试卷7 信阳2023-2024学年上学期期末学业质量监测-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

情境期末·八年级数学·上册　 第 1 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 2 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 3 页 　 　 　 　 试卷 7 信阳上学期期末学业质量监测 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 1. 下列出版社的商标图案中,是轴对称图形的为(　 　 ) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是(　 　 ) A. a2·a3 =a6 B. (3a) 2 = 6a2 C. a6 ÷a3 =a2 D. 3a2 -a2 = 2a2 3. 在下列长度的四条线段中,能与长 6 cm,8 cm 的两条线段围成一个三角形的是(　 　 ) A. 1 cm B. 2 cm C. 13 cm D. 14 cm 4. 下列因式分解正确的是(　 　 ) A. 2a2 -4a+2 = 2(a-1) 2 B. a2 +ab+a=a(a+b) C. 4a2 -b2 = (4a+b)(4a-b) D. a3b-ab3 =ab(a-b) 2 5. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了 8 棵桂花,如图所示. 若 A,B 两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为 x,y 轴的平面直角坐标系内,若点 A 的坐标为 ( -6,2),则点 B 的坐标为(　 　 ) A. (6,2) B. ( -6,-2) C. (2,6) D. (2,-6) 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 校园湖边一角的形状如图所示,其中 AB,BC,CD 表示围墙,若在校园内找到一点 P 修建一个观赏 亭,使点 P 到三面墙的距离都相等,则点 P 在(　 　 ) A. 线段 AC、BD 的交点 B. 线段 AB、BC 垂直平分线的交点 C. 线段 BC、CD 垂直平分线的交点 D. ∠ABC、∠BCD 角平分线的交点 7. 如图,两个正方形的边长分别为 a 和 b,如果 a+b= 10,ab= 20,那么阴影部分的面积是(　 　 ) A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 8. 已知关于 x 的分式方程 m x-2 +1 = x 2-x 的解是非负数,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≤2 B. m≥2 C. m≤2 且 m≠-2 D. m<2 且 m≠-2 9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分 任一角. 这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成,两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动、C 点固 定,OC=CD=DE,点 D、E 可在槽中滑动,若∠BDE= 75°,则∠CDE 的度数是(　 　 ) A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,CD 是△ABC 的角平分线,△ABC 的面积为 12,BC 长为 6,点 E,F 分别是 CD,AC 上的动点, 则 AE+EF 的最小值是(　 　 ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若代数式 5 x-2 有意义,则实数 x 的取值范围是　 　 　 　 . 12. 因式分解:a3 -a= 　 　 　 　 . 13. 如图,B、E、C、F 四点在同一直线上,且 BE = CF,AC = DF,添加一个条件 　 　 　 　 ,使△ABC≌ △DEF(写出一个即可) . 14. 如图,已知△ABC 的面积为 12 cm2,BP 平分∠ABC,AP⊥BP 于 P,连接 PC,则△PBC 的面积为 　 　 　 　 cm2 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 在长方形 ABCD 中,AB= 2,AD= 2 3 ,M、N 分别为 AB、CD 的中点,点 P 为线段 MN 上一动点,以线 段 BP 为边,在 BP 左侧作等边三角形 BPQ. 连接 QM,则 QM 的最小值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题 8 个小题,共 75 分) 16. (10 分)(1)计算:(x-1)(x+1) -(x+1) 2;　 　 　 　 　 　 　 (2)解方程: 2x 3x-3 = x x-1 -1. 17. (9 分)先化简,再求值:(1- 1 m-1 ) ÷m 2 -4m+4 m2 -m ,其中 m= -1. 18. (9 分)如图,在△ABC 中,∠ABC = 82°,∠C = 58°,BD⊥AC 于 D,AE 平分∠CAB,BD 与 AE 交于点 F,求∠AFB. A B C D E F 19. (9 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD⊥AB 且 AD=AB=CD,连接 AC. (1)尺规作图:作∠ADC 的平分线 DE 交 AC 于点 E(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的基础上,若 AC⊥BC,请探究 DE 与 BC 有何数量关系,并说明理由. 20. (9 分)2023 年 12 月 18 日,甘肃积石山县发生 6. 2 级地震,某地需 550 顶帐篷解决受灾群众临时 住宿问题,现由甲、乙两个工厂来加工生产,已知甲工厂每天的加工生产能力是乙工厂每天加工生 产能力的 1. 5 倍,并且加工生产 240 顶帐篷甲工厂比乙工厂少用 4 天. (1)求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少顶帐篷? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 试卷 7 　 　 　 　 　 情境期末·八年级数学·上册　 第 4 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 5 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 6 页 (2)若甲工厂每天的加工生产成本为 3 万元,乙工厂每天的加工生产成本为 2. 4 万元,要使这批救 灾帐篷的加工生产总成本不高于 60 万元,至少应安排甲工厂加工生产多少天? 21. (9 分)教材中这样写道:“我们把多项式 a2 +2ab+b2 及 a2 -2ab+b2 叫做完全平方式”,如果关于某一 字母的二次多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全 平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问 题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的 问题或求代数式最大值,最小值等. 例如:分解因式 x2 +2x-3. 原式= (x2 +2x+1) -4 = (x+1) 2 -4 = (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1); 例如:求代数式 x2 +4x+6 的最小值. 原式= x2 +4x+4+2 = (x+2) 2 +2. ∵ (x+2) 2≥0, ∴ 当 x= -2 时,x2 +4x+6 有最小值是 2. 根据阅读材料用配方法解决下列问题: (1)分解因式:m2 -4m-5 = 　 　 　 　 ; (2)求代数式 x2 -6x+12 的最小值; (3)若 y= -x2 -2x,当 x= 　 　 　 　 时,y 有最　 　 　 　 值(填“大”或“小”),这个值是　 　 　 　 . 22. (10 分)(1)猜想:如图 1,已知:在△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,直线 m 经过点 A,BD⊥直线 m, CE⊥直线 m,垂足分别为点 D、E. 试猜想 DE、BD、CE 有怎样的数量关系,请直接写出结论; (2)探究:如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢? 如图 2,将(1)中的条件改为:在△ABC 中, AB=AC,D、A、E 三点都在直线 m 上,并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α(其中 α 为任意锐角或钝 角)如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由; (3)解决问题:如图 3,F 是∠BAC 角平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,D、E 分 别是直线 m 上 A 点左右两侧的动点,D、E、A 互不重合,在运动过程中线段 DE 的长度始终为 n,连 接 BD、CE,若∠BDA= ∠AEC= ∠BAC,试判断△DEF 的形状,并说明理由. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 图 3 23. (10 分)【发现】: 如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H,求证:AH= 1 2 BC. 【证明】:∵ AH⊥BC,∠BAC= 90°, ∴ ∠AHC= 90°= ∠BAC. ∴ ∠BAH+∠CAH= 90°,∠BAH+∠B= 90°. ∴ ∠CAH= ∠B(　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ), 在△ABH 和△CAH 中, ∠CAH= ∠B ∠AHC= ∠BHA AB=CA ì î í ï ï ï ï ,∴ △ABH≌△CAH. (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∴ BH=AH,AH=CH. (　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) . ∴ AH= 1 2 BC. 【拓展】: 如图 2,在△ABC 和△ADE 中,AB = AC,AD = AE,且∠BAC = ∠DAE = 90°,点 D、B、C 在同一条直线 上,AH 为△ABC 中 BC 边上的高,连接 CE. 则∠DCE 的度数为　 　 　 　 ,同时猜想线段 AH、CD、CE 之间的数量关系,并说明理由. 【应用】: 在如图 3 的两张图中,在△ABC 中,AB = AC,且∠BAC = 90°,在同一平面内有一点 P,满足 PC = 1, PB= 6,且∠BPC= 90°,请直接写出点 A 到 BP 的距离. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 图 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ≌Rt△ADC(HL),∴ BC=DC,∴ 点 C 在 BD 的垂直平分 线上,∵ AB= AD,∴ 点 A 在 BD 的垂直平分线上,∴ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ CO 垂直平分 BD. 19. 证明:延长 AD 到点 G,使 GD = AD,连接 GB,∵ AD 为 △ABC 中 线, ∴ BD = CD, 在 △GBD 和 △ACD 中, GD=AD ∠GDB= ∠ADC BD=CD { ,∴ △GBD≌△ACD(SAS),∴ GB = AC, ∠G = ∠CAF, ∵ AE = EF, ∴ ∠CAF = ∠EFA, ∴ ∠G = ∠EFA,∵ ∠EFA = ∠BFG,∴ ∠G = ∠BFG,∴ GB = BF, ∴ AC=BF. 20. 解:(1)(a-b) 2 = (a+b) 2 -4ab; (2)由(1)题得(a-b) 2 = (a+b) 2 -4ab,∴ 当 a+b = 4,ab = 3 时,(a-b) 2 = 42 -4×3 = 4. 21. 解:(1)如图所示,DE 即为所求; (2)连接 AE,∵ AB = AC,∠BAC = 120°,∴ ∠B = ∠C = 30°,∵ DE 垂直平分 AB,∴ BE = AE,DE⊥AB,∴ BE = AE = 2DE= 6,∴ ∠BAE = ∠B = 30°,∴ ∠AEC = ∠B+∠BAE = 60°,∴ ∠EAC= 90°,∴ CE = 2AE = 12,∴ BC =BE+CE = 6+12 = 18. 22. 解:(1)设原计划打字员的打字速度为 x 字 /分钟,则实 际操作时该打字员的打字速度(1+ 20%) x 字 /分钟,由 题意得:36000 x - 36000 (1+20%)x = 40,解得:x = 150,经检验,x = 150 是原方程的解,且符合题意,∴ (1+ 20%) x = (1+ 20%)×150 = 180,答:实际操作时该打字员的打字速度 为 180 字 /分钟; (2)设该打字员再次加快后每分钟输入 y 字,由题意 得:36000 -40×180 y ≤184-40,解得:y≥200,∴ 该打字员 每分钟至少要输入 200 字,∴ 200-180 = 20(字),答:该 打字员每分钟至少要多输入 20 字. 23. 解:(1)(0,-5)　 【解析】过点 A 作 AN⊥x 轴于点 N,则 ∠ANB= ∠BOC = 90°,∴ ∠ABN+∠BAN = 90°,∵ △ABC 是等腰直角三角形,AB =BC,∴ ∠ABN+∠CBO = ∠ABC = 90°, ∴ ∠BAN = ∠CBO, 在 △BAN 和 △CBO 中, ∠ANB= ∠BOC ∠BAN= ∠CBO AB=BC { ,∴ △BAN≌△CBO(AAS),∴ BN =CO, ∵ 点 B 的坐标是(-2,0),点 A 的坐标是(3,2),∴ BN = 2+3 = 5,∴ CO= 5,∴ 点 C 的坐标为(0,-5); (2)CD= 2AE,理由如下:延长 AE 交 CB 的延长线于点 G,∵ y 轴平分∠ACB,AE⊥y 轴,∴ △ACG 是等腰三角 形,∠AED = 90°, ∴ AE = GE = 1 2 AG, ∠GAB + ∠ADE = 90°,∵ △ABC 是等腰直角三角形,AB = BC,∴ ∠CBD = ∠ABG = 90°, ∴ ∠DCB + ∠CDB = 90°, ∵ ∠ADE = ∠CDB, ∴ ∠GAB = ∠DCB, 在 △GAB 和 △DCB 中, ∠ABG= ∠CBD AB=CB ∠GAB= ∠DCB { ,∴ △GAB≌△DCB(ASA),∴ AG =CD, ∴ AE= 1 2 CD,∴ CD= 2AE; (3) 过点 A 作 AH⊥OB 于点 H,则 OH = AF = | xA | ,∵ ∠ABH+∠CBO = 90°,∠CBO+ ∠BCO = 90°,∴ ∠ABH = ∠BCO, 在 △ABH 和 △BCO 中, ∠AHB=∠BOC ∠ABH=∠BCO AB=BC { , ∴ △ABH≌△BCO(AAS),∴ HB=OC,∵ HB=OB-OH=OB- AF,∴ OC=OB-AF,∴ OB -AF OC = 1. 信阳上学期期末学业质量监测 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A A D C C D B 1. A 2. D　 【解析】A. a2·a3 = a2+3 = a5,原式计算错误,不符合题 意;B. (3a) 2 = 9a2,原式计算错误,不符合题意;C. a6 ÷a3 =a6-3 =a3,原式计算错误,不符合题意. 故选 D. 3. C　 【解析】设第三条线段长为 xcm,由题意得:8-6<x<8+ 6,解得:2<x<14,只有 13cm 适合. 故选 C. 4. A　 【解析】A 选项,2a2 -4a+2 = 2(a-1) 2,故该选项符合 题意;B 选项,a2 +ab+a = a(a+b+ 1),故该选项不符合题 意;C 选项,4a2 -b2 = (2a+b)(2a-b),故该选项不符合题 意;D 选项,a3b-ab3 = ab(a2 -b2)= ab(a+b) (a-b),故该 选项不符合题意. 故选 A. 5. A 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　【概念回顾】关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为 相反数;关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相 反数. 6. D 7. C　 【解析】根据题意可得,阴影部分面积为两个正方形 面积和减去空白面积,即(a2 +b2)- a 2 2 -b(a+b) 2 = 1 2 (a2 + b2 -ab)= 1 2 (a2 +b2 +2ab-3ab)= 1 2 [(a+b) 2 -3ab] . 代入 a +b= 10,ab= 20 可得:S阴影面积 = (10×10-20×3)÷2 = 20. 故 选 C. 8. C　 【解析】解分式方程得:x= 2 -m 2 ,由分式方程的解是非 负数,得到2 -m 2 ≥0,且2 -m 2 -2≠0,解得:m≤2 且 m≠-2. 故选 C. 9. D　 【解析】 ∵ OC = CD = DE,∴ ∠O = ∠ODC,∠DCE = ∠DEC,∴ ∠DCE = ∠O + ∠ODC = 2 ∠ODC, ∵ ∠O + ∠OED = 3 ∠ODC = ∠BDE = 75°, ∴ ∠ODC = 25°, ∵ ∠CDE+∠ODC = 180° -∠BDE = 105°,∴ ∠CDE = 105° - ∠ODC= 80°. 故选 D. 10. B　 【解析】作 A 关于 CD 的对称点 H,∵ CD 是△ABC 的 角平分线,∴ 点 H 一定在 BC 上,过 H 作 HF⊥AC 于 F,交 CD 于 E,则此时,AE+EF 的值最小,AE+EF 的最小值 = HF,过 A 作 AG⊥BC 于 G,∵ △ABC 的面积为 12,BC 长为 6,∴ AG = 4,∵ CD 垂直平分 AH,∴ AC = CH,∴ S△ACH = 1 2 AC·HF= 1 2 CH·AG,∴ HF = AG = 4,∴ AE+EF 的最小 值是 4. 故选 B. 二、填空题 11. x≠2 12. a(a+1)(a-1) 13. AB=DE(答案不唯一) 14. 6　 【解析】延长 AP 交 BC 于 E,∵ BP 平分∠ABC,∴ ∠ABP= ∠EBP,∵ AP⊥BP,∴ ∠APB = ∠EPB = 90°,在 △ABP 和△EBP 中, ∠ABP= ∠EBP PB=PB ∠APB= ∠EPB { ,∴ △ABP≌△EBP (ASA),∴ AP = PE, ∴ S△ABP = S△EBP, S△ACP = S△ECP, ∴ S△PBC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×12 = 6 (cm2) . 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 16 页 15. 1 2 　 【解析】由题意可知,当点 P 与点 M 重合时,以 BP 为边在左侧所作的等边三角形 BMQ1,当 BP 等于 BA 时 所作的等边三角形 BPA,此时 Q 和 A 重合,当 P 运动到 点 N 时,以 BP 为边所作的等边三角形 BNQ2,∴ 点 P 在 线段 MN 上运动时,以 BP 为边的等边三角形 BPQ 的顶 点 Q 的轨迹是线段 Q1Q2 所在的直线,当 MQ⊥Q1Q2 时 值最小,∵ ABCD 是长方形,AB = 2,AD = 2 　 3,M 是 AB 边的中点,∴ AM=BM = 1,∵ △BMQ1 是等边三角形,∴ MQ1 =AM = BM = 1,∠BMQ1 = 60°,∴ ∠Q1MA = 120°,∴ ∠MQ1Q= 30°,又∵ MQ⊥Q1Q2,∴ MQ= 1 2 . 三、解答题 16. 解:(1)原式= x2 -1-(x2 + 2x+ 1) = x2 - 1-x2 - 2x- 1 = - 2x -2; (2)去分母得:2x= 3x-3x+3,解得:x= 3 2 ,检验:把 x= 3 2 代入得:3(x-1)≠0,∴ x= 3 2 是分式方程的解. 17. 解:( 1 - 1 m-1 ) ÷m 2 -4m+4 m2 -m = (m -1 m-1 - 1 m-1 ) ÷m 2 -4m+4 m2 -m = m-2 m-1 ·m(m -1) (m-2) 2 = m m-2 ,当 m= -1 时,原式= -1 -1-2 = 1 3 . 18. 解:∵ ∠CAB= 180°-∠ABC-∠C,而∠ABC = 82°,∠C = 58°,∴ ∠CAB= 40°,∵ AE 平分∠CAB,∴ ∠DAF = 20°, ∵ BD⊥ AC 于 D, ∴ ∠ADB = 90°, ∴ ∠AFB = ∠ADB + ∠DAF= 90°+20° = 110°. 19. 解:(1)如图所示,线段 DE 即为所求: (2)DE= 2BC. 理由如下:∵ DA =DC,DE 平分∠ADC,∴ AC= 2AE,DE⊥ AC, ∵ AD⊥ AB,AC⊥CB, ∴ ∠AED = ∠DAB= ∠ACB = 90°,∴ ∠DAE+ ∠BAC = 90°,∠BAC+ ∠B = 90°. ∴ ∠DAE = ∠B, 在 △DEA 和 △ACB 中, ∠AED= ∠BCA ∠DAE= ∠B AD=BA { ,∴ △DEA≌△ACB(AAS),∴ DE = AC, AE=BC. ∵ AC= 2AE,∴ DE= 2BC. 20. 解:(1)设乙工厂每天可加工生产 x 顶帐篷,则甲工厂 每天可加工生产 1. 5x 顶帐篷,根据题意得:240 x - 240 1. 5x = 4,解得:x= 20,经检验 x= 20 是原方程的解,则甲工厂每 天可加工生产 1. 5×20 = 30(顶),答:甲、乙两个工厂每 天分别可加工生产 30 顶和 20 顶帐篷; (2)设甲工厂加工生产 y 天,根据题意得:3y + 2. 4 × 550-30y 20 ≤60,解得:y≥10,则至少应安排甲工厂加工生 产 10 天. 答:至少应安排甲工厂加工生产 10 天. 21. 解:(1)(m+1)(m-5) 　 【解析】m2 -4m-5 =m2 -4m+4- 4-5 =(m-2) 2 - 9 = (m- 2+ 3) (m- 2- 3)= (m+ 1) (m- 5) . (2)x2 -6x+12 = x2 -6x+9+3 = (x-3) 2 +3,∵ (x-3) 2 ≥0, ∴ 当 x= 3 时,x2 -6x+12 的最小值是 3; (3)- 1　 大 　 1　 【解析】 y = -x2 - 2x = -x2 - 2x- 1+ 1 = -(x2 +2x+1)+ 1 = -( x+ 1) 2 + 1,∵ ( x+ 1) 2 ≥0,∴ -( x+ 1) 2 ≤0,∴ 当 x= -1 时,y 有最大值 1. 22. 解:(1)DE=BD+CE. 　 【解析】∵ ∠BAC = 90°,∴ ∠BAD +∠CAE = 90°,∵ BD⊥m,CE⊥m,∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°,∴ ∠BAD + ∠ABD = 90°, ∴ ∠ABD = ∠CAE, 在 △ADB 和△CEA 中, ∠ADB= ∠CEA ∠ABD= ∠CAE AB=CA { ,∴ △ADB≌△CEA (AAS),∴ BD=AE,AD=CE,∴ DE=AD+AE=BD+CE; (2) 结论 DE = BD+CE 成立,证明:∵ ∠BAD+∠CAE = 180°- ∠BAC, ∠BAD + ∠ABD = 180° - ∠ADB, ∠ADB = ∠BAC, ∴ ∠ABD = ∠CAE, 在 △BAD 和 △ACE 中, ∠ADB= ∠CEA ∠ABD= ∠CAE AB=CA { ,∴ △BAD≌△ACE(AAS),∴ BD = AE, AD=CE,∴ DE=DA+AE=BD+CE; (3)△DFE 为等边三角形,理由如下:由(2) 得,△BAD ≌△ACE,∴ BD = AE,∠ABD = ∠CAE,∴ ∠ABD+∠FBA = ∠CAE +FAC,即∠FBD = ∠FAE,在△FBD 和△FAE 中, BF=AF ∠FBD= ∠FAE BD=AE { ,∴ △FBD≌△FAE( SAS),∴ FD = FE,∠BFD= ∠AFE,∴ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE = ∠DFA +∠BFD= 60°,∴ △DFE 为等边三角形. 23. 解:【证明】:同角的余角相等　 AAS　 全等三角形的对 应边相等 【拓展】90°　 　 线段 AH、CD、CE 之间的数量关系为:CE +2AH= CD,理由如下:∵ ∠DAB+∠BAE = 90°,∠EAC+ ∠BAE= 90°,∴ ∠DAB = ∠EAC,∵ AD = AE,AB = AC,∴ △ADB≌△AEC( SAS),∴ ∠ABD = ∠ACE,DB = EC,∵ ∠ABC = ∠ACB = 45°, ∴ ∠ABD = ∠ACE = 135°, ∴ ∠DCE= ∠ACE-∠ACB = 90°;∵ 点 D、B、C 在同一条直 线上,∴ DB+BC=CD,∵ AB=AC,AH⊥BC,∴ AH = 1 2 BC, ∵ DB=CE,AH= 1 2 BC,∴ CE+2AH=CD. 【应用】:点 A 到 BP 的距离为: 5 2 或 7 2 . 　 【解析】在第 一个图中过点 A 作 AH⊥BP 于点 H,连接 AP,向左作 ∠PAD= 90°,交 BP 于点 D,∴ ∠BAC = ∠DAP = 90°,∴ ∠BAD= ∠CAP,∵ ∠BDA = ∠APC = 90° + ∠APD,AB = AC,∴ △APC≌△ADB(AAS),∴ BD=CP= 1,AD =AP,∴ DP=BP-BD= 6-1 = 5,∵ AH⊥DP,∴ AH = 1 2 DP = 5 2 ;在 第二个图中过点 A 作 AH⊥BP 于点 H,向左作∠PAD = 90°,交 PB 的延长线于点 D,∴ ∠BAC = ∠DAP = 90°,∴ ∠BAD= ∠CAP,∵ ∠BAC= 90°,∠BPC = 90°,∴ ∠ACP+ ∠ABP= 180°,∴ ∠ACP = ∠ABD,∵ AB = AC,∴ △APC≌ △ADB(ASA),∴ BD=CP= 1,AD=AP,∴ DP=BP+BD= 6 +1 = 7. ∵ AH⊥DP,∴ AH = 1 2 DP = 7 2 . 综上所述:点 A 到 BP 的距离为: 5 2 或 7 2 . 商丘第一学期期末素质评估试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B D C C A B D 1. C　 2. A 3. B　 【解析】分两种情况:当腰为 4 时,4+4<9,所以不能构 成三角形;当腰为 9 时,9+9>4,9-9<4,所以能构成三角 形,周长是:9+9+4 = 22. 故选 B. 4. B　 【解析】A. (-a3) 2 =a6,故此选项不合题意;B. -a·a4 = -a5,故此选项符合题意;C. a4 ÷a4 = 1,故此选项不合题 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 17 页