抓分练3 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 3　 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 若点(-1,y1),(4,y2)都在二次函数 y=(x-2)2 +n 的图象上,则 y1、y2 的大小关系为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y1 >y2 B. y1 <y2 C. y1≥y2 D. y1≤y2 2. 抛物线 y= (x-1) 2 +2 的对称轴是(　 　 ) A. x= -1 B. x= 1 C. x= -2 D. x= 2 3. 根据以下表格中二次函数 y = ax2 +bx+c 的 自变量 x 与函数值 y 的对应值,可以判断方 程 ax2 + bx + c = 0 的 一 个 解 x 的 范 围 是(　 　 ) x 0 0. 5 1 1. 5 2 y=ax2 +bx+c -1 -0. 5 1 3. 5 7 A. 0<x<0. 5 B. 1<x<1. 5 C. 0. 5<x<1 D. 1. 5<x<2 4. (安阳期末)在平面直角坐标系中,把抛物 线 y= 2x2 -4 先向右平移 2 个单位长度,再 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线对应 的函数表达式是(　 　 ) A. y= 2(x+2) 2 +3 B. y= 2(x-2) 2 +3 C. y= 2(x+2) 2 -3 D. y= 2(x-2) 2 -3 5. 直线 y=ax+b 与抛物线 y=ax2 +bx+b 在同一 坐标系里的大致图象正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 6. 如图,抛物线 y = ax2 +bx+c 的图象,根据图 象回答,当 ax2 +bx+c< 1 时,x 的取值范围 是(　 　 ) A. -1<x<3 B. x<-1 或 x>3 C. x<-1 D. x>3 第 6 题图 　 　 第 7 题图 7. (洛阳期末)如图,已知二次函数 y = ax2 +bx +c(a≠0)的图象如图所示,有下列 4 个结 论:①abc>0;②4a+2b+c<0;③3a+c<0;④a + b > m ( am + b) ( m ≠ 1 ), 其 中 正 确 的 有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 8. 新趋势·结论开放 已知一条抛物线经过点 (0,1),且在对称轴右侧的部分是下降的, 该抛物线的表达式可以是 　 . (写出一个即可) 9. 抛物线 y = x2 +bx+c 的部分图象 如图所示,当 y>5 时,x 的取值 范围是　 　 　 　 . 10. 若函数 y = x2 +2x+m 的图象与 x 轴没有交 点,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 三、解答题(共 40 分) 11. (10 分)函数图象是研究函数的重要工具, 结合已有的学习函数图象和性质的经验, 请画出函数 y= x (x-3) 2(x≥0)的图象,探 究该函数的性质并解答问题. (1)绘制函数图象 ①列表:下表是 x 与 y 的几组对应值,其中 a= 　 　 　 　 ; x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 7 2 4 … y 0 25 8 a 27 8 2 5 8 0 7 8 4 … 5 情境期末·ZBR·九年级数学 ②描点连线:请在平面直角坐标系中将表 中未描出的点补充完整,并用平滑的曲线 依次连接. (2)探究函数性质. 请写出函数 y=x (x-3) 2(x≥0)的两条性质: ①　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; ②　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)结合(1)(2)的分析,解决问题: ①若关于 x 的方程 x(x-3) 2 = k( x≥0)有 三个 不 等 实 数 根, 则 k 的 取 值 范 围 是 ; ②若关于 x 的方程 x(x-3) 2 = mx-1 有一 个实数根为 2,则该方程其他的实数根约 为　 　 　 　 (结果保留小数点后一位). 12. (10 分)已知二次函数 y= 2x2 -4x-6. (1)求证:该抛物线与 x 轴一定有两个交 点; (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A、B,且它的顶点为 P,求△ABP 的面积. 13. (10 分)如图,直线 y = -2x+8 与 x 轴交于 点 A,与 y 轴交于点 B,抛物线 y = x2 +bx+c 经过点 A 和点 B. (1)求抛物线的解析式; (2) 结合图象直接写出不等式 x2 +bx+c> -2x+8 的解集; (3)若点 C(1,y1 ),D(m,y2 )都在抛物线 上,当 y2 >y1 时,求 m 的取值范围. 14. (10 分)如图,抛物线 y = -x2 +bx+c 交 x 轴 于 A( -1,0),B(2,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求此抛物线的解析式; (2)已知 P 为抛物线 y = -x2 +bx+c 上一点 (不与点 B 重合),若点 P 关于 x 轴对称的 点 P′恰好在直线 BC 上,求点 P 的坐标. 6 10 120,整理得:y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30, ∵ 尽可能让利于居民,∴ y = 20. 答:每个车位的月租 金上涨 20 元时,停车场的月租金收入为 10 120 元. 10. 解:任务 1:设该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平 均增长率为 x,根据题意得 100(1+x) 2 = 144,解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . 答:该车 间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 20%; 任务 2:设该零件的实际售价应定为 y 元,则每个的 销售利润为(y-30)元,月销售量为 600-10( y-40) = (1 000-10y)个,根据题意得( y-30) (1000-10y) = 10 000,整理得 y2 -130y+4 000 = 0,解得 y1 = 50,y2 = 80,又∵ 要尽可能让车企得到实惠,∴ y = 50. 答: 该零件的实际售价应定为 50 元. 基础知识抓分练 3 二次函数的图象与性质及二次函数与一元二次方程 1. A　 【解析】对称轴为 x = 2,当 x>2 时,y 随 x 的增大 而增大,当 x<2 时,y 随 x 的增大而减小. x = -1 离对 称轴远,∴ y1 >y2 . 故选 A. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【方法点拨】比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法:将几个点的横坐标分别代入二次函 数解析式,求出对应函数值,再比较函数值大小; (2)增减性比较法:当点在对称轴同侧,直接根据增减 性比较,当点不在对称轴同侧,利用二次函数图象对 称性,将点转化到对称轴同侧,再根据增减性比较; (3)根据点到对称轴的距离比较大小; (4)图象比较法. 2. B　 3. C　 4. D　 【解析】根据“左加右减,上加下减”的平移规律 可得 y= 2x2 -4 平移后的函数表达式为 y = 2(x-2) 2 - 3. 故选 D. 5. D　 6. A 7. B　 【解析】①根据图象,a<0,b>0,c>0,∵ abc<0,故 ①错误;②∵ 观察图象知,当 x= 2 时 y>0,∴ 4a+2b+c >0,故②错误;③由图象知,当 x= -1 时,y<0,∴ a-b+ c<0,∵ 抛物线对称轴为直线 x = 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∴ 3a+c<0,故③正确;④x =m 对应的函数值为 y =am2 +bm+c,x= 1 对应的函数值为 y = a+b+c,又 x = 1 时函数取得最大值,∴ a+b+c>am2 +bm+c,即 a+b>am2 +bm=m(am+b),故④正确. 故选 B. 8. y= -x2 +2x+1(答案不唯一) 　 9. 0<x<4　 10. m>1 11. 解:(1)①4 ②将表格数据描点连线绘制图象如下: (2)①y≥0　 ②当 0≤x≤1 或 x≥3 时,y 随 x 的增大 而增大(答案不唯一) (3)①0<k<4　 ②4. 1(答案不唯一) 12. (1)证明:令 y = 0,则 2x2 -4x-6 = 0,∵ Δ = b2 -4ac = ( -4) 2 -4×2×( -6) = 64>0,∴ 该抛物线一定与 x 轴 有两个交点; (2)解:当 y= 0 时,2x2 -4x-6 = 0,解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ A( -1,0),B(3,0),∵ y= 2(x-1) 2 -8,∴ 顶点 P 的 坐标为(1,-8),∴ △ABP 的面积 = 1 2 ×(3+1) ×8 = 16. 13. 解:(1)把 x= 0 代入 y= -2x+8,解得 y = 8,∴ 点 B 的 坐标为(0,8). 把 y= 0 代入 y = -2x+8 得 0 = -2x+8, 解得 x= 4,∴ 点 A 坐标为(4,0) . 将(0,8),(4,0)代 入 y= x2 +bx+c 得 8 = c 0 = 16+4b+c{ ,解得 b= -6 c= 8{ ,∴ 抛物 线解析式为 y= x2 -6x+8; (2)x<0 或 x>4; (3) ∵ y = x2 - 6x + 8, ∴ 抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 x= - -6 2 = 3,点 C(1,y1)关于对称轴的对称点 C′坐标 为(5,y1 ) . ∵ 抛物线开口向上,∴ 当 y2 >y1 时,m<1 或 m>5. 14. 解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx+c 交 x 轴于 A( -1,0),B (2,0)两点,∴ 将 A( -1,0),B(2,0)代入 y= -x2 +bx+ c 得 -1-b+c= 0 -4+2b+c= 0{ ,解得 b= 1 c= 2{ ,∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +x+2; (2)设直线 BC 的解析式为 y = kx+m( k≠0),由(1) 中 y= -x2 +x+2 得,点 C 的坐标为(0,2),将 B(2,0), C(0,2)代入 y = kx+m,得 2k+m= 0 m= 2{ ,解得 k= -1 m= 2{ ,∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+2. 设点 P′的坐标为(a, -a+2),∵ 点 P 与点 P′关于 x 轴对称,∴ 点 P 的坐 标为(a,a-2) . ∵ 点 P 在抛物线上,∴ a-2 = -a2 +a+ 2. 解得 a1 = 2,a2 = -2. 又∵ 点 P 不与点 B 重合,∴ a = - 2. ∴ a- 2 = - 2 - 2 = -4. ∴ 点 P 的坐标为( - 2, -4) . 基础知识抓分练 4 二次函数的应用 1. C 2. A　 【解析】由题意,∵ 点 A 到 x 轴的距离是 0. 6dm, ∴ 令 y= 0. 6,则 y = -0. 1x2 +1 = 0. 6,∴ x = 2 或 x = -2 (舍去),∴ A 到 y 轴的距离为 2dm. 又点 A,B 在抛物 线上,OA,OB 关于 y 轴对称,∴ AB = 2×2 = 4(dm) . 故 选 A. 3. D　 4. 7 5. 9　 【解析】∵ 拱跨 AB = 60m,以 AB 的中点 O 为坐标 原点,∴ AO=BO= 30m,∴ A 的坐标为(30,0),B 的坐 标为( -30,0),设抛物线解析式为 y = a( x+30) ( x- 30),∵ AE= 2(m),DE⊥AB 且 DE= 1. 16m,∴ OE=AO -AE= 30-2 = 28m,∴ D 的坐标为(28,1. 16),∴ a(28+ 30)(28-30)= 1. 16,解得 a= -0. 01,∴ 抛物线解析式 为 y= -0. 01(x+30)(x-30),当 x= 0 时,y = 9,∴ 桥拱 最高点到桥面的距离 OC 为 9m. 6. 解:(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y = a( x-5) 2 +4. 把(0, 96 49 )代入表达式得 96 49 = a(0 - 5) 2 + 4,解得 a = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 3 页