抓分练1一元二次方程的认识及其解法-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 1　 一元二次方程的认识及其解法 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列方程中是一元二次方程的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x2 -4xy+1 = 0 B. 2x2 +5x= 3 x C. 3x2 -2x= x3 -6 D. 2x(x+1)= 4x 2. 一元二次方程 x2 = 3x 的解是(　 　 ) A. x= 0 B. x= 3 C. x= -3 D. x1 = 0,x2 = 3 3. 用配方法解方程 x2 -6x+1 = 0 时,将其配方 成(x+a) 2 = b 的形式,则 a-b 的值为(　 　 ) A. -5 B. -11 C. 5 D. 6 4. 数学思想·整体思想 若 x=a 是方程 2x2 -x- 6 = 0 的一个解, 则代数式 4a2 - 2a 的值 为(　 　 ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 5. 一元二次方程 2x2 - kx- 1 = 0 的根的情况 是(　 　 ) A. 无实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【变式 1】如果关于 x 的一元二次方程 kx2 -4x +2=0 有实数根,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k≤2 B. k≤2 且 k≠0 C. k<2 且 k≠0 D. k≥2 且 k≠0 【变式 2】 新趋势·新定义 对于实数 a,b,定 义新运算:a※b = ab2 -b,若关于 x 的方程 1 ※x = k 有两个相等的实数根,则 k 的值 是(　 　 ) A. 4 B. -4 C. 1 4 D. - 1 4 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6. 新趋势·结论开放 写出一个关于 x 的一元 二次方程,使其二次项系数为 2,有一根为 2,则这个方程可以是　 　 　 　 　 　 　 . 7. 关于 x 的一元二次方程 x2 = a 的两个根分 别是 2m-1 与 m-5,则 m= 　 　 　 　 . 8. 学科内融合 若一次函数 y = kx+b(k≠0)的 图象经过第一、二、四象限,则方程 bx2 -2x+ k= 0 有　 　 　 　 个根. 9. 已知 x1,x2 为一元二次方程 x2 - 2 x-2 024 = 0 的两个实数根,则 x2 x1 + x1 x2 的值为　 　 　 　 . 10. 新颖题 古巴比伦挖掘出的泥版中,记载着 一元二次方程正数解的几何解法. 以 x(x+ 10)= 375 为例说明,如图 1,构造一个边长 为 x 的正方形,加上一个长为 x,宽为 10 的 长方形;再将右边的长方形剪成 2 个宽为 5 的长方形,拼成边长为 x+5 的大正方形,如 图 2 所示,则大正方形的面积为 375+25 = 400,即可求得 x= 15. 小明用此几何法解关 于 x 的方程 x(x+p)= q,若假设图 1 中正方 形的面积为 81,图 2 中大正方形的面积为 144,则 p=　 　 　 　 ,q=　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 三、解答题(共 39 分) 11. (9 分)按要求解方程: (1)x2 +8x+15 = 0(用因式分解法); (2)2x2 -4x-3 = 0(用配方法); 1 情境期末·ZBR·九年级数学 (3) -3x= 1-x2(用公式法). 12. 新趋势·过程纠错 (9 分) (许昌期末)下 面是小明同学解一元二次方程 2x2 -2 = 3x 的过程,请认真阅读并完成相应的任务. 2x2 -2 = 3x. 解:二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x, 第一步……………………………… 移项,得 x2 - 3 2 x= 1, 第二步………… 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 4 = 1, 第三步……… 变形,得(x- 3 2 ) 2 = 1, 第四步………… 开方,得 x- 3 2 = ±1, 第五步………… 解得 x1 = 1 2 ,x2 = 5 2 第六步…………… (1)上面小明同学的解法中运用“配方法” 将一元二次方程“降次” 为两个一元一次 方程,体现的数学思想是 　 　 　 　 　 　 , 其中 “ 配 方 法” 依 据 的 一 个 数 学 公 式 是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)上述解题过程,从第 　 　 　 　 步开始 出现错误,请写出正确的解答过程. 13. (10 分)(三门峡期末)已知关于 x 的方程 x2 -(m+1)x+2(m-1)= 0. (1)求证:无论 m 取何值,这个方程总有实 数根; (2)若等腰△ABC 的一腰长 a = 6,另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长. 14. 新趋势·新定义 (11 分)定义:若关于 x 的 一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)中的常 数项是该方程的一个根,则该一元二次方 程就叫做常数根一元二次方程. (1)已知关于 x 的方程 x2 +x+c = 0 是常数 根一元二次方程,则 c 的值为　 　 　 　 ; (2)如果关于 x 的方程 x2 + 2mx+m+ 1 = 0 是常数根一元二次方程,则 m 的值; (3)若关于 x 的常数根一元二次方程 ax2 + bx+c = 0(a≠0)中不含零根,求证:关于 y 的方程 acy2 +by+1 = 0 是常数根一元二次 方程. 2 得 x= 28 5 . 综上所述,AE 的长为 12 或 2 或 28 5 . 4. 解:过点 E 作 EM⊥CD,垂足为 M,延长 EM 交 AB 于 点 N,∵ CD∥AB,∴ EN⊥AB,由题意得:CD= 20 厘米, EM= 40 厘米,EN = 100 米, ∵ CD∥AB, ∴ ∠EDC = ∠EBA,∠ECD = ∠EAB,∴ △ECD∽ △EAB,∴ EM EN = CD AB ,∴ 0. 4 100 = 0. 2 AB ,解得 AB = 50,答:建筑的高度 AB 为 50 米. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 一元二次方程的认识及其解法 1. D　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】配方法的一般步骤:①将常数项移到等号 右边,含未知数的项移到等号左边;②二次项系数化 为 1;③左右两边同时加上一次项系数一半的平方;④ 直接开平方;⑤移项、合并同类项. 4. C　 【解析】∵ x = a 是方程 2x2 -x-6 = 0 的一个解,∴ 2a2 -a-6 = 0,∴ 2a2 -a= 6,∴ 4a2 -2a= 2(2a2 -a)= 2×6 = 12. 故选 C. 5. D 【变式 1】B　 【解析】根据题意得 k≠0 且 Δ= 42 -4k×2 ≥0,解得 k≤2 且 k≠0. 故选 B. 【变式 2】D　 【解析】由题意得 x2 -x = k,即 x2 -x-k = 0. ∵ 方程有两个相等的实数根,∴ Δ = ( - 1) 2 - 4 × (-k)= 0,解得 k= - 1 4 . 故选 D. 6. 2x2 -8 = 0(答案不唯一) 　 7. 2 8. 两　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、 二、四象限,∴ k<0,b>0,∵ Δ = (-2) 2 -4bk = 4-4bk,∵ k<0,b>0,∴ bk<0,∴ -bk>0,∴ Δ>0,∴ 方程有两个不 相等的实数根. 9. - 2 025 1 012 　 【解析】∵ x1,x2 为一元二次方程 x 2 - 2 x- 2 024= 0 的两个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = -2 024,∴ 原式= x1 2 +x2 2 x1x2 = (x1 +x2) 2 -2x1x2 x1x2 = 2 +4 048 -2 024 = -2 025 1 012 . 10. 6　 135　 【解析】由题知,图 1 中正方形的边长为 x, 且其面积为 81,所以 x = 9. 因为图 2 中正方形的边 长为 x+ p 2 ,且其面积为 144,所以 x+ p 2 = 12,则 p = 6,所以 9×(9+6)= q,解得 q= 135. 11. 解:(1)因式分解,得(x+3) (x+5)= 0,则 x+3 = 0 或 x+5 = 0,所以 x1 = -3,x2 = -5; (2)移项,得 2x2 -4x = 3,配方,得 2( x-1) 2 = 5,( x- 1) 2 = 5 2 ,则 x-1 = ± 10 2 ,所以 x1 = 1+ 10 2 ,x2 = 1- 10 2 ; (3)移项,得 x2 -3x-1 = 0,a = 1,b = -3,c = -1,则 Δ = ( -3) 2 -4×1×( -1)= 13>0,所以 x = 3± 13 2 ,所以 x1 = 3 + 13 2 ,x2 = 3- 13 2 . 12. 解:(1)转化思想　 a2 ±2ab+b2 = (a±b) 2 (2)三　 二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x. 移项,得 x2 - 3 2 x = 1. 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1 + 9 16 . 变形,得( x- 3 4 ) 2 = 25 16 . 开方,得 x- 3 4 = ± 5 4 . 解得 x1 = 2,x2 = - 1 2 . 13. (1)证明:∵ Δ= [ -(m+1)] 2 -4×2(m-1) = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:∵ 等腰△ABC 的一腰长 a = 6,∴ 方程有一个 根为 6. 将 x= 6 代入原方程,得 36-6(m+1) +2(m- 1)= 0. 解得 m= 7. ∴ 原方程为 x2 -8x+12 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = 6. ∵ 2、6、6 能组成三角形,∴ 该三角形的周 长为 2+6+6 = 14. 14. 解:(1)0 或-2 (2)∵ 关于 x 的方程 x2 +2mx+m+1 = 0 是常数根一元 二次方程,∴ 方程的一个根为 x=m+1,代入方程得, (m+1) 2 +2m(m+1) +m+1 = 0,整理得,3m2 +5m+2 = 0,解得 m= - 2 3 或-1; (3)∵ 关于 x 的常数根一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 (a≠0)中不含零根,∴ 方程的一个根为 x = c,且 c≠ 0,代入方程,得 ac2 +bc+c = 0,即 c(ac+b+1) = 0. ∵ c ≠0,∴ ac+b+1 = 0,∴ 把 y = 1 代入方程 acy2 +by+1 = 0,得左边= ac+b+1 = 0 = 右边,∴ y = 1 是关于 y 的方 程 acy2 +by+1 = 0 的一个根,∴ 关于 y 的方程 acy2 +by +1 = 0 是常数根一元二次方程. 基础知识抓分练 2 实际问题与一元二次方程 1. C 2. C　 【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月 平均增长率为 x,根据题意,得:6(1 +x) 2 = 6 + 1. 5 + 1. 14,解得 x= 0. 2 = 20%或 x= -2. 2(舍去) . 故选 C. 3. B　 【解析】依题意,得:1+n+n2 = 111,解得 n1 = 10,n2 = -11. 故选 B. 4. D　 【解析】设剪去的正方形的边长为 xcm,则制成有 盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x) cm,宽为 12-2x 2 = (6-x)cm,依题意得(10-2x)(6-x)= 24,整理得 x2 -11x+18 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 9(不合题意,舍去) . 故 选 D. 5. 13　 6. 1 7. 45　 【解析】设这次旅游可以安排 x 人参加,且 30 × 800 = 24 000<29 250,就有 x>30,根据题意得,x[800- 10(x-30)] = 29 250,整理得 x2 -110x+2925 = 0,解得 x1 = 45,x2 = 65. ∵ 800-10(x-30)≥500,∴ x≤60,∴ x = 45. 8. 80 9. 解:(1) 道路的宽为 x 米,由题意得:( 50 - 2x) ( 30 - 2x)= 800,整理得:x2 -40x+175 = 0,解得 x1 = 35(不合 题意,舍去),x2 = 5. 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租 金收入为 10 120 元,由题意得:(200 +y) (50 - y 5 ) = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 2 页