专项1 大题抢分练(分考点计对练习解答题)-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（人教版 河南专用）

情境期末·八年级数学·上册　 第 1 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 2 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 3 页 　 　 　 　 专项 1 追梦专项一　 大题抢分练 　 因式分解 1. (8 分)因式分解: (1)a3b+2a2b2 +ab3;　 　 　 　 　 　 　 (2)(m-1) +n2(1-m) . 2. (8 分)(六安期末)先因式分解,再计算求值:4x(m-2) -3x(m-2) 2,其中 x= 1. 5,m= 6. 3. 学习情境·阅读理解 (9 分)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方 法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:“m2 -mn+2m-2n”, 细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可以提取公因式,前后两部分分别 分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为 m2 - mn+2m-2n= (m2 -mn) +(2m-2n)= m(m-n) +2(m-n)= (m-n)(m+2) . “社团”将此种因式分解的 方法叫做“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题: (1)分解因式:a3 -2a2 +6a-12; (2)已知 m-n= 5,mn= 1,求 m2n-mn2 -2m+2n 的值; (3)△ABC 的三边 a,b,c 满足 a2 +c2 = 2ac-ab+bc,判断△ABC 的形状并说明理由. 　 整式的乘法 4. (8 分)计算: (1)x4y·( -2xy) 2 +(x2y) 3;　 　 (2) -2 024 -( - 1 3 ) -1 +π0 + 9 . 5. (8 分)如果关于 x 的多项式 x-2 与 x2 +mx+1 的乘积中不含 x 的一次项,求 m 的值. 6. (9 分)(临沂期末)如图 1,是一个长为 2m,宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小 长方形,然后按图 2 的形状拼成一个正方形. (1)图 2 中阴影部分的面积为　 　 　 　 ; (2)观察图 2,可得(m+n) 2,(m-n) 2,mn 之间的等量关系是 　 ; (3)若 x+y= -6,xy= 2. 75,求 x-y; (4)观察图 3,你能得到怎样的恒等式. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 　 分式及分式方程 7. (8 分)解方程: (1) 3 x +1 = 2x 2x+1 ;　 　 　 　 　 　 　 　 (2)x +1 x-1 - 4 x2 -1 = 1. 8. (8 分)(扬州期末)先化简(3x +4 x2 -1 - 2 x-1 ) ÷x 2 +4x+4 x+1 ,然后在-2≤x≤2 的范围内选择一个合适的整 数作为 x 的值代入求值. 9. (9 分)(长春中考)某化工厂用 A,B 两种型号的机器人搬运化工原料,已知每个 A 型机器人比每个 B 型机器人每小时多搬运 30 kg,每个 A 型机器人搬运 900 kg 所用的时间与每个 B 型机器人搬运 600 kg 所用的时间相等. (1)求 A,B 两种机器人每小时分别搬运多少化工原料? (2)某化工厂有 4 500 kg 化工原料需要搬运,要求搬运所有化工原料的时间不超过 5 小时,现计划 先由 8 个 A 型机器人搬运 2 小时,再增加若干个 B 型机器人一起搬运,问至少增加多少个 B 型机器 人才能按要求完成任务? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项 1 　 　 　 　 　 情境期末·八年级数学·上册　 第 4 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 5 页 情境期末·八年级数学·上册　 第 6 页 　 三角形的全等 10. 学习情境·命题证明 (9 分)证明命题:“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直 角三角形全等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程. 下面是小颖根 据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证. 　 　 已知:在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中,∠C= ∠C′= 90°,AC =A′C′,AD 与 A′D′分别为 BC,B′C′边上的 中线且　 　 　 　 　 　 . 求证:　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 11. (10 分)【观察猜想】 (1)我们知道,正方形的四条边都相等,四个角都为直角. 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,连接 AE,AF,EF,并延长 CB 到点 G,使 BG=DF,连接 AG. 若 ∠EAF= 45°,则 BE,EF,DF 之间的数量关系为 ; 【类比探究】(2)如图 2,当点 E 在线段 BC 的延长线上,且∠EAF = 45°时,试探究 BE,EF,DF 之间 的数量关系,并说明理由; 【拓展应用】 (3)如图 3,在 Rt△ABC 中,AB = AC,D,E 在 BC 上,∠DAE = 45°,若△ABC 的面积为 12,BD·CE= 4,请直接写出△ADE 的面积. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 图 3 　 轴对称 12. 新趋势·尺规作图 (8 分)如图,利用尺规,在△ABC 的边 AC 上方作∠CAE = ∠ACB,在射线 AE 上 截取 AD=BC,连接 CD,并证明:CD∥AB(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法). 13. (8 分)如图,在正方形网格中,直线 l 与网格线重合,点 A,C,A′,B′均在网格点上. (1)已知△ABC 和△A′B′C′关于直线 l 对称,请在图上把△ABC 和△A′B′C′补充完整; (2)在以直线 l 为 y 轴的坐标系中,若点 A 的坐标为(a,b),求点 A′的坐标; (3)在直线 l 上画出点 P,使得 PA+PC 最短. 14. (9 分)如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,CD=AB,∠BDA= ∠B,AE 是△ABD 的中线. (1)若∠BAD= 60°. ①求证:△ABD 是等边三角形; ②求∠C 的度数; (2)过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,若 BD= 2DF,求证:AD 平分∠EAC. 15. (9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AB,垂足 为 E. 此时点 E 恰为 AB 的中点. (1)求∠CAD 的大小; (2)若 BC= 9,求 DE 的长. 16. (11 分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目. 　 　 在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED =EC,如图,试确定线段 AE 与 DB 的大小关系,并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论 当点 E 为 AB 的中点时, 如图 1, 确定线段 AE 与 DB 的大小关系. 请你直接写出结论: AE　 　 　 　 DB (填“ >”“ <”或“ = ”) . (2)特例启发,解答题目 解:题目中,AE 与 DB 的大小关系是:AE　 　 　 　 DB(填“ >”“ <”或“ = ”) . 理由如下: 如图 2,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题 在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC. 若△ABC 的边长为 1,AE = 2,求 CD 的长(请你直接写出结果). 图 1 　 　 图 2 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14. 解:(1)当 x= 1 时,P-Q= x+2- 8x x+2 = 1+2- 8 3 = 1 3 ; (2)∵ P-Q= x+2- 8x x+2 = (x+2) 2 -8x x+2 = (x-2) 2 x+2 ,∵ x>0,∴ (x-2) 2 x+2 >0,当 x= 2 时,(x -2) 2 x+2 = 0,∴ 当 x>0 且 x≠2 时, P>Q;当 x= 2 时,P=Q; (3)∵ y= 4 P - Q 12 ,P = x+ 2,Q = 8x x+2 ,∴ y = 4 P - Q 12 = 4 x+2 - 8x 12(x+2) = 12-2x 3(x+2) = -2(x+2)+16 3(x+2) = - 2 3 + 16 3(x+2) ,∵ x、y 均为非零整数,∴ x= -3 时,y = -6,xy = 18;x = -6 时,y = -2,xy= 12;x= -18 时,y= -1,xy = 18;综上所述:xy 的值 为 18 或 12. 15. 解:(1) a b -a+1 b+1 = a(b+1) b(b+1) -b(a+1) b(b+1) = a-b b2 +b ,∵ b>a> 0,∴ b2 +b>0,a-b<0,∴ a -b b2 +b <0,∴ 说明所得分式a +1 b+1 的值是 增大了; (2) ①甲所购饲料的平均单价是: 800m +800n 800×2 = m+n 2 (元 /千克);乙所购饲料的平均单价是: 800 ×2 800 m +800 n = 2mn m+n (元 /千克); ②m +n 2 -2mn m+n = (m+n) 2 2(m+n) - 4mn 2(m+n) = (m-n) 2 2(m+n) ,∵ m,n 是正 数,且 m≠n,∴ (m -n) 2 2(m+n) >0,∴ m +n 2 > 2mn m+n ,∴ 乙所购饲料 的平均单价低. 基础知识抓分练 7　 分式方程 1. D　 【解析】∵ x 2x-1 + 2 1-2x = 3,∴ x 2x-1 - 2 2x-1 = 3,方程两 边同时乘(2x-1),可得:x-2 = 3(2x-1) . 故选 D. 2. C　 【解析】去分母,得:3x- 2 = m+x+ 1,移项,合并同类 项,得:2x= 3+m,系数化 1,得:x = 3 +m 2 ,∵ 该分式方程的 解为负数,且分式方程有意义,∴ 3+m 2 <0 3+m 2 ≠-1 ì î í ï ï ïï ,∴ m<-3 且 m≠-5,故选 C. 3. A　 4. C 5. D　 【解析】设特快列车的平均行驶速度为 x km / h,由题 意得:1400 x -1400 2. 8x = 9. 解得:x= 100,经检验 x = 100 是原分 式方程的解,设高铁列车从甲地到乙地的时间为 y h,由 题意得:1400 y = 2. 8×1400 y+9 ,解得:y= 5,经检验 y= 5 是原分 式方程的解,则特快列车从甲地到乙地的时间是 5+ 9 = 14(h),故选项 A、B、C 错误. 故选 D. 6. 一项工作,甲乙合作需 6 天完成,甲独做比乙独做多用 5 天,乙独做需几天? (答案不唯一) 7. x(x+2)(x-2) 8. 0. 2　 【解析】设 A 款电动汽车平均每公里充电费用为 x 元,则 B 款燃油车平均每公里燃油费用为(x+0. 6)元,根 据题意得:200 x = 200 x+0. 6 ×4,解得 x= 0. 2,经检验,x= 0. 2 是 所列方程的解,且符合题意,∴ A 款电动汽车平均每公里 充电费用为 0. 2 元. 9. 2　 【解析】 x-2 3 <x+1① x+a≤3② { ,解不等式①得:x>- 52 ,解不等 式②得:x≤3-a,则根据题意可知,不等式组的解集为: - 5 2 < x ≤ 3 - a, ∵ 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 x-3 3 <x+1 x+a≤3 { 至少有 2 个整数解,则该不等式的整数解至少 包含:-2,-1,∴ 3-a≥-1,解得:a≤4,分式方程y -a y-2 + 1 2-y = -1 去分母得:y-a-1 = 2-y,解得:y=a +3 2 ,∵ a≤4,∴ y = a+3 2 ≤ 7 2 ,∵ y 是正整数,且 y≠2,∴ y = 1 或 y = 3,∴ a = -1 或 a= 3,∴ 满足条件的整数 a 的和为-1+3 = 2. 10. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时乘上 (2x-5)得:x-5 = 2x- 5. 移项,合并同类项,得:x = 0. 检 验:将 x= 0 代入 2x-5≠0,∴ x= 0 是原方程的解; (2)x +1 x-1 -1 = 4 x2 -1 ,两边乘最简公分母得:(x+1) 2 -(x2 - 1)= 4,展开得:x2 +2x+1-x2 +1 = 4. 合并同类项得:2x+2 = 4,解得 x= 1. 经检验,x = 1 时,x- 1 = 0. ∴ 原分式方程 无解; (3)两边同时乘以 3(x+1),去分母得:4 = 3x+3-3,解得 x= 4 3 ,检验:把 x= 4 3 代入得 3(x+ 1) = 7≠0,所以分式 方程的解为 x= 4 3 ; (4)两边同时乘以(x+3) (x-3),去分母得:x-3+2(x+ 3)= 12,解得 x= 3,检验:把 x = 3 代入得(x+3) (x-3)= 0,所以分式方程无解. 11. 解:(1)设第二次购进衬衫 x 件,则第一次购进衬衫 2x 件,依题意,得4 500 2x -2 100 x = 10,解得 x = 15. 经检验,x = 15 是所列分式方程的解,且符合题意,∴ 2x= 30. 故第一 次购进衬衫 30 件,第二次购进衬衫 15 件; (2)第一次购进衬衫的单价为 4 500÷30 = 150(元 /件), 第二次购进衬衫的单价为 150- 10 = 140(元 /件) . 设第 二批衬衫每件售价为 y 元 /件,依题意,得(200- 150) × 30+(y-140)×15 = 1 950,解得 y = 170,故第二批衬衫每 件售价为 170 元. 12. 解:(1)-2　 -4 (2)∵ x+12 x = -6 为“十字分式方程”,∴ x-2+ 12 x-2 = -8, ∴ x-2+( -2)×(-6) x-2 = (-2)+(-6),∴ x-2 = -2 或 x-2 = -6,∴ x1 = 0,x2 = -4; (3)∵ “十字分式方程”x- 3 x = -6 的两个解分别为 x1 = m,x2 =n,∴ x1x2 =mn= -3,x1 +x2 =m+n = -6,∴ n m + m n = m2 +n2 mm = (m+n) 2 -2mm mn = 36+6 -3 = -14. 追梦专项一　 大题抢分练 1. 解:(1)原式=ab(a2 +2ab+b2 )= ab(a+b) 2 ; (2)原式= (m-1)-n2(m-1)= (m-1)(1-n2 )= (m-1)(1 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 5 页 +n)(1-n) . 2. 解:原式= x(m-2)[4-3(m-2)] = x(m-2)(10-3m) . ∵ x = 1. 5,m= 6,∴ 原式= 1. 5×4×(-8)= -48. 3. 解:(1)原式= (a3 -2a2 )+(6a-12)= a2(a-2) +6(a-2)= (a-2)(a2 +6); (2)原式= (m2n-mn2 )-(2m-2n)= mn(m-n)-2(m-n)= (m-n)(mn-2),∵ m-n = 5,mn = 1,∴ 原式 = 5×(1-2) = -5; (3)△ABC 为等腰三角形,理由如下:∵ a2 +c2 = 2ac-ab+ bc,∴ a2 +c2 -2ac+ab-bc= 0,∴ (a-c) 2 +b(a-c)= 0,∴ (a- c)(a+b-c)= 0,∵ a,b,c 为△ABC 的三边长,∴ a+b-c>0, ∴ a-c= 0,∴ a= c,∴ △ABC 为等腰三角形. 4. 解:(1)原式= x4y·(4x2y2 )+x6y3 = 4x6y3 +x6y3 = 5x6y3 ; (2)原式= 2024+3+1+3 = 2031. 5. 解:(x-2)(x2 +mx+1)= x3 +mx2 +x-2x2 -2mx-2 = x3 +(m- 2)x2 +(1-2m)x-2,∵ 关于 x 的多项式 x- 2 与 x2 +mx+ 1 的乘积中不含 x 的一次项,∴ 1-2m= 0,解得 m= 1 2 . 6. 解:(1)(m-n) 2 (2)(m+n) 2 -4mn= (m-n) 2 (3)由题知(x-y) 2 = (x+y) 2 -4xy= 25,则 x-y= ±5; (4)(2m+n)(m+n)= 2m2 +3mn+n2 . 7. 解:(1)方程两边乘 x(2x+ 1),得 3(2x+ 1) +x(2x+ 1) = 2x2 ,解得 x= - 3 7 ;检验:当 x = - 3 7 时,x(2x+1) ≠0,故原 分式方程的解为 x= - 3 7 ; (2)方程两边同乘(x+1) (x-1),得(x+1) 2 -4 = x2 -1,解 得 x= 1. 检验:当 x= 1 时,(x+ 1) (x- 1) = 0,所以原分式 方程无解. 8. 解: 原式 = [ 3x +4 (x+1)(x-1) - 2x+2 (x+1)(x-1) ] ÷ (x +2) 2 x+1 = x+2 (x+1)(x-1) · x +1 (x+2) 2 = 1 x2 +x-2 ,∵ x= ±1,-2 时,原分式 无意义,且-2≤x≤2,∴ x 可以为 0 或 2. 当 x = 0 时,原式 = - 1 2 . 9. 解:(1)设每个 B 型机器人每小时搬运 xkg 化工原料,则 每个 A 型机器人每小时搬运(x+30)kg 化工原料,根据题 意,得: 900 x+30 = 600 x ,解得 x= 60. 经检验,x= 60 是所列方程 的解且符合题意,∴ x+30 = 90,因此,每个 A 型机器人每 小时搬运 90kg 化工原料,每个 B 型机器人每小时搬运 60kg 化工原料; (2)设增加 y 个 B 型机器人,依题意,得:8×90×5+60×(5 -2)y≥4500,解得 y≥5,∵ y 为正整数,∴ y 的最小值为 5. 因此,至少要增加 5 个 B 型机器人. 10. 解:AD=A′D′　 Rt△ABC≌Rt△A′B′C 证明: ∵ ∠C = ∠C′ = 90°, AD = A′ D′, AC = A′ C′, ∴ Rt△ADC≌Rt△A′D′C′( HL),∴ CD = C′D′. ∵ AD 与 A′D′分别为 BC 与 B′C′边上的中线,∴ 点 D 和点 D′分别 是 BC 与 B′C′的中点,∴ BC= 2CD,B′C′= 2C′D′,∴ BC = B′C′,在△ABC 和△A′B′C′中, AC=A′C′ ∠C= ∠C′ BC=B′C′ { ,∴ Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′(SAS) . 11. 解:【观察猜想】(1)EF=BE+DF　 【解析】∵ 四边形 AB- CD 是正方形,∴ AB= AD,∠D = ∠BAD = ∠ABC = 90°,∴ ∠ABG = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠ABG= ∠D BG=DF { ,∴ △ABG≌ △ADF( SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG = AF. ∵ ∠EAF= 45°,∴ ∠GAE = ∠BAG+∠BAE = ∠DAF+∠BAE = 90° - ∠EAF = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在 △AEG 和 △AEF 中, AG=AF ∠GAE= ∠FAE AE=AE { ,∴ △AEG≌ △AEF( SAS) . ∴ EG=EF. ∴ EF=EG=BE+BG=BE+DF. 【类比探究】 (2)BE = EF+DF. 理由如下:在 BC 上取点 G,使 BG=DF. 连接 AG,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =AD, ∠ADC = ∠BAD = ∠B = 90°, ∴ ∠ADF = 90°. 在 △ABG 和 △ADF 中, AB=AD ∠B= ∠ADF BG=DF { , ∴ △ABG ≌ △ADF (SAS) . ∴ ∠BAG = ∠DAF,AG = AF. ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠EAD+∠DAF= ∠EAD+∠BAG = 45°. ∴ ∠GAE = ∠BAD -(∠EAD+∠BAG) = 90°- 45° = 45°. ∴ ∠GAE = ∠EAF. 在 △AEG 和 △AEF 中, AE=AE, ∠GAE= ∠FAE, AG=AF { ∴ △AEG ≌ △AEF(SAS) . ∴ GE=EF. ∴ BE=BG+GE=DF+EF. 【拓展应用】(3)△ADE 的面积为 5. 　 【解析】在点 A 的 右侧作 FA⊥AD,且使 AF = AD,连接 EF,FC. 则∠DAF = ∠BAC= 90°. ∴ ∠B + ∠ACB = 90°,∠BAD = ∠CAF. 在 △ABD 和△ACF 中, AB=AC, ∠BAD= ∠CAF, AD=AF. { ∴ △ABD≌△ACF (SAS) . ∴ ∠B= ∠ACF,BD =CF,S△ABD = S△ACF . ∴ ∠ECF = ∠ACF+∠ACB = ∠B+∠ACB = 90°,S四边形ADCF = S△ACD + S△ACF = S△ACD + S△ABD = S△ABC = 12. ∵ ∠DAE = 45°, ∴ ∠EAF= 45°. ∴ ∠DAE = ∠EAF. 在△ADE 和△AFE 中, AD=AF, ∠DAE= ∠FAE, AE=AE, { ∴ △ADE≌△AFE(SAS) . ∴ DE = EF, S△ADE = S△AFE . ∵ BD·CE = 4,∴ CF·CE = 4. ∵ ∠ECF = 90°,∴ S△CEF = 1 2 CF·CE = 2. ∴ S四边形ADEF = S四边形ADCF - S△CEF = 12- 2 = 10. ∵ S△ADE = S△AFE,∴ S△ADE = 1 2 S四边形ADEF = 1 2 ×10 = 5. 12. 解:如图所示: 证明:∵ ∠EAC= ∠ACB,∴ AD∥CB,∵ AD =BC,∠DAC = ∠ACB,AC = CA,∴ △ACD≌ △CAB( SAS),∴ ∠ACD = ∠CAB,∴ AB∥CD. 13. 解:(1)如图,△ABC 和△A′B′C′即为所求; (2)A′(-a,b); (3)如图,点 P 即为所求. 14. ( 1) ①证明:∵ ∠BAD = 60°,∠BDA = ∠B,∴ ∠BAD = ∠B= ∠BDA= 60°,∴ △ABD 是等边三角形; ②解:∵ △ABD 是等边三角形,∴ AB=AD. ∵ CD =AB,∴ CD = AD, ∴ ∠DAC = ∠C, ∴ ∠BDA = ∠DAC + ∠C = 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 6 页 2∠C. ∵ ∠BDA= 60°,∴ ∠C= 30°; (2)证明:∵ ∠BDA= ∠B,∴ AB = AD. ∵ AE 是△ABD 的 中线,∴ AE⊥BD,BE =DE,∴ ∠AED = 90°,BD = 2DE. ∵ DF⊥AC,BD= 2DF,∴ ∠AFD= 90° = ∠AED,DE =DF. ∴ 点 D 在∠EAC 的平分线上,∴ AD 平分∠EAC. 15. 解:(1) ∵ DE⊥AB 且 E 为 AB 的中点,∴ DE 垂直平分 AB,∴ AD = BD,∴ ∠B = ∠BAD. ∵ AD 是∠CAB 的平分 线,∴ ∠CAD= ∠BAD. ∵ ∠C = 90°,∴ 3∠CAD = 90°,∴ ∠CAD= 30°; (2)∵ AD 是∠CAB 的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴ DC = DE. ∵ ∠CAD= ∠BAD = ∠B = 30°,∴ BD = 2DE,∴ BD = 2DC. ∵ BC= 9,∴ BD+CD= 9,∴ 3DE= 9,∴ DE= 3. 16. 解:(1)= (2)= 理由如下:过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F. 在等边 △ABC 中,∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,AB = BC = AC. ∵ EF∥BC,∴ ∠AEF = ∠ABC,∠AFE = ∠ACB,∴ ∠AEF = ∠AFE= ∠BAC= 60°,∴ AE = AF =EF,∴ AB-AE = AC- AF,即 BE=CF. ∵ ED =EC,∴ ∠EDB = ∠ECB,∵ ∠ABC = ∠EDB+ ∠BED,∠ACB = ∠ECB+ ∠FCE. ∴ ∠BED = ∠FCE. 在 △DBE 和 △EFC 中, ED=CE ∠DEB= ∠ECF EB=CF { , ∴ △DBE≌△EFC(SAS),∴ DB=EF,∴ AE=BD; (3)CD 的长是 3 或 1. 　 【解析】①如图 1,过点 E 作 EF ⊥CD 于点 F. ∵ AB = AC = 1,AE = 2,∴ B 是 AE 的中点. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC = BC = 1,∠ABC = 60°,∴ ∠DBE = ∠ABC = 60°,BE = 1,∴ ∠AEF = 30°,∴ BF= 1 2 BE= 1 2 ,∴ CF= 1 2 +1 = 3 2 . ∵ ED =EC,EF⊥CD, ∴ CD= 2CF= 3;②如图 2,过 A 作 AN⊥BC 于 N,过 E 作 EM⊥CD 于 M,∵ AB=BC= 1,AE = 2,∴ BE = 3. ∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠BEM = 30°,∴ BM = 1 2 BE = 3 2 ,∴ CM = BM- BC= 1 2 . ∵ EC=ED,EM⊥CD,∴ CD = 2CM = 1. 综上,CD 的长是 3 或 1. 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　【方法总结】本题综合考查了等边三角形的性质和判定, 等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定等的应用. 解(2)小题的关键是构造全等三角形后求出 BD =EF. 解 (3)小题的关键是分情况讨论,做到不漏解. 本题探究过 程中用到的从特殊到一般的思想方法是数学研究中常用 的方法. 追梦专项二　 重难易错专练 类型一　 三角形 1. D　 【解析】设这个多边形的边数为 n,由题意得:(n-2) ·180° = 360°+540°,解得:n= 7. 故选 D. 2. B　 3. A　 4. A 5. B　 【解析】延长 EF,交 CD 于点 G,∵ ∠ACB= 180°-50°- 60° = 70°,∴ ∠ECD = ∠ACB = 70°. ∵ ∠DGF = ∠DCE + ∠E,∴ ∠DGF= 70°+30° = 100°. ∵ ∠EFD = 110°,∠EFD = ∠DGF+∠D,∴ ∠D = 10°. 而图中∠D = 20°,∴ ∠D 应 减少 10°. 故选 B. 6. 6　 【解析】当 4cm 为腰长时,16-4×2 = 8(cm),∵ 4+4 = 8 (cm),∴ 4cm、4cm、8cm 不能组成三角形;当 4cm 为底边 时, 1 2 ×(16-4)= 6(cm),4cm、6cm、6cm 能组成三角形. 综上所述,该等腰三角形的腰长为 6cm. 7. 105°　 【解析】∵ ∠2+30°+45° = 180°,∴ ∠2 = 105°. ∵ 直 尺的上下两边平行,∴ ∠1 = ∠2 = 105°. 8. 8　 【解析】∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD =CD,∴ △ABD 的周长-△ADC 的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)= AB-AC= 3,又∵ AB+AC= 13,所以解得 AB= 8. 9. 50°　 【解析】如图,∵ ∠ABD,∠ACD 的 平分线交于点 P,∴ ∠1 = ∠2,∠3 = ∠4, 由三角形的内角和定理得,∠A+ ∠1 = ∠P+∠3,∵ ∠ACD-∠ABD = 64°,即∠3 +∠4-∠1-∠2 = 64°,∴ ∠3 - ∠1 = 32°,∵ ∠P = 18°,∴ ∠A= ∠P+∠3-∠1 = 18°+32° = 50°. 类型二　 全等三角形 1. A　 2. A 3. A　 【解析】延长 CD 到点 E,使 DE = CD,连接 AE,∵ CD 是边 AB 上的中线,∴ AD = BD,∵ ∠ADE = ∠CDB,DE = CD,∴ △ADE≌ △BDC( SAS),∴ AE = BC = 4,在△ACE 中,AC-AE<CE<AC+AE,∴ 8- 4< 2CD< 8+ 4,∴ 2<CD< 6. 故选 A. 4. C　 【解析】过点 P 作 PF⊥BC,垂足为 F,延长 FP 交 AD 于点 M,∴ ∠BFP = 90°,∵ AD∥BC,∴ ∠BFP = ∠DMP = 90°,∵ BP 平分∠ABC,PE⊥AB,PF⊥BC,∴ PE =PF = 4, ∵ AP 平分∠BAD,PE⊥AB,PM⊥AD,∴ PE = PM = 4,∴ MF=PM+PF= 8,∴ 点 P 到 AD 与 BC 的距离之和为 8. 故 选 C. 5. AB=AC 6. 8　 【解析】在 Rt△ABC 中,∵ BD 是△ABC 的角平分线, DE⊥AB,∠C = 90°,∴ DE = DC,又∵ ∠DEB = ∠DCB = 90°,BD=BD. ∴ Rt△BDE≌Rt△BDC(HL),∴ BE = BC, ∵ CA=CB,∴ CA=BE,∴ △AED 的周长=AE+ED+AD =AE +DC+AD=AE+AC=AE+BE=AB= 8. 7. 3. 5　 【解析】延长 AE 交 BC 于点 F,∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠DBC= 1 2 ∠ABF,∵ BE⊥AF,∴ ∠AEB = ∠BEF = 90°,∵ BE= BE,∴ △ABE≌△FBE(ASA),∴ AE = EF, AB= BF = 5,∵ BC = 12,∴ CF = BC -BF = 12 - 5 = 7,∵ ∠BEF= 90°,∴ ∠EBF+∠AFB = 90°,∴ 1 2 ∠ABC+∠AFB = 90°,∵ ∠ABC+4∠C= 180°,∴ 1 2 ∠ABC+2∠C = 90°,∴ ∠AFB= 2∠C,∵ ∠AFB= ∠C+∠CAF,∴ ∠C = ∠CAF,∴ AF=CF= 7,∴ AE=EF= 1 2 AF= 3. 5. 类型三　 轴对称 1. D　 【解析】作点 E 关于直线 BC 的对称点 F,连接 AF 交 BC 于 P,分别连接 PA、PE,此时 PA+PE 的值最小. 由对 称性可知:∠EPD= ∠FPD,∵ ∠CPA= ∠FPD,∴ ∠APC = ∠DPE,∴ PA + PE 最 小 时, 点 P 应 该 满 足 ∠APC = ∠DPE. 故选 D. 2. C　 【解析】由题意得:OA =OC,OA = AC,∴ OA =OC = AC, ∴ △OAC 是等边三角形,∴ ∠AOC= 60°. 故选 C. 3. C　 【解析】由题意,得∠DBO = ∠OBC,∠ECO = ∠BCO, ∵ DE∥BC,∴ ∠DOB = ∠OBC,∠COE = ∠OCB,即∠DOB = ∠DBO,∠EOC= ∠OCE,∴ BD =DO,OE =CE,∴ △ADE 的周长=AD+DO+OE+AE = AD+DB+AE+EC = AB+AC. ∵ AB= 20,AC= 12,∴ △ADE 的周长= 20+12 = 32. 故选 C. 4. A 5. 10　 【解析】∵ D 为 AB 的中点,ED⊥AB,∴ AE = BE,∵ 追梦之旅·初中期末真题篇·情境期末 ZBR·八年级数学上　 第 7 页