课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

　 　 答案详解详析·易错剖析　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本知识集锦》答案 第二十一章　 一元二次方程 1. A 2. B　 【解析】可列方程(40 - 2x) (30 - 2x) = 816,变形 后,可得 1 200-(80x+60x-4x2)= 816 或 80x+2x(30- 2x)= 1 200-816,不能得到(40-x) (30-x)= 816. 故 选 B. 3. 解:(1)设该公司销售 A 产品每次的增长率为 x,依题 意,得 20(1+x) 2 = 45,解得 x1 = 0. 5 = 50%,x2 = - 2. 5 (不合题意,舍去) . 故该公司销售 A 产品每次的增长 率为 50%; (2)设每套 A 产品需降价 y 万元,则平均每月可售出 (30+ y 0. 5 ×20) 套,依题意,得(2 -y) (30 + y 0. 5 × 20) = 70. 整理,得 4y2 -5y+1 = 0,解得 y1 = 1 4 ,y2 = 1. ∵ 要尽 量减少库存,∴ y= 1. 故每套 A 产品需降价 1 万元. 第二十二章　 二次函数 1. A　 2. D　 3. 1. 5 第二十三章　 旋转 1. C 2. D　 【解析】设∠A′CA= x,∵ ∠A′CB = 45°,∴ ∠ACB = 45°+x,∵ BB′∥AC,∴ ∠CBB′ = ∠ACB = 45°+x,由旋 转的 性 质 得: ∠B′ CB = ∠A′ CA = x, BC = B′ C, ∴ ∠CBB′ = ∠CB′ B = 45° + x, 在 △BCB′中, ∠CBB′ + ∠CB′B+∠B′CB= 180°,∴ 45°+x+45°+x+x = 180°,解 得 x= 30°,即∠A′CA= 30°. 故选 D. 3. (-1,4) 　 【解析】∵ 点(a,-3)关于原点对称的点的 坐标是(1,b-1),∴ a= -1,b-1 = 3,解得 a = -1,b = 4, ∴ 点(a,b)是(-1,4) . 4. 3 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = 4, ∠B = ∠BAC = 60°,由 旋 转 的 性 质 可 知, AD = AE, ∠DAE = 60°,∴ ∠BAD = ∠BAC-∠CAD = 60°-∠CAD = ∠DAE-∠CAD = ∠CAE,∴ △ABD≌△ACE(SAS), ∴ ∠ACE= ∠B = 60°,即点 E 在以点 C 为顶点,且与 AC 夹角为 60°的直线上运动,过点 F 作 FG⊥CE 于点 G,当点 E 在点 G 处时,EF 取得最小值,即为 FG 的 长,∵ 点 F 是 AC 边的中点,∴ CF= 2,在 Rt△CGF 中, ∠ACE= 60°,∴ ∠CFG = 30°,∴ CG = 1,∴ FG = 3 ,即 EF 的最小值是 3 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　【技巧点拨】根据等边三角形和旋转的性质,证△ABD ≌△ACE(SAS),得到∠ACE = ∠B = 60°,即点 E 在以 点 C 为顶点,且与 AC 夹角为 60°的直线上运动,过点 F 作 FG⊥CE 于点 G,当点 E 在点 G 处时,EF 取得最 小值,即为 FG 的长,然后结合勾股定理求解即可. 第二十四章　 圆 1. A 2. 4　 【解析】连接 OA、OB. ∵ ☉O 的内接正六边形 AB- CDEF 的周长为 24,∴ 边长为 4. ∵ ∠AOB = 1 6 ×360° = 60°,且 OA=OB,∴ △OAB 为等边三角形,∴ OA=AB = 4,即该圆的半径为 4. 3. 1. 3 4. 2 3 π - 3 2 　 【解析】 ∵ ∠AOB = 90°,∠AOC = 30°,∴ ∠BOC= 60°. ∵ 在扇形 AOB 中,OA = OB = 2,∴ OB = OC = 2, ∴ △BOC 是 等 边 三 角 形. ∵ CD ⊥ OA, ∴ ∠ODC= 90°. ∵ ∠AOC= 30°,∴ OD= 3 ,CD= 1,∴ S阴 = S扇形BOC-S△OBC+S△COD = 60·π×22 360 - 1 2 ×2× 3 + 1 2 × 3 ×1 = 2 3 π- 3 2 . 第二十五章　 概率初步 1. C　 【解析】共有 12 种等可能结果,其中恰好抽到《多 宝塔碑》和《玄秘塔碑》有 2 种结果,∴ P = 2 12 = 1 6 ,∴ 抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的 概率为 1 6 . 故选 C. 2. 140 第二十六章　 反比例函数 1. D　 2. C 3. 解:(1)∵ 点 A(m,2)在一次函数 y1 = 1 2 x-1 的图象 上,∴ 1 2 m-1 = 2,解得 m= 6,∴ A(6,2),∵ A(6,2)在 反比例函数 y2 = k x (k≠0)的图象上,∴ k = 12,∴ 反比 例函数的解析式为 y2 = 12 x ; (2)x<-4 或 0<x<6; (3)∵ 直线 AB 的解析式为 y1 = 1 2 x-1,∴ 当 x= 0 时,y = -1,∴ C(0,-1),∵ A(6,2),∴ AC = 3 5 . 当 AC =PC 时,设 P(0,y),则 | y+1 | = 3 5 ,解得 y = 3 5 -1 或 y = -3 5 -1,∴ P1(0,3 5 -1),P2(0,-3 5 -1);当 AC = AP 时,过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D,则 CD = 3,∴ PD = CD= 3,∴ P(0,5),即 P3(0,5),综上所述,点 P 的坐 标为 P1(0,3 5 -1),P2(0,-3 5 -1),P3(0,5) . 第二十七章　 相似 1. D 2. C　 【解析】∵ △ABC 与△DEF 位似,原点 O 是位似 中心,而 A(2,0),D(5,0),∴ △ABC 与△DEF 的位似 比为 2 5 ,∵ B(4,3),∴ E 点的坐标是为(10,7. 5) . 故 选 C. 3. 12 或 2 或 28 5 　 【解析】设 AE 的长为 x,则 BE 的长为 (14 - x) . 由题意知 ∠A = ∠B = 90°,① 当 △AME∽ △BEN 时, AM BE = AE BN ,∴ 4 14-x = x 6 ,解得 x1 = 12,x2 = 2; ②当△AME∽△BNE 时,∴ AM BN = AE BE ,∴ 4 6 = x 14-x ,解 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 1 页 得 x= 28 5 . 综上所述,AE 的长为 12 或 2 或 28 5 . 4. 解:过点 E 作 EM⊥CD,垂足为 M,延长 EM 交 AB 于 点 N,∵ CD∥AB,∴ EN⊥AB,由题意得:CD= 20 厘米, EM= 40 厘米,EN = 100 米, ∵ CD∥AB, ∴ ∠EDC = ∠EBA,∠ECD = ∠EAB,∴ △ECD∽ △EAB,∴ EM EN = CD AB ,∴ 0. 4 100 = 0. 2 AB ,解得 AB = 50,答:建筑的高度 AB 为 50 米. 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋􀤋 􀦋 􀦋 􀦋􀦋《课本回头练》答案 基础知识抓分练 1 一元二次方程的认识及其解法 1. D　 2. D 3. B 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　【方法总结】配方法的一般步骤:①将常数项移到等号 右边,含未知数的项移到等号左边;②二次项系数化 为 1;③左右两边同时加上一次项系数一半的平方;④ 直接开平方;⑤移项、合并同类项. 4. C　 【解析】∵ x = a 是方程 2x2 -x-6 = 0 的一个解,∴ 2a2 -a-6 = 0,∴ 2a2 -a= 6,∴ 4a2 -2a= 2(2a2 -a)= 2×6 = 12. 故选 C. 5. D 【变式 1】B　 【解析】根据题意得 k≠0 且 Δ= 42 -4k×2 ≥0,解得 k≤2 且 k≠0. 故选 B. 【变式 2】D　 【解析】由题意得 x2 -x = k,即 x2 -x-k = 0. ∵ 方程有两个相等的实数根,∴ Δ = ( - 1) 2 - 4 × (-k)= 0,解得 k= - 1 4 . 故选 D. 6. 2x2 -8 = 0(答案不唯一) 　 7. 2 8. 两　 【解析】∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第一、 二、四象限,∴ k<0,b>0,∵ Δ = (-2) 2 -4bk = 4-4bk,∵ k<0,b>0,∴ bk<0,∴ -bk>0,∴ Δ>0,∴ 方程有两个不 相等的实数根. 9. - 2 025 1 012 　 【解析】∵ x1,x2 为一元二次方程 x 2 - 2 x- 2 024= 0 的两个实数根,∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = -2 024,∴ 原式= x1 2 +x2 2 x1x2 = (x1 +x2) 2 -2x1x2 x1x2 = 2 +4 048 -2 024 = -2 025 1 012 . 10. 6　 135　 【解析】由题知,图 1 中正方形的边长为 x, 且其面积为 81,所以 x = 9. 因为图 2 中正方形的边 长为 x+ p 2 ,且其面积为 144,所以 x+ p 2 = 12,则 p = 6,所以 9×(9+6)= q,解得 q= 135. 11. 解:(1)因式分解,得(x+3) (x+5)= 0,则 x+3 = 0 或 x+5 = 0,所以 x1 = -3,x2 = -5; (2)移项,得 2x2 -4x = 3,配方,得 2( x-1) 2 = 5,( x- 1) 2 = 5 2 ,则 x-1 = ± 10 2 ,所以 x1 = 1+ 10 2 ,x2 = 1- 10 2 ; (3)移项,得 x2 -3x-1 = 0,a = 1,b = -3,c = -1,则 Δ = ( -3) 2 -4×1×( -1)= 13>0,所以 x = 3± 13 2 ,所以 x1 = 3 + 13 2 ,x2 = 3- 13 2 . 12. 解:(1)转化思想　 a2 ±2ab+b2 = (a±b) 2 (2)三　 二次项系数化为 1,得 x2 -1 = 3 2 x. 移项,得 x2 - 3 2 x = 1. 配方,得 x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1 + 9 16 . 变形,得( x- 3 4 ) 2 = 25 16 . 开方,得 x- 3 4 = ± 5 4 . 解得 x1 = 2,x2 = - 1 2 . 13. (1)证明:∵ Δ= [ -(m+1)] 2 -4×2(m-1) = (m-3) 2 ≥0,∴ 无论 m 取何值,这个方程总有实数根; (2)解:∵ 等腰△ABC 的一腰长 a = 6,∴ 方程有一个 根为 6. 将 x= 6 代入原方程,得 36-6(m+1) +2(m- 1)= 0. 解得 m= 7. ∴ 原方程为 x2 -8x+12 = 0. 解得 x1 = 2,x2 = 6. ∵ 2、6、6 能组成三角形,∴ 该三角形的周 长为 2+6+6 = 14. 14. 解:(1)0 或-2 (2)∵ 关于 x 的方程 x2 +2mx+m+1 = 0 是常数根一元 二次方程,∴ 方程的一个根为 x=m+1,代入方程得, (m+1) 2 +2m(m+1) +m+1 = 0,整理得,3m2 +5m+2 = 0,解得 m= - 2 3 或-1; (3)∵ 关于 x 的常数根一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 (a≠0)中不含零根,∴ 方程的一个根为 x = c,且 c≠ 0,代入方程,得 ac2 +bc+c = 0,即 c(ac+b+1) = 0. ∵ c ≠0,∴ ac+b+1 = 0,∴ 把 y = 1 代入方程 acy2 +by+1 = 0,得左边= ac+b+1 = 0 = 右边,∴ y = 1 是关于 y 的方 程 acy2 +by+1 = 0 的一个根,∴ 关于 y 的方程 acy2 +by +1 = 0 是常数根一元二次方程. 基础知识抓分练 2 实际问题与一元二次方程 1. C 2. C　 【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月 平均增长率为 x,根据题意,得:6(1 +x) 2 = 6 + 1. 5 + 1. 14,解得 x= 0. 2 = 20%或 x= -2. 2(舍去) . 故选 C. 3. B　 【解析】依题意,得:1+n+n2 = 111,解得 n1 = 10,n2 = -11. 故选 B. 4. D　 【解析】设剪去的正方形的边长为 xcm,则制成有 盖的长方体铁盒的底面长为(10-2x) cm,宽为 12-2x 2 = (6-x)cm,依题意得(10-2x)(6-x)= 24,整理得 x2 -11x+18 = 0,解得 x1 = 2,x2 = 9(不合题意,舍去) . 故 选 D. 5. 13　 6. 1 7. 45　 【解析】设这次旅游可以安排 x 人参加,且 30 × 800 = 24 000<29 250,就有 x>30,根据题意得,x[800- 10(x-30)] = 29 250,整理得 x2 -110x+2925 = 0,解得 x1 = 45,x2 = 65. ∵ 800-10(x-30)≥500,∴ x≤60,∴ x = 45. 8. 80 9. 解:(1) 道路的宽为 x 米,由题意得:( 50 - 2x) ( 30 - 2x)= 800,整理得:x2 -40x+175 = 0,解得 x1 = 35(不合 题意,舍去),x2 = 5. 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租 金收入为 10 120 元,由题意得:(200 +y) (50 - y 5 ) = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·九年级数学　 第 2 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十一章　 一元二次方程 　 一元二次方程 等号两边都是整式,只含有 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　一个未知数(一元),并且未知数的 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　最高次数是 2(二次)的方程叫 做一元二次方程. 一般形式是 ax2+bx+c= 0(a≠0),二次项系数为 a,一次项系数为 b,常数项为 c. 　 一元二次方程的解法 1. 直接降次法:如果方程可化为一边是未知数(或含有未知数的代数式)的平方,另一边是非负 数,这种形式的方程可依据平方根的意义直接降次求解. 2. 配方法:将二次项系数化为 1;把常数项移到等号的右边,含有未知数的项移到等号的左边; 左、右两边同时加上 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　一次项系数一半的平方 ,把方程左边化成完全平方式的形式;右边是一 个非负数时,我们可用直接开平方法解方程. 3. 公式法 (1)根的判别式:一般地,式子 　 　 　 　 　 　 　　　　　 　b2 -4ac 叫做一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)根的判别式,通 常用希腊字母“Δ”表示它,即 Δ= b2 -4ac. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】根的判别式只适用于一元二次方程,当无法判定方程是不是一元二次方程时,应分 类讨论. (2)判断一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的实数根的情况: ①Δ>0,有 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　两个不相等 的实数根;　 ②Δ= 0,有 　 　 　 　 　 　 　　　　　　两个相等 的实数根;　 ③Δ<0,没有实数根. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【提示】一元二次方程根的判别式的主要应用:①不解方程,判断根的情况;②根据方程根 的情况,确定方程中字母系数的取值范围. (3)公式法:一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)的求根公式是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 x= -b± b2 -4ac 2a (b2 -4ac≥0) . 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值,直接代入这个公式,就可以求得方程的根. 这种解一元 二次方程的方法叫做公式法. 4.因式分解法:将方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从 而实现降次. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】①因式分解法的理论依据:如果两个因式的积为 0,那么至少有一个因式等于 0(若 ab= 0,则 a= 0 或 b= 0);②十字相乘法:x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) . 　 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 x1,x2,那么 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　　　 　 　 x1+x2 =- b a ,x1x2 = c a . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【补充延伸】设一元二次方程 x 2 +px+q= 0 的两根为 x1,x2,那么 x1 +x2 = -p,x1x2 = q. 1 情境期末·ZBR·九年级数学 　 列一元二次方程解决实际问题 图形面 积问题 常见图形的面积公式:S长方形 =ab,S正方形 =a2,S圆 = πr2,S三角形 = 1 2 ah,S梯形 = 1 2 (a+b)h 变化率 问题 若起始值是 a,终止值是 b,平均增长(降低)率为 x,增长(降低)次数为 n, (1)平均增长率:a(1+x) n = b;(2)平均降低率:a(1-x) n = b 传染问 题 若 a 表示传染之前的人数,x 表示每轮每人传染的人数,n 表示传播的轮数,b 表示最终的总 人数,则有 a(1+x) n = b 销售利 润问题 利润=售价-进价;售价=进价×(1+利润率); 利润率 = 利润 进价 ×100% = 售价 -进价 进价 ×100%;总利 润=单个利润×销售总量=总售价-总进价 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 关于 x 的方程(k-3)x2 -4x+2 = 0 有实数根,则 k 的取值范围是(　 　 ) A. k≤5 B. k<5 且 k≠3 C. k≤5 且 k≠3 D. k≥5 且 k≠3 2. 为加快推动生态巩义建设步伐,形成“城在林中、园在城中、山水相依、林路相随”的生态 格局,市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪. 如图,矩形长为 40 m,宽为 30 m,在矩形内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪. 要使草坪的面积为 816 m2, 道路的宽度应为多少? 设矩形地块四周道路的宽度为 x m,根据题意,下列方程不正确的 是(　 　 ) A. 1 200-(80x+60x-4x2)= 816 B. (40-x)(30-x)= 816 C. (40-2x)(30-2x)= 816 D. 80x+2x(30-2x)= 1 200-816 3. 某公司 2 月份销售新上市的 A 产品 20 套,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4 月 份该公司销售 A 产品达到 45 套,并且 2 月到 3 月和 3 月到 4 月两次的增长率相同. (1)求该公司销售 A 产品每次的增长率; (2)若 A 产品每套盈利 2 万元,则平均每月可售 30 套,为了尽量减少库存,该公司决定采 取适当的降价措施,经调查发现,A 产品每套每降 0. 5 万元,公司平均每月可多售出 20 套;若该公司在 5 月份要获利 70 万元,则每套 A 产品需降价多少万元? 2 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十二章　 二次函数 　 二次函数的图象和性质 函数 y=ax2 +bx+c(a>0) y=ax2 +bx+c(a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标、 对称轴 顶点坐标(- b 2a ,4ac -b2 4a ),对称轴为直线 x= - b 2a 增减性 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大 当 x<- b 2a 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x>- b 2a 时,y 随 x 的增大而减小 最值 当 x= - b 2a 时,y 有最小值,y最小值 = 4ac-b2 4a 当 x= - b 2a 时,y 有最大值,y最大值 = 4ac-b2 4a 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】二次函数图象的平移规律:二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象可由二次函数 y = ax2 的 图象向右(或左)平移 | h | 个单位长度,再向上(或下)平移 | k | 个单位长度得到;简记为 “ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上加下减常数项,左加右减自变量 ” . 　 二次函数表达式的常见形式 形式 内容 适用条件 一般式 y=ax2 +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0) 已知抛物线上任意三点坐标 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a、h、k 为常数,a≠0),抛物线的顶 点坐标为(h,k) 已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a、x1、x2 为常数,a≠0),其中 x1、x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 已知抛物线与 x 轴的两交点坐标 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】二次函数表达式的三种形式互相联系,可以互相转化. 如果求二次函数的表达式时 设的是交点式或顶点式,最后的结果一般化为一般式. 　 二次函数与一元二次方程的关系 判别式 b2 -4ac>0 b2 -4ac= 0 b2 -4ac<0 二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象 a>0 a<0 3 情境期末·ZBR·九年级数学 二次函数 y = ax2 +bx+c 的 图象与 x 轴三种位置关系 有两个公共点( x1,0), (x2,0) 有一个公共点(- b 2a ,0) 没有公共点 一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的情况 有两个不相等的实数 根,且 x= -b± b2 -4ac 2a 有两个相等的实数根 x1 = x2 = - b 2a 没有实数根 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】二次函数与一元二次不等式之间的关系:二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象在 x 轴上方 的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2 +bx+c>0 的解集;在 x 轴下方的点对应的 x 的所有值 是不等式 ax2 +bx+c<0 的解集. 　 实际问题与二次函数 1.用二次函数解决图形面积的最值问题 求图形的面积时,常会涉及线段与线段之间的关系,通常是根据图形中线段的关系, 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　找到相应线段的长与面积之间的函数关系 ,将其转化为二次函数问题,就可以用二次函数 的图象与性质来解决. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【注意】解决此类问题时要注意自变量的取值范围,保证自变量和函数有实际意义. 2.用二次函数解决抛物线形建筑物问题 首先建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形的图形放在坐标系中;设函数解析式,结合 图形和已知条件,用待定系数法求函数解析式;利用二次函数的图象与性质求解实际问题. 3.用二次函数解决最大利润问题 根据销售利润问题中的数量关系得到售价与利润之间的函数关系,利用二次函数的图象 与性质求解实际问题. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 将抛物线 y= -(x-1) 2 +4 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位后,抛物线的解析式 为(　 　 ) A. y= -(x+1) 2 +1 B. y= -(x+3) 2 +1 C. y= -(x-3) 2 +1 D. y= -(x+1) 2 +7 2. 二次函数 y = ax2 + 4x+a 与一次函数 y = ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能 是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 生活情境·拱形门 某校计划举办科技节颁 奖典礼,想在颁奖现场设计一个抛物线形 拱门入口. 如图,要在拱门上顺次粘贴“科” “技”“之”“星”(分别记作点 A、B、C、D)四 个大字,要求 BC∥AD,最高点的五角星(点 E)到 BC 的距离为 0. 5 米,BC = 2 米,AD = 4 米,则点 C 到 AD 的距离为　 　 　 　 米. 4 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十三章　 旋转 　 图形的旋转 1.旋转三要素:旋转中心、旋转角和旋转方向. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈【注意】旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角; (3)旋转前、后的图形全等. 　 中心对称 1.中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分; (2)中心对称的两个图形是全等图形. 2.中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心,且被对称中心平分; (2)过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分. 3.关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时,它们的 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　坐标符号相反 ,即点 P( x,y) 关于原点的对称点为 P′( -x,-y) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 文化情境·传统文化 中国传统文化博大精深. 下面四个图形中既是轴对称图形又是中心 对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 2. 如图,把△ABC 绕着点 C 顺时针旋转,使点 B 落在点 B′的位置,点 A 的对应点是点 A′,连 接 BB′,若 BB′∥AC,∠A′CB= 45°,则∠ACA′的度数是(　 　 ) A. 22. 5° B. 25° C. 28° D. 30° 3. 平面直角坐标系中,点 ( a, - 3) 关于原点对称的点的坐标是 ( 1, b - 1),则点 ( a, b) 是　 　 　 　 . 4. 如图,在等边△ABC 中,AB = 4,点 D 是 BC 边上一动点,连接 AD,将 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到 AE,点 F 是 AC 边的中点,连接 CE、EF,则 EF 的最小值是 　 　 　 　 . 5 情境期末·ZBR·九年级数学 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十四章　 圆 　 圆的有关性质 1.垂径定理及其推论 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧. CD 是直径, CD⊥AB } ⇒ AM=BM, AC ( =BC ( , AD ( =BD ( . ì î í ïï ïï 垂径定理 的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条 弧. CD 是直径, AM=BM (AB 不是直 径) ü þ ý ï ï ï ï ⇒ CD⊥AB, AC ( =BC ( , AD ( =BD ( . ì î í ïï ïï 拓展 平分弦所对的一条弧的直径垂 直平分弦,并且平分弦所对的另 一条弧. AC ( =BC ( , CD 是直径} ⇒ CD⊥AB, AM=BM, AD ( =BD ( . { 弦的垂直平分线经过圆心,并且 平分弦所对的两条弧. CD⊥AB, AM=BM } ⇒ CD 是直径, AC ( =BC ( , AD ( =BD ( . ì î í ïï ïï 2.弧、弦、圆心角的关系 (1)重要定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. (2)重要结论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相 等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别 相等. 3.圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)推论:同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角 所对的弦是直径. 4.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的 　 　 　 　 　 　 　　　　　　对角互补 . 　 点和圆、直线和圆的位置关系 1.点与圆的位置关系:设☉O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d. 点 P 在圆外⇔d>r　 点 P 在圆上⇔d= r　 点 P 在圆内⇔d<r 2.直线与圆的位置关系:设☉O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d. 直线 l 与☉O 相离⇔d>r　 直线 l 与☉O 相切⇔d= r　 直线 l 与☉O 相交⇔d<r 3.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角. 4.三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三 条 　 　 　 　 　 　 　　　　　　角平分线 的交点,叫做三角形的内心. 内心到三角形三边的距离相等. 6 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 　 正多边形和圆 与正 n 边形有关的计算公式(正 n 边形外接圆的半径为 R,边长为 a,边心距为 r): 名称 公式 图示(以正六边形为例) 内角 正 n 边形的每个内角为 (n-2)·180° n 中心角 正 n 边形的每个中心角为 360° n 外角 正 n 边形的每个外角为 360° n 半径、边长、边心距 的关系 R2 = r2 +( a 2 ) 2 周长 正 n 边形的周长 C=na 面积 正 n 边形的面积 S= 1 2 ar·n= 1 2 Cr α= (6 -2)×180° 6 = 120° β= 360° 6 = 60° γ= 360° 6 = 60° 　 弧长和扇形面积 1.弧长公式:l=nπR 180 ;　 　 2.扇形面积公式:S扇形 = nπR2 360 = 1 2 lR(弧长为 l) . (n 为圆心角度数) 3.圆锥的侧面积和全面积公式( l 为母线长):S侧 = πrl,S全 = πr( l+r) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. (南京模拟)如图,AB 为☉O 的直径,C、D 是☉O 上的两点,∠CDB= 25°,过点 C 作☉O 的 切线交 AB 的延长线于点 E,则∠E 的度数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 第 1 题图 　 　 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 2. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,正六边形的周长是 24,则☉O 的半径是　 　 　 　 . 3. 文化情境·传统文化 “圆”是中国文化的一个重要精神元素,在中式建筑中有着广泛的应 用. 例如古典园林中的门洞. 如图,某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2. 5 m,地面入口 宽为 1 m,则该门洞的半径为　 　 　 　 m. 4. 如图所示的扇形 AOB 中,OA = OB = 2,∠AOB = 90°,C 为 AB ( 上一点,∠AOC = 30°,连接 BC,过 C 作 OA 的垂线交 AO 于点 D,则图中阴影部分的面积为　 　 　 　 . 7 情境期末·ZBR·九年级数学 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十五章　 概率初步 　 随机事件与概率 1.事件的类型:事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件;必然事件与不可能事件统称确 定性事件. 2.概率:一般地,如果在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 A 包含其中的 m 种结果,那么事件 A 发生的概率 P(A)= m n . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【拓展】概率大,并不代表事件一定发生,只是发生的 　 　 　 　 　 　 　　　　　　可能性大 ;概率小,也不代表事件不 发生,只是发生的 　 　 　 　 　 　 　　　　　　可能性小 . 3. 同一事件,发生的概率和不发生的 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　概率之和为 1 . 　 用列举法求概率 方法 列表法 画树状图法 适用条件 当一次试验涉及两个因素,且可 能出现的等可能结果数目较多 当一次试验涉及两个或更多的因素 联系 ①适用的前提都是各种情况出现的可能性是相等的 ②某事件 A 发生的概率公式为 P(A)= 某事件包含的结果数 所有可能出现的结果数 　 用频率估计概率 当试验次数很大时,事件 A 发生的频率具有一定的稳定性,其数值将会在某个 确定的数值附近摆动,并且试验次数越多,事件 A 发生的频率越接近这个数值,这个 确定的数值就是事件 A 发生的概率. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 文化情境·传统文化 小梦是一个书法爱好者,她对楷书四大家的书法都情有独钟. 如图, 若小梦从这四本楷书名家的字帖中随机取两本(先随机抽取 1 本,不放回,再随机抽取 1 本),则抽取的两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率是(　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 8 　 　 　 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,为测量一个“福”字的面积,某同学将该“福”字贴在一个边长为 20 cm 的正方形内. 现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内,经过大量重复试验,发现米粒落在“福”字区域 的频率稳定在常数 0. 35 附近,由此可估计这个“福”字的面积是　 　 　 　 cm2 . 8 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十六章　 反比例函数 　 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数的图象和性质 反比例函数 y= k x (k≠0) k 的符号 k>0 k<0 图象 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】(1)在描述反比例函数的增减性时,必须指明是“在哪一个象限内”; (2)反比例函数的图象的位置和函数的增减性由 k 的符号决定;反之,由双曲线的位置或 函数的增减性可确定 k 的符号. 2.反比例函数 y= k x (k≠0)中 k 的几何意义 k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系 文字 语言 以 k>0 为例:如图,过双曲线上任意 一点 P( x,y)作 PM⊥x 轴于点 M, PN⊥y 轴于点 N 以 k<0 为例:如图,过双曲线上任意 一点 P( x,y)作 PM⊥x 轴于点 M, 连接 PO 图示 k 的几 何意义 S矩形OMPN = | k | S△POM = | k | 2 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【注意】因为 y= k x (k≠0)中 k 有正、负之分,所以上述两个面积结论中的 | k | 不能写成 k. 　 实际问题与反比例函数 类型 关系 公式 路程问题 当路程 s 一定时,时间 t 与速度 v 成反比例 t= s v ( s 是常数) 面 积 问 题 矩形 当矩形面积 S 一定时,长 a 与宽 b 成反比例 a= S b (S 是常数) 三角形 当三角形面积 S 一定时,三角形的一边 a 与该边上的高 h 成 反比例. a = 2S h (S 是常数) 9 情境期末·ZBR·九年级数学 物 理 应 用 问 题 做功型 当功 W 一定时,力 F 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s 成 反比例 F= W s (W 是常数) 压强型 当压力 F 一定时,压强 p 与受力面积 S 成反比例 p= F S (F 是常数) 电流型 在电路中,当电压 U 一定时,电流 I 与电阻 R 成反比例 I= U R (U 是常数) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 一次函数 y= kx-2 和反比例函数 y= k x 在同一平面直角系中的图象可能是(　 　 ) A. B. C. D. 2. 如图,点 A 在反比例函数 y1 = 12 x (x>0)的图象上,过点 A 作 AB⊥x 轴,垂 足为 B,交反比例函数 y2 = 4 x (x>0)的图象于点 C,P 为 y 轴上一点,连接 PA,PC,则△APC 的面积为(　 　 ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 数学思想·分类思想 如图,一次函数 y1 = 1 2 x-1 的图象与反比例函数 y2 = k x (k≠0)的图象 相交于点 A(m,2),点 B,与 y 轴交于点 C. (1)求反比例函数的解析式; (2)请结合图象直接写出不等式 1 2 x-1< k x 的解集; (3)点 P 是 y 轴一个动点,且△ACP 是 AC 为腰的等腰三角形,求点 P 的坐标. 01 追梦之旅·初中期末真题篇·课本知识集锦 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈第二十七章　 相似 　 相似图形 1.成比例线段:对于四条线段 a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线 段的比相等,如 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　　　　　　　　　　 　 　a b = c d (即 ad= bc) ,我们就说这四条线段成比例. 2.相似多边形 (1)定义:两个 　 　 　 　 　 　 　　　　　　边数相同 的多边形,如果它们的 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　角分别相等 , 　 　 　 　 　 　 　　　　　　边成比例 ,那么这两个多边形 叫做相似多边形. (2)性质:对应角相等,对应边成比例. 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 【易错提醒】(1)判断四条线段是否成比例,要注意单位必须统一;(2)判断相似多边形,要 满足:①边数相同;②对应角相等;③对应边成比例. 　 相似三角形的判定与性质 1.平行线分线段成比例 (1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 　 若 l1∥l2∥l3 时,则 AB BC =DE EF ,AC BC =DF EF ,AB AC =DE DF ,BC AB =EF DE 等. 2.相似三角形的判定定理 (1)两角分别相等的两个三角形相似; (2)三边成比例的两个三角形相似; (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似; (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3.相似三角形的性质 (1)对应角相等,对应边成比例; (2)相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比; (3)周长的比等于 　 　 　 　 　 　　　　　相似比 ,面积的比等于 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　相似比的平方. 　 位似 1.位似图形的性质 (1)因为位似图形是特殊的相似图形,所以它具有相似图形的一切性质; (2)位似图形的对应点连线相交于一点,即 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　经过位似中心 ; (3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上; (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 11 情境期末·ZBR·九年级数学 2.画位似图形的一般步骤:(1)确定 　 　 　 　 　 　 　　　　　　位似中心 ;(2)确定原图形的关键点(通常是多边形的顶 点)和已确定的位似中心,连接并延长(或截取);(3)根据已知的相似比,确定所画新图形中 关键点的位置;(4)顺次连接各关键点,即可得到所求作的图形. 3.位似图形对应点坐标的变化规律 一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使 它与原图形的相似比为 k,那么与原图形上的点( x, y) 对应的位似图形上的点的坐标为 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　(kx,ky)或( -kx,-ky) . 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 跨学科试题·音乐 如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线 上的三个点 A,B,C 都在横线上. 若线段 AC= 15 2 ,则线段 AB 的长是(　 　 ) A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D. 5 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 2. (沈阳期末)如图,在平面直角坐标系中,已知 A(2,0),B(4,3),D(5,0),△ABC 与△DEF 位似,原点 O 是位似中心,则 E 点的坐标是(　 　 ) A. (10,7) B. (8,7) C. (10,7. 5) D. (8,6) 3. 数学思想·分类讨论 如图,正方形 ABCD 的边长为 14,M、N 分别为 AD、BC 上的点,AM= 4, BN= 6,在边 AB 上取一点 E,使得△AME 与△BNE 相似,则 AE 的长为　 　 　 　 . 4. 生活情境·测量高度 小军想利用所学知识测量一建筑物的高度,如图,他拿着一根长为 20 cm 的木棒 CD 站在离建筑物 100 m 的地方(即点 E 到 AB 的水平距离为 100 m). 他把 手臂向前伸,木棒竖直,CD∥AB,当木棒两端恰好遮住奥体中心(即 E、C、A 在一条直线 上,E、D、B 在一条直线上)时,点 E 到木棒 CD 的距离为 40 cm. 已知 AB⊥BF,EF⊥BF,求 建筑物的高度 AB. 21