抓分练9 反比例函数-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 9　 反比例函数 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 已知反比例函数的图象经过点( -2,2),那 么这个反比例函数的解析式是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. y= 1 x B. y= - 1 x C. y= 4 x D. y= - 4 x 2. 下列关于反比例函数 y = 3 x 的描述中,正确 的是(　 　 ) A. 图象在第二、四象限 B. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 C. 点( -1,3)在反比例函数的图象上 D. 当 x<1 时,y>3 3. (青岛期末)一次函数 y = kx-2 和反比例函 数 y= k x 在同一平面直角系中的图象可能 是(　 　 ) A. B. C. D. 【变式】反比例函数 y= 1 -k x 图象的每条曲线 上 y 都随 x 增大而增大,则 k 的取值范围 是(　 　 ) A. k>1 B. k>0 C. k<1 D. k<0 4. 跨学科试题·物理 某个亮度可调节的台灯, 其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻 控制电流的变化来实现. 如图所示的是该 台灯的电流 I( A) 与电阻 R( Ω) 的关系图 象,该图象经过点 P(880,0. 25). 根据图象 可知,下列说法正确的是(　 　 ) A. 当 I= 0. 2 时,R= 1 000 B. I 与 R 的函数表达式是 I= 200 R (R>0) C. 当 R>500 时,I>0. 44 D. 当 880<R<1 000 时,则 0. 22<I<0. 25 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在平面直角坐标系中,BA⊥y 轴于点 A,BC⊥x 轴于点 C,函数 y= k x (x>0)的图象 分别交 BA,BC 于点 D,E. 当 AD ∶BD = 1 ∶3, 且 △BDE 的 面 积 为 18 时, 则 k 的 值 是(　 　 ) A. 9. 6 B. 12 C. 14. 4 D. 16 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. (重庆期末)若点 A( x1,1)、B( x2, - 2)、C (x3,3)都在反比例函数 y = 8 x 的图象上,则 x1、x2、x3 的大小关系是　 　 　 　 . 7. 生活情境·眼镜 已知近视眼镜的度数 D (度)与镜片焦距 f(米) 成反比例关系,且 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0. 25 米. 小 慧原来戴 400 度的近视眼镜,经过一段时 间的矫正治疗后,现在只需戴镜片焦距为 0. 4 米的眼镜了,则小慧所戴眼镜的度数降 低了　 　 　 　 度. 8. (重庆期末)如图,已知直线 y1 =mx+n(m≠ 0)与反比例函数 y2 = k x (k≠0)的图象交于 点 A( -3,4)与点 B(6,-2),则 y1 >y2 时 x 的 取值范围为　 　 　 　 . 71 情境期末·ZBR·九年级数学 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y = -x 与双曲线 y= k x 交于点 A,B、C 分别是 x、 y 轴上的点,且∠BAC= 90°,若四边形 OBAC 的面积为 5,则 k= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 30 分) 10. (10 分)(苏州期末)如图,一次函数 y = kx +b 的图象与反比例函数 y = m x (x>0)的图 象交于 A(1,6),B(3,n)两点,与 x 轴交于 点 C. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)连接 OA,OB,求△AOB 的面积. 11. 跨学科试题·物理 (10 分)紫外线杀菌灯 的电阻 y( kΩ)随温度 x(℃ ) 的变化的大 致图象如图所示. 通电后温度由室温 10 ℃上升到 30 ℃ 时,电阻与温度成反比的 函数关系. 且在温度达到 30 ℃ 时,电阻下 降到最小值,随后电阻随温度升高而增 加,温度每上升 1 ℃ ,电阻增加 4 15 kΩ. (1)当 10≤x≤30 时,求 y 与 x 之间的关系 式; (2)紫外线杀菌灯在使用过程中,温度 x 在什么范围内时,电阻不超过 6 kΩ. 12. (10 分)如图,一次函数 y = ax+ 3 2 (a≠0) 的图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象 交于点 A,B,与 x 轴交于点 C,其中 A( -1, 2) . (1)a 的值为　 　 　 　 ,k 的值为　 　 　 　 ; (2)在反比例函数的图象上是否存在一点 P,使 S△POC +S△BOC = 1? 若存在,请求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由; (3)请结合函数图象直接写出不等式组 0 <ax+ 3 2 ≤ k x 的解集. 81 为 90°,∴ 图中阴影部分面积是 90π·20 360 - 90π·13 360 = 7 4 π. 10. 解:(1) 连接 AC,∵ ∠ABC = 90°,∴ AC 为☉O 的直 径,∴ ∠ADC = 90°,∵ AD = CD,∴ ∠ACD = ∠CAD = 45°,∵ PA 为☉O 的切线, ∴ CA⊥PA, ∴ ∠PAC = 90°,∴ ∠P= 90°-∠ACD= 45°; (2) 在 Rt △ABC 中,AC = AB2 +BC2 = 10,∵ ∠P = ∠ACP = 45°, ∴ AP = AC = 10, ∵ ∠ADC = 90°, ∴ △APD 为等腰直角三角形,∴ PD2 +AD2 = AP2,∴ PD2 +PD2 =AP2,∴ PD= 5 2 . 11. (1)证明:连接 OP,∵ OA =OP,∴ ∠A = ∠APO,∵ CP =CB,∴ ∠B = ∠BPC,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, ∴ ∠A+∠B = 90°,∴ ∠APO+∠BPC = 90°,∴ ∠OPC = 180°-90° = 90°,∴ OP⊥CP,∴ 直线 CP 是☉O 的 切线; (2)解:在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠B = 60°,BC = 3 3 ,∴ ∠BAC= 30°,AB = 6 3 ,∴ 在 Rt△ABC 中,AC = AB2 -BC2 = 9,∵ PC = BC = 3 3 ,设☉O 的半径为 r,在Rt△OPC 中,r2 +(3 3 ) 2 = (9-r) 2,解得 r = 3,∴ ☉O 的半径为 3. 12. 解:(1)作图如下; (2)由题意得:OP 为☉C 的直径,∴ ∠OQP = 90°,∴ OQ⊥PQ,∵ OQ 为☉O 的半径,∴ 直线 PQ 为☉O 的 切线; (3)连接 OD. ∵ OQ= 2,OP= 6,在 Rt△OPQ 中,PQ= OP2 -OQ2 = 4 2 ,由图知 AB 为 OP 的垂直平分线, ∴ OD = PD, 设 QD = x, 则 OD = PD = 4 2 - x, 在 Rt△OQD 中,OD2 =OQ2 +QD2,∴ (4 2 -x) 2 = 22 +x2, 解得 x= 7 2 4 ,∴ OD= 4 2 - 7 2 4 = 9 2 4 . 基础知识抓分练 8 概率初步 1. A 2. A　 【解析】所有等可能的情况有 9 种,其中小亮获胜 的情况有 3 种,所以小亮获胜的概率是 P= 3 9 = 1 3 ,爸 爸获胜的情况有 3 种,所以爸爸获胜的概率是 P = 3 9 = 1 3 ,所以游戏公平. 故选 A. 3. B 4. B　 【解析】∵ 共有 12 种等可能的结果,现任意闭合 其中两个开关,则小灯泡发光的有 4 种情况,∴ 小灯 泡发光的概率为 1 3 . 故选 B. 5. D　 【解析】共有 12 种等可能的结果,其中两人恰好 介绍“红旗渠”和“清明上河园”的结果有 2 种,∴ 两 人恰好介绍“红旗渠”和“清明上河园”的概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 6. 9 4 　 【解析】根据题意可估计不规则区域的面积是 3 ×3×0. 25 = 9 4 (m2) . 7. 3 4 　 【解析】共有 4 种等可能的结果,其中他们的子 女可以卷舌的结果有:RR,Rr,Rr,共 3 种,∴ 他们的 子女可以卷舌的概率为 3 4 . 8. 解:(1) 1 5 (2)列表如下: A B C D E A (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) B (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C (C,A) (C,B) (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,E) E (E,A) (E,B) (E,C) (E,D) 共有 20 种等可能的结果,其中他们两人所抽卡片中 有“A. 梦圆天路”的结果有:(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,A),(C,A),(D,A),(E,A),共 8 种,∴ 他 们两人所抽卡片中有“A. 梦圆天路” 的概率为 8 20 = 2 5 . 9. 解:(1)4　 0. 44 补全条形统计图如图所示; (2)抽取的总人数为 18÷0. 36 = 50(人),2000× 6+4 50 = 400(人) . ∴ 估计该校“基本了解”和“不太了解”退 林还耕知识的学生共约 400 人; (3)列表如下: 男 男 女 女 男 (男,男) (男,女) (男,女) 男 (男,男) (男,女) (男,女) 女 (女,男) (女,男) (女,女) 女 (女,男) (女,男) (女,女) 共有 12 种等可能的结果,其中恰好选中 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种,∴ 恰好选中 1 名男生和 1 名 女生的概率为 8 12 = 2 3 . 基础知识抓分练 9 反比例函数 1. D　 2. B 3. D 【变式】A　 【解析】∵ 反比例函数 y = 1-k x 的图象上的 每一条曲线上,y 随 x 的增大而增大,∴ 1-k<0,∴ k> 1. 故选 A. 4. D　 【解析】设反比例函数的解析式为 I = k R ,把点 P 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 6 页 坐标代入,解得 k= 220,即函数解析式为 I = 220 R ,故 B 不正确;当 I = 0. 2 时,R = 1100;故 A 不正确;当 R = 500 时,I= 0. 44,由图象知,当 R>500 时,I<0. 44;故 C 不正确;当 R= 880 时,I= 220 880 = 0. 25;当 R = 1000 时,I = 220 1000 = 0. 22,表明当 880 <R< 1000 时,则 0. 22 < I< 0. 25;故 D 正确. 故选 D. 5. D　 【解析】过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,过点 E 作 EG ⊥y 轴于点 G. 设 B(4a,b),E(4a,d) . ∵ AD ∶ BD = 1 ∶3,∴ D(a,b) . 又∵ △BDE 的面积为 18,∴ BD = 3a, BE= b-d,∴ 1 2 ×3a(b-d)= 18,∴ a(b-d)= 12,即 ab- ad= 12,∵ D,E 都在反比例函数图象上,∴ ab = 4ad, ∴ 4ad-ad= 12,解得 ad= 4,∴ k= 4ad= 16. 故选 D. 6. x2 <x3 <x1 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【技巧点拨】根据反比例函数 y = 8 x 的图象位于第一、 三象限,且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,再结合 A,B,C 三点的位置即可解决问题. 7. 150　 【解析】设函数的解析式为 f = k D (k≠0),∵ 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0. 25 米,∴ k = 400×0. 25 = 100,∴ 解析式为 f= 100 D ,∴ 当 f= 0. 4 时,D= 250,∵ 小 慧原来戴 400 度的近视眼镜,∴ 小慧所戴眼镜的度数 降低了 400-250 = 150(度) . 8. x<-3 或 0<x<6 9. -5　 【解析】过点 A 作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别 为 M 和 N,因为点 A 在直线 y = -x 上,所以 AM = AN, 又 AM⊥x 轴,AN⊥y 轴,∠MON = 90°,故四边形 A- MON 是正方形. 又∠BAC = 90°,所以∠BAM+∠MAC = 90°,又∠MAC+∠NAC = 90°,所以∠BAM = ∠CAN. 又 AM = AN,∠AMB = ∠ANC,所 以 △ABM ≌ △ACN (ASA) . 则 S△ABM = S△ACN . 所以 S正方形AMON = S四边形ABOC = 5. 故 AM·AN= 5,∴ k= -5. 10. 解:(1)∵ 一次函数 y = kx+b 的图象与反比例函数 y = m x (x>0)的图象交于 A(1,6),B(3,n)两点,∴ m= 6×1 = 3×n,∴ m= 6,n= 2,∴ A(1,6),B(3,2)代入 y= kx+b 得, k = -2 b= 8{ ,∴ 一次函数解析式为 y = -2x+8,反 比例函数的解析式为 y= 6 x ; (2)∵ 一次函数解析式 y = -2x+8 图象交 x 轴为点 C,∴ C(4,0),∵ △AOB 面积 = △AOC 面积-△COB 面积= 1 2 ×4×6- 1 2 ×4×2 = 12-4 = 8. 11. 解:(1)设 y = m x . ∵ 过点(10,6),∴ m = xy = 10×6 = 60,∴ 当 10≤x≤30 时,y 与 x 的关系式为:y= 60 x ; (2)将 x= 30 代入上式中得:y= 2,∴ 温度在 30℃时, 电阻为 2kΩ. ∵ 在温度达到 30℃ 时,电阻下降到最 小值;随后电阻随温度升高而增加,温度每上升 1℃ ,电阻增加 4 15 kΩ,∴ 当 x≥30 时,y= 2+ 4 15 (x-30) = 4 15 x-6,把 y= 6 代入 y = 4 15 x-6,得 x = 45. 答:当 10 ≤x≤45 时,电阻不超过 6kΩ. 12. 解:(1) - 1 2 　 -2 (2)存在. ∵ y= - 1 2 x+ 3 2 ,∴ 点 C 的坐标为(3,0),联 立 y= - 1 2 x+ 3 2 和 y = -2 x ,解得:x = 4 或 x = - 1 (舍 去),∴ 点 B 的坐标为(4,- 1 2 ),∴ S△BOC = 1 2 OC· | yB | = 1 2 ×3× 1 2 = 3 4 ,S△POC +S△BOC = 1,∴ S△POC = 1 4 , 设点 P 的坐标为( xp, -2 xp ),∴ S△POC = 1 2 OC· | yp | = 1 2 ×3 | yp | = 1 2 ×3 | -2 xp | = 1 4 ,解得:xp = 12 或-12; (3)该不等式组的解集为-1≤x<0. 基础知识抓分练 10 相似 1. C　 2. D　 3. A 4. B　 【解析】∵ AC = 2,CE = 3,∴ AE = 5,∵ a∥b∥c,∴ BD BF =AC AE = 2 5 . 故选 B. 5. D 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC = 90°, AD∥BC,AD = BC,∴ ∠EAC = ∠ACB,∵ BE⊥AC,∴ ∠AFE = 90°,∵ ∠EAF = ∠ACB,∠AFE = ∠CBA,∴ △AEF∽△CAB,所以①正确;∵ E 是 AD 边的中点, ∴ AE= 1 2 AD= 1 2 BC,∵ AE∥BC,∴ △AEF∽△CBF,∴ AF CF = AE BC = 1 2 ,∴ CF = 2AF,所以②正确;过 D 点作 DH ⊥AC 于点 H,∵ EF∥DH,∴ AF FH = AE DE = 1,∴ AF=FH,∵ CF= 2AF,∴ FH=CH,∴ DH 垂直平分 CF,∴ DF =DC, 所以③正确. 故选 B. 7. ∠ABD= ∠C(答案不唯一) 　 8. 8 9. 0. 5 　 【解析】 ∵ OA ∶ OC = OB ∶ OD = 2 ∶ 1,∠COD = ∠AOB,∴ △COD∽△AOB,∴ AB ∶CD = 2 ∶ 1,∵ CD = 3cm,∴ AB = 6cm,∵ 某零件的外径为 7cm,∴ 零件的 厚度为:(7-6)÷2 = 1÷2 = 0. 5(cm) . 10. 8. 4 或 2 或 12　 【解析】设 DP= x,则 BP =BD-x = 14 -x,∵ AB⊥BD 于 B,CD⊥BD 于 D,∴ ∠B = ∠D = 90°,当 AB CD = BP DP 时,△ABP∽△CDP,即 6 4 = 14 -x x ,解 得 x= 28 5 ,∴ BP = 14- 28 5 = 8. 4,当 AB DP = BP DC 时,△ABP ∽△PDC,即 6 x = 14 -x 4 ;整理得 x2 -14x+24 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 12,BP= 14-2 = 12 或 BP = 14-12 = 2,∴ 当 BP 为 8. 4 或 2 或 12 时,以 C、D、P 为顶点的三角形 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 7 页