父母干家务所 用时长”进行了调查,以下是根据相关数据绘制的统计图的一 部分: 平均每天帮助父母干家 务所用时长扇形统计图 　 　 平均每天帮助父母干家 务所用时长频数直方图 根据上述信息,回答下列问题: (1)在本次随机抽取的样本中,调查的学生总人数是　 　 　 　 ; 在扇形统计图中,“20~ 30 分钟”所在扇形对应的圆心角的度数 为　 　 　 　 ; (2)如果该校共有学生 3 500 人,请你估计“平均每天帮助父母 干家务的时长不少于 30 分钟”的学生大约有多少人; 试卷 2 　 　 　 　 　郑州专版·七年级数学·上册　 第 4 页 郑州专版·七年级数学·上册　 第 5 页 郑州专版·七年级数学·上册　 第 6 页 (3)为了更好地践行“心怀感恩,孝敬父母”的倡议,请你结合 从统计结果中获得的信息谈谈你的想法。 (请写出两条) 18. (10 分)计算:( -12) ×( 2 3 - ) -33。 圆圆在做作业时,发现 题中有一个数字被污染了。 (1)如果被污染的数字是 1 2 ,请计算( -12) ×( 2 3 - 1 2 ) -33; (2)如果计算结果等于-15,求被污染的数字。 19. (11 分)近年来抖音带货盛行。 东方甄选董宇辉的直播间正在 为某农产品促销,其供货商为买家包装商品时用到长、宽、高分 别为 a 厘米、b 厘米、c 厘米的箱子,并发现有如图所示的甲、乙 两种打包方式(打包带不计接头处的长)。 回答下列问题: (1)用含 a,b,c 的式子表示甲、乙两种打包方式所用的打包带 的长度:甲需要　 　 　 　 厘米,乙需要　 　 　 　 厘米; (2)当 a= 50,b= 40,c = 30 时,直接写出甲、乙两种打包方式所 用的打包带的长度:甲需要 　 　 　 　 厘米,乙需要 　 　 　 　 厘米; (3)当 a>b>c 时,两种打包方式中,哪种方式节省打包带? 并说 明你的理由。 (甲) 　 　 　 (乙) 20. (10 分)对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示, 上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边。 一 般情况下,天头长与地头长的比是 6 ∶4,左、右边的宽相等,均为 天头长与地头长的和的 1 10 。 某人要装裱一副对联,对联的长为 100 cm,宽为 27 cm。 若要求装裱后的长是装裱后的宽的 4 倍, 求边的宽和天头长。 21. (12 分)如图,将一根木棒放在数轴(单位长度为 1 cm)上,木棒 左端与数轴上的点 A 重合,右端与数轴上的点 B 重合。 (1)若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到点 B 时,它的右端在数轴上所对应的数为 40;若将木棒沿数轴向左 水平移动,则当它的右端移动到点 A 时,它的左端在数轴上所 对应的数为 7,由此可得这根木棒的长为　 　 　 　 cm; (2) 图中点 A 所表示的数是 　 　 　 　 , 点 B 所 表 示 的 数是　 　 　 　 ; (3)受(1)(2)的启发,请借助“数轴”这个工具解决下列问题: 一天,小艺去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你 还要 40 年才出生;你若是我现在这么大,我就 125 岁啦!”分别 求爷爷和小艺现在的年龄。 22. (13 分)【动手实践】 在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论,是我们常用的 几何探究方式。 请你利用一副含有 45°角的直角三角板 ABC 和含有 30°角的直 角三角板 BDE 尝试完成探究。 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 【实验操作】 (1) 如图 1,边 BA 和边 BE 重合摆成图 1 的形状,则∠CBD = 　 　 　 　 度; (2)保持三角板 ABC 不动,将 45°角的顶点与三角板 BDE 的 60°角的顶点重合,然后摆动三角板 BDE,请问:当∠ABE 是多 少度时,BD⊥BC? 请说明理由;(∠ABE<180°) 【拓展延伸】 (3)试探索:保持三角板 ABC 不动,将 45°角的顶点与三角板 BDE 的 60°角的顶点重合,然后摆动三角板 BDE,使得∠ABD 与 ∠ABE 中其中一个角是另一个角的两倍,请直接写出所有满足 题意的∠ABE 的度数。 (∠ABE<180°)