抓分练4 二次函数的应用-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 二次函数的应用 一、选择题(每小题 3 分,共 9 分) 1. 某同学在投掷实心球,他所投掷的实心球 的高 h(m)与投掷距离 x(m)之间的函数关 系满足 h= - 1 12 x2 + 2 3 x+ 5 3 ,则该同学掷实心 球的成绩是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 6 m B. 8 m C. 10 m D. 12 m 2. 生活情境·伞 数学来源于生活,伞是生活 中常见的一种工具,撑开后如图 1 所示,由 此发现数学知识———抛物线. 如图 2,以伞 柄所在的直线为 y 轴,以伞骨 OA,OB 的交 点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系. 点 C 为抛物线的顶点,点 A,B 在抛物线上,OA, OB 关于 y 轴对称. 抛物线的表达式为 y = -0. 1x2 +1,若点 A 到 x 轴的距离是 0. 6 dm, 则 A,B 两点之间的距离是(　 　 ) A. 4 dm B. 6 dm C. 8 dm D. 10 dm 图 1　 　 　 　 图 2　 3. 跨学科试题·物理 如图 1,质量为 m 的小球 从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻 弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧 的初始长度为 12 cm). 从小球刚接触弹簧 到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气 阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形 变),得到小球的速度 v(cm / s)和弹簧被压 缩的长度 Δl(cm)之间的关系图象如图 2 所 示. 根据图象,下列说法正确的是(　 　 ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最 大 C. 当小球的速度最大时,弹簧的长度为 2 cm D. 当小球下落至最低点时,弹簧的长度为 6 cm 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 4. 生活情境·奖杯 如图,小明以抛物线为灵 感,在平面直角坐标系中设计了一款高 OD 为 13 的奖杯,杯体轴截面 ABC 是抛物线 y = 4 7 x2 + 6 的一部分,则杯口的口径 AC 长 为　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥,每 个桥拱可近似看作抛物线. 如图是其中一 个桥拱的示意图,拱跨 AB = 60 m,以 AB 的 中点 O 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,过 点 O 垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直 角坐标系,通过测量得 AE= 2 m,DE⊥AB 且 DE= 1. 16 m,则桥拱最高点到桥面的距离 OC 为　 　 　 　 m. 三、解答题(共 30 分) 6. (9 分)掷实心球是 2024 年郑州市高中阶段 学校招生体育考试的抽考项目,如图 1 是一 名男生投实心球,实心球的行进路线是一 条抛物线,行进高度 y ( m) 与水平距离 x (m)之间的函数关系如图 2 所示,掷出时起 点处高度为 96 49 m,当水平距离为 5 m 时,实 心球行进至最高点 4 m 处. 图 1 　 　 　 图 2 7 情境期末·ZBR·九年级数学 (1)求 y 关于 x 的函数表达式(不写 x 的取 值范围); (2)根据郑州市高中阶段学校招生体育考 试评分标准(男生),在投掷过程中,实心球 从起点到落地点的水平距离大于等于 11. 4 m 时,此项考试得分为满分 10 分,请 判断该男生在此项考试中是否能得满分, 并说明理由. 7. (10 分)经营某种品牌的玩具,购进时的单价 是 30 元,根据市场调查:在一段时间内,销售 单价是 40 元时,销售量是 600 件,而销售单 价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩具,设该种 品牌玩具的销售单价为 x 元(x>40),销售量 为 y(件),销售该品牌玩具获得利润为 w 元. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若商场获得了 10 000 元销售利润,求该 玩具销售单价 x 应定为多少元; (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不 低于 44 元,且商场要完成不少于 540 件的 销售任务,求该商场销售该品牌玩具获得 的最大利润是多少? 8. (11 分)如图,灌溉车为绿化带浇水,喷水口 H 离地竖直高度 OH 为 1. 2 m. 可以把灌溉 车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐 标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带 横截面抽象为矩形 DEFG,其水平宽度 DE= 3 m,竖直高度 EF= 0. 5 m. 下边缘抛物线是 由上边缘抛物线向左平移得到,上边抛物 线最高点 A 离喷水口的水平距离为 2 m,高 出喷水口 0. 4 m,灌溉车到绿化带的距离 OD 为 d(单位:m) . (1)求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷 出水的最大射程 OC; (2)求下边缘抛物线与 x 轴的正半轴交点 B 的坐标; (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到 整个绿化带,直接写出 d 的取值范围. 图 1　 　 　 　 　 图 2　 　 　 　 8 10 120,整理得:y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30, ∵ 尽可能让利于居民,∴ y = 20. 答:每个车位的月租 金上涨 20 元时,停车场的月租金收入为 10 120 元. 10. 解:任务 1:设该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平 均增长率为 x,根据题意得 100(1+x) 2 = 144,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . 答:该车 间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 20%; 任务 2:设该零件的实际售价应定为 y 元,则每个的 销售利润为(y-30)元,月销售量为 600-10( y-40) = (1 000-10y)个,根据题意得( y-30) (1000-10y) = 10 000,整理得 y2 -130y+4 000 = 0,解得 y1 = 50,y2 = 80,又∵ 要尽可能让车企得到实惠,∴ y = 50. 答: 该零件的实际售价应定为 50 元. 基础知识抓分练 3 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程 1. A　 【解析】对称轴为 x = 2,当 x>2 时,y 随 x 的增大 而增大,当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小. x = -1 离对 称轴远,∴ y1 >y2 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法:将几个点的横坐标分别代入二次函 数解析式,求出对应函数值,再比较函数值大小; (2)增减性比较法:当点在对称轴同侧,直接根据增减 性比较,当点不在对称轴同侧,利用二次函数图象对 称性,将点转化到对称轴同侧,再根据增减性比较; (3)根据点到对称轴的距离比较大小; (4)图象比较法. 2. B　 3. C　 4. D　 【解析】根据“左加右减,上加下减”的平移规律 可得 y= 2x2 -4 平移后的函数表达式为 y = 2(x-2) 2 - 3. 故选 D. 5. D　 6. A 7. B　 【解析】①根据图象,a<0,b>0,c>0,∵ abc<0,故 ①错误;②∵ 观察图象知,当 x= 2 时 y>0,∴ 4a+2b+c >0,故②错误;③由图象知,当 x= -1 时,y<0,∴ a-b+ c<0,∵ 抛物线对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∴ 3a+c<0,故③正确;④x =m 对应的函数值为 y =am2 +bm+c,x= 1 对应的函数值为 y = a+b+c,又 x = 1 时函数取得最大值,∴ a+b+c>am2 +bm+c,即 a+b>am2 +bm=m(am+b),故④正确. 故选 B. 8. y= -x2 +2x+1(答案不唯一) 　 9. 0<x<4　 10. m>1 11. 解:(1)①4 ②将表格数据描点连线绘制图象如下: (2)①y≥0　 ②当 0≤x≤1 或 x≥3 时,y 随 x 的增大 而增大(答案不唯一) (3)①0<k<4　 ②4. 1(答案不唯一) 12. (1)证明:令 y = 0,则 2x2 -4x-6 = 0,∵ Δ = b2 -4ac = ( -4) 2 -4×2×( -6) = 64>0,∴ 该抛物线一定与 x 轴 有两个交点; (2)解:当 y= 0 时,2x2 -4x-6 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ A( -1,0),B(3,0),∵ y= 2(x-1) 2 -8,∴ 顶点 P 的 坐标为(1,-8),∴ △ABP 的面积 = 1 2 ×(3+1) ×8 = 16. 13. 解:(1)把 x= 0 代入 y= -2x+8,解得 y = 8,∴ 点 B 的 坐标为(0,8). 把 y= 0 代入 y = -2x+8 得 0 = -2x+8, 解得 x= 4,∴ 点 A 坐标为(4,0) . 将(0,8),(4,0)代 入 y= x2 +bx+c 得 8 = c 0 = 16+4b+c{ ,解得 b= -6 c= 8{ ,∴ 抛物 线解析式为 y= x2 -6x+8; (2)x<0 或 x>4; (3) ∵ y = x2 - 6x + 8, ∴ 抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 x= - -6 2 = 3,点 C(1,y1)关于对称轴的对称点 C′坐标 为(5,y1 ) . ∵ 抛物线开口向上,∴ 当 y2 >y1 时,m<1 或 m>5. 14. 解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 交 x 轴于 A( -1,0),B (2,0)两点,∴ 将 A( -1,0),B(2,0)代入 y= -x2 +bx+ c 得 -1-b+c= 0 -4+2b+c= 0{ ,解得 b= 1 c= 2{ ,∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +x+2; (2)设直线 BC 的解析式为 y = kx+m( k≠0),由(1) 中 y= -x2 +x+2 得,点 C 的坐标为(0,2),将 B(2,0), C(0,2)代入 y = kx+m,得 2k+m= 0 m= 2{ ,解得 k= -1 m= 2{ ,∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+2. 设点 P′的坐标为(a, -a+2),∵ 点 P 与点 P′关于 x 轴对称,∴ 点 P 的坐 标为(a,a-2) . ∵ 点 P 在抛物线上,∴ a-2 = -a2 +a+ 2. 解得 a1 = 2,a2 = -2. 又∵ 点 P 不与点 B 重合,∴ a = - 2. ∴ a- 2 = - 2 - 2 = -4. ∴ 点 P 的坐标为( - 2, -4) . 基础知识抓分练 4 二次函数的应用 1. C 2. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm, ∴ 令 y= 0. 6,则 y = -0. 1x2 +1 = 0. 6,∴ x = 2 或 x = -2 (舍去),∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物 线上,OA,OB 关于 y 轴对称,∴ AB = 2×2 = 4(dm) . 故 选 A. 3. D　 4. 7 5. 9　 【解析】∵ 拱跨 AB = 60m,以 AB 的中点 O 为坐标 原点,∴ AO=BO= 30m,∴ A 的坐标为(30,0),B 的坐 标为( -30,0),设抛物线解析式为 y = a( x+30) ( x- 30),∵ AE= 2(m),DE⊥AB 且 DE= 1. 16m,∴ OE=AO -AE= 30-2 = 28m,∴ D 的坐标为(28,1. 16),∴ a(28+ 30)(28-30)= 1. 16,解得 a= -0. 01,∴ 抛物线解析式 为 y= -0. 01(x+30)(x-30),当 x= 0 时,y = 9,∴ 桥拱 最高点到桥面的距离 OC 为 9m. 6. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y = a( x-5) 2 +4. 把(0, 96 49 )代入表达式得 96 49 = a(0 - 5) 2 + 4,解得 a = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 3 页 - 4 49 ,∴ y= - 4 49 (x-5) 2 +4; (2)该男生在此项考试中能得满分. 理由如下:令 y = 0,即- 4 49 (x-5) 2 +4 = 0,解得 x1 = 12,x2 = -2(舍去) . ∵ 12>11. 4,∴ 该男生在此项考试中能得满分. 7. 解:(1)根据销售单价每涨 1 元,就会少售出 10 件玩 具,可知销售单价为 x 元时,就会少售出 10(x-40)件 玩具,则销量为 y= 600-10(x-40)= 1000-10x; (2)依题意得:( x- 30) (1 000 - 10x) = 10 000,化简 得:x2 -130x+4 000 = 0,∴ (x-50) ( x-80) = 0,∴ x1 = 50,x2 = 80,∵ x>40,∴ 销售价应定为 50 元或 80 元; (3)∵ 该品牌玩具销售单价不低于 44 元,且商场要 完成不少于 540 件的销售任务,∴ 1 000-10x≥540 x≥44{ , ∴ 解得 44 ≤ x≤46,而 w = ( x - 30) ( 1 000 - 10x) = -10x2 +1 300x-30 000,∵ a = -10<0,∴ 开口向下,有 最大值,∴ x = - 1300 2×( -10) = 65,∴ 当 44≤x≤46 时,w 随 x 的增大而增大,∴ x= 46 时,w 最大,∴ wmax = (46- 30)(1 000-460) = 8 640 元,答:该商场销售该品牌 玩具获得的最大利润是 8 640 元. 8. 解:(1)由题意得 A(2,1. 6)是上边缘抛物线的顶点, 设 y= a(x-2) 2 +1. 6,又∵ 抛物线过点(0,1. 2),∴ 1. 2 = 4a+1. 6,∴ a= -0. 1,∴ 上边缘抛物线的函数解析式 为 y= -0. 1(x-2) 2 +1. 6,当 y= 0 时,-0. 1(x-2) 2 +1. 6 = 0,解得 x1 = 6,x2 = -2(舍去),∴ 喷出水的最大射程 OC 为 6m; (2)∵ 对称轴为直线 x = 2,∴ 点(0,1. 2)的对称点为 (4,1. 2),∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平 移 4 个单位长度得到的,∴ 点 B 的坐标为(2,0); (3)2≤d≤ 11 -1. 　 【解析】∵ EF = 0. 5,∴ 点 F 的 纵坐标为 0. 5,∴ 0. 5 = -0. 1(x-2) 2 +1. 6,解得 x = 2± 11 ,∵ x>0,∴ x = 2+ 11 ,当 x>2 时,y 随 x 的增大 而减小,∴ 当 2 ≤ x≤6 时,要使 y≥0. 5,则 x≤2 + 11 ,∵ 当 0≤x≤2 时,y 随 x 的增大而增大,且 x = 0 时,y= 1. 2>0. 5,∴ 当 0≤x≤6 时,要使 y≥0. 5,则 0 ≤x≤2+ 11 ,∵ DE= 3,灌溉车行驶时喷出的水能浇 灌到整个绿化带,∴ d 的最大值为 2+ 11 -3 = 11 - 1,再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底 部的条件是 d≥OB,∴ d 的最小值为 2,综上所述,d 的取值范围是 2≤d≤ 11 -1. 基础知识抓分练 5 旋转 1. C 2. D　 【解析】将点 P(3,2)向右平移 2 个单位长度后的 坐标为(5,2),∴ (5,2)关于原点中心对称后的点的 坐标为(-5,-2) . 故选 D. 3. A 　 【解析】 ∵ AB 与地面的夹角 ∠CAB 为 61°,∴ ∠BAB′= 180°-∠CAB= 180°-61° = 119°,即旋转角为 119°,∴ 箕面 AB 绕点 A 旋转的度数为 119°. 故选 A. 4. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【技巧点拨】连接 EG,由正方形 ABCD,将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置,过点 A 作 EF 的垂 线,得 AE=AF,DE=BF,AG 垂直平分 FE,进而得到 EG =FG,设 CE= x,则 DE= 10-x =BF,则 CE2 +CG2 =EG2, 即可求得 CE 的长度. 5. B　 【解析】∵ 矩形 ABOC 的顶点 O 为坐标原点,BC = 2,对角线 OA 在第二象限的角平分线上,∴ OA =BC = 2,∵ 每秒旋转 45°,故 8 次一个循环,2025 ÷ 8 = 253 ……1,∴ 第 2025 秒时,点 A 的对应点 A2025 落在 y 轴 正半轴上,∴ 点 A2025 的坐标为(0,2) . 故选 B. 6. 72 7. 1. 6　 【解析】由旋转的性质可知,AD = AB,∵ ∠B = 60°,∴ △ADB 为等边三角形,∴ BD = AB = 2,∴ CD = CB-BD= 1. 6. 8. 20°或 40°　 【解析】∵ △ABC 绕 C 点逆时针方向旋转 得到△DEC,∴ AC=CD,∴ ∠ADF= ∠DAC= 1 2 (180°- α),∴ ∠DAF= ∠ADC-∠BAC = 1 2 (180°-α) -30°,根 据三角形的外角性质,∠AFD = ∠BAC+∠DCA = 30°+ α,△ADF 是等腰三角形,分三种情况讨论,①∠ADF = ∠DAF 时, 1 2 (180°-α)= 1 2 (180°-α) -30°,无解, ②∠ADF= ∠AFD 时, 1 2 (180°-α)= 30°+α,解得 α = 40°,③∠DAF= ∠AFD 时, 1 2 (180°-α)-30° = 30°+α, 解得 α= 20°,综上所述,旋转角 α 度数为 20°或 40°. 9. 解:(1)( -1,0) (2)如图,△A2B2C2 即为所求. (3)如图,△A3B3C3 即为所求. 10. 解:(1)由题意知,旋转角为∠DAB = ∠BAC = 180°- ∠B-∠ACB= 125°,∴ 旋转角的度数为 125°; (2)由旋转的性质可知,旋转中心为点 A,∠DAE = ∠BAC = 125°, ∴ ∠BAE = 360° - ∠BAC - ∠DAE = 110°,由旋转的性质可得,AD = AB = 4cm,AE = AC,∵ 点 C 恰好成为 AD 的中点,∴ AC = CD = 2cm,∴ AE = 2cm. 11. 解:发现:①等边三角形　 ②BD=CE　 120 论证:①BD = CE,理由如下:由题意知,∠BAC = α = 90° = ∠DAE,由旋转的性质可知,AD = AE,∵ ∠DAE +∠DAC= ∠BAC+∠DAC,∴ ∠BAD= ∠CAE,又∵ AB =AC,∴ △BAD≌△CAE(SAS),∴ BD=CE; ② ∵ ∠BAC = 90°, AB = AC, ∴ ∠B = ∠ACB = 180°-∠BAC 2 = 45°,由论证①可知,△BAD≌△CAE (SAS),∴ ∠ACE = ∠ABD = 45°,∴ ∠BCE = ∠ACB+ ∠ACE= 90°,∴ ∠BCE 的度数为 90°; 拓展:DE 的长为 5或 17 . 基础知识抓分练 6 圆及其相关性质 1. A 2. C　 【解析】∵ 点 A 为 BC ( 的中点,∴ AB ( =AC ( ,∴ ∠BOA = 2∠ADC,∵ ∠BOA=α,∴ ∠ADC= 1 2 α. 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 4 页