专项2 重难易错专练(分类型解决易错重堆点)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

情境期末·九年级数学　 第 1 页 情境期末·九年级数学　 第 2 页 情境期末·九年级数学　 第 3 页 　 　 　 　 专项 2 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 一元二次方程 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 根的判别式(2 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 常考点 2　 解一元二次方程(4 题) 易错点 1　 忽视二次项系数不为 0 致错(1 题) 易错点 2　 未进行讨论导致漏解(2、3 题) 重难点　 一元二次方程的应用(5 题) 1. (3 分)方程(m-2)x | m | -3x-7 = 0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m= -2 B. m= 2 C. m= ±2 D. m≠±2 2. (3 分)(合肥三模)若关于 x 的方程 kx2 -4x-4 = 0 有实数根,则实数 k 的取值范围是(　 　 ) A. k= 0 B. k>-1 C. k≥-1 D. k≥-1 且 k≠0 3. 数学思想·分类思想 (3 分)已知△ABC 为等腰三角形,它的两条边的长度分别是方程 2x2 -7x+5 = 0 的两个根,那么该三角形的周长是　 　 　 　 . 4. (8 分)解方程: (1)x2 -x- 3 4 = 0(配方法);　 　 　 　 　 　 　 (2)3x(x-1)= 2(x-1)(因式分解法). 5. 生活情境·雪套 (8 分)随着气温的下降,市民们期待能去体验玩雪的乐趣. 为了防止玩雪时鞋子和 裤子打湿,在雪很厚的地方行走需要穿上一种特制的雪套,鞋子裤腿一起包裹的叫做全包型,只包 裹脚踝和小腿的叫做半包型,某滑雪景区第一次购进了半包型雪套和全包型雪套共 500 个,半包型 雪套进价 10 元,售价 20 元;全包型雪套进价 16 元,售价 20 元. (1)由于不知道旅客数量,为了防止亏本,第一次购进雪套的金额不得超过 6 320 元,则至少购进多 少个半包型雪套? (2)第一批雪套销量不错,景区准备再购进一批,第二批两种雪套的进价不变. 半包型雪套进货量 在(1)的最少进货量的基础上增加了 8m 个,售价比第一次提高了 2m 元;全包型雪套售价和第一次 相同,进货量为 300 个,但是在运输过程中有 5%已经损坏,无法销售. 结果第二批雪套的销售利润 为 5 044 元,求 m 的值. 类型二　 概率 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 事件的类型(1 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 常考点 2　 用频率估计概率(5 题) 重难点　 求随机事件的概率(2、3、4 题) 1. (3 分)从数学角度来看,对下列语句的判断正确的是(　 　 ) A. 诗句“黄河入海流”是随机事件 B. 诗句“手可摘星辰”是必然事件 C. 成语“水中捞月”是不可能事件 D. 谚语“竹篮打水一场空”是随机事件 2. 科技情境·载人航天 (3 分)11 月 19 日,2024 年度载人航天飞行任务标识正式发布. 按计划,2024 年将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船 等 4 次飞行任务,某视频平台从这四次飞行发射过程随机选择两次发射过程进行直播,则一次选择 天舟号货运飞船、一次选择神舟号载人飞船发射过程直播的概率为(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 文化情境·传统文化 (3 分)《朱仙镇木版年画》特种邮票于 2008 年发行,一套四枚,内容取自中国 四大传统年画之一河南朱仙镇木版年画的经典故事,分别为“步下鞭”“三娘教子” “满载而归” “凤 香兰”,面值均为 1. 2 元. 这些邮票除图案外,质地、规格完全相同. 初中毕业之际,小明想把珍藏的 这四枚邮票送给好朋友小亮两枚,于是将这些邮票背面朝上,让小亮随机抽取,则小亮抽到的邮票 正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率是(　 　 ) A. 1 3 B. 1 12 C. 1 6 D. 1 4 4. 文化情境·传统文化 (3 分)在唐代,有很多河南诗人,如杜甫,白居易,韩愈,李商隐等,如图,现有 四本唐代诗人诗集,若从中随机选两本,恰好选到的两本都是河南籍诗人诗集的概率为　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. (3 分)(昆明期末)一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共 40 个,这些球除颜色外都相同. 从袋子中随机摸一个球,记下颜色后放回,不断重复,并绘制了如图所示的统计图,则这个袋中白球 的个数最有可能是　 　 　 　 . 类型三　 旋转 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 中心对称图形的识别(1 题) 　 　 　 　 　 　 常考点 2　 关于原点对称的点的坐标特征(5 题) 重难点　 旋转的性质的应用(2、3、4、6 题) 1. (3 分)(商丘期末)2024 年 1 月 17 日 22 时 27 分,搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火 箭,在我国文昌航天发射场成功发射,中国航天取得了举世瞩目的成就. 下列有关中国航天的图标 中,是中心对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 2. (3 分)如图,△ABC 中,∠ACB= 90°,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△EDC,使点 B 的对应点 D 恰 好落在 AB 边上,AC、ED 交于点 F. 若∠BCD=α,则∠EFC 的度数是(用含 α 的代数式表示)(　 　 ) A. 90°+ 1 2 α B. 90°- 1 2 α C. 180°- 3 2 α D. 3 2 α 　 　 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 图 1 　 　 图 2 第 4 题图 3. (3 分)如图,把正方形 ABCD 绕着它的对称中心 O 沿着逆时针方向旋转,得到正方形 A′B′C′D′,A′ B′和 B′C′分别交 AB 于点 E、F,在正方形旋转过程中,∠EOF 的大小(　 　 ) A. 随着旋转角度的增大而增大 B. 随着旋转角度的增大而减小 C. 不变,都是 60° D. 不变,都是 45° 4. 科技情境·风力发电 (3 分)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式,它能够使大自然的资源得 到更好地利用. 如图 1,风力发电机有三个底端重合、两两成 120°角的叶片,以三个叶片的重合点为 原点水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系(如图 2 所示),已知开始时其中一个叶片的外端点的坐 标为点 A(5,5),在一段时间内,叶片每秒绕原点 O 顺时针转动 90°,则第 2 024 s 时,点 A 的对应点 A2 024 的坐标为(　 　 ) A. (5,5) B. ( -5,5) C. ( -5,-5) D. (5,-5) 5. (3 分)若点 A(m,-3)与点 B( -4,n)关于原点对称,则 m+2n= 　 　 　 　 . 6. (3 分)如图,长方形 ABCD 中 AB = 2,BC = 4,正方形 AEFG 的边长为 1. 正方形 AEFG 绕点 A 旋转的过程中,线段 CF 的长的最小值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 2 　 　 　 　 　 情境期末·九年级数学　 第 4 页 情境期末·九年级数学　 第 5 页 情境期末·九年级数学　 第 6 页 类型四　 圆 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 圆周角与圆心角(1 题) 　 　 　 　 　 常考点 2　 圆的弧长与扇形的面积(3、4 题) 常考点 3　 正多边形和圆(5 题) 重难点 1　 垂径定理(2 题) 重难点 2　 切线的性质与判定(6、7 题) 1. (3 分)如图,△ABC 和△ABD 内接于☉O,∠ABC= 80°,∠D= 50°,则∠BAC 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 图①　 　 图② 第 3 题图 2. 生活情境·隧道 (3 分)高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分,路面宽 AB= 8 m,净高 CD= 8 m,则此圆的半径 OA 为(　 　 ) A. 11 2 m B. 5 m C. 13 2 m D. 6 m 3. 文化情境·传统文化 (3 分)传统服饰日益受到关注,如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面 裙,马面裙可以近似地看作扇形的一部分,如图②,其中 AD ( 的长度为 π 3 米,裙长 AB= 0. 8 米,圆心角 ∠AOD= ∠BOC= 60°,则 OB 的长为(　 　 ) A. 1 米 B. 1. 8 米 C. 2 米 D. 2. 2 米 4. (3 分)如图,AB 为半☉O 的直径,点 D、E 为半圆弧的三等分点,AB= 6,则阴影部分的面积为(　 　 ) A. π B. 8 3 π C. 3 2 π D. 6π 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 5. (3 分)如图,已知正五边形 ABCDE 内接于☉O,连接 BD,则∠CDB 的度数是(　 　 ) A. 72° B. 54° C. 36° D. 30° 6. 数学思想·分类思想 (3 分)如图,在平面直角坐标系中,半径为 2 的☉P 的圆心 P 的坐标为( -3, 0),将☉P 沿 x 轴正方向平移,使☉P 与 y 轴相切,则平移的距离为(　 　 ) A. 1 或 5 B. 1 或 3 C. 3 或 5 D. 1 7. (3 分)如图,△ABC 内接于☉O,AB 为☉O 的直径,直线 CD 与☉O 相切于点 C,过点 O 作 OE∥BC, 交 CD 于点 E. 若∠BAC= 30°,则∠OEC 的度数为(　 　 ) A. 35° B. 30° C. 25° D. 20 类型五　 二次函数 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 易错点 1　 将坐标轴平移与图象平移混淆(1 题)　 易错点2　 求最值时忽略自变量的取值范围而出错(2 题) 易错点 3　 考虑不全而出错(3,4 题) 重难点 1　 二次函数的图象与性质(5、6 题) 重难点 2　 二次函数的应用(7 题) 1. (3 分)(泉州二模)抛物线的函数表达式为 y = 3(x-2) 2 +1,若将 x 轴向上平移 1 个单位长度,将 y 轴向左平移 2 个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　 　 ) A. y= 3x2 B. y= 3x2 +2 C. y= 3(x-4) 2 D. y= 3(x-4) 2 +2 2. (3 分)在二次函数 y= -x2 +2x+3 中,当 0<x<3 时,y 的取值范围是(　 　 ) A. 0<y<3 B. 1<y<4 C. 0<y≤4 D. -4≤y<0 3. 数学思想·分类思想 (3 分)如果抛物线 y = x2 - 6x+c- 2 的顶点到 x 轴的距离是 4,那么 c 的值等 于(　 　 ) A. 7 B. 15 C. 7 或 15 D. -7 或-15 4. (3 分)已知二次函数 y=ax2 +4x+a-1 的最小值为 2,则 a 的值为(　 　 ) A. 3 B. -1 C. 4 D. 4 或-1 5. (3 分)一次函数 y=ax+b 的图象如图所示,则二次函数 y=ax2 +b 的图象是(　 　 ) A. B. C. D. 6. (3 分)如图,二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A( - 1 2 ,0),B( 5 2 ,0)两点,与 y 轴正半轴 交于点 C,下列判断:①abc<0;②4ac-b2 >0;③c-a<0;④2a+b= 0;⑤若( - 1 4 ,y1 ),(3,y2 )是抛物线上 的两个点,则 y1 >y2 . 其中正确的是(　 　 ) A. ①②③　 　 　 　 　 　 B. ①②④　 　 　 　 C. ③④⑤　 　 　 　 　 D. ①④⑤ 第 6 题图 　 　 　 　 图①　 　 　 图② 第 7 题图 7. 文化情境·传统文化 (3 分)如图①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与 现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化. 如图②,“门”的内侧曲线呈抛物 线形,已知其底部宽度为 80 米,高度为 200 米. 则离地面 150 米处的水平宽度(即 CD 的 长)为　 　 　 　 . 类型六　 反比例函数与相似 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 常考点 1　 反比例函数的图象(1 题) 　 　 　 　 　 常考点 2　 位似(2 题) 重难点 1　 反比例函数的几何意义(3 题) 重难点 2　 反比例函数的性质及应用(4 题) 重难点 3　 相似三角形性质与判定的综合(5、6 题) 1. (3 分)在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax+b 与 y= b ax (其中 a、b 是常数,ab≠0)的大致图象是(　 　 ) A. B. C. D. 2. (3 分)(重庆二模)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 与△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形, 若 OB ∶OE= 1 ∶2,点 B 的坐标是(5,4),则点 E 的横坐标是(　 　 ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. (3 分)(广州一模)如图,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 O 重合,边分别与坐 标轴平行,反比例函数 y= k x 的图象与大正方形的一边交于第一象限的点 A(1,n),且经过小正方形 的顶点 B,则阴影部分的面积是(　 　 ) A. 4n2 -n B. 4(n2 -n) C. n2 -n D. 4n2 4. (3 分)直线 y= k1x+b 与双曲线 y= k2 x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式 k2 x >k1x+b 的解集为　 　 　 　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 5. (3 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AE= 2 3 AD,连接 BE,交 AC 于点 F,AC=5,则 CF 的长为　 　 　 　 . 6. 数学思想·分类思想 (3 分)如图,Rt△ACB 中,∠C = 90°,已知 AB = 13 cm,AC = 5 cm,动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm / s 的速度运动,动点 Q 从点 A 出发沿射线 AB 以 2 cm / s 的 速度运动,设运动时间为 t s,当以 B、P、Q 为顶点的三角形和△ABC 相似时, t 的值 为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 40); ②石块能飞越防御墙,理由如下:∵ B 与 O 水平距离为 28 米,BC=2 米,BC∥x 轴,BE= 6 米,∴ C(30,6),把 x = 30 代入 y=- 1 40 x2+x,得 y= - 1 40 ×900+30= 7. 5,∵ 7. 5>6, ∴ 石块能飞越防御墙; (2)由题可知 B(28,6),抛物线 y=a(x-20)2+k,∴ 把(0, 0),(28,6)代入,得 0 =a(0-20)2+k 6=a(28-20)2+k{ ,解得 a= - 1 56 ;把 C (30,6),(0,0)代入解析式,得 0 =a(0-20)2+k 6=a(30-20)2+k{ ,解得 a =- 1 50 ,∴ a 的取值范围为- 1 50 ≤a≤- 1 56 . 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 　 一元二次方程 1. A 2. C 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【技巧点拨】根据 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根;Δ =0 时,方程有两个相等的实数根;Δ<0 时,方程没有实数 根,得到关于 k 的不等式,即可求出答案. 3. 6　 【解析】解方程 2x2-7x+5= 0 得:x= 5 2 或 x= 1. ①当等 腰三角形的三边为 5 2 , 5 2 ,1 时,符合三角形三边关系定 理,此时等腰三角形的周长是 5 2 + 5 2 +1 = 6;②当等腰三 角形的三边为 5 2 ,1,1 时,不符合三角形三边关系定理, 此时等腰三角形不存在,所以等腰三角形的周长是 6. 4.解:(1)移项,得 x2 -x = 3 4 ,x2 -x+ 1 4 = 1,(x- 1 2 )2 = 1,x- 1 2 =±1,所以 x1 = 3 2 ,x2 =- 1 2 ; (2)移项,得 3x(x-1)-2(x-1)= 0,(x-1)(3x-2)= 0,x-1 =0 或 3x-2=0,所以 x1 =1,x2 = 2 3 . 5.解:(1)设第一次购进半包型 x 个,则购进全包型雪套 (500-x)个,根据题意,可得 10x+16(500-x)≤6 320,解得 x≥280.答:半包型雪套至少购进 280 个. (2)根据题意,可得(280+8m)(20+2m-10) +(300×95%× 20-300×16)= 5044,解得 m1 = 2,m2 = -42(不合题意,舍 去),∴ m的值为 2. 类型二　 　 概率 1. C　 【解析】A. 诗句“黄河入海流”是必然事件,错误;B. 诗句“手可摘星辰”是不可能事件,错误;D. 谚语“竹篮打 水一场空”是必然事件,错误. 故选 C. 2. C　 【解析】天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天 舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船分别用 A、B、C、D 表示,列表如下: A B C D A (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) 由表可知,共有 12 种等可能结果,其中一次选择天舟号 货运飞船、一次选择神舟号载人飞船的有 8 种结果,所以 一次选择天舟号货运飞船、一次选择神舟号载人飞船发 射过程直播的概率为 8 12 = 2 3 .故选 C. 3. C　 【解析】将“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香 兰”分别记为 A,B,C,D,画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,其中小亮抽到的邮票正好是 “三娘教子”和“满载而归”的结果有:BC,CB,共 2 种,∴ 小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概 率为 2 12 = 1 6 .故选 C. 4. 1 6 5. 20　 【解析】由统计图知,随着摸球次数的逐渐增大,黑 球的频率逐渐稳定于 0. 5,所以估计从袋子中随机摸一 个球,是白球的概率约为 0. 5,则袋中白球的个数约为 40 ×0. 5=20(个). 类型三　 　 旋转 1. C 2. C　 【解析】由旋转的性质可知,BC =CD,∠B = ∠EDC, ∠A=∠E,∠ACE = ∠BCD,∵ ∠BCD=α,∴ ∠B = ∠BDC = 180° -α 2 = 90°- α 2 ,∠ACE = α. ∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠A = 90°-∠B= α 2 ,∴ ∠E= α 2 ,∴ ∠EFC= 180°-∠ECF-∠E= 180°- 3 2 α.故选 C. 3. D　 【解析】连接 AO,BO,B′O,AB′,∵ 正方形 ABCD 绕着 它的对称中心 O 沿着逆时针方向旋转,得到正方形 A′B′ C′D′,∴ AO = B′O,∴ ∠OAB′ = ∠OB′A,又∵ ∠OAE = ∠OB′E=45°,∴ ∠EAB′= ∠EB′A,∴ AE =B′E. 又∵ EO= EO,∴ △AOE≌△B′OE(SSS),∴ ∠AOE = ∠B′OE. 同理 可得,∠BOF= ∠B′OF,∴ ∠EOF = ∠B′OE+∠B′OF = 1 2 ∠AOB= 1 2 ×90°=45°,∴ 在正方形旋转过程中,∠EOF 的 大小不变,是 45°.故选 D. 4. A　 【解析】∵ A(5,5),∴ A 在第一象限的角平分线上. ∵ 叶片每秒绕原点 O 顺时针转动 90°,∴ A1(5,-5),A2(-5, -5),A3(-5,5),A4(5,5),∴ A 点的坐标以每 4 秒为一个 周期依次循环. ∵ 2 024÷4=506,∴ 第 2 024s 时,点 A 的对 应点 A2024 的坐标与 A4 相同,为(5,5).故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】考查了旋转的性质,根据旋转的性质分别求 出第 1、2、3、4s 时,点 A 的对应点 A1、A2、A3、A4 的坐标,找 到规律,进而得出第 2 024s 时,点 A 的对应点 A2 024 的坐 标.找到 A 点的坐标循环的规律是解题的关键. 5. 10 6. 2 5 - 2　 【解析】连接 AF,CF,AC,∵ 长方形 ABCD 中 AB =2,BC= 4,正方形 AEFG 的边长为 1,∴ AC = 2 5,AF = 2 . ∵ AF+CF≥AC,∴ CF≥AC-AF,∴ 当点 A,F,C 在同 一直线上时,CF 的长最小,最小值为 2 5 - 2 . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 10 页 类型四　 圆 1. C　 【解析】∵ ∠D = 50°,∠C = ∠D,∴ ∠C = 50°,又∵ ∠ABC=80°,∴ ∠BAC=180°-50°-80°=50°.故选 C. 2. B　 【解析】设☉O 的半径为 rm,∵ CD= 8m,OD= (8-r) m,又∵ AB⊥CD,∴ AD= 1 2 AB= 4m,∵ AO2 =AD2 +OD2,∴ r2 =(8-r)2+42,故 r=5m. 故选 B. 3. B　 4. C　 5. C 6. A　 【解析】当☉P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时,此 时圆心 P 到 y 轴的距离是 2,P 的坐标为(-2,0),所以平 移的距离为-2-(-3)= 1;当☉P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时,此时圆心 P 到 y 轴的距离是 2,P 的坐标为 (2,0),所以平移的距离为 2-(-3)= 5.故选 A. 7. B　 【解析】连接 OC,∵ AB 为☉O 的直径,∴ ∠ACB=90°, ∵ ∠BAC=30°. ∴ ∠ABC=60°,又∵ OC=OB,∴ △OCB 是 等边三角形,则∠OCB = 60°,∵ OE∥BC,∴ ∠EOC = 60°, ∵ 直线 CD 与☉O 相切于点 C,∴ ∠ECO= 90°,∴ ∠OEC =90°-∠EOC=30°.故选 B. 类型五　 　 二次函数 1. C 2. C　 【解析】y=-x2+2x+3= -(x-1)2 +4. ∵ -1<0,对称轴为 直线 x=1,∴ 当 x=1 时,y 有最大值,最大值为 4. ∵ 3-1> 1-0,∴ 当 x=3 时,y 有最小值 0,∴ 当 0<x<3 时,y 的取值 范围是 0<y≤4.故选 C. 3. C　 【解析】∵ y=x2 -6x+c-2=(x-3)2 +c-11,∴ 抛物线顶 点坐标为(3,c-11),由题意得 |c-11| = 4,解得 c= 7 或 c= 15.故选 C. 4. C　 【解析】∵ 二次函数 y=ax2+4x+a-1 有最小值 2,∴ a> 0,y最小值 = 4a(a-1)-42 4a =2,整理,得 a2 -3a-4= 0,解得 a= -1 或 4. ∵ a>0,∴ a=4.故选 C. 5. C 6. D　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a<0. ∵ 抛物线与 y 轴 的交点在正半轴,∴ c>0,由图象,得对称轴为直线 x = - b 2a = - 1 2 + 5 2 2 =1,∴ b=-2a,∴ 2a+b=0,b>0,∴ abc<0,c- a>0,∴ ③错误,①④正确;∵ 二次函数 y=ax2+bx+c(a<0) 的图象与 x 轴有两个不同的交点,∴ b2 -4ac>0,∴ 4ac-b2 <0,故②错误;由图象可得,y1 >0,y2 <0,∴ y1 >y2,故⑤正 确;∴ ①④⑤正确.故选 D. 7. 40m　 【解析】以底部所在的直线为 x 轴,以线段 CD 的垂 直平分线所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,由图 可知点(-40,0),(40,0),(0,200)均在抛物线上,设内侧 抛物线的解析式为 y=a(x+40)(x-40),将(0,200)代入, 得:200=a(0+40)(0-40),解得 a= - 1 8 ,∴ 内侧抛物线的 解析式为 y= - 1 8 x2 +200,将 y = 150 代入得- 1 8 x2 +200 = 150,解得 x = ±20,∴ C(-20,150),D(20,150),∴ CD = 40m. 类型六　 　 反比例函数与相似 1. A　 2. D　 【解析】∵ △ABC 与△DEF 是以原点 O 为位似中心 的位似图形,∴ BC∥EF,∴ △OBC∽△OEF,∴ BC ∶EF = OB ∶OE=1 ∶2,∴ △ABC 与△DEF 的相似比为 1 ∶2. ∵ 点 B 的坐标为(5,4),∴ 点 E 的坐标是(10,8),∴ 点 E 的横坐 标是 10.故选 D. 3. B　 【解析】∵ 反比例函数 y = k x 的图象经过点 A(1,n), ∴ k=1×n=n,∴ 反比例函数的解析式为 y= n x . ∵ 小正方 形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合,边分别与坐 标轴平行,∴ 设 B 点的坐标为(m,m). ∵ 反比例函数 y= n x 的图象经过 B 点,∴ m2 =n,∴ 小正方形的面积为 4m2 =4n. ∵ 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重 合,边分别与坐标轴平行,且 A(1,n),∴ 大正方形在第一 象限的顶点坐标为(n,n),∴ 大正方形的面积为 4n2,∴ 图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面 积=4n2-4n=4(n2-n).故选 B. 4. x<-2 或 0<x<3　 　 5. 3　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB,AD =CB. ∵ AE= 2 3 AD,∴ AE= 2 3 CB. ∵ AE∥CB,∴ △EAF∽ △BCF,∴ AF CF =AE CB = 2 3 . ∵ AC=5,∴ CF= 3 5 AC=3. 6. 156 37 或 169 38 　 【解析】∵ ∠C = 90°,AB = 13cm,AC = 5cm,∴ BC= AB2-AC2 =12cm. ∵ 动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1cm/ s 的速度运动,动点 Q 从点 A 出发沿射线 AB 以 2cm/ s 的速度运动,运动时间为 ts,∴ BQ=AB-AQ=(13- 2t)cm,BP = tcm. ①当△ABC∽△QBP 时, AB QB = BC BP ,∴ 13 13-2t = 12 t ,∴ t= 156 37 ;②当△ABC∽△PBQ 时, AB BP =BC BQ ,∴ 13 t = 12 13-2t ,∴ t= 169 38 .综上,t 的值为 156 37 或 169 38 . 追梦专项三　 期末综合新颖题 1. D　 2. B 3. C　 【解析】由题意知,EF∥CH,∴ △AFE∽△AHC,∴ EF CH =AF AH ,∴ 30 CH = 60 800 ,∴ CH = 400cm = 4m,∴ CD =CH+DH = 5. 6m. 故选 C. 4. A　 【解析】作 DG⊥EF 交 FE 的延长线于点 G,DG 交反 比例函数图象于点 H. ∵ 原点 O 为正六边形 ABCDEF 的 中心,EF∥x 轴,∴ ∠EDO= 1 2 ∠EDC = 1 2 ×120° = 60°,∴ ∠EDG=30°,∴ EG= 1 2 ED,设正六边形 ABCDEF 的边长 为 a,则 E( 1 2 a, 3 2 a),H(a, 3). ∵ 点 EH 都在反比例函 数图象上,∴ 1 2 a· 3 2 a= 3a,解得 a= 0(舍)或 a= 4,∴ H(4, 3),∴ k=4 3 .故选 A. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 11 页