抓分练6 圆及其相关性质-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

- 4 49 ,∴ y= - 4 49 (x-5) 2 +4; (2)该男生在此项考试中能得满分. 理由如下:令 y = 0,即- 4 49 (x-5) 2 +4 = 0,解得 x1 = 12,x2 = -2(舍去) . ∵ 12>11. 4,∴ 该男生在此项考试中能得满分. 7. 解:(1)根据销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩 具,可知销售单价为 x 元时,就会少售出 10(x-40)件 玩具,则销量为 y= 600-10(x-40)= 1000-10x; (2)依题意得:( x- 30) (1 000 - 10x) = 10 000,化简 得:x2 -130x+4 000 = 0,∴ (x-50) ( x-80) = 0,∴ x1 = 50,x2 = 80,∵ x>40,∴ 销售价应定为 50 元或 80 元; (3)∵ 该品牌玩具销售单价不低于 44 元,且商场要 完成不少于 540 件的销售任务,∴ 1 000-10x≥540 x≥44{ , ∴ 解得 44 ≤ x≤46,而 w = ( x - 30) ( 1 000 - 10x) = -10x2 +1 300x-30 000,∵ a = -10<0,∴ 开口向下,有 最大值,∴ x = - 1300 2×( -10) = 65,∴ 当 44≤x≤46 时,w 随 x 的增大而增大,∴ x= 46 时,w 最大,∴ wmax = (46- 30)(1 000-460) = 8 640 元,答:该商场销售该品牌 玩具获得的最大利润是 8 640 元. 8. 解:(1)由题意得 A(2,1. 6)是上边缘抛物线的顶点, 设 y= a(x-2) 2 +1. 6,又∵ 抛物线过点(0,1. 2),∴ 1. 2 = 4a+1. 6,∴ a= -0. 1,∴ 上边缘抛物线的函数解析式 为 y= -0. 1(x-2) 2 +1. 6,当 y= 0 时,-0. 1(x-2) 2 +1. 6 = 0,解得 x1 = 6,x2 = -2(舍去),∴ 喷出水的最大射程 OC 为 6m; (2)∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ 点(0,1. 2)的对称点为 (4,1. 2),∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平 移 4 个单位长度得到的,∴ 点 B 的坐标为(2,0); (3)2≤d≤ 11 -1. 　 【解析】∵ EF = 0. 5,∴ 点 F 的 纵坐标为 0. 5,∴ 0. 5 = -0. 1(x-2) 2 +1. 6,解得 x = 2± 11 ,∵ x>0,∴ x = 2+ 11 ,当 x>2 时,y 随 x 的增大 而减小,∴ 当 2 ≤ x≤6 时,要使 y≥0. 5,则 x≤2 + 11 ,∵ 当 0≤x≤2 时,y 随 x 的增大而增大,且 x = 0 时,y= 1. 2>0. 5,∴ 当 0≤x≤6 时,要使 y≥0. 5,则 0 ≤x≤2+ 11 ,∵ DE= 3,灌溉车行驶时喷出的水能浇 灌到整个绿化带,∴ d 的最大值为 2+ 11 -3 = 11 - 1,再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底 部的条件是 d≥OB,∴ d 的最小值为 2,综上所述,d 的取值范围是 2≤d≤ 11 -1. 基础知识抓分练 5 旋转 1. C 2. D　 【解析】将点 P(3,2)向右平移 2 个单位长度后的 坐标为(5,2),∴ (5,2)关于原点中心对称后的点的 坐标为(-5,-2) . 故选 D. 3. A 　 【解析】 ∵ AB 与地面的夹角 ∠CAB 为 61°,∴ ∠BAB′= 180°-∠CAB= 180°-61° = 119°,即旋转角为 119°,∴ 箕面 AB 绕点 A 旋转的度数为 119°. 故选 A. 4. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【技巧点拨】连接 EG,由正方形 ABCD,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置,过点 A 作 EF 的垂 线,得 AE=AF,DE=BF,AG 垂直平分 FE,进而得到 EG =FG,设 CE= x,则 DE= 10-x =BF,则 CE2 +CG2 =EG2, 即可求得 CE 的长度. 5. B　 【解析】∵ 矩形 ABOC 的顶点 O 为坐标原点,BC = 2,对角线 OA 在第二象限的角平分线上,∴ OA =BC = 2,∵ 每秒旋转 45°,故 8 次一个循环,2025 ÷ 8 = 253 ……1,∴ 第 2025 秒时,点 A 的对应点 A2025 落在 y 轴 正半轴上,∴ 点 A2025 的坐标为(0,2) . 故选 B. 6. 72 7. 1. 6　 【解析】由旋转的性质可知,AD = AB,∵ ∠B = 60°,∴ △ADB 为等边三角形,∴ BD = AB = 2,∴ CD = CB-BD= 1. 6. 8. 20°或 40°　 【解析】∵ △ABC 绕 C 点逆时针方向旋转 得到△DEC,∴ AC=CD,∴ ∠ADF= ∠DAC= 1 2 (180°- α),∴ ∠DAF= ∠ADC-∠BAC = 1 2 (180°-α) -30°,根 据三角形的外角性质,∠AFD = ∠BAC+∠DCA = 30°+ α,△ADF 是等腰三角形,分三种情况讨论,①∠ADF = ∠DAF 时, 1 2 (180°-α)= 1 2 (180°-α) -30°,无解, ②∠ADF= ∠AFD 时, 1 2 (180°-α)= 30°+α,解得 α = 40°,③∠DAF= ∠AFD 时, 1 2 (180°-α)-30° = 30°+α, 解得 α= 20°,综上所述,旋转角 α 度数为 20°或 40°. 9. 解:(1)( -1,0) (2)如图,△A2B2C2 即为所求. (3)如图,△A3B3C3 即为所求. 10. 解:(1)由题意知,旋转角为∠DAB = ∠BAC = 180°- ∠B-∠ACB= 125°,∴ 旋转角的度数为 125°; (2)由旋转的性质可知,旋转中心为点 A,∠DAE = ∠BAC = 125°, ∴ ∠BAE = 360° - ∠BAC - ∠DAE = 110°,由旋转的性质可得,AD = AB = 4cm,AE = AC,∵ 点 C 恰好成为 AD 的中点,∴ AC = CD = 2cm,∴ AE = 2cm. 11. 解:发现:①等边三角形　 ②BD=CE　 120 论证:①BD = CE,理由如下:由题意知,∠BAC = α = 90° = ∠DAE,由旋转的性质可知,AD = AE,∵ ∠DAE +∠DAC= ∠BAC+∠DAC,∴ ∠BAD= ∠CAE,又∵ AB =AC,∴ △BAD≌△CAE(SAS),∴ BD=CE; ② ∵ ∠BAC = 90°, AB = AC, ∴ ∠B = ∠ACB = 180°-∠BAC 2 = 45°,由论证①可知,△BAD≌△CAE (SAS),∴ ∠ACE = ∠ABD = 45°,∴ ∠BCE = ∠ACB+ ∠ACE= 90°,∴ ∠BCE 的度数为 90°; 拓展:DE 的长为 5或 17 . 基础知识抓分练 6 圆及其相关性质 1. A 2. C　 【解析】∵ 点 A 为 BC ( 的中点,∴ AB ( =AC ( ,∴ ∠BOA = 2∠ADC,∵ ∠BOA=α,∴ ∠ADC= 1 2 α. 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 4 页 3. B　 【解析】设 AB 的中点为 O,连接 OD,∵ 以量角器 的直径 AB 为斜边画直角三角形 ABC,∴ A、C、B、D 四 点共圆,∵ 量角器上点 D 对应的度数是 100°,∴ ∠BOD= 180°-100° = 80°,∴ ∠BCD= 1 2 ∠BOD= 40°. 故选 B. 4. A　 【解析】过点 O 作 OE⊥CD 于点 E,连接 OD,∵ AB =AP+BP= 1+5 = 6,∴ OD=OA= 3,∴ OP=OA-AP= 3- 1 = 2,∵ ∠OPE = ∠APC = 45°,∴ △OPE 是等腰直角 三角 形, ∴ PE = OE = 2 , 在 Rt △OED 中, DE = OD2 -OE2 = 9-2 = 7 ,∵ OE⊥CD,∴ CE = DE,∴ CD= 2DE= 2 7 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】本题考查垂径定理,解题的关键是根据题 意作出相关辅助线,从而构造直角三角形,利用垂径 定理和勾股定理进行求解,注意运用数形结合的思想 方法. 5. A　 【解析】连接 OB,∵ l⊥AB,AB = 48mm,∴ BD = AD = 1 2 AB = 24mm,在 Rt△BOD 中,BD = 24mm,OD = OC -CD = ( r- 12) mm,OB2 = BD2 +OD2,∴ r2 = 242 +( r - 12) 2,解得 r= 30. 故选 A. 6. 60°　 【解析】∵ BC ( = CD ( = DE ( ,∠COD = 40°,∴ ∠BOC = ∠DOE = ∠COD = 40°,∴ ∠AOE = 180° - 40° × 3 = 60°. 7. 40° 8. 1cm　 【解析】连接 AB,OA,过点 O 作 OG⊥CD 于点 G,交 AB 于点 E,交☉O 于点 F. ∵ AC⊥CD,BD⊥CD, ∴ AC∥BD,∵ AC = BD,∴ 四边形 ACDB 是平行四边 形,∵ ∠ACD = 90°,∴ 四边形 ACDB 是矩形,∴ AB∥ CD,AB= CD = 16cm,∵ OG⊥CD,∴ OG⊥AB,∴ AE = EB= 8cm,∴ OE = OA2 -AE2 = 102 -82 = 6( cm),∴ EF=OF-OE = 10-6 = 4( cm),∵ EG = AC = BD = 5cm, ∴ FG=EG-EF= 5-4 = 1(cm),∴ 圆盘离桌面 CD 最近 的距离是 1cm. 9. 3 -1　 【解析】过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,连接 OP、 OC,∵ AB = 3,∴ 由垂径定理可知:BD = AD = 1 2 AB = 3 2 ,∵ BO= 3 ,∴ 由勾股定理可知:OD = 3 2 ,∵ AC = 1,∴ CD=AD-AC = 1 2 ,∴ 由勾股定理可知:OC = 1,在 △OCP 中,由三角形三边关系可知:PC>OP-OC,∴ 当 O、C、P 三点共线时,PC 可取得最小值,此时 PC = OP-OC= 3 -1. 10. 解:(1) AD 是☉O 的直径,∴ ∠C = ∠B = 90°,∵ AB ⊥AC,∴ ∠BAC= 90°,∴ 四边形 ABDC 是矩形,∵ AB =AC= 6,∴ BD=AC= 6,CD=AB= 6; (2) ∵ ∠BAC = 90°, ∠BAD = 2 ∠DAC, ∴ ∠BAD = 60°, ∠DAC = 30°, ∴ ∠COD = 2 ∠CAD = 60°, ∴ △COD 是等边三角形,∴ CD = OC,在 Rt△ABC 中, BC= AB2 +AC2 = 6 2 ,∴ CD = 3 2 ,在 Rt△BCD 中, BD= BC2 -CD2 = 3 6 . 11. (1)解:如图,点 C 即为所求; (2) 证明:∵ BD ( = BD ( ,∴ ∠DOB = 2∠DAB = 60°,∴ ∠AOD= ∠AOB - ∠DOB = 150° - 60° = 90°, ∵ OA = OD,∴ △AOD 是等腰直角三角形; (3)解:连接 DB,过 D 作 DH⊥AB 于 H. ∵ ∠DOB = 60°,OD=OB,∴ △ODB 是等边三角形,∴ DB = OB = 2,在等腰直角三角形△AOD 中,AD = 2 OA = 2 2 , 在 Rt△ADH 中,∠DAH= 30°,∴ DH= 1 2 AD= 2 ,AH2 =AD2 -DH2 = 6,∴ AH = 6 ,在 Rt △DHB 中,BH2 = DB2 -DH2 = 22 -( 2 ) 2 = 2,∴ BH = 2 ,∴ AB = AH+BH = 6 + 2 . 12. 解:(1)①如图,直线 DE,线段 AD,CD 即为所求; ②如图,点 F,线段 DF,BD,BF 即为所求作; (2)结论:BF=BC. 理由:∵ DE 垂直平分线段 AC,∴ DA=DC,∴ ∠DAC = ∠DCA,∵ AD = DF,∴ DF = DC, AD ( = DF ( , ∴ ∠DBC = ∠DBF, ∵ ∠DFB + ∠DAC = 180°. ∠DCB + ∠DCA = 180°,∴ ∠DFB = ∠DCB,在 △DFB 和△DCB 中, ∠DFB= ∠DCB ∠DBF= ∠DBC DF=DC { , ∴ △DFB≌ △DCB(AAS),∴ BF=BC. 基础知识抓分练 7 与圆有关的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积 1. A　 【解析】∵ ∠ADC = 115°,∴ ∠ABC = 180°-115° = 65°,∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB = 90°,∴ ∠BAC = 90°-∠ABC= 90°-65° = 25°. 故选 A. 2. A 3. C　 【解析】∵ AC = 6,AB = 10,CD 是斜边 AB 上的中 线,∴ AD= 5,∵ 点 O 是 AC 中点,点 P 是 CD 中点,∴ OP 是△CAD 的中位线,OC = OA = 3,∴ OP = 1 2 AD = 2. 5,∵ OP<OA,∴ 点 P 在☉O 内. 故选 C. 4. C　 5. A 6. A　 【解析】连接 OQ,∵ PQ 切圆于 Q,∴ 半径 OQ⊥ PQ, ∴ ∠PQO = 90°, ∵ 圆 的 半 径 为 1, ∴ PQ = PO2 -OQ2 = PO2 -1 ,∴ 当 PO 最小时,PQ 最小,当 PO⊥AB 时,PO 最小,∵ ∠B= 60°,∴ ∠A= 90°-∠B = 30°,∴ PO = 1 2 AO = 3,∴ PQ 的最小值是 32 -1 = 2 2 . 故选 A. 7. 相切 8. 120°　 【解析】设侧面展开扇形的圆心角为 n°,则 πrl = nπl 2 360 ,∴ n= r l ×360° = 2 6 ×360° = 120°. 9. 7 4 π　 【解析】由题可得 OB2 = 13,OC2 = 20. ∵ 旋转角 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 5 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 6　 圆及其相关性质 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 下列说法中正确的有(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　(1)长度相等的弧是等弧. (2)相等的圆心角所对的弧相等. (3)劣弧一定比优弧短. (4)直径是圆中最长的弦. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. (厦门二模)如图,☉O 中,点 A 是 BC ( 的中 点,若∠BOA=α,则∠ADC= (　 　 ) A. α B. 2α C. 1 2 α D. 90°-α 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 新颖题 如图,以量角器的直径 AB 为斜边 画直角三角形 ABC,量角器上点 D 对应的 度数是 100°,则∠BCD 的度数为(　 　 ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 4. (西安二模)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD 交 AB 于 P 点,AP = 1,BP = 5,∠APC = 45°, 则 CD 的长为(　 　 ) A. 2 7 B. 7 C. 2 2 D. 3 5. 文化情境·传统文化 紫砂壶是我国特有的 手工制造陶土工艺品,其制作过程中需要 用到几十种不同的工具,其中有一种工具 名为“带刻度嘴巴架”,其形状及使用方法 如图 1 所示. 当制壶艺人把“带刻度嘴巴 架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时,就可 以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在 一条直线上. 图 2 是正确使用该工具时的示 意图. 如图 3,☉O 为某紫砂壶的壶口,已知 A,B 两点在☉O 上,直线 l 过点 O,且 l⊥AB 于点 D,交☉O 于点 C. 若 AB= 48 mm,CD = 12 mm,则这个紫砂壶的壶口半径 r 的值 为(　 　 ) 图 1 图 2 图 3 A. 30 B. 30 2 C. 30 3 D. 40 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 6. 如图, AB 是 ☉O 的直径, BC ( = CD ( = DE ( , ∠COD= 40°,则∠AOE= 　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. 如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C、D 为 半圆弧上两点,且 AD =DC,若∠CAB = 10°, 则∠C 的度数为　 　 　 　 . 8. 生活情境·装饰盘 日常生活中常见的装饰 盘由圆盘和支架组成(如图 1),它可以看作 如图 2 所示的几何图形. 已知 AC = BD = 5 cm,AC⊥CD,垂足为点 C,BD⊥CD,垂足 为点 D,CD = 16 cm,☉O 的半径 r = 10 cm, 则圆盘离桌面 CD 最近的距离是　 　 　 　 . 图 1　 　 图 2 第 8 题图 　 　 第 9 题图 11 情境期末·ZBR·九年级数学 9. 如图,☉O 中,弦 AB = 3,半径 BO = 3 ,C 是 AB 上一点且 AC= 1,点 P 是☉O 上一动点, 连接 PC,则 PC 长的最小值是　 　 　 　 . 三、解答题(共 28 分) 10. (9 分)在☉O 中,弦 AB⊥AC,且 AB = AC = 6. D 是☉O 上一点(不在 BAC ( 上),连接 AD、BD、CD. (1)如图①,若 AD 经过圆心 O,求 BD、CD 的长; (2)如图②,若∠BAD = 2∠DAC,连接 BC、 OD,且 BC 是直径,求 BD、CD 的长. 图① 　 　 图② 11. 新趋势·尺规作图 (9 分)如图在扇形 AOB 中,圆心角∠AOB = 150°,D、C 是弧 AB 上 的两点,∠DAB= 30°. (1)尺规作图:求作弧 DB 的中点 C(不写 作法,保留作图痕迹); (2)连接 OD,求证:△AOD 是等腰直角三 角形; (3)若扇形的半径为 2,求 AB 的长. 12. (10 分)在《阿基米德全集》中的《引理集》 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的 有关圆的一个引理. 如图,已知 AB ( ,C 是弦 AB 上一点,请你根据以下步骤完成这个引 理的作图过程. (1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法); ①作线段 AC 的垂直平分线 DE,分别交 AB ( 于点 D,AC 于点 E,连接 AD,CD; ②以点 D 为圆心,DA 长为半径作弧,交 AB ( 于点 F(F,A 两点不重合),连接 DF, BD,BF; (2)直接写出引理的结论并说明理由. 结 论:线段 BC,BF 的数量关系. 21